2022-2023学年河南省南阳三中九年级（上）第三次调研数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年河南省南阳三中九年级（上）第三次调研数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了图1是第七届国际数学教育大会等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年河南省南阳三中九年级第一学期第三次调研数学试卷
一.选择题（共10小题30分）
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，BC＝6，则AB＝（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
2．在四张完全相同的卡片上，分别画有等腰三角形、钝角、线段和直角三角形，现从中任意抽取一张，卡片上的图形一定是轴对称图形的概率是（　　）
A． B． C． D．1
3．如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道（点A、B在同一水平面上）．为了测量A、B两地之间的距离，一架直升飞机从A地出发，垂直上升800米到达C处，在C处观察B地的俯角为α，则A、B两地之间的距离为（　　）

A．800sinα米 B．800tanα米 C．米 D．米
4．如图，数学活动小组利用测角仪和皮尺测量学校旗杆的高度，在点D处测得旗杆顶端A的仰角∠ADE为55°，测角仪CD的高度为1米，其底端C与旗杆底端B之间的距离为6米，设旗杆AB的高度为x米，则下列关系式正确的是（　　）

A．tan55°＝ B．tan55°＝
C．sin55°＝ D．cos55°＝
5．在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和6个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验发现，摸到黄球的频率是0.2，则估计盒子中大约有红球（　　）
A．24个 B．20个 C．25个 D．30个
6．图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC．若AB＝BC＝1，∠AOB＝α，则OC2的值为（　　）

A．+1 B．sin2α+1 C．+1 D．cos2α+1
7．如图所示，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，则tanA的值为（　　）

A． B． C．2 D．2
8．如图，一艘海轮位于灯塔P的东北方向距离灯塔30海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则海轮行驶的路程AB的值为（　　）

A．30（+1）海里 B．30（+）海里
C．30（+1）海里 D．60海里
9．一只蚂蚁在如图所示的方格地板上随机爬行，每个小方格的形状大小质地完全相同，当蚂蚁停下来时，停在地板中阴影部分的概率是（　　）

A． B． C． D．
10．公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是125，小正方形面积是25，则（sinθ﹣cosθ）2＝（　　）

A． B． C． D．
二.填空题（共5小题15分）
11．一条上山直道的坡度为1：7，沿这条直道上山，每前进200米所上升的高度为 　 　米．
12．如图，有A、B、C三类长方形（或正方形）卡片（a＞b），其中甲同学持有A、B类卡片各一张，乙同学持有B、C类卡片各一张，丙同学持有A、C类卡片各一张，现随机选取两位同学手中的卡片共四张进行拼图，则能拼成一个正方形的概率是　 　．

13．某数学小组三名同学运用自己所学的知识检测车速，他们将观测点设在一段笔直的公路旁且距公路100米的点A处，如图所示，直线l表示公路，一辆小汽车由公路上的B处向C处匀速行驶，用时5秒，经测量，点B在点A北偏东45°方向上，点C在点A北偏东60°方向上，这段公路最高限速60千米/小时，此车　 　（填“超速”或“没有超速”）（参考数据：≈1.732）

14．从﹣1，2，﹣3，4这四个数中任取两个不同的数分别作为a，b的值，得到反比例函数y＝，则这些反比例函数中，其图象在二、四象限的概率是 　 　．
15．在△ABC中，若∠B＝45°，AB＝10，AC＝5，则△ABC的面积是　 　．
三.解答题（共55分）
16．计算：
（1）；
（2）．
17．自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造．如图2所示，改造前的斜坡AB＝200米，坡度为；将斜坡AB的高度AE降低AC＝10米后，斜坡AB改造为斜坡CD，其坡度为1：4．求斜坡CD的长．（结果保留根号）


18．如图，一架无人机在空中A处观测到山顶B的仰角为36.87°，山顶B在水中的倒影C的俯角为63.44°，此时无人机距水面的距离AD＝100米，求点B到水面距离BM的高度．（参考数据：sin36.87°≈0.60，cos36.87°≈0.80，tan36.87°≈0.75，sin63.44°≈0.89，cos63.44°≈0.45，tan63.44°≈2.00）

19．在一个不透明的布袋里装有4个标有1，2，3，4的小球，它们的形状、大小完全相同，小明从布袋里随机取出一个小球，记下数字为x，小红在剩下的3个小球中随机取出一个小球，记下数字为y．
（1）计算由x、y确定的点（x，y）在函数y＝﹣x+5的图象上的概率；
（2）小明和小红约定做一个游戏，其规则为：若x、y满足xy＞6，则小明胜；若x、y满足xy＜6，则小红胜，这个游戏公平吗？请说明理由；若不公平，请写出公平的游戏规则．
20．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12mm，BC＝24mm，动点P从点A开始沿边AB向B以2mm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边BC向C以4mm/s的速度移动（不与点C重合）．如果P、Q分别从A、B同时出发，设运动的时间为xs，四边形APQC的面积为ymm2．
（1）求y与x之间的函数关系式；写出自变量x的取值范围；
（2）当四边形APQC的面积等于112mm2时，求x的值；
（3）四边形APQC的面积能否等于172mm2？若能，求出运动的时间；若不能，说明理由．



参考答案
一.选择题（共10小题30分）
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，BC＝6，则AB＝（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
【分析】在直角三角形ABC中，利用锐角三角函数定义表示出sinA，将sinA的值与BC的长代入求出AB的长即可．
解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝＝，BC＝6，
∴AB＝＝＝10，
故选：D．

【点评】此题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．
2．在四张完全相同的卡片上，分别画有等腰三角形、钝角、线段和直角三角形，现从中任意抽取一张，卡片上的图形一定是轴对称图形的概率是（　　）
A． B． C． D．1
【分析】卡片共有四张，轴对称图形有等腰三角形、钝角、线段，根据概率公式即可得到卡片上所画图形恰好是轴对称图形的概率．
解：卡片中，轴对称图形有等腰三角形、钝角、线段，
根据概率公式，P（轴对称图形）＝．
故选：C．
【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P（A）＝．
3．如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道（点A、B在同一水平面上）．为了测量A、B两地之间的距离，一架直升飞机从A地出发，垂直上升800米到达C处，在C处观察B地的俯角为α，则A、B两地之间的距离为（　　）

A．800sinα米 B．800tanα米 C．米 D．米
【分析】在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，∠B＝α，AC＝800米，根据tanα＝，即可解决问题；
解：在Rt△ABC中，∵∠CAB＝90°，∠B＝α，AC＝800米，
∴tanα＝，
∴AB＝＝（米）．
故选：D．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
4．如图，数学活动小组利用测角仪和皮尺测量学校旗杆的高度，在点D处测得旗杆顶端A的仰角∠ADE为55°，测角仪CD的高度为1米，其底端C与旗杆底端B之间的距离为6米，设旗杆AB的高度为x米，则下列关系式正确的是（　　）

A．tan55°＝ B．tan55°＝
C．sin55°＝ D．cos55°＝
【分析】根据锐角三角函数和直角三角形的性质解答即可．
解：∵在Rt△ADE中，DE＝6，AE＝AB﹣BE＝AB﹣CD＝x﹣1，∠ADE＝55°，
∴sin55°＝，cos55°＝，tan55°＝，
故选：B．
【点评】此题考查了考查仰角的定义，三角函数的定义，注意数形结合思想的应用．
5．在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和6个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验发现，摸到黄球的频率是0.2，则估计盒子中大约有红球（　　）
A．24个 B．20个 C．25个 D．30个
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．
解：设有红球x个，
根据题意得：＝0.2，
解得：x＝24，
故选：A．
【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．
6．图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC．若AB＝BC＝1，∠AOB＝α，则OC2的值为（　　）

A．+1 B．sin2α+1 C．+1 D．cos2α+1
【分析】在Rt△OAB中，sinα＝，可得OB的长度，在Rt△OBC中，根据勾股定理OB2+BC2＝OC2，代入即可得出答案．
解：∵AB＝BC＝1，
在Rt△OAB中，sinα＝，
∴OB＝，
在Rt△OBC中，
OB2+BC2＝OC2，
∴OC2＝（）2+12＝．
故选：A．
【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法进行计算是解决本题的关键．
7．如图所示，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，则tanA的值为（　　）

A． B． C．2 D．2
【分析】根据网格构造直角三角形，由勾股定理可求AD、BD，再根据三角函数的意义可求出tanA的值．
解：如图，连接BD，由网格的特点可得，BD⊥AC，
AD＝＝2，BD＝＝，
∴tanA＝＝＝，
故选：A．

【点评】本题考查直角三角形的边角关系，掌握直角三角形的边角关系是解决问题的前提，利用网格构造直角三角形是解决问题的关键．
8．如图，一艘海轮位于灯塔P的东北方向距离灯塔30海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则海轮行驶的路程AB的值为（　　）

A．30（+1）海里 B．30（+）海里
C．30（+1）海里 D．60海里
【分析】根据方向角的概念可知∠APC＝45°，由锐角三角函数的定义求出AC的值，在Rt△PBC中根据∠B＝30°求出BC的值，由AB＝AC+BC即可得出结论．
解：由题意得，∠APC＝45°，PA＝30，
∵sin∠APC＝，
∴AC＝PA•sin45°＝30•＝30，
∵∠B＝30°，PC＝AC＝40，tanB＝，
∴BC＝＝30，
∴AB＝AC+BC＝30+30＝30（1+）（海里）
故选：C．
【点评】本题考查的是方向角的概念、直角三角形的性质及锐角三角函数的定义，熟知方向角的概念是解答此题的关键．
9．一只蚂蚁在如图所示的方格地板上随机爬行，每个小方格的形状大小质地完全相同，当蚂蚁停下来时，停在地板中阴影部分的概率是（　　）

A． B． C． D．
【分析】首先确定在阴影的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出蚂蚁停在阴影部分的概率．
解：设每个格点正方形的边长为1，
则阴影部分的面积为：42﹣×（1×4+2×4+2×3）＝7，
所以当蚂蚁停下来时，停在地板中阴影部分的概率是，
故选：B．
【点评】此题主要考查了几何概率，用到的知识点为：概率＝相应的面积与总面积之比．
10．公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是125，小正方形面积是25，则（sinθ﹣cosθ）2＝（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据正方形的面积公式可得大正方形的边长为5，小正方形的边长为5，再根据直角三角形的边角关系列式即可求解．
解：∵大正方形的面积是125，小正方形面积是25，
∴大正方形的边长为5，小正方形的边长为5，
∴5cosθ﹣5sinθ＝5，
∴cosθ﹣sinθ＝，
∴（sinθ﹣cosθ）2＝．
故选：A．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，正方形的面积，难度适中．
二.填空题（共5小题15分）
11．一条上山直道的坡度为1：7，沿这条直道上山，每前进200米所上升的高度为 　20　米．
【分析】设上升的高度为x米，根据坡度的概念得到水平距离为7x米，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．
解：设上升的高度为x米，
∵上山直道的坡度为1：7，
∴水平距离为7x米，
由勾股定理得：x2+（7x）2＝2002，
解得：x1＝20，x2＝﹣20（舍去），
故答案为：20．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．
12．如图，有A、B、C三类长方形（或正方形）卡片（a＞b），其中甲同学持有A、B类卡片各一张，乙同学持有B、C类卡片各一张，丙同学持有A、C类卡片各一张，现随机选取两位同学手中的卡片共四张进行拼图，则能拼成一个正方形的概率是　　．

【分析】依据选择乙丙手中的卡片共四张进行拼图，则能拼成一个边长为（a+b）的正方形，可得能拼成一个正方形的概率为．
解：由题可得，随机选取两位同学，可能的结果如下：
甲乙、甲丙、乙丙，
∵a2+2ab+b2＝（a+b）2，
∴选择乙丙手中的卡片共四张进行拼图，则能拼成一个边长为（a+b）的正方形，
∴能拼成一个正方形的概率为，
故答案为：．
【点评】本题考查列表法与树状图法、完全平方公式的运用，当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
13．某数学小组三名同学运用自己所学的知识检测车速，他们将观测点设在一段笔直的公路旁且距公路100米的点A处，如图所示，直线l表示公路，一辆小汽车由公路上的B处向C处匀速行驶，用时5秒，经测量，点B在点A北偏东45°方向上，点C在点A北偏东60°方向上，这段公路最高限速60千米/小时，此车　没有超速　（填“超速”或“没有超速”）（参考数据：≈1.732）

【分析】作AD⊥直线l于D，根据等腰直角三角形的性质求出BD，根据正切的定义求出CD，得到BC的长，求出小汽车的速度，比较即可得到答案．
解：作AD⊥直线l于D，
在Rt△ADB中，∠ABD＝45°，
∴BD＝AD＝100米，
在Rt△ADB中，tan∠ACD＝，
则CD＝＝100≈173.2（米），
∴BC＝173.2﹣100＝73.2（米），
小汽车的速度为：0.0732÷＝52.704（千米/小时），
∵52.704千米/小时＜60千米/小时，
∴小汽车没有超速，
故答案为：没有超速．

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，掌握方向角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
14．从﹣1，2，﹣3，4这四个数中任取两个不同的数分别作为a，b的值，得到反比例函数y＝，则这些反比例函数中，其图象在二、四象限的概率是 　　．
【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，其中反比例函数y＝的图象在二、四象限（ab＜0）的结果有8种，再由概率公式求解即可．
解：画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中反比例函数y＝的图象在二、四象限（ab＜0）的结果有8种，
∴P（图象在二、四象限）＝＝，
故答案为：．
【点评】此题考查的是用树状图法求概率以及反比例函数的图象与性质．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
15．在△ABC中，若∠B＝45°，AB＝10，AC＝5，则△ABC的面积是　75或25　．
【分析】过点A作AD⊥BC，垂足为D，通过解直角三角形及勾股定理可求出AD，BD，CD的长，进而可得出BC的长，再利用三角形的面积公式可求出△ABC的面积．
解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，如图所示．
在Rt△ABD中，AD＝AB•sinB＝10，BD＝AB•cosB＝10；
在Rt△ACD中，AD＝10，AC＝5，
∴CD＝＝5，
∴BC＝BD+CD＝15或BC＝BD﹣CD＝5，
∴S△ABC＝BC•AD＝75或25．
故答案为：75或25．

【点评】本题考查了解直角三角形、勾股定理以及三角形的面积，通过解直角三角形及勾股定理，求出AD，BC的长度是解题的关键．
三.解答题（共55分）
16．计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先代入特殊角三角函数值，然后先算乘方，化简二次根式，再算乘法，最后算加减；
（2）先代入特殊角三角函数值，然后先算乘方，再算乘法，最后算加减．
解：（1）原式＝2﹣4×+1
＝2﹣2+1
＝1；
（2）原式＝﹣4×12+×（）2﹣
＝﹣4+
＝﹣4+﹣
＝﹣．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，熟记特殊角三角函数值，掌握二次根式混合运算的运算顺序和计算法则是解题关键．
17．自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造．如图2所示，改造前的斜坡AB＝200米，坡度为；将斜坡AB的高度AE降低AC＝10米后，斜坡AB改造为斜坡CD，其坡度为1：4．求斜坡CD的长．（结果保留根号）


【分析】根据题意和锐角三角函数定义可以求得AE的长，进而得到CE的长，再根据锐角三角函数可以得到DE的长，然后由勾股定理即求得CD的长即可．
解：∵∠AEB＝90°，AB＝200米，坡度为1：，
∴tan∠ABE＝＝，
∴∠ABE＝30°，
∴AE＝AB＝100米，
∴CE＝AE﹣AC＝100﹣10＝90（米），
∵∠CED＝90°，斜坡CD的坡度为1：4，
∴＝，
即＝，
解得：DE＝360（米），
∴CD＝＝＝（米），
答：斜坡CD的长为米．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数定义，求出DE的长是解答本题的关键．
18．如图，一架无人机在空中A处观测到山顶B的仰角为36.87°，山顶B在水中的倒影C的俯角为63.44°，此时无人机距水面的距离AD＝100米，求点B到水面距离BM的高度．（参考数据：sin36.87°≈0.60，cos36.87°≈0.80，tan36.87°≈0.75，sin63.44°≈0.89，cos63.44°≈0.45，tan63.44°≈2.00）

【分析】过点A作AH⊥BM交于点H，由题意可得：AD＝HM＝100，设BM＝x，在Rt△ABH中，，在Rt△AHC中，，进而可根据AH＝AH，求出x的值，即为BM的值．
解：过点A作AH⊥BM交于点H，由题意可得：AD＝HM＝100米，
设BM＝x米，则MC＝BM＝x米，
∵BH＝BM﹣HM，
∴BH＝（x﹣100）米，
∴在Rt△ABH中，AH＝≈（x﹣100），
∵HC＝HM+MC，
∴HC＝（100+x）米，
在Rt△AHC中，AH＝≈，
∴（x﹣100）＝，
解得x＝220，
即BM＝220米，
答：点B到水面距离BM的高度约为220米．

【点评】本题主要考查了锐角三角形的实际运用，熟练掌握锐角三角形的相关知识点并列出等量关系式是解题的关键，属于常考题型．
19．在一个不透明的布袋里装有4个标有1，2，3，4的小球，它们的形状、大小完全相同，小明从布袋里随机取出一个小球，记下数字为x，小红在剩下的3个小球中随机取出一个小球，记下数字为y．
（1）计算由x、y确定的点（x，y）在函数y＝﹣x+5的图象上的概率；
（2）小明和小红约定做一个游戏，其规则为：若x、y满足xy＞6，则小明胜；若x、y满足xy＜6，则小红胜，这个游戏公平吗？请说明理由；若不公平，请写出公平的游戏规则．
【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果，再得出得点（x，y）在函数y＝﹣x+5的图象上的情况，利用概率公式即可求得答案；
（2）首先分别求得x、y满足xy＞6则小明胜，x、y满足xy＜6则小红胜的概率，比较概率大小，即可得这个游戏是否公平；公平的游戏规则：只要概率相等即可．
解：（1）画树状图得：

∵共有12种等可能的结果，其中在函数y＝﹣x+5的图象上的有4种：（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），
∴点（x，y）在函数y＝﹣x+5的图象上的概率为：＝；

（3）这个游戏不公平．
理由：∵x、y满足xy＞6有：（2，4），（3，4），（4，2），（4，3）共4种情况，x、y满足xy＜6有（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（3，1），（4，1）共6种情况．
∴P（小明胜）＝＝，P（小红胜）＝＝，
∴这个游戏不公平．
公平的游戏规则为：若x、y满足xy≥6则小明胜，若x、y满足xy＜6则小红胜．
【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
20．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12mm，BC＝24mm，动点P从点A开始沿边AB向B以2mm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边BC向C以4mm/s的速度移动（不与点C重合）．如果P、Q分别从A、B同时出发，设运动的时间为xs，四边形APQC的面积为ymm2．
（1）求y与x之间的函数关系式；写出自变量x的取值范围；
（2）当四边形APQC的面积等于112mm2时，求x的值；
（3）四边形APQC的面积能否等于172mm2？若能，求出运动的时间；若不能，说明理由．

【分析】（1）利用两个直角三角形的面积差求得答案即可；
（2）利用（1）的函数建立方程求解；
（3）利用（1）的函数建立方程求解判断即可．
解：（1）∵出发时间为x，点P的速度为2mm/s，点Q的速度为4mm/s，
∴PB＝12﹣2x，BQ＝4x，
∴y＝×12×24﹣×（12﹣2x）×4x
＝4x2﹣24x+144（0＜x＜6）．
（2）依题意得：4x2﹣24x+144＝112，
解得x1＝2，x2＝4，
答：当四边形APQC的面积等于112mm2时，x的值是2或4；

（3）不能，
4x2﹣24x+144＝172，
解得：x1＝7，x2＝﹣1（不合题意，舍去）
因为0＜x＜6．所以x＝7不在范围内，
所以四边形APQC的面积不能等于172mm2．

【点评】此题考查三角形综合题，注意二次函数的实际运用，一元二次方程的实际运用，掌握三角形的面积计算方法是解决问题的关键．