新高考数学二轮复习百题必刷题专题26 圆锥曲线巧设直线（含解析）

这是一份新高考数学二轮复习百题必刷题专题26 圆锥曲线巧设直线（含解析），共102页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

专题26 圆锥曲线巧设直线必刷100题
方法提示:
在圆锥曲线联立与设线的问题当中,设直线的方法比较多.常见有几下几种类型:
①
当题干中直接或者隐含直线过定点时,可设点斜式
局限性:局限性:不能表示垂直于轴的直线,需要单独讨论.

②
当题干中含有过轴上一定点时,或者在解题步骤中需要或,需要消掉,保留时,设会简化解题步骤和计算量.
局限性:不能表示垂直于轴的直线,需要单独讨论.

③,当题干中含有过轴上一定点时,或者在解题步骤中需要或,需要消掉,保留时,设会简化解题步骤和计算量.
局限性: 不能表示平行于轴的直线,需要单独讨论.

一、单选题
1．已知直线与抛物线相交于、两点，若的中点为，且抛物线上存在点，使得（为坐标原点），则的值为（ ）
A．4 B．2 C．1 D．
【答案】B
【分析】
联立直线与抛物线可求出中点的坐标，由题干条件可得出，从而求出点坐标，又点在抛物线上，代入抛物线方程可求出值.
【详解】
解：设，联立得：，解得：，因为为的中点，所以，
又因为，所以有，即，点在抛物线上，代入可得，解得：.
故选：B.
2．已知弦经过抛物线的焦点，设，，则下列说法中错误的是（ ）
A．当与轴垂直时，最小
B．
C．以弦为直径的圆与直线相离
D．
【答案】C
【分析】
根据抛物线焦点弦的性质依次判断各个选项即可得到结果.
【详解】
与轴垂直时，为抛物线的通径，是最短的焦点弦，即最小，A正确；
设方程为，由得：，
，，D正确；
，，
，B正确；
中点到的距离为，
以为直径的圆与准线相切，C错误.
故选：C.
3．过点的直线与抛物线交于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为2，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
设直线方程为，联立方程组根据线段AB中点的横坐标为2，求得，结合根与系数的关系和弦长公式，即可求解.
【详解】
设直线方程为，，，
联立方程组，整理得，
因为直线与抛物线交于两点，所以，解得，
因为线段中点的横坐标为2，可得，所以或（舍），
所以，可得，
则．
故选：C.
4．若直线y＝kx+2与双曲线x2﹣y2＝6的右支交于不同的两点，则k的取值范围是（ ）
A．， B．
C． D．
【答案】D
【分析】
根据双曲线的方程求得渐近线方程，把直线与双曲线方程联立消去，利用判别式大于0和联立求得的范围．
【详解】
由消去y，整理得，
的两根为x1，x2，
∵直线y＝kx+2与双曲线x2﹣y2＝6的右支交于不同的两点，
∴，∴k＜﹣1，
∴.
故选：D．
5．已知过抛物线C：y2＝4x的焦点F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，Q为AB的中点，P为C上一点，则|PF|+|PQ|的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【分析】
设直线AB的方程为x＝y+1，联立，得到AB的中点坐标，然后过P作PH垂直准线于点H，再利用抛物线的定义，由三点共线时求得最小值求解.
【详解】
如图所示：

由题意，得F（1，0），故直线AB的方程为x＝y+1，
联立，得，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则，x1+x2＝（y1+y2）+2＝14，
所以Q（7，2），
过P作PH垂直准线于点H，
由抛物线的定义得：|PF|+|PQ|＝|PH|+|PQ|≥|QH|＝7+1＝8，
当三点共线时，等号成立，
所以|PF|+|PQ|的最小值为8，
故选：D.
6．已知抛物线y2＝4x，直线l与抛物线交于A、B两点，若线段AB中点的纵坐标为2，则直线AB的斜率为（　　）
A．2 B． C． D．1
【答案】D
【分析】
设直线l的方程为x＝my+n，A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与抛物线的方程，由韦达定理及直线斜率公式即可求解.
【详解】
设直线l的方程为x＝my+n，A（x1，y1），B（x2，y2），
联立直线l与抛物线方程，化简可得，y2﹣4my﹣4n＝0，
由韦达定理可得，y1+y2＝4m，
∵，
∴4m＝4，即m＝1，
∴直线l的方程为y＝x﹣n，
∴k＝1．
故选：D
7．已知直线与抛物线交于两点（点在第一象限，点在第四象限），与轴交于点，若线段的中点的横坐标为3，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
设，直线方程为，然后抛物线标准方程与直线方程联立消，得一个关于一元二次方程，又由线段的中点的横坐标为3，得，转化为，由此即可确定的取值范围.
【详解】
解：设，直线方程为，
联立，消去，得，所以，
所以，
因为、中点横坐标为3，所以，
故，又，所以的取值范围为.
故选：A.
8．平面直角坐标系中，已知直线l与抛物线交于A、B两点，、的斜率分别为和，满足，F是抛物线的焦点，则的面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
设直线.设，用“设而不求法”表示出得到，从而得到的面积，由即可求出最小值.
【详解】
因为直线l与抛物线交于A、B两点，所以可设直线.
设，则有，消去x得：，
所以.
由得：，即，所以，即.
即直线l与x轴交于.
又抛物线的焦点，所以.
所以的面积.
因为，所以，
当m=0时，即直线的斜率不存在时，取等号，
此时的面积的最小值：.
故选：D
9．已知抛物线，和分别为抛物线上的两个动点，若（为坐标原点），弦恒过定点，则抛物线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
设直线的方程为，设、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，分析可得，利用平面向量数量积的坐标运算结合韦达定理求出的值，即可得出抛物线的标准方程.
【详解】
若直线与轴重合，此时直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意.
设点、，设直线的方程为，
联立，消去可得，
，所以，，
因为，则，解得.
因此，抛物线的方程为.
故选：B.
10．已知点F为抛物线的焦点，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，若，则（ ）
A．9 B． C． D．
【答案】D
【分析】
设直线l的方程为，联立直线l与抛物线方程化简可得，设，，由此可得，结合可求A,B的坐标，再由焦点弦公式求|AB|.
【详解】
因为焦点，设直线l的方程为，代入抛物线方程，得．设，，由韦达定理得．因为，所以，所以．解得，或，，所以，，所以．故选D．
11．已知抛物线的焦点为F，经过点F的直线与抛物线C交于A､B两点，若AB的中点为，则线段AB的长为（ ）
A． B．4 C．5 D．4或5
【答案】D
【分析】
设，由题意得到，设直线AB方程为，联立方程组得到，根据均为抛物线上的点，得到，两式相加得出关于的方程，求得的值，结合焦点弦的性质，即可求解.
【详解】
设，
因为中点坐标为，可得，，
因为直线AB过焦点，可设直线AB方程为，
联立直线AB与抛物线方程，整理得，则，
因为均为抛物线上的点，可得，
两式相加得，
即，解得或，
因为，可得或.
故选：D.
12．已知点为抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于两点，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
设，:，联立抛物线方程，应用韦达定理有，由向量的数量关系得，即可求，进而求，最后应用抛物线焦点弦的性质知即可求.
【详解】
焦点，设直线为，代入抛物线方程得.
设，由韦达定理得：①.
由，即，有②
∴由①②得：或，即，
，化简得，
或（舍）.
故选：B.
13．已知过的直线与抛物线交于，两点，为弦的中点，为坐标原点，直线与抛物线的另一个交点为，则两点、纵坐标的比值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
首先设出直线，与抛物线方程联立，利用韦达定理求得中点的坐标，并求出直线的方程，与抛物线联立，求得点的纵坐标，即可求得的范围.
【详解】
设直线，代入得，
，，
，
直线，代入得，
.
故选：A
14．椭圆上到直线距离最近的点的坐标是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
设与直线平行且与椭圆相切的直线的方程为：，与椭圆的方程联立化为关于的一元二次方程，令，进而解出点的坐标．
【详解】
解：设与直线平行且与椭圆相切的直线的方程为：，
由，化为．（*）
，化为，解得．
∵直线在椭圆的下方，故直线系中靠近的直线，
取，代入可得：，解得．
故选：A．
15．过拋物线：焦点F的直线与抛物线相交于A，B两点，，O为坐标原点，且△的面积为，则抛物线C的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由题意设为，联立抛物线结合韦达定理求得，，再由线段的数量关系求，最后由列方程求p，写出抛物线方程即可.
【详解】
由题设，令为，联立抛物线方程并整理得，
∴若，则，，又易得，
∴，则，即，
∴，
又，而，
∴，即，又，则，故.
故选：D
16．已知抛物线的焦点到其准线的距离为2，过点的直线与抛物线交于，两点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．9
【答案】B
【分析】
根据抛物线的定义求得，进而求得抛物线方程.设出直线的方程，并与抛物线方程联立，化简写出根与系数关系，结合基本不等式求得的最小值.
【详解】
因为抛物线的焦点到其准线的距离为2，
所以，抛物线的方程为．设直线的方程为，
将此方程代入，整理得．
设，，则，
所以，
当且仅当，即时等号成立．
故选：B．
17．设F为椭圆的右焦点，过点的直线与椭圆C交于两点，设直线的斜率分别为，，则为（ ）

A．1 B．-1 C．4 D．-4
【答案】B
【分析】
设出直线的方程，代入椭圆方程后写出根与系数关系，计算，由此求得为定值.
【详解】
，
设，由图可知直线的斜率存在且不为.
设直线，
代入椭圆方程并化简得：．
所以．
故
．
又均不为0，故，即为定值.
故选：B
18．设抛物线：的焦点为，点是抛物线上一点，且．设直线与抛物线交于、两点，若（为坐标原点）．则直线过定点（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先结合抛物线的定义求得抛物线方程，设出直线的方程并与抛物线方程联立，化简写出根与系数关系，由列方程，化简求得，由此求得直线过定点.
【详解】
∵是抛物线上一点，且．∴，
解得，即抛物线的方程为．
依题意可知直线的斜率不为，设直线的方程为，，，
由消去得，则，．
因为，所以，即．
化简得．由得，所以直线的方程为，
所以直线经过定点．
故选：C
19．过椭圆的焦点的弦中最短弦长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由过椭圆焦点的最短弦所在直线不垂直y轴，设出其方程并与椭圆方程联立求出直线被椭圆所截弦长即可推理作答.
【详解】
显然过椭圆焦点的最短弦所在直线l不垂直y轴，设l的方程为：x=my+c，
由消去x并整理得：，
设直线l与椭圆交于点，则有，
则有

，当且仅当时取“=”，
于是，当，即直线l垂直于x轴时，，
所以过椭圆的焦点的最短弦是与焦点所在坐标轴垂直的弦，最短弦长是.
故选：A
20．已知F是椭圆的一个焦点，AB为过椭圆中心的一条弦，则△ABF面积的最大值为（ ）
A．6 B．15 C．20 D．12
【答案】D
【分析】
由直线AB不垂直y轴，设出直线AB方程，联立直线AB与椭圆方程，求出弦AB长，即可列式推理作答.
【详解】
显然直线AB不垂直y轴，椭圆中心为原点O，设直线AB的方程为：x=my，
由消去y得：，设，
由椭圆对称性，不妨令，焦点，
△ABF的面积，当且仅当时取“=”，
所以△ABF面积的最大值为12.
故选：D
21．过双曲线的右焦点作倾斜角为的直线交双曲线右支于，两点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【分析】
设直线方程为：，将直线方程与双曲线方程联立消，根据，可得，利用韦达定理可得，整理即可求解.
【详解】
过右焦点的直线的倾斜角,
不妨设直线方程为：，
联立方程，
得，
设，，，
因为，
所以，
所以 ，所以，
所以，
所以，因为，
所以，所以，
所以，所以.
故选：D
22．若过点的直线与抛物线有且只有一个公共点，则这样的直线的共有（ ）
A．一条 B．两条 C．三条 D．四条
【答案】C
【分析】
过点的直线l与抛物线有且只有一个交点，则需分直线与抛物线对称轴平行、直线与抛物线相切两种情况讨论，特别要注意直线的斜率是否存在.
【详解】
解：（1）当过点的直线斜率不存在时，显然与抛物线有且只有一个交点，
（2）①当过点且直线与抛物线的对称轴平行，即斜率为0时，显然与抛物线有且只有一个交点，
②当直线过点且斜率存在且斜率不为0，与抛物线相切时，直线与抛物线只有一个交点，设直线方程为，代入到抛物线方程 ，消得：，
由已知有，则 ，解得：，即直线方程为，
综上可得：过点的直线l与抛物线有且只有一个交点的直线l共有3条，
故选：C.
23．如图，在抛物线的准线上任取一点（异于准线与x轴的交点），连接并延长交抛物线于点，过点作平行于轴的直线交抛物线于点，则直线与轴的交点坐标为（ ）

A．与点位置有关 B．
C． D．
【答案】D
【分析】
根据抛物线的标准方程求出准线方程，设出点坐标，可得直线的方程，与抛物线方程联立可得交点点坐标，然后求出坐标，再求出直线的方程，令即可求出答案.
【详解】
抛物线的准线方程为，设，，则直线的方程为，
由 得，令，可得，
所以直线的斜率为．所以直线的方程为，
令，解得，所以直线与轴的交点坐标为．
故选：D
24．已知抛物线C：y2＝8ax(a＞0)的焦点F与双曲线D：的一个焦点重合，过点F的直线与抛物线C交于点A，B，则|AF|＋2|BF|的最小值为（ ）
A．3＋4 B．6+4 C．7 D．10
【答案】B
【详解】
依题意得，2a＝，即2a2－a－1＝0，解得a＝1或(负值舍去)，
∴F(2，0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则|AF|＝x1＋2＝＋2．
设直线AB的方程为x＝my＋2(m≠0)，
由得y2－8my－16＝0，
∴y1y2＝－16．
从而|AF|＋2|BF|＝
＝6＋≥6＋，
当且仅当＝2时取等号．
故选：B．
25．已知为坐标原点，、分别是椭圆的左、右顶点，是椭圆上不同于、的动点，直线、分别与轴交于点、.则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
设动点，，由椭圆方程可得、的坐标，求出，所在直线方程，可得与的坐标，求得，再由动点在椭圆上，得，则的值可求.
【详解】
设动点，，由椭圆方程可得，，
则，，
所以直线的方程为，直线的方程为，
由此可得，，
所以.
因为动点在椭圆上，所以，
所以，
则.
故选：B.
26．已知点为抛物线的焦点，过点的直线线交抛物线于两点，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
设直线方程，与抛物线联立得出韦达定理，再结合向量的等式以及弦长即可求解.
【详解】
解：由焦点，设直线为，
代入抛物线方程得.
设，，由韦达定理得：①.
由，即，有②
∴由①②得：，或，，
即，，
所以，
化简得，
所以或（舍）.
故选：B.
27．已知椭圆：上有一动点（异于顶点），点､分别在､轴上，使得为的中点，若轴上一点，满足，则的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．5
【答案】B
【分析】
设且，可得，由点在椭圆上有，进而求坐标，由题设易知，最后利用基本不等式求最值，注意等号成立条件.
【详解】
令且，则，又在椭圆上，

∴，则，
此时直线为，故，
由，即是垂直平分线，则.
综上，，
当时，，当且仅当时等号成立，
当时，，当且仅当时等号成立，
∴的最小值为.
故选：B
28．已知椭圆，P为E的长轴上任意一点，过点P作斜率为的直线l与E交于M，N两点，则的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【分析】
设出点和直线l的方程，联立直线和椭圆方程得出韦达定理，结合两点距离公式和韦达定理化简即可求解.
【详解】
设，直线l的方程为，将直线方程代入椭圆方程并化简得到，进而有，
所以
．
故选：B．
29．已知直线过抛物线（）的焦点，与抛物线交于，两点.若直线的斜率为，，以为直径的圆与轴交于，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
依题意表示出焦点的坐标，从而得到直线的方程，联立直线与抛物线方程，消元列出韦达定理，根据抛物线焦点弦公式求出，即可得到抛物线方程，设的中点为，即可求出的坐标，从而求出圆的方程，令，即可求出圆与轴的交点的横坐标，即可求出；
【详解】
解：抛物线（）的焦点，则直线为，则，消去得，即，所以，，所以，所以，所以抛物线方程为，直线，所以，设的中点为，则，，即，所以圆的方程为，令，解得，，所以；
故选：C

30．已知抛物线：和圆：，过点作直线与上述两曲线自左而右依次交于点，，，，则的最小值为（ ）
A． B．2 C．3 D．
【答案】D
【分析】
由题可设直线的方程为，设，利用韦达定理可得，再结合抛物线的定义可得，然后利用基本不等式即得.
【详解】
由抛物线：可知焦点为，

设直线的方程为，
由，得，
设，则，
由抛物线的定义可知
∴，
∴，
当且仅当时取等号.
故选：D
31．已知斜率为的直线经过抛物线的焦点，并与抛物线交于，两点，且，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】
根据抛物线方程写出焦点坐标，利用直线点斜式方程写出直线的方程，将直线与抛物线方程联立，化简整理，求得，利用焦点弦长公式，结合题中条件得到关于的等量关系，求得结果.
【详解】
抛物线的焦点，
根据题意，直线的方程为，
与抛物线方程联立得，
整理得，
所以，
所以，
所以，
故选：C.
32．两个长轴在轴上、中心在坐标原点且离心率相同的椭圆．若，分别为外层椭圆的左顶点和上顶点，分别向内层椭圆作切线，，切点分别为，，且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
设内椭圆方程为，外椭圆为，切线的方程为，联立，根据直线为椭圆的切线，由△，得到，同理得到，然后由两切线斜率之积等于求解.
【详解】
解：设内椭圆方程为，外椭圆为，
切线的方程为，
联立，
消去可得：，
因为直线为椭圆的切线，所以△，
化简可得：，
设直线的方程为：，同理可得，
因为两切线斜率之积等于，所以，
所以椭圆的离心率为．
故选：B．
33．过点（1，2）且与双曲线没有交点的直线l斜率的取值范围是（　　）
A．（2，+∞） B．[2，+∞） C．[﹣2，2] D．[﹣2，+∞）
【答案】B
【分析】
设直线l的方程为y﹣2＝k（x﹣1），与双曲线方程联立方程组，由方程组无解（相应方程无解）得结论．
【详解】
解：由题意l的斜率存在，设直线l的方程为y﹣2＝k（x﹣1），
与双曲线方程联立，
消去y，并整理得（4﹣k2）x2+2（k2﹣2k）x﹣k2+4k﹣8＝0，
若4﹣k2＝0，即k＝±2，
当k＝2时，方程即为﹣4＝0，方程无解，直线l与双曲线无交点，符合题意；
当k＝﹣2是，方程即为16x﹣20＝0，方程有一个解，此时直线l与双曲线有一个交点，不符合题意；
若4﹣k2≠0，∵过点P（1，2）直线l与双曲线没有交点，
∴△＝[2（k2﹣2k）]2﹣4（4﹣k2）（﹣k2+4k﹣8）＝64（﹣k+2）＜0，
解得k＞2．
综上所述，直线l斜率的取值范围是[2，+∞）．
故选：B．
34．已知抛物线的焦点为，过点的直线交于，两点，则的中点到的准线的距离的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】
设出直线的方程，联立后利用弦长公式表达出，求出长度的最小值，再利用抛物线的定义来进行转化，得到的中点到的准线的距离为的一半，进而求出点到的准线的距离的最小值.
【详解】
如图，

分别过点，，作准线的垂线，垂足分别为，，，
则
设直线的方程为，，，，.
联立，整理得，
则，.

.
故选：B.
35．已知F是抛物线C：的焦点，O为坐标原点，过F的直线交C于A，B两点，则三角形OAB面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】D
【分析】
利用韦达定理得到，由的范围可得答案.
【详解】
由得，设
由已知直线的斜率存在设为，
所以直线，
联立得，
，
当时，三角形面积的最小值为，
故选：D．
36．已知抛物线，过点的直线交抛物线于A，B两点，F为抛物线的焦点，若，O为坐标原点，则四边形的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由抛物线定义将A到焦点的距离转化为A到准线的距离，求出A的横坐标，进而得到纵坐标，设出直线AB，代入抛物线方程利用根与系数的关系求出|y1-y2|，进而求出面积.
【详解】
抛物线的准线方程为，设，，由抛物线的定义可知，，由抛物线的对称性，不妨令，设直线的方程为，由得，，∴，四边形的面积，
故选：A．
37．对正整数，设抛物线，过点任作直线交抛物线于，两点，则数列的前项和公式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
设直线的方程为，，，联立直线与抛物线的方程得，利用向量的数量积结合韦达定理求得，利用等差数列求和公式即可得解.
【详解】
设过点任作直线的方程为，设，，
联立，整理得，
由韦达定理得：，
则
，
故，
故数列的前项和，
故选：A．
38．已知，是椭圆：的两个焦点，左顶点为A，过点的直线交椭圆于，两点，若则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由题可知直线的斜率不为0，可设直线方程为，联立椭圆方程利用韦达定理及条件可求出点，即得.
【详解】
由题可知，根据题意可知直线的斜率不为0，可设直线方程为，，不妨设，如图，

由得，，
∴，
由可得，∴
∴解得
∴
∴，即，
∴.
故选：A.
39．设A，B分别是双曲线x2-=1的左、右顶点，设过P的直线PA，PB与双曲线分别交于点M，N，直线MN交x轴于点Q，过Q的直线交双曲线的右支于S，T两点，且=2，则△BST的面积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
分别设直线PA和PB的方程，联立与双曲线的方程可得M，N的坐标，进而利用三点共线斜率相等，化简可得Q(2，0)，再联立过Q的直线与双曲线的方程，设S(x1，y1)，T(x2，y2)，根据=2与S△BST=|BQ|·|y1-y2|求解即可
【详解】
双曲线x2-=1的左、右顶点分别为A(-1，0)，B(1，0)，又P，
∴直线PA的方程为x=-1，PB的方程为x=-+1，
联立可得y2-=0，解得y=0或y=，
将y=代入x=-1可得x=，即有M，
联立可得y2-y=0，
解得y=0或y=，将y=代入x=-+1，可得x=，
即N
设Q(s，0)，由M，N，Q三点共线，可得kMN=kQN，
即有=，
将M，N的坐标代入化简可得=，
解得s=2，即Q(2，0)，
设过Q的直线方程为x=my+2，
联立得(3m2-1)y2+12my+9=0，
设S(x1，y1)，T(x2，y2)，可得y1+y2=-，y1y2=，
Δ=144m2-36(3m2-1)>0恒成立，
又=2，∴y1=-2y2，∴-2·=，
解得m2=，
可得S△BST=|BQ|·|y1-y2|=|y1-y2|=
=·=3·=
故选：A．
40．已知斜率不为0的直线过椭圆的左焦点且交椭圆于，两点，轴上的点满足，则的取值范围为（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】B
【分析】
设直线的方程并联立椭圆方程求解，得到的斜率为参数的关于的二次方程，再根据韦达定理，写出弦长，求出中点坐标和的垂直平分线的方程，求出点的坐标，写出和，最后根据的斜率范围求出的取值范围.
【详解】
解：很明显点为线段的垂直平分线与轴的交点，
设直线，，，，，
联立直线方程与椭圆方程，可得，
因此，
所以线段的中点坐标为，
，
的垂直平分线的方程为，
当时，，则，
因此，
所以
，
故选：B．

第II卷（非选择题）

二、填空题
41．已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线在第一象限内交于点，，为坐标原点.若，则的面积为___________.
【答案】
【分析】
设，，根据可得，，设出直线的方程，代入抛物线方程，利用韦达定理可求出，进而可求出的面积.
【详解】
由，知：为的中点，设，，
则，，
设直线的方程为，代入抛物线方程，
整理得，
由直线与抛物线有两个不同的交点，知，得，
由韦达定理得，所以，因为，所以，
所以.
故答案为：
42．已知直线l分别切抛物线（）和圆于点A，B（A，B不重合），点F为抛物线的焦点，当取得最小值时，___________.
【答案】
【分析】
设，首先求出直线的方程为，再利用点到直线的距离公式可得，求出，再由焦半径公式即可求解.
【详解】
设，，所以，
所以 ，
所以直线的方程为，则，
把代入，可解得，
∴，当且仅当时等号成立，所以.
故答案为：
43．抛物线C：y2=4，直线绕旋转，若直线与抛物线C有两个交点．则直线的斜率k的取值范围是_________________
【答案】，
【分析】
由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，联立抛物线方程，运用判别式大于零，从而可求得答案
【详解】
由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，代入抛物线方程得
，
化简得，，
因为直线与抛物线C有两个交点，
所以，且，
即，且，
解得，且，
所以直线的斜率k的取值范围是，
故答案为：
44．已知点在椭圆：（）上，左顶点为，点，分别为椭圆的左、右焦点，的最大值和最小值分别为4和．直线点，且与平行，过，两点作的垂线，垂足分别为，，当矩形的面积为时，则直线的斜率是______．
【答案】
【分析】
由已知求得a，b，从而求得椭圆的方程，再设直线的方程为，直线的方程为，联立直线与椭圆的方程，求得弦长AP，点A到直线的距离，由矩形的面积公式建立方程可求得m的值，从而得出直线的斜率.
【详解】
解：因为，又，所以 ，
解得，所以椭圆的方程为，则，
设直线的方程为，直线的方程为，
联立得，所以，而点A到直线的距离为，
所以矩形的面积为，解得，
所以直线的方程为，所以直线的斜率为，
故答案为：.
45．已知斜率为1的直线l经过椭圆的一个焦点，与椭圆交于A，B两点.直线l1，l2分别过点A，B，且与x轴平行，在直线l1，l2上分别取点M，N（M，N分别在点A，B的右侧），分别作∠ABN和∠BAM的角平分线相交于点P，则PAB的面积为___________.
【答案】
【分析】
解方程组求出点的坐标，从而求出|AB|=，再求出点到的距离即得解.
【详解】
解：不妨假设直线l过左焦点（﹣1，0），则直线方程为y=x+1.
联立，解得或，
则A（0，1），，则|AB|=.
则l1的方程为y=1，l2的方程为；
设P点到l，l1，l2的距离分别为d，d1，d2，由角平分定理得d=d1=d2，
又，所以.
所以△PAB的面积为.
故答案为：.
46．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，M为C上的动点，直线MF与C的另一交点为A，M关于点P（12，4）的对称点为B，当|MA|+|AB|的值最小时，直线AM的方程为 __．
【答案】
【分析】
根据抛物线的定义|MA|+|AB|＝2|NG|+2|NP|＝2（|NG|+|NP|），由于点P到准线的距离为13，所以|NG|+|NP|≥13，当且仅当G，N，P三点共线，且N在G，P之间时，等号成立，进而可得点N的纵坐标为yN＝4，，设出直线MA的方程为x＝my+1，与抛物线联立即可求出参数m，进而得到结果.
【详解】
解：设N为MA的中点，连接NP，分别过点M，N，A作抛物线准线的垂线，垂足分别为D，G，E，
则|AB|＝2|NP|，
由抛物线的定义知，|MA|＝|MF|+|AF|＝|MD|+|AE|＝2|NG|，
∴|MA|+|AB|＝2|NG|+2|NP|＝2（|NG|+|NP|），
∵点P到准线的距离为13，
∴|NG|+|NP|≥13，当且仅当G，N，P三点共线，且N在G，P之间时，等号成立，
此时，点N的纵坐标为yN＝4，
∵直线MA过点F（1，0），
∴设直线MA的方程为x＝my+1，
设M（x1，y1），A（x2，y2），
联立，得y2﹣4my﹣4＝0，
∴y1+y2＝4m＝2yN＝8，∴m＝2，
∴直线MA的方程为x＝2y+1，即．

故答案为：．
47．已知点在抛物线：上，过点的直线交抛物线于，两点，若，则直线的倾斜角为________．
【答案】或
【分析】
设直线方程为：，，，用坐标表示，可得，将直线与抛物线联立，结合韦达定理，可解得，即，结合，即得解.
【详解】
因为点在抛物线：上，
所以，得，所以，
设过点的直线方程为：，
所以 ，所以，
设，，
所以，，
又因为，所以，
所以，
则直线斜率，
由，所以或.
故答案为：或.
48．点､分别为椭圆的左､右顶点，直线与椭圆相交于､两点，记直线､的斜率分别为､，则的最小值为___________
【答案】
【分析】
设､，联立，由韦达定理可得，，设直线的斜率为，求得，，从而可将用k表示,求出，再结合基本不等式即可得出答案.
【详解】
解：设､，
联立，消去并整理得，
由韦达定理可得，，
设直线的斜率为，则，，
所以，，，
而，
因此，，
当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为.
故答案为：.
49．已知椭圆，一组平行直线的斜率为，经计算当这些平行线与椭圆相交时，被椭圆截得的线段的中点在定直线l上，则直线l的方程为___________.
【答案】
【分析】
设这组平行直线的方程为，并与椭圆方程联立，化简写出根与系数关系、判别式，求得中点坐标，由此求得定直线的方程.
【详解】
设这组平行直线的方程为，联立，
整理得，
，解得.
且，，
所以这组平行直线与椭圆交点的中点坐标为，
，，
所以这些点均在上.
故答案为：.
50．已知直线与抛物线交于，两点.且线段的中点在直线上，若（为坐标原点），则的面积为_______________________．
【答案】
【分析】
由点差法求出，设直线方程为，联立抛物线方程和求出，可得直线过，再由结合韦达定理即可求解.
【详解】
设，是中点，则满足，两式作差得，即，又，故，设过直线方程为，联立可得，，
又，即，解得或1，
因为异号，故，则，直线方程为，则直线过，
，
故答案为：
51．已知直线与抛物线交于，两点.且线段的中点在直线上，若（为坐标原点），则的面积为______．
【答案】
【分析】
设出直线的方程，与抛物线方程联立，消元，写韦达；根据题意求出的值；然后求弦长和原点到直线的距离，从而可求出的面积.
【详解】
由题意知：直线的斜率不为0，所以设直线的方程为，
由，消得，
设，则，，
因为线段的中点在直线上，所以，即，
因为，
所以
，解得或(舍)，
所以，直线的方程为，
所以，
原点到直线的距离为，
所以的面积为.
故答案为：.
52．已知抛物线C：y2＝4x，过焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，若线段AF，BF的中点在y轴上的射影分别为P，Q，且｜PQ｜＝4，则直线l的方程为__________．
【答案】
【分析】
设，，过点A，B分别作y轴的垂线，垂足为，，由可得，设直线，联立，利用韦达定理可得，，从而可求的m的值，即可得出答案.
【详解】
解：设，，过点A，B分别作y轴的垂线，垂足为，，
由可得，所以，
设直线，
联立，消去x得，
由韦达定理可得，，
所以，解得，
所以直线l的方程为.
故答案为：．

53．已知抛物线C： 的焦点为F，过点F斜率为k的直线l与C交于M， N两点，若O为坐标原点，OMN的重心为点G，则k=__________.
【答案】
【分析】
设的中点坐标为，根据三角形重心性质，得到，再设过焦点的直线的方程为， 与抛物线方程联立，然后利用韦达定理求解.
【详解】
焦点坐标为，设直线的方程为，的中点坐标为，
由三角形重心性质得，，
解得，
联立方程得
则，
解得，时G不合题意，
故答案为：
54．如图，过点作直线、与抛物线相交，其中与交于、两点，与交于、两点，直线过E的焦点F，若、的斜率为，满足，则实数的值为_______．

【答案】
【分析】
设直线的方程为，设直线的方程为，设点、、、，设直线的方程为，将直线、、的方程均与抛物线的方程联立，列出韦达定理，利用直线的斜率公式结合已知条件可求得实数的值.
【详解】
设直线的方程为，设直线的方程为，
设点、、、，
联立，可得，所以，，，
同理可得，，
易知点，设直线的方程为，
联立，可得，所以，，，
，，
因为，则，解得.
故答案为：.
55．已知点P为直线l：x＝－2上任意一点，过点P作抛物线y2＝2px(p＞0)的两条切线，切点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，若x1x2为定值，则该定值为____．
【答案】4
【分析】
假设切线方程x＝my－my1＋x1，然后与抛物线方程联立然后使用Δ＝0，得到m＝，同时联立两条切线方程并化简可得，结合抛物线方程计算即可.
【详解】
解析　设过A(x1，y1)的切线方程为x＝my－my1＋x1．
由得y2－2pmy＋2pmy1－2px1＝0，
∴Δ＝4p2m2－4×2p(my1－x1)＝0，
解得m＝．
因此切线方程为y1y＝px＋px1，
同理，过B(x2，y2)的切线方程为y2y＝px＋px2，
又两切线的交点P在直线l：x＝－2上，
故设P(－2，t)，则
消去t得．
从而，
化简得(x1x2－4)(x2－x1)＝0，
又x2－x1不恒为0，故x1x2－4＝0恒成立．
故x1x2为定值4．
故答案为：4
56．已知抛物线：，过焦点作倾斜角为的直线与交于，两点，，在的准线上的投影分别为，两点，则__________.
【答案】
【分析】
设，则，将直线方程与抛物线方程联立，结合韦达定理即得.
【详解】
由抛物线：可知则焦点坐标为，
∴过焦点且斜率为的直线方程为,化简可得，
设，则，
由可得，
所以
则
故答案为：
57．已知椭圆，过椭圆在第二象限上的任意一点作椭圆的切线与轴相交于 点，是坐标原点，过点作，垂足为，则的取值范围是 ______________

【答案】
【分析】
设出点P的坐标，求出切线PQ方程，进而求得点Q坐标，再借助数量积及对勾函数单调性即可得解.
【详解】
设，则有，即，
显然切线PQ斜率存在，设PQ的方程：，
由消去y并整理得：，
因此，，化简整理得：，
即，亦即，解得，
则直线PQ方程为：，当时，，即点，
，又，则，
令，，函数在上单调递增，
则，即，于是得，
所以的取值范围是.
故答案为：
58．已知椭圆C：＝1，直线l过椭圆C的左焦点F且交椭圆于A，B两点，AB的中垂线交x轴于M点，则的取值范围为__．
【答案】
【分析】
由椭圆的方程得到左焦点（i）当直线l的斜率为0时，直接计算求得；（ii）当直线l的斜率不存在时，可知与已知矛盾；（iii）当直线的斜率不为0时，设直线l的方程为，联立方程，利用韦达定理判别式得到中点坐标，弦长，根据直线垂直的关系可以得到中垂线方程，求得坐标，得到，进而得到关于的函数表达式，进而利用函数的性质求得取值范围.综合可得的取值范围.
【详解】
解：由椭圆的方程：＝1，可得左焦点，
（i）当直线l的斜率为0时，则直线l为x轴，AB的中垂线为y轴，这时M与原点O重合，这时，|FM|＝c＝1，所以，
（ii）当直线l的斜率不存在时，AB的中垂线为x轴，舍去，
（iii）当直线的斜率不为0时，设直线l的方程为，
由于直线的斜率存在，所以.
设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），
联立直线与椭圆的方程：，整理可得：，
,
∴y1+y2＝，y1y2＝，
则弦长|AB|＝，
，
所以AB的中点坐标，
所以直线AB的中垂线方程为：，
令y＝0，可得，所以，
所以，
所以
综上所述的取值范围是，
故答案为：．
59．抛物线的焦点到准线的距离为2，过点的直线与交于，两点，的准线与轴的交点为，若的面积为，则___________.
【答案】2或
【分析】
先求出抛物线的标准方程，再设出直线方程，与抛物线联立，求出弦长，求出点M到直线的距离为d，表达出的面积，求出m的值（注意分两种情况），再分别求出与的长，求出结果
【详解】
抛物线化为标准形式为：
∵抛物线的焦点到准线的距离为2
∴，即
∴抛物线方程为，焦点
∵过点的直线与交于A，两点
∴设直线方程为：
与抛物线方程联立得：
设，，不妨假设A点在x轴上方，B点在x轴下方.
则，
则
设点M到直线的距离为d
则
∴
解得：
∴
当时，，
解得：
此时：
∴，
∴2
当时，，
解得：
此时：
∴，
∴
故答案为：2或
60．已知斜率不为0的直线过椭圆：的左焦点且交椭圆于两点，轴上的点满足，则的取值范围是___________.
【答案】
【分析】
设出直线方程，与椭圆方程联立，结合韦达定理分别求得和的表达式，即可求出范围.
【详解】
由题可得点为线段的垂直平分线与轴的交点，
因为，可设直线方程为，设，
联立方程可得，则，
所以线段的中点坐标为，
，
的垂直平分线方程为，
当时，，即，
所以，
则.
故答案为：.


三、解答题
61．己知抛物线C： y2=2px (p>0)，过抛物线的焦点F且垂直于x轴的直线交抛物线于不同的两点A，B, 且
（1）求抛物线C的方程；
（2）若不经过坐标原点O的直线与抛物线C相交于不同的两点M，N, 且满足.证明直线过x轴上一定点Q，并求出点Q的坐标.
【答案】
（1）
（2）证明见解析，
【分析】
（1）由题意可得直线AB方程，进而可得，可求得p值，即可得答案.
（2）设直线l的方程为，，，联立直线与抛物线，根据韦达定理，可得，表达式，根据，可得，代入计算，即可求得n值，分析即可得答案.
（1）
由己知A，B两点所在的直线方程为
则，故．
抛物线C的方程为．
（2）
由题意，直线l不与y轴垂直，设直线l的方程为，，，
联立，消去x，得．
，，，
，，
又，，

，
解得或而，
此时
直线l的方程为，
故直线l过定点．
62．设抛物线的焦点为，过焦点作直线交抛物线于，两点.
（1）若，求直线的方程；
（2）若点的坐标为，直线，分别与抛物线的准线相交于，两点，求证：.
【答案】
（1）
（2）证明见解析
【分析】
（1）设过焦点的直线方程，代入抛物线方程，运用韦达定理及焦点弦长公式可得解.
（2）用，两点的坐标表示，两点的坐标，再结合第（1）问证明即可.
（1）
设，,直线方程为：，代入，得，
则，，
所以，，
，则，，，
故直线的方程为:
（2）
设，
则，故直线的方程为.
令，得，
所以点，同理可得，点.
则，
所以
由（1）可得，，
所以，所以.
63．设抛物线的焦点为，过焦点作直线交抛物线于，两点．
（1）若，求直线的方程；
（2）设为抛物线上异于，的任意一点，直线，分别与抛物线的准线相交于，两点，求证：以线段为直径的圆经过轴上的定点．
【答案】
（1）
（2）证明见解析
【分析】
（1）设出过焦点的直线，再和抛物线联立，最后运用抛物线的定义及韦达定理可求出直线方程；
（2）求出直线，分别与抛物线的准线相交于，两点的坐标，然后根据向量数量积为零建立方程求解即可.
（1）
由已知，得
设直线的方程为，代入，得．
设，，则，．
则，解得，
所以直线的方程为．
（2）
证明：设，
则，故直线的方程为．
令，得，所以点．
同理可得，点．
设以线段为直径的圆与轴的交点为
则，．
由题意，知，则，即．
由（1）可得，
所以
解得或，
故以线段为直径的圆经过轴上的两个定点和.
64．在平面直角坐标系中，点，点，点P是平面内一动点，且直线的斜率与直线的斜率之积为，记点P的轨迹为曲线C．
（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；
（2）过点的直线l与C交于A，B两点，则在x轴上是否存在定点D，使得的值为定值？若存在，求出点D的坐标和该定值；若不存在，请说明理由．
【答案】
（1）曲线C表示中心为坐标原点，以为焦点的椭圆（不含左、右顶点）
（2）存在点，使得为定值
【分析】
（1）由直接化简即可求解；
（2）当直线斜率为0时，与曲线无交点，当斜率不为0时，设直线l的方程为，联立直线与曲线方程，结合韦达定理表示出，将整体代换为关于的表达式，利用比例关系化简可求.
（1）
设点，由题意得，整理得，
所以曲线C表示中心为坐标原点，以为焦点的椭圆（不含左、右顶点）；
（2）
由（1）可知，曲线C与x轴无公共点，所以当直线l斜率为0时，与曲线C无交点．
所以设直线l的方程为，
由得，
由于点在曲线C内部，所以恒成立，
则．
假设在x轴上存在定点，使得的值为定值，则有


．
要使上式为定值，则，解得，
此时，
所以，存在点，使得为定值．
65．已知抛物线， 点是抛物线上的点．
（1）求抛物线的方程及的值；
（2）直线与抛物线交于 两点，，且，求的最小值并证明直线过定点．
【答案】
（1）；
（2）最小值为，证明见解析
【分析】
（1）将点代入抛物线方程，解得答案.
（2）联立方程，根据韦达定理得到根与系数的关系，根据得到，再利用均值不等式解得最值，得到直线的定点.
（1）
依题意，点坐标满足方程，∴抛物线的方程为．
（2）
设直线l的方程为，联立方程组，消去x得，
．
，解得或2（舍）
，当，即，时等号成立.
∴t＝3或t＝－1（舍）
所以的最小值为，直线l：x＝my＋3恒过定点（3，0）．
66．已知是抛物线（）的焦点，过点且斜率为的直线与抛物线交于，两点，若.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）动直线垂直于线段，且与抛物线交于，两点，当四边形面积为时，求直线的方程.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）设，，直线方程与抛物线方程联立消元后应用韦达定理，计算交代入韦达定理的结论可求得值，得抛物线方程；
（2）设出直线的方程，由直线方程与抛物线方程联立，应用韦达定理求得弦长，然后由四边形面积可得参数值，得直线方程．
（1）
根据已知条件可知直线的方程为.联立消去并整理得，
设，，则，，
所以，
.
因为，所以，
整理得，解得或（舍去），
所以抛物线的标准方程为.
（2）
因为直线与线段垂直，所以直线的斜率为.设直线的方程为，
由弦长公式得，由（1）可知，，，所以.联立消去并整理得，
设，，则，，
由弦长公式得，
所以四边形的面积，
解得，所以直线的方程为.
67．椭圆的两个焦点坐标分别为F1(－，0)和F2(，0)，且椭圆过点.
（1）求椭圆方程；
（2）过点作不与y轴垂直的直线l交该椭圆于M，N两点，A为椭圆的左顶点，试判断∠MAN的大小是否为定值，并说明理由.
【答案】
（1）
（2）为定值，理由见解析
【分析】
（1）设出椭圆的标准方程，采用待定系数法和椭圆关系式即可求解；
（2）设，联立直线与椭圆方程得出韦达定理，通过求为定值可判断.
（1）
由题意设椭圆方程为，
将c＝，a2＝b2＋c2，代入椭圆方程得，
又因为椭圆过点，得，
解得b2＝1，所以a2＝4.所以椭圆的方程为；
（2）
设直线MN的方程为，联立直线MN和椭圆的方程
得，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，A(－2，0)，y1y2＝，y1＋y2＝，
则＝
，所以∠MAN＝.
68．已知椭圆和抛物线，点F为的右焦点，点H为的焦点．

（1）过点F作的切线，切点为P，求抛物线的方程；
（2）过点H的直线l交于P，Q两点，点M满足，（O为坐标原点），且点M在线段上，记的面积为的面积为，求的取值范围．
【答案】
（1）
（2）
【分析】
设直线的方程为：，联立可得：．求出的坐标，然后求解，推出抛物线方程；
设点，直线方程为：，联立可得：．利用韦达定理，结合又，求出的纵坐标的范围然后求解三角形的面积的比值，推出结果即可．
（1）
由题可知：设直线的方程为：，
联立可得：．
则△，故且，即点,
故，所以，抛物线的方程：；
（2）
设点，直线方程为：，
联立可得：．
故，从而，
又，则，
从而，且，则，
从而，
，
由此可得．
69．已知椭圆的方程为：（），离心率为，椭圆上的动点到右焦点距离的最大值为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过右焦点作不平行于轴的直线交椭圆于、两点，点关于轴对称点为，求证：直线过定点．
【答案】
（1）
（2）证明见解析
【分析】
(1) 由题意知，，再由得到各个参数值，进而得到方程；（2）将直线和椭圆方程联立，直线方程为：，化简得到，再由直线方程化简得到，代入韦达定理即可得到结果.
（1）
由题意知，，，，
（2）
，设：，与，联立得
设，，，，
直线方程为：，
即

：，过定点．
70．已知双曲线的两个焦点分别为，，动点满足.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）若轨迹上存在两点，满足（，分别为直线，的斜率），求直线的斜率的取值范围.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）由题设知：，结合椭圆的定义写出轨迹的方程；
（2）设：，，联立椭圆方程并应用韦达定理可得，，根据可得，由有，即可求直线的斜率的取值范围.
（1）
由题设，若，
∴，即动点的轨迹是以为焦点，长轴长为4的椭圆，
∴动点的轨迹的方程为.
（2）
由题设，设直线：，，
∴.
联立轨迹可得：，则，
∴，，
，则，即，
∵，且，
∴且，可得或.
71．已知椭圆：的离心率，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线与椭圆相交于不同的两点，已知点的坐标为且，求直线的倾斜角.
【答案】
（1）
（2）或
【分析】
(1)结合已知条件分别求出，即可求解；(2)首先设出直线的方程，然后联立椭圆标准方程求出点坐标，结合两点间距离公式求出斜率，进而即可得到答案.
（1）
不妨设所求椭圆的焦距为，
因为离心率，所以 ①，
因为椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4，所以，即 ②，
又因为 ③，
所以联立①②③可得，，，
故椭圆的标准方程为：.
（2）
由(1)结论可知，的坐标为，
设直线的方程为：，，
由可得，，
，
从而，即，，
故点坐标为，
由两点间距离公式可知，，解得，
故直线的倾斜角为或.
72．设分别是平面直角坐标系中轴正方向上的单位向量，若向量，，且，其中.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）过点作直线与轨迹交于，两点，设，是否存在直线，使得四边形是矩形？若存在，求出直线的方程；若不存在，试说明理由.
【答案】
（1）
（2）存在，
【分析】
通过，得到 点M的轨迹为以为焦点，的椭圆，应用椭圆的定义得到其轨迹方程；
首先判断直线的斜率是否存在，通过联立方程组，得到，结合，得到四边形为平行四边形，若要成为矩形，需有，运算化简即可得结果．
（1）
由题意得，，
，，
设，，则动点M满足，
由椭圆的定义可知动点M的轨迹是以，为焦点的椭圆，
设椭圆的方程为，则，，
，
故轨迹的方程为
（2）
存在满足条件的直线.设直线的方程为，
由方程组，消去，整理得：
则恒成立，即直线与椭圆恒有两个不同的交点，
设交点为，，则①，②
由得，即，∴四边形OAPB为平行四边形
若存在直线使四边形OAPB为矩形，则，
即③
将①､②代入③式得：，解得，
所以直线的方程为，此时四边形OAPB为矩形.
73．已知抛物线上的一点到焦点的距离等于3.
（1）求抛物线的方程；
（2）若过点的直线与抛物线相交于，两点，.求直线的斜率.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）（1）根据到焦点的距离为3，利用抛物线的定义求解；
（2）设的方程为.联立，根据，利用弦长公式求解.
（1）
抛物线的准线方程为，
到焦点的距离为，
.
抛物线方程为.
（2）
设的方程为.
联立方程组，得.
设，，，，则，.
.
.，

.
74．已知点皆为曲线C上点，P为曲线C上异于A，B的任意一点，且满足直线PA的斜率与直线PB的斜率之积为.
（1）求曲线C的方程；
（2）若曲线的右焦点为，过的直线与曲线交于，求证：直线与直线斜率之和为定值.
【答案】
（1）
（2）证明见解析
【分析】
（1）设,代入,化简即可求出曲线的方程
（2）椭圆与直线联立，运用韦达定理即可
（1）
设为曲线上异于A,B的任意一点,因为
所以.
所以即.
所以
又皆为曲线上的点
所以曲线的方程为.
（2）
设直线的方程为

联立,得

所以,即①
因为焦点，所以
②
把①式代入②式得
直线与直线斜率之和为定值0
75．已知椭圆C：，，且椭圆C右焦点为，O为坐标原点.
（1）求椭圆C的方程；
（2）过的直线l交椭圆C于A，B两点，若，求直线l的方程.
【答案】
（1）
（2）或
【分析】
（1）结合，，求解即可得答案；
（2）根据题意设直线l的方程为，进而与椭圆联立方程得，再结合得，进一步求解得即可得答案.
（1）
解：∵ ，，
∴ 解得，.
∴椭圆C的方程为：
（2）
解：易知直线l的斜率存在且不为零.
设，，直线l的方程为：.
联立：，可得.
其中
由韦达定理有：
又∵，可得
代入韦达定理有，可得
解得，.
∴直线l的方程为：或.
76．已知点皆为曲线C上点，P为曲线C上异于M，N的任意一点，且满足直线PM的斜率与直线PN的斜率之积为.
（1）求曲线C的方程；
（2）若曲线上点，经过曲线C右焦点的直线与曲线C交于，（异于）两点，与直线交于点，设，，的斜率分别为，，，求证：.
【答案】
（1）
（2）证明见解析
【分析】
（1）设，依题意得，化简即可求解；
（2）设设直线的方程为：，由得，设，由斜率公式与根与系数的关系求解即可
（1）
设，依题意得，
整理得，
所以曲线C的方程为；
（2）
由题意可知，不妨设，
椭圆的右焦点，由题意可设直线的方程为：，
由直线与直线交于点，可知，
由得，设，
则，
又由题意可得：，
，，
因为
，
所以
77．已知双曲线的离心率为2，且过点.
（1）求C的方程；
（2）若斜率为的直线l与C交于P，Q两点，且与x轴交于点M，若Q为PM的中点，求l的方程.
【答案】
（1）
（2）（或）
【分析】
（1）由离心率可得，再将点A的坐标代入方程可得，解方程组即可求解.
（2）设，，，由题意可得，设l的方程为，将直线方程与椭圆方程联立消去，利用韦达定理即可求解；将直线与椭圆方程联立消去，利用韦达定理也可求解.
（1）
因为，所以，即.
将点A的坐标代入，得，
解得，故C的方程为.
（2）
设，，，
因为Q为PM的中点，所以.
因为直线l的斜率为，所以可设l的方程为，
联立得，
，
由韦达定理可得，.
因为，所以，解得，
，解得，
即，故l的方程为.
在第（2）问中，若未写判别式大于0，
但写到“由，得l与C必有两个不同的交点”，
另外本问还可以通过联立方程消去y求解，其过程如下：
设，，l的方程为，
联立得，
，
由韦达定理可得，.
因为Q为PM的中点，所以，则，
，解得，，
，解得，
即，故l的方程为（或）.
78．已知椭圆的长轴长是，以其短轴为直径的圆过椭圆的焦点
（1）求椭圆E的方程；
（2）过椭圆E左焦点作不与坐标轴垂直的直线，交椭圆于M，N两点，线段的垂直平分线与y轴负半轴交于点Q，若点Q的纵坐标的最大值是，求的最小值；
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）结合题意可得，解方程组，进而可求出结果，
（2）设出直线的方程，与椭圆的方程联立，结合韦达定理表示出点Q的纵坐标，进而求出的范围，从而结合弦长公式即可求出结果.
（1）
由题意可得，解得，所以椭圆E的方程为；
（2）
椭圆E左焦点为，
设过椭圆E左焦点的直线为（存在且不为0），
，则，设，
则，且
所以的中点为，
因此线段的垂直平分线为，令，则的纵坐标为，因为与轴交于负半轴，所以，又因为点Q的纵坐标的最大值是，所以，即，
而




当时，；
79．已知抛物线C：的焦点到其准线的距离为2，

（1）求抛物线C的标准方程；
（2）直线l过点与抛物线交于不同的两点A，B．点A关于y轴的对称点为，连接．求证：直线过y轴上一定点，并求出此定点坐标．
【答案】
（1）
（2）直线过定点
【分析】
（1）依题意表示出焦点坐标与准线方程，即可求，从而得解；
（2）设直线的方程为，又设，，，，则，，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理以及判别式，求出直线的斜率，推出直线方程，利用直线系求解即可．
（1）
抛物线的焦点坐标为，准线方程为，所以，即，所以抛物线方程为；
（2）
设直线的方程为，又设，，，，则，，
由得，则△，，，
所以，
于是直线的方程为，
所以，，当时，，
所以直线过定点．
80．已知椭圆的左､右顶点分别为A，B，右焦点为F，直线.
（1）若椭圆W的左顶点A关于直线的对称点在直线上，求m的值；
（2）过F的直线与椭圆W相交于不同的两点C，D（不与点A，B重合），直线与直线相交于点M，求证：A，D，M三点共线.
【答案】
（1）
（2）证明见解析.
【分析】
(1)设点A关于直线对称的点为，根据题意可得的中点在直线上且，列出方程组，解方程组即可；
(2)对直线斜率是否存在分类讨论，当直线CD斜率k不存在时，求出点A、M、C、D坐标，
利用可证得A、D、M三点共线；当直线CD斜率存在时，设直线
：，，与椭圆方程联立方程组，消y得到关于x的一元二次方程，将表示为含有k的算式，得出即可.
（1）
由题意知，
直线的斜率存在，且斜率为，
设点A关于直线对称的点为，则，
所以线段的中点在直线上，又，，
有，解得或，
所以；
（2）
已知，
当直线的斜率不存在时，：x=1，此时，
有，所以直线，当时，，所以，
所以，所以，
即A、D、M三点共线；
当直线的斜率存在时，设直线：，
则，得，
，
设，则，
直线BC的方程为，令，得，
所以直线AD、AM的斜率分别为，
，
上式的分子



，
所以，即A、D、M三点共线.
综上，A、D、M三点共线.
81．已知抛物线：上有一点.
（1）求抛物线的标准方程及其准线方程；
（2）过点的直线交抛物线C于A，B两点，为坐标原点，记直线OA，OB的斜率分别为，，求证：为定值.
【答案】
（1）抛物线：，准线方程为：
（2）证明见解析
【分析】
(1)根据抛物线C所过的点即可求出C的方程及其准线方程.
(2)设出直线AB方程，与抛物线C的方程联立，借助韦达定理即可计算作答.
（1）
因抛物线：过点，则有，解得，
所以抛物线的标准方程是：，准线方程为：.
（2）
依题意，过点的直线AB不垂直于y轴，设直线AB方程为，
由消去x并整理得：，设，则，，
于是得，
所以为定值.
82．已知椭圆的左右顶点分别为A，B，点P为椭圆上异于A，B的任意一点．
（1）证明：直线PA与直线PB的斜率乘积为定值；
（2）设，过点Q作与轴不重合的任意直线交椭圆E于M，N两点．问：是否存在实数，使得以MN为直径的圆恒过定点B？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】
（1）证明见解析
（2）存在；
【分析】
（1）结合斜率的计算公式化简整理即可求出结果；
（2）直线MN的方程为与椭圆联立，进而结合韦达定理即可求出结果.
（1）
；设，且，则
所以
（2）
设，直线MN的方程为；
联立及，得，
所以，（*）
若以MN为直径的圆过点B，则，即
将带入整理得；
带入（*），化简整理得5，解得，或（舍）
，满足，故存在，使得以MN为直径的圆过恒过定点B；
83．已知抛物线的焦点为，且为圆的圆心．过点的直线交抛物线与圆分别为，，，（从上到下）．

（1）求抛物线方程并证明是定值；
（2）若，的面积比是，求直线的方程．
【答案】
（1），证明见解析
（2）
【分析】
（1）根据，结合韦达定理即可获解
（2），再结合焦点弦公式即可获解
（1）
由题知，故，
抛物线方程为，
设直线的方程为，，，，，
，得，
，，

，

（2）
，
由（1）知，可求得，，
故
的方程为，即
84．如图，已知椭圆C：，点，为其左右焦点，过点作直线与椭圆C交于A、B两点，点M为线段AB的中点.

（1）若直线的斜率为2，求直线OM的斜率；
（2）若，求的面积.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
(1)结合已知条件利用点差法即可求解；(2)联立直线和椭圆方程，利用韦达定理和已知条件求出，然后利用和表示出的面积即可求解.
（1）
由题意，不妨设，，，从而，，
故，由两式相减可得到，，
化简整理可得，，
因为直线的斜率为，直线的斜率为，
所以，解得，
即直线OM的斜率为.
（2）
由椭圆C：易知，，，
由题意，不妨设直线的方程：，
由可得，，恒成立，
由韦达定理可知，，，
因为，，，，
所以，
即，解得，
因为，，
所以的面积，
因为，
所以的面积为.
85．已知椭圆经过点，且椭圆E的离心率．
（1）求椭圆E的标准方程：
（2）当直线l（斜率不为0）经过点F，且与椭圆E交于A、B两点时，问x轴上是否存在定点P，使得x轴平分？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】
（1）
（2）轴上存在点，使得轴平分
【分析】
（1）由题意得，求出即可求解；
（2）假设存在点，使得轴平分，然后把角度问题转化为斜率问题是本题的关键，列出等式，利用韦达定理化简得到结果.
（1）
由题意可知：
，解得，
∴椭圆的标准方程为：；
（2）
轴上存在点，使得轴平分；
理由如下：假设轴上存在点，使得轴平分
设直线：，与联立可得：

设，
则，
由题意得：
∴
即
化简得：
把，代入，得：

化简得：
∵直线的斜率变化，且斜率不为0
∴
∴
∴轴上存在点，使得轴平分
86．若抛物线的交点为F，过F作直线l与抛物线交于A，B两点，分别以线段AF，BF为直径作圆和圆.
（1）证明：圆和圆均与y轴相切；
（2）设圆与y轴相切于点D，圆与y相切于点E，求的值，并求面积的最小值.
【答案】
（1）证明见解析
（2），最小值
【分析】
（1）过点，分别作轴的垂线，分别记垂足为，，
利用抛物线的定义判断出，即可证明圆与轴相切，同理可得圆与轴相切于点；
（2）设，，， ，
设直线的方程为，将直线与抛物线联立，
判断出，表示出面积利用基本不等式求出的面积的最小值.
（1）
过点，分别作轴的垂线，分别记垂足为，，
因为为线段中点，故，
故圆与轴相切，同理可得圆与轴相切于点；
（2）
设，，
由（1）可知点的坐标为，点的坐标为，
设直线的方程为，将直线与抛物线联立，
消去得，即，故，
故，故，故，
则面积
又因为，所以，当且仅当，
即或时，的面积取得最小值.
87．已知椭圆：的离心率为，且点为椭圆上一点.
（1）求椭圆的方程.
（2）已知，直线：交椭圆于A，B两点，证明：直线PA斜率与直线PB斜率之积为定值.
【答案】
（1）
（2）证明见解析
【分析】
（1）根据条件可得，，解出即可；
（2）设，，联立直线与椭圆的方程消元，然后韦达定理得到，，然后由算出答案即可.
（1）
由题意，，，
解得，，
因此椭圆的方程为；
（2）
证明：直线的方程为，
设，，直线PA的斜率为，直线PB的斜率为.
由消去，得，
易知，得，，


所以直线PA斜率与直线PB斜率之积为定值.
88．已知抛物线C：，直线l过抛物线焦点F，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点M的纵坐标为1.
（1）求直线l的方程；
（2）求（O为坐标原点）的面积.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）设出直线方程，与抛物线联立，根据中点纵坐标即可建立关系求解；
（2）利用弦长公式求出，再求出点到直线距离，即可求出面积.
（1）
由题可得，易知直线斜率不为0，可设直线方程为，
联立方程组，可得，
设，则，
则，解得，
所以直线方程为，即；
（2）
因为，
点到直线的距离为，
所以.
89．有一种画椭圆的工具如图1所示，定点O是滑槽AB的中点，短杆OP绕O转动，长杆PQ通过P处铰链与OP连接，PQ上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且，．当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动P绕O转动一周（D不动时，P也不动），Q处的笔尖画出的曲线记为C．以O为原点，AB所在的直线为x轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．

（1）求曲线C的方程；
（2）在平面直角坐标系xOy中，过点的动直线l与曲线C交于E、F两点，是否存在异于点M的定点N，使得MN平分？若存在，求点N坐标；若不存在，说明理由．
【答案】
（1）
（2）存在，使得MN平分
【分析】
（1）利用待定系数法设：，求出的值即可求解；
（2）先猜出定点的坐标为，当直线斜率存在且不为0时，设直线方程为：，，则，求解即可
（1）
由题意可知：曲线是中心在坐标原点，焦点在轴的椭圆，
设：，
则，
所以曲线C的方程为；
（2）
假设存在异于点的定点N，使得MN平分；
当直线与轴平行时，设直线与椭圆相交于两点为，
由对称性知：若定点N存在，则点N一定在轴上，设，
当直线与轴平行时，设直线与椭圆相交于两点为，MN平分也成立；
当直线斜率存在且不为0时，设直线方程为：，，
联立，得，
，，
所以，
又，

又
，
所以，
因为不恒为0，
所以，即，，
综上可知：存在，使得MN平分
90．已知椭圆：的右焦点和上顶点在直线上，过椭圆右焦点的直线交椭圆于，两点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求面积的最大值.
【答案】
（1）；
（2）.
【分析】
（1）由已知可得椭圆的右焦点为，上顶点为， 可得，可求椭圆标准方程．
（2）设，直线的方程为，并与椭圆方程联立利用韦达定理得到，又，求得的最大值，即可得结果.
（1）
椭圆：的右焦点和上顶点在直线上，
椭圆的右焦点为，上顶点为，
故，
∴所求椭圆标准方程为．
（2）
设，
直线的方程为
联立得：，
，
即，
,
，
令，
函数在上为增函数，
故当，即时，，
此时三角形的面积取得最大值为.
91．如图，椭圆：的离心率为，，分别是其左、右焦点，过的直线交椭圆于点，，是椭圆上不与，重合的动点，是坐标原点．

（1）若是△的外心，，求的值；
（2）若是△的重心，求的取值范围．
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）由椭圆和圆的对称性得轴，再由得出的关系式，得离心率．
（2）设，直线方程为，代入椭圆方程后应用韦达定理得，由直线方程得，利用重心坐标公式得，此坐标代入椭圆方程，设换元，注意利用转换，得关于的二次方程需有正数解．从而得的范围．
（1）
由椭圆与圆的对称性知，轴，是椭圆内接矩形的三个顶点，
则，，或．
又，所以，，（舍去负值），
所以；
（2）
设，直线方程为，
由得，
，，
，
是的重心，，，
所以，，
在椭圆上，则，
设，则
，由得
，该方程在上有解，
若，方程为，无正数解；
，，
所以或，
解得．
综上，．
92．已知的上顶点到右顶点的距离为，离心率为，过椭圆左焦点作不与x轴重合的直线与椭圆C相交于M、N两点，直线m的方程为：，过点M作ME垂直于直线m于点E
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）（i）求证：线段EN必过定点，并求的值
（ii）点O为坐标原点，求△OEN面积的最大值
【答案】
（1）
（2）（i）证明见解析，；（ii）
【分析】
（1）根据椭圆的几何性质和离心率，列出方程组，即可求出，从而得出椭圆的标准方程；
（2）（i）设直线方程：，，，，，，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理求解直线方程，然后得到定点坐标；（ii）由题可得，然后利用函数的单调性求解最大值即可．
（1）
（1）由题可知：，所以，，
故椭圆的标准方程为.
（2）
（i）由题意知，
设直线方程：，
设，，，
联立方程得，得，
所以，，
所以，又，
所以直线方程为：，
令，则
，
所以直线过定点，.
（ii）由（i）中，所以，又易知，
所以，
令，，，
则，
又因为在上单调递增，所以在上单调递减，
所以时，
所以．
93．在直角坐标系中，椭圆（）的左右焦点分别为和，若为椭圆上动点，直线与椭圆交于另一点，若三角形的周长为为，且点在椭圆上．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线、与直线分别交于点、，记直线和直线的斜率分别为和，若，试求直线的斜率．
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）由椭圆定义求出，再代入点求出即可求出方程；
（2）设出直线方程，与椭圆联立，利用韦达定理化简计算可求解.
（1）
由已知和椭圆的定义知：三角形的周长，故，
所以椭圆的方程为，又点在椭圆上，故，解得，
所以椭圆的标准方程为；
（2）
由已知可得直线的斜率不为，故可设直线的方程为，
设，，
联立方程组，消去得：
故有，，故，，
直线的方程为，解得与直线的交点，
同理解得，故，，

．
故，解得．
所以直线的斜率．
94．如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分．过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位于该椭圆的另一个焦点上．椭圆有光学性质：从一个焦点出发的光线，经过椭圆面反射后经过另一个焦点，即椭圆上任意一点P处的切线与直线、的夹角相等．已知，垂足为，，，以所在直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴，建立如图的平面直角坐标系．

（1）求截口BAC所在椭圆C的方程；
（2）点P为椭圆C上除长轴端点和短轴端点外的任意一点．
①是否存在m，使得P到和P到直线的距离之比为定值，如果存在，求出的m值，如果不存在，请说明理由；
②若的角平分线PQ交y轴于点Q，设直线PQ的斜率为k，直线、的斜率分别为，，请问是否为定值，若是，求出这个定值，若不是，请说明理由．
【答案】
（1）.
（2）①存在②是定值
【分析】
（1）设所求椭圆方程为，由椭圆的性质求得，，可得椭圆的方程；
（2）①存在, 设椭圆上的点,直接计算，即可探索出存在m；
②由（1）得椭圆的方程为，设椭圆上的点，有，证明椭圆在点处的切线方程为， 再由右光学性质得直线，由此可求得定值.
（1）
设所求椭圆方程为，

则，
由椭圆的性质：，所以，
，
所以椭圆的方程为.
（2）
由椭圆的方程为，则.
①存在直线，使得P到和P到直线的距离之比为定值.
设椭圆上的点,
则，P到直线的距离，
所以，
所以，当时，（定值）.
即存在，使得P到和P到直线的距离之比为定值.
②设椭圆上的点，则，
又椭圆在点处的切线方程为，
证明如下：对于椭圆，
当，，则，
所以椭圆在处的切线方程为，
又由，可以整理切线方程为：，
即切线方程为，即，也即.
所以椭圆在点处的切线方程为，
同理可证：当，椭圆在点处的切线方程为，
综述：椭圆在点处的切线方程为，
所以在点处的切线的斜率为，
又由光学性质可知：直线，所以，则.
所以，
，
那么.
95．已知抛物线，直线经过点，并与抛物线交于，两点．

（1）证明：在轴上存在一个定点，使得；
（2）若直线，分别交轴于，两点，设的面积为，的面积为，求的最小值．
【答案】
（1）证明见解析
（2）
【分析】
（1）设，联立方程组求得，由题意得到，代入抛物线方程得到，整理得到，根据和，即可求解.
（2）由，得到，写出和的方程，求得，得到，分直线的斜率不存在和存在，结合韦达定理得到，利用换元法和函数的单调性，即可求解.
（1）
解：设，直线的方程为，
联立方程组，整理得，可得，
由，可得，即，
因为，可得，
整理得，即，
又因为，所以，
当时，此时直线方程为，此时关于轴对称，显然；
当时，解得 ，此时点，能使得，
综上可得，在轴上存在一点，使得.
（2）
解：由，
又由，则，
又由直线的方程为，令，可得，
同理可得，所以，
两式相加可得，即，
当直线的斜率不存在时，此时，可得，且，
此时；
当直线的斜率存在时，此时，
则
，
又由，整理得，可得，
代入上式，可得，
所以，
令，可得，
令，则，所以，
又因为函数在上为单调递增函数，
所以，
综上可得，面积的最小值为.
96．已知点是抛物线：的焦点，为坐标原点，过点的直线交抛物线与，两点.

（1）求抛物线的方程；
（2）求的值；
（3）如图，过点的直线交抛物线于，两点（点，在轴的同侧，），且，直线与直线的交点为，记，的面积分别为，，求的取值范围.
【答案】
（1）
（2）
（3）
【分析】
（1）根据题意得到，从而得到抛物线：.
（2）首先设直线的方程为，与抛物线联立得，再利用韦达定理求解.
（3）设，，，，再利用韦达定理和求解即可.
（1）
因为抛物线：，焦点，
所以，解得，所以抛物线：.

（2）
设直线的方程为，
与抛物线联立得：，
由韦达定理得，，
所以，
所以
（3）
设，，，，
因为，
所以直线：，即。
同理：直线：。
联立，解得。
设直线的方程为：，，，
联立。
因为，解得，，，
因为，
所以

，化简得：。
所以。
因为，
，
所以

97．已知椭圆的左顶点为，右焦点为，过点作斜率为的直线与相交于，，且以为直径的圆过点，其中为坐标原点.
（1）求椭圆的离心率；
（2）若，过点作与直线平行的直线，与椭圆相交于，两点.
①求的值；
②点满足，直线与椭圆的另一个交点为，求的值.
【答案】
（1）
（2）①；②
【分析】
(1)根据给定条件用a表示出点B的坐标，再代入椭圆方程计算即得.
(2)①由(1)中信息求出椭圆C及直线l的方程，联立椭圆C与直线l的方程借助韦达定理计算得解；
②设，用及点P，Q坐标表示出点N的坐标，结合点P，Q，N都在椭圆上及①的结论计算作答.
（1）
依题意，如图，，，，，，则，

而点B在椭圆上，于是得：，整理得，即，，
所以椭圆的离心率.
（2）
①由(1)及得，，椭圆的方程为，而直线与直线平行，
则直线的方程为，，，由消去x得：，显然
于是得，，
所以.
②因，由①得，设，，
则，，，
，即，解得，
而，，都在椭圆上，即，，，，
整理得：，
由①可知，则有，解得，
所以的值是.
98．已知抛物线，过点作直线､，满足与抛物线恰有一个公共点，交抛物线于､两点.
（1）若，求直线的方程；
（2）若直线与抛物线和相切于点，且､的斜率之和为0，直线､分别交轴于点､，求线段长度的最大值.
【答案】
（1）或或.
（2）
【分析】
（1）由题设有，设为，讨论、并根据直线与抛物线交点个数确定k值，即可写出直线方程.
（2）设直线为，则为，联立抛物线，由直线与抛物线的关系及求k的范围，再应用韦达定理求、及点纵坐标，进而写出直线､方程，求､横坐标，结合二次函数的性质求长度的最大值.
（1）
由题设，抛物线为，且的斜率一定存在，令为，
∴，当时显然满足题设，此时，
若，则，可得或，
综上，为或或.
（2）
由题设，显然的斜率存在且不可能为0，设为，则为，
∵与抛物线和相切于点，联立方程并整理得，
∴，可得，易知，
联立与抛物线可得：，则，
∴，，且，
∵在抛物线上，故，，则，
∴直线：，则，同理，
∴，又，
故当时，.
99．已知是抛物线的焦点，点是抛物线上横坐标为2的点，且．

（1）求抛物线的方程；
（2）设直线交抛物线于两点，若，且弦的中点在圆上，求实数的取值范围．
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）根据抛物线的定义，将点P到焦点的距离转化为到准线的距离，进而求得答案；
（2）设出直线l，并代入抛物线方程化简，通过根与系数的关系得到和线段的中点公式，进而将中点坐标代入圆的方程，然后将所得式子化简，最后通过函数求值域的方法求得答案.
（1）
抛物线的渐近线为，由抛物线的定义可知，，则抛物线的方程为：．
（2）
设直线的方程为，，．将直线的方程与抛物线的方程联立，得，于是，，，
且，化简得①．
设弦的中点为，则，将点的坐标代入圆的方程，得，且，
由①代入消元，消去，得．
令，则，于是，解得或．
若当时，由对勾函数性质可知，函数在上单调递增，所以随单调递增（增+增），故．
若当时，令，
则．
因为，所以，即单调递减，故.
综上所述，实数的取值范围为．
100．已知椭圆的左右顶点分别为A，B，点P为椭圆上异于A，B的任意一点.
（1）证明：直线PA与直线PB的斜率乘积为定值；
（2）设，过点Q作与轴不重合的任意直线交椭圆E于M，N两点.问：是否存在实数，使得以MN为直径的圆恒过定点A？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】
（1）证明见解析
（2）存在，
【分析】
（1）设出点P的坐标，进而代入椭圆方程，再求出两条直线斜率的乘积，最后得到答案；
（2）设出点的坐标，根据以MN为直径的圆过点A，得到，设出直线的方程并代入椭圆方程，然后利用根与系数的关系求得答案.
（1）
，设，且，则，所以 .
（2）
设，根据题意，设直线MN的方程为，
联立及，得，
，
，（*）
若以MN为直径的圆过点A，则，即
将,带入整理得：；
带入（*），化简整理得5，解得，或（舍）满足，故存在，使得以MN为直径的圆过恒过定点A.