新高考数学二轮复习百题必刷题专题24 圆锥曲线的离心率及范围（含解析）

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专题24 圆锥曲线的离心率及范围必刷100题
任务一:善良模式(基础)1-30题
一、单选题
1．已知双曲线，直线过双曲线的右焦点且斜率为，直线与双曲线的两条渐近线分别交于、两点（点在轴的上方），且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据题设易知，结合已知条件可得渐近线斜率，进而可求双曲线的离心率.
【详解】
如下图所示：

由题意可知，直线与渐近线垂直，则，
又，则，故，则，则，
所以，该双曲线的离心率为.
故选：B.
2．已知圆：与中心在原点、焦点在坐标轴上的双曲线的一条渐近线相切，则双曲线的离心率为（ ）
A．或4 B．或2 C． D．2
【答案】B
【分析】
分双曲线的焦点在x轴上和y轴上，由圆心到渐近线的距离等于半径求解.
【详解】
圆：的圆心为，半径为1，
当双曲线的焦点在x轴上时，其渐近线方程为，
由题意得，即，
所以，
所以，
当双曲线的焦点在y轴上时，，
则，
故选：B
3．已知为双曲线（a＞0，b＞0）的左焦点，A点为双曲线的右顶点，B（0，-b），P为双曲线左支上的动点，若四边形FBAP为平行四边形，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
从平行四边形出发，可以得到，从而得到P点坐标，代入双曲线方程即可求解离心率.
【详解】

由题意得：，，设，因为四边形FBAP为平行四边形，所以，即可得：，，故，代入双曲线得
故选：B．
4．已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则此双曲线的离心率e为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】
根据题意渐近线的斜率为，所以该渐近线的方程为，所以，求得，利用，求得即可得解.
【详解】
∵双曲线的一条渐近线的倾斜角为，，
∴该渐近线的方程为，∴，
解得或（舍去），∴，
∴双曲线的离心率为．
故选：A．
5．已知，分别为椭圆的左､右焦点，过原点O且倾斜角为60°的直线l与椭圆C的一个交点为M，若，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
依题意可得，的值，由椭圆的定义可得a，c的关系，即求出离心率的值．
【详解】
解：依题意可得．
又
，，，．
故选：D．

6．设为双曲线的左､右焦点，过坐标原点的直线依次与双曲线的左､右支交于两点，若，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
判断四边形为矩形，运用双曲线的定义和直角三角形的勾股定理，结合离心率公式，计算可得所求值．
【详解】
解：设双曲线的半焦距为，可得，
即有四边形为矩形，
由双曲线的定义可得，
在直角三角形中，，
即有，
可得，
即
故选：．
7．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点在的右支上，直线与的左支交于点，若，且，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由条件结合双曲线的定义可得，即，从而可得双曲线的离心率.
【详解】
由双曲线的定义可得，∵，
∴，即，
则的离心率为．
故选：D．

8．已知椭圆的左､右焦点分别是，，直线与椭圆交于，两点，，且，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据椭圆的对称性可知，，设，由以及椭圆定义可得，，在中再根据余弦定理即可得到，从而可求出椭圆的离心率．
【详解】

由椭圆的对称性，得.设，则.由椭圆的定义，知，即，解得，故，.
在中，由余弦定理，得，即，则，故.
故选：B.
9．椭圆的上､下顶点分别为，右顶点为A，右焦点为F，，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
求出椭圆的焦点坐标，顶点坐标，利用垂直关系列出方程，转化求解即可.
【详解】
解：椭圆的上､下顶点分别为，
右顶点为A(a，0)，右焦点为F(c，0)，，可得=﹣1，
=1，解得e=.
故选：C.
10．已知圆：与双曲线：的渐近线相切，则的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据题意可得圆心到渐近线的距离为半径，可解得，即可求出离心率.
【详解】
由得，
所以圆心，半径，
双曲线：的一条渐近线为，
由题意得圆心到渐近线的距离，所以，
所以，所以.
故答案为：.
11．已知双曲线（，）的右焦点为，过作双曲线两渐近线的垂线垂足分别为点，（，分别在一、四象限），若，则该双曲线的离心率为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】C
【分析】
由已知可得，即，可得，即可求得离心率.
【详解】
由题，根据双曲线的对称性，可得轴，设与轴交于C，
，，
为渐近线垂线，则，，
则可解得，即，
故离心率.
故选：C.

12．已知A，B，C是椭圆上不同的三点，且原点O是△ABC的重心，若点C的坐标为，直线AB的斜率为，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据椭圆的第三定义，可求得的关系，进而求得离心率；
【详解】
设的中点，
因为原点O是△ABC的重心，所以三点共线，
所以，
由于，所以，
故选：B.
13．若双曲线的实轴的两个端点与抛物线的焦点是一个等边三角形的顶点，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据已知条件可得出，由此可求得双曲线的离心率.
【详解】
双曲线的实轴端点为，抛物线的焦点坐标为，
由题意可得，即，因此，该双曲线的离心率为.
故选：C.
14．已知双曲线的焦距为，是的右顶点，在的一条渐近线上存在，两点，使得，且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【分析】
求得点到渐近线的距离，由余弦值即可求得关系，则离心率可求．
【详解】
设渐近线方程为，则点到渐近线的距离，
又，，
则，即有，
所以，.
故选：A
15．已知双曲线的右焦点为，左顶点为，过点的直线垂直于的一条渐近线，垂足为，直线与轴交于点，且，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
取一条渐近线，得直线的方程，求得点坐标后，然后利用得出的等式，变形后可求得离心率．
【详解】
不妨取渐近线，则直线的方程为，
令，得到点的坐标为，由，得，
即有，所以，则，解得.
故选：B．
16．已知双曲线的一条渐近线被圆截得的线段长为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
把圆方程化为标准方程，得圆心坐标和半径，求出圆心到渐近线的距离，由勾股定理可得关系，从而求得离心率．
【详解】
一条渐近线方程为，圆的标准方程为，圆心是，半径是2，
圆心到渐近线的距离为，所以，，即，所以．
故选：D．
17．已知椭圆：.则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由椭圆方程以及的范围分析椭圆的长轴和短轴，再由离心率公式计算出范围.
【详解】
解：椭圆方程为：，则椭圆的长半轴长为，又短半轴长为，则离心率为，，则.
故选：C.
18．已知椭圆与双曲线有相同的焦点、，设椭圆与双曲线的离心率分别为、，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由已知可得，进而可判断各选项的正误.
【详解】
设、，由已知可得，
所以，，则，即，变形可得，
故选：C.
19．已知双曲线方程为，左焦点关于一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】B
【分析】
易知两渐近线的夹角为60°，再由离心率公式和即可得解.
【详解】
由对称性知两渐近线夹角为60°，∴，∴.
故选：B．
20．已知三个数1，a，9成等比数列，则圆锥曲线的离心率为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】
由条件可得，然后分、两种情况求出答案即可.
【详解】
因为三个数1，a，9成等比数列，所以，即，
当时，圆锥曲线为椭圆，其离心率为，
当时，圆锥曲线为双曲线，其离心率为.
故选：C.

第II卷（非选择题）

二、填空题
21．已知双曲线的一条渐近线过点，则的离心率为___________.
【答案】
【分析】
根据双曲线的一条渐近线过点，求得 ，b的关系即可.
【详解】
因为双曲线的一条渐近线过点，
所以双曲线的一条渐近线方程是，
又因为该渐近线过点，
所以，则，
所以.
故答案为：.
22．已知双曲线的焦点到渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为___________.
【答案】
【分析】
取双曲线的右焦点，渐近线，利用点到直线的距离公式可得，再由即可求解.
【详解】
解：取双曲线的右焦点，取双曲线的渐近线，即，
依题意得，即，
∴该双曲线的离心率，
故答案为：.
23．已知双曲线的右焦点为F，右顶点为A，过点F作x轴的垂线交双曲线C于M，N两点，若(其中O为坐标原点)成等差数列，则双曲线C的离心率为___________.
【答案】
【分析】
由双曲线的性质可知，，，由等差中项的性质及双曲线参数关系即可求离心率.
【详解】
由题设知：，，成等差数列，
∴，又，
∴且，解得.
故答案为：.
24．已知抛物线的准线恰好与双曲线的右准线重合，双曲线的左准线与抛物线交于，两点，且双曲线的右顶点到左准线的距离等于线段的长，则双曲线的离心率为___________.
【答案】
【分析】
根据抛物线与双曲线的准线方程以及抛物线的通径长列式可得,再根据双曲线的离心率公式可得结果.
【详解】
抛物线的准线为，双曲线的右准线为，左准线为，在抛物线中，，
所以，消去得，即，所以，
所以双曲线的离心率.
故答案为：
25．已知F为双曲线的右焦点，过F作与x轴垂直的直线交双曲线于A，B两点，若以为直径的圆过坐标原点，则该双曲线的离心率为____________．
【答案】
【分析】
由过双曲线焦点且垂直于x轴的直线，求出弦长AB，得出关于a，b，c的等式解得.
【详解】
设，把代入得，
，即点，，
而以AB为直径的圆过原点，则有，又，
，而e>1，解得.
故答案为：.
26．已知长方形，，，则以、为焦点，且过、的椭圆的离心率为__________．
【答案】
【分析】
利用椭圆定义求出的值，并求出的值，由此可得出椭圆的离心率的值.
【详解】
如图，，，
因为点在椭圆上，则，所以，椭圆的离心率为.
故答案为：.

27．已知抛物线上一点到焦点的距离为6，准线为，若与双曲线的两条渐近线所围成的三角形面积为，则双曲线的离心率为___________.
【答案】3
【分析】
利用抛物线的定义求出的值，可得出抛物线的标准方程，进而可得出抛物线的准线方程，求出抛物线的准线与双曲线的渐近线所围成的三角形的面积，可得出，利用公式可求得结果.
【详解】
∵抛物线上一点到焦点的距离为6，
∴由抛物线定义知，即，其准线方程为，
而双曲线的两条渐近线方程为，
则与双曲线的两条渐近线围成的三角形面积为，
∴，即，∴，可得，
∴双曲线的离心率.
故答案为：3.
28．已知为双曲线的左焦点，过点的直线与双曲线的两条渐近线分别交于，，且，以原点为圆心的圆与直线相切，且切点恰为，则双曲线的离心率为___________.
【答案】
【分析】
由已知条件可得为线段的垂直平分线，再结合双曲线的对称性可得，从而得，进而可求出双曲线的离心率
【详解】
，
为的中点，又由已知，
为线段的垂直平分线，
，
，即，，
故答案为：2

29．已知双曲线C：（，），以原点O为圆心、C的焦距为半径的圆交x轴于A，B两点，P是圆O与C的一个公共点，若，则C的离心率为__________．
【答案】
【分析】
根据题意，在中可得，可得点坐标为，代入双曲线方程即可得解.
【详解】

如图，根据题意，
根据圆的性质可得，
又，
所以，所以，
所以为等边三角形，
由可得点坐标为，
代入双曲线方程可得，
由，可得，
由双曲线的离心率，
所以解得，
故答案为：.
30．已知双曲线的右焦点为，点到其渐近线的距离为，则双曲线的离心率为___________.
【答案】
【分析】
由已知有求出a、b，又，进而求双曲线的离心率.
【详解】
由题意，，渐近线方程为，
∴，解得，
∴.
故答案为：.























任务二:中立模式(中档)1-40题
一、单选题
1．如图，、分别是双曲线：（，）的左、右焦点，过的直线与的左、右两支分别交于点、．若为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）


A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据双曲线的定义求出在中，，则由为等边三角形得，再利用余弦定理可得，从而可求出双曲线的离心率
【详解】
解：根据双曲线的定义可得，
因为为等边三角形，所以，
所以，
因为，所以，
因为在中，，，
所以，
即，
所以，
所以双曲线的离心率为，
故选：B
2．已知双曲线=1(a>0，b>0)的左､右焦点分别为F1(﹣c，0)，F2(c，0)，点P在双曲线的右支上，且满足，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）
A．(2，+∞) B．(1，2) C．(1，) D．(2，)
【答案】D
【分析】
根据正弦定理的边角互化以及双曲线的定义可得，再由，代入上式，解不等式即可.
【详解】
，
，
，，
，
解得，
.
故选：D
3．过双曲线上的任意一点，作双曲线渐近线的平行线，分别交渐近线于点，，若，则双曲线离心率的取值范围是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
双曲线的渐近线方程为，设点，可得，从而可求出点，的坐标，进而结合点在双曲线上，可表示出，则，从而可求出求出离心率的范围
【详解】
解：双曲线的渐近线方程：，
即，
设点，可得，
分别联立两组直线方程可得，，
，
∵，∴，
∴，由题意，
所以，即，
所以，即
∴.
故选：B.
4．已知双曲线的左、右焦点分别为，直线l过点与双曲线的右支交于A，B两点，若，，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据题意设，则，结合双曲线定义和已知条件，运用余弦定理求解t以及的值，即可求出双曲线离心率.
【详解】
解：设，则，
由双曲线的定义，可知，即有，
，
在中，由余弦定理可得，
解得t＝1，
则，
在中，由余弦定理可得，
解得，
所以．
故选：A
5．过双曲线C：(a>0，b>0)的右焦点F引一条渐近线的垂线，与另一条渐近线相交于第二象限，则双曲线C的离心率的取值范围是（ ）
A．(，+∞) B．(，+∞) C．(2，+∞) D．(3，+∞)
【答案】A
【分析】
依题意求出双曲线的渐近线方程与右焦点坐标，不妨设过右焦点与双曲线的一条渐近线垂直的直线方程为，与另一焦点联立求交点坐标，根据交点在第二象限，即可得到、的关系，即可得解；
【详解】
解：由题意双曲线C：的渐近线，右焦点，
不妨设过右焦点与双曲线的一条渐近线垂直的直线方程为
与联立得，所以，，所以交点坐标为，因为交点在第二象限，所以，因为，，，所以，，所以，即，因为，所以，即
故选：A
6．已知双曲线：的右焦点为，以为圆心，为半径的圆交双曲线的右支于，两点(为坐标原点)，若是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】
利用正弦定理求得，由此求得点坐标，将点坐标代入双曲线方程，化简求得离心率.
【详解】
，
所以，
所以，，在双曲线上，
所以，，
，
，
，两边除以得
，
解得，
所以.
故选：A
7．如图，F1，F2是椭圆C1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1与C2在第二､四象限的公共点，若AF1⊥BF1，设C1与C2的离心率分别为e1，e2，则8e1+e2的最小值为（ ）


A．6+ B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用双曲线与椭圆定义得到，进而两元换一元，利用导数判断单调性即得最值．
【详解】
连接AF2，BF2，则由对称性及AF1⊥BF1，得矩形 ，

故.
由，，得.
令，代入上式得
故.
设，
由，得t=2，
当1b>0)的离心率为e，F是的右焦点，点P是上第一象限内任意一点且，．，若λ>e，则离心率e的取值范围是__________．

【答案】
【分析】
由已知得，设直线的斜率为，则联立直线与椭圆的方程求得点P，Q的坐标，根据向量垂直的关系建立关于不等式，可求得离心率的范围．
【详解】
因为点是上第一象限内任意一点，故为锐角且，所以，
设直线的斜率为，则
由可得，故，
所以，
因为，故，所以，
解得，因为对任意的恒成立，
故，整理得到对任意的恒成立，
故，即，即．
故答案为：．