新高考数学一轮复习精选讲练专题4.5 三角恒等变换（含解析）

这是一份新高考数学一轮复习精选讲练专题4.5 三角恒等变换（含解析），共16页。试卷主要包含了两角差的余弦公式，两角和的余弦公式，两角和与差的正弦公式，两角和与差的正切公式，二倍角公式等内容，欢迎下载使用。


1．两角差的余弦公式
对于任意角 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 有 SKIPIF 1 < 0 .
此公式给出了任意角 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 的正弦、余弦与其差角 SKIPIF 1 < 0 - SKIPIF 1 < 0 的余弦之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作
SKIPIF 1 < 0 .
公式巧记为：两角差的余弦值等于两角的同名三角函数值乘积的和.
2．两角和的余弦公式
(1)公式的结构特征
(2)两角和与差的余弦公式的记忆技巧
两角和与差的余弦公式可以记忆为“余余正正，符号相反”.
①“余余正正”表示展开后的两项分别为两角的余弦乘余弦、正弦乘正弦；
②“符号相反”表示展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相反，即两角和时用“-”，两角差时用“+”.
3．两角和与差的正弦公式
(1)两角和与差的正弦公式的结构特征
(2)两角和与差的正弦公式的记忆技巧
两角和与差的正弦公式可以记忆为“正余余正，符号相同”.
①“正余余正”表示展开后的两项分别为两角的正弦乘余弦、余弦乘正弦；
②“符号相同”表示展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相同，即两角和时用“+”,两角差时用“-”.
4．两角和与差的正切公式
两角和与差的正切公式的结构特征
符号变化规律可简记为“分子同，分母反”.
5．三角恒等变换思想——角的代换、常值代换、辅助角公式
(1)角的代换
代换法是一种常用的思想方法，也是数学中一种重要的解题方法，在解决三角问题时，角的代换作用
尤为突出.
常用的角的代换形式：
① SKIPIF 1 < 0 =( SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 )- SKIPIF 1 < 0 ；
② SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 -( SKIPIF 1 < 0 - SKIPIF 1 < 0 )；
③ SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 [( SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 )+( SKIPIF 1 < 0 - SKIPIF 1 < 0 )]；
④ SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 [( SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 )-( SKIPIF 1 < 0 - SKIPIF 1 < 0 )]；
⑤ SKIPIF 1 < 0 =( SKIPIF 1 < 0 - SKIPIF 1 < 0 )-( SKIPIF 1 < 0 - SKIPIF 1 < 0 )；
⑥ SKIPIF 1 < 0 - SKIPIF 1 < 0 =( SKIPIF 1 < 0 - SKIPIF 1 < 0 )+( SKIPIF 1 < 0 - SKIPIF 1 < 0 ).
(2)常值代换
用某些三角函数值代换某些常数，使之代换后能运用相关的公式，我们把这种代换称为常值代换，其
中要特别注意的是“1”的代换.
(3)辅助角公式
通过应用公式 SKIPIF 1 < 0 [或 SKIPIF 1 < 0 将形如
SKIPIF 1 < 0 (a,b都不为零)的三角函数式收缩为一个三角函数 SKIPIF 1 < 0 [或 SKIPIF 1 < 0 ].这种恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和收缩为一个
三角函数，这种恒等变换称为收缩变换，上述公式也称为辅助角公式.
6．二倍角公式
二倍角的正弦、余弦、正切公式
【题型1 两角和与差的三角函数公式的应用】
【方法点拨】
(1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征.
(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值.
【例1】（2022春•巴宜区校级期末）已知，是第三象限角，则cs（α﹣β）＝（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】由已知利用同角三角函数基本关系式可求csα，sinβ的值，进而利用两角差的余弦公式即可计算得解cs（α﹣β）的值．
【解答过程】解：因为，是第三象限角，
所以csα，sinβ，
则cs（α﹣β）＝csαcsβ+sinαsinβ＝（）×（）（）．
故选：A．
【变式1-1】（2022春•富平县期末）化简（ ）
A．2tanAB．﹣2tanAC．2tan2AD．﹣2tan2A
【解题思路】由条件利用两角差的正切公式、诱导公式证得结论．
【解答过程】解：
＝tan[（）﹣（A）]•[1+tan（）tan（A）]
＝tan2A•[1+tan（）ct（A）]
＝tan2A×2
＝2tan2A．
故选：C．
【变式1-2】（2022•香坊区校级模拟）已知，则的值为（ ）
A．﹣4B．﹣2C．2D．4
【解题思路】根据诱导公式cs（α）＝sin（α），再利用两角和与差的三角函数公式化简即可．
【解答过程】解：∵cs（α）＝sin（α），，
则2．
故选：C．
【变式1-3】（2022春•汉中期末）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】由已知利用两角和的正弦公式可求sin（θ），进而根据同角三角函数基本关系式即可求解．
【解答过程】解：因为sinθsinθcsθsinθcsθsin（θ）＝1，
所以sin（θ），
所以cs（θ）＝±±，
则±．
故选：D．
【题型2 两角和与差的三角函数公式的逆用】
【方法点拨】
(1)运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟悉公式的正用，还要熟悉公式的逆用及变形应用.公式的逆
用和变形应用更能拓展思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力.
(2)对 SKIPIF 1 < 0 化简时，辅助角 SKIPIF 1 < 0 的值如何求要清楚.
【例2】（2022春•富县校级期末）cs125°cs5°+cs35°sin5°＝（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】由诱导公式可得cs125°＝﹣sin35°，再利用两角差的正弦公式，得解．
【解答过程】解：cs125°cs5°+cs35°sin5°＝cs（90°+35°）cs5°+cs35°sin5°
＝﹣sin35°cs5°+cs35°sin5°＝﹣sin（35°﹣5°）＝﹣sin30°．
故选：B．
【变式2-1】（2022春•成都期末）tan45°﹣tan15°tan45°tan15°＝（ ）
A．B．2C．D．
【解题思路】利用两角和与差的正切公式化简可得答案．
【解答过程】解：tan45°﹣tan15°tan45°tan15°
＝tan（45°﹣15°）（1+tan45°tan15°）tan45tan15°
，
故选：D．
【变式2-2】（2022春•安徽期末）化简（ ）
A．B．C．2D．
【解题思路】由题意，根据三角恒等变换与诱导公式求解即可．
【解答过程】解：
•sin50°•，
故选：D．
【变式2-3】（2022春•潍坊月考）已知，且，则cs（2β﹣2α）的值为（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】根据两角和差的正弦公式，结合诱导公式，可得sin（2α），sin（2β），再由α，β的取值范围，利用同角三角函数的平方关系求得cs（2α），cs（2β）的值，然后配凑角，由两角差的余弦公式，得解．
【解答过程】解：由题意知，sin（2α），sin（2β），
因为，所以2α2β，
所以cs（2α），
cs（2β），
所以cs（2β﹣2α）＝cs[（2β）﹣（2α）]
＝cs（2β）cs（2α）+sin（2β）sin（2α）
＝（）．
故选：A．
【题型3 二倍角公式及其应用】
【方法点拨】
对于与二倍角公式有关的化简、求值问题，需观察题中角之同的关系，并能根据式子的特点构造出二倍角
的形式，正用、逆用、变形用二倍角公式化简、求值，注意利用诱导公式和同角三角函数的基本关系等知
识对已知式进行转化.
【例3】（2022•贵阳开学）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】由诱导公式，结合二倍角的余弦公式．
【解答过程】解：已知，
则sin2[（α）]＝﹣cs2（）＝2sin2（）﹣1，
故选：B．
【变式3-1】（2022•成都开学）若sin（θ），则sin（θ）的值为（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】由已知利用诱导公式即可计算求解．
【解答过程】解：因为sin（θ）＝﹣sin（θ），
所以sin（θ），
则sin（θ）＝sin[π﹣（θ）]＝sin（θ）．
故选：A．
【变式3-2】（2022春•湖南期末）若，则（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】利用二倍角公式转化求解即可．
【解答过程】解：由，得，
故选：A．
【变式3-3】（2021秋•云南期末）已知，则cs2α＝（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简已知等式可得tanα的值，进而利用二倍角的余弦公式，同角三角函数基本关系式即可求解．
【解答过程】解：因为2csα，
所以tanα＝2，
则cs2α．
故选：A．
【题型4 三角函数式的化简】
【方法点拨】
(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征.
(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数
公式之间的共同点.
【例4】（2022春•南阳期末）化简（ ）
A．1B．C．D．2
【解题思路】直接根据二倍角公式以及两角差的正弦公式求解即可．
【解答过程】解：∵
tan12°
tan12°
tan12°
tan12°+tan12°
．
故选：C．
【变式4-1】（2021秋•沙坪坝区校级月考）化简（ ）
A．csαB．sinαC．1D．
【解题思路】先考虑分母化简，利用降次公式，正切的两角和与差公式打开，整理，可得答案．
【解答过程】解：先考虑分母：
，
故得
故选：D．
【变式4-2】（2022春•南阳月考）下列化简结果正确的个数为（ ）
①；
②；
③；
④．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解题思路】①由两角差的正弦公式，可判断；
②由两角和的正切公式，可判断；
③利用辅助角公式，可判断；
④结合诱导公式和二倍角公式，得解．
【解答过程】解：①cs22°sin52°﹣sin22°cs52°＝sin（52°﹣22°）＝sin30°，即①正确；
②tan（24°+36°）＝tan60°，即②正确；
③cs15°﹣sin15°（cs45°cs15°﹣sin45°sin15°）cs（45°+15°）cs60°，即③正确；
④sin15°sin30°sin75°＝sin15°sin30°cs15°sin30°sin30°，即④错误，
所以正确的个数为3个．
故选：C．
【变式4-3】（2022春•集宁区校级月考）下列化简正确的是（ ）
A．cs82°sin52°﹣sin82°cs52°
B．sin15°sin30°cs75°
C．
D．cs215°﹣sin215°
【解题思路】利用三角函数恒等变换的应用化简求解即可．
【解答过程】解：对于A，cs82°sin52°﹣sin82°cs52°＝sin（52°﹣82°）＝sin（﹣30°），故错误；
对于B，sin15°sin30°cs75°sin15°cs75°sin15°cs（90°﹣15°）sin15°cs15°sin30°，故错误；
对于C，原式＝tan（48°+72°）＝tan120°，故错误；
对于D，原式＝cs30°，故正确．
故选：D．
【题型5 三角函数求值问题】
【方法点拨】
(1)给值求值问题一般是将待求式子化简整理，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出
相应角的三角函数值，代入即可.
(2)给角求值问题一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角之
间总有一定的关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除特殊角三角函数而
得解.
(3)给值求角问题一般先求角的某一三角函数值，再求角的范围，最后确定角.
【例5】（2022春•江西期末）若，则的值是 ．
【解题思路】利用两角差的正切公式求出tanα，再根据同角三角函数关系式求值即可．
【解答过程】解：∵，
∴，即，解得，
故，
故答案为：．
【变式5-1】（2021秋•广东月考）已知α为第二象限角，且，则 ．
【解题思路】利用两角和差的正弦公式进行化简，利用同角关系进行求解即可．
【解答过程】解：，
∵α为第二象限角，且，
∴sinα，
则原式，
故答案为：．
【变式5-2】（2022春•凭祥市校级月考）求下列各式的值：
（1） ．
（2） ．
【解题思路】（1）利用两角和的正弦公式得出，化简即可求解；
（2）利用两角和的正切公式得出tan25°+tan35°＝tan（25°+35°）（1﹣tan25°tan35°），代入求解即可得出答案
【解答过程】解：（1）∵，
∴，
∴；
（2）∵tan60°＝tan（25°+35°），
∴tan25°+tan35°（1﹣tan25°tan35°）tan25°tan35°，
∴tan25°+tan35°tan25°tan35°．
故答案为：；．
【变式5-3】（2021秋•涪陵区校级期中）若sin2α，sin（β﹣α），且α∈[，]，β∈[π，]，则α+β＝ ．
【解题思路】根据角的变换可得，α+β＝β﹣α+2α，从而可得cs（α+β）＝cs（β﹣α）cs2α﹣sin（β﹣α）sin2α，然后根据已知条件分别得到cs（β﹣α），cs2α的值，进而求解得到结果．具体过程详见解析．
【解答过程】解：根据题意，α∈[，]，β∈[π，]，
∴2α，，，
又因为sin2α，sin（β﹣α），
所以2α和β﹣α一定不为终边在坐标轴上的角，即得2α为第二象限角，β﹣α为第二象限角，
所以根据同角三角函数关系可得，cs（β﹣α），
又因为sin2α，所以cs2α，
又因为α+β＝（β﹣α）+2α，
所以cs（α+β）＝cs（β﹣α）cs2α﹣sin（β﹣α）sin2α，
由上可得，即α+β为第四象限角，
∴α+β．
故答案为α+β．
【题型6 三角恒等变换的应用】
【方法点拨】
三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为
SKIPIF 1 < 0 的形式再研究其性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征，注意利用整体思想
解决相关问题.
【例6】（2021春•金山区校级期中）已知函数．
（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值及相应的x值；
【解题思路】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简可得函数解析式f（x）sin（4x），利用周期公式可求函数f（x）的最小正周期，由2kπ4x2kπ，k∈Z，可得函数f（x）的单调递增区间．
（2）由x∈[0，]，可得4x，利用正弦函数的性质可得f（x）在区间上的最大值和最小值及相应的x值．
【解答过程】解：（1）∵f（x）＝4sin3xcsx﹣2sinxcsxcs4x
＝sin2x×（1﹣cs2x）﹣sin2xcs4x
sin4xcs4x
sin（4x），
∴函数f（x）的最小正周期T．
∵由2kπ4x2kπ，k∈Z，可得：，k∈Z，
∴函数f（x）的单调递增区间为：[，]，k∈Z；
（2）∵x∈[0，]，
∴4x，
∴sin（4x）∈[，1]，
∴f（x）sin（4x）∈[，]，
可得当x时，f（x）在区间[0，]上的最大值为，
当x时，取得最小值为．
【变式6-1】（2021春•兴庆区校级期末）已知函数（x∈R）．
（1）求f（x）的最小正周期与单调递增区间；
（2）求满足的x的集合．
【解题思路】（1）利用倍角公式降幂，再由辅助角公式化积，由周期公式求周期，再由复合函数的单调性求函数的单调增区间；
（2）直接求解三角不等式得答案．
【解答过程】解：（1）∵
．
∴T．
由，解得，k∈Z．
∴f（x）的单调增区间为[，]，k∈Z；
（2）由，得，
∴kπ＜x，k∈Z．
∴满足的x的集合为{x|kπ＜x，k∈Z}．
【变式6-2】（2021•南通模拟）已知sinθ+csθ，θ∈（，）．
（1）求θ的值：
（2）设函数f（x）＝sin2x﹣sin2（x+θ）x∈R，求函数f（x）的单调增区间．
【解题思路】（1）由sinθ+csθ，可得（sinθ+csθ）2＝sin2θ+cs2θ+2sinθcsθ，可得sin2θ，结合范围θ∈（，），即可解得θ．
（2）由（1）可得θ，则f（x）＝sin2x﹣sin2（x），利用倍角公式，两角差的余弦函数公式以及辅助角公式化简可得f（x）sin（2x），令2k2x2kπ，k∈Z，解得kx≤kπ，k∈Z，可得函数的单调增区间．
【解答过程】解：（1）因为sinθ+csθ，
所以（sinθ+csθ）2＝sin2θ+cs2θ+2sinθcsθ＝1+sin2θ＝（）2，
即sin2θ，
又θ∈（，），
所以2，
所以2θ，θ．
（2）由（1）可得θ，
则f（x）＝sin2x﹣sin2（x），
所以f（x）（1﹣cs2x）[1﹣cs（2x）]
cs2xcs（2x）
cs2x（cs2xsin2x）
sin2xcs2x
（sin2xcs2x）
sin（2x），
令2k2x2kπ，k∈Z，
则kx≤kπ，k∈Z，
所以函数的单调增区间为[k，kπ]，k∈Z．
【变式6-3】（2022春•射洪市期末）设函数f（x）＝2cs2x﹣cs（2x）．
（1）求f（x）的周期和最大值；
（2）已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若f（π﹣A），b+c＝2，求a的最小值．
【解题思路】（1）利用倍角公式降幂，展开两角差的余弦，把函数的关系式变形成余弦形函数，进一步求出函数的周期及最值；
（2）由f（π﹣A）求解角A，再利用余弦定理和基本不等式求a的最小值．
【解答过程】解：（1）函数f（x）＝2cs2x﹣cs（2x）
＝1+cs2x
＝cs（2x）+1，
∵﹣1≤cs（2x）≤1，
∴T，f（x）的最大值为2；
（2）由题意，f（π﹣A）＝f（﹣A）＝cs（﹣2A）+1，
即：cs（﹣2A），
又∵0＜A＜π，
∴2A，
∴﹣2A，即A．
在△ABC中，b+c＝2，csA，
由余弦定理，a2＝b2+c2﹣2bccsA＝（b+c）2﹣3bc，
由于：bc，当b＝c＝1时，等号成立．
∴a2≥4﹣3＝1，即a≥1．
则a的最小值为1．