新高考数学一轮复习精选讲练专题1.4 常用逻辑用语（含解析）

这是一份新高考数学一轮复习精选讲练专题1.4 常用逻辑用语（含解析），共11页。
1．（5分）（2022春•盐城期末）“a＞b”的一个充分条件是（ ）
A．B．ab＞b2C．D．a2＞ab
【解题思路】利用举实例判断ABD，利用不等式的性质，充要条件的定义判定C．
【解答过程】解：A，当a＝﹣2，b＝1时，满足，但a＜b，∴A错误，
B，当a＝﹣2，b＝﹣1时，满足ab＞b2，但a＜b，∴B错误，
C，∵0，∴0，∴a＞b＞0，∴C正确，
D，当a＝﹣2，b＝﹣1时，满足a2＞ab，但a＜b，∴D错误，
故选：C．
2．（5分）（2021秋•周口校级月考）命题：“∀x∈R，都有x2﹣x+1＞0”的否定是（ ）
A．∀x∈R，都有x2﹣x+1≤0B．∃x∈R，使x2﹣x+1＞0
C．∃x∈R，使x2﹣x+1≤0D．以上选项均不正确
【解题思路】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出命题的否定即可．
【解答过程】解：因为全称命题的否定是特称命题，
所以：“∀x∈R，都有x2﹣x+1＞0”的否定是
∃x∈R，使x2﹣x+1≤0．
故选：C．
3．（5分）（2021秋•西固区校级月考）下列命题中，是真命题的全称命题的是（ ）
A．实数都大于0
B．指数函数有且只有一个零点
C．三角形内角和为180°
D．有小于1的自然数
【解题思路】根据含有量词的命题的定义进行判断即可．
【解答过程】解：存在实数﹣2＜0，故A错误；
函数y＝2x＞0恒成立，没有零点，B错误；
根据三角形内角和定理可知三角形内角和为180°，且命题中省略量词所有为全称量词，为全称命题，C正确；
有小于1的自然数中含有量词存在，是特称命题，不符合题意．
故选：C．
4．（5分）（2022•长沙县校级开学）已知a，b∈R，下列四个条件中，使“1”成立的必要不充分条件是（ ）
A．|a|＞|b|B．a＞b+1
C．a＞b﹣1D．（）a＞（）b
【解题思路】由题设选项中的条件为的必要不充分条件，结合充分、必要性的定义判断推出关系，即可确定正确选项．
【解答过程】解：A：当|a|＞|b|，由，可得ab＞0且|a|＞|b|，若a＝﹣2，b＝1时，，故|a|＞|b|是的必要不充分条件，A正确；
B：当，若a＝﹣2，b＝﹣1时，有a＜b+1，故必要性不成立，B错误；
C：当，若a＝﹣3，b＝﹣1时，a＜b﹣1，故必要性不成立，C错误；
D：当，若a＝2，b＝1时，（）a＜（）b，故必要性不成立，错误．
故选：A．
5．（5分）（2020秋•西宁期末）已知命题p：∃x0∈R，ax02+3x0+3≤0是假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．[0，1）D．
【解题思路】将条件转化为ax02+3x0+3＞0恒成立，检验a＝0是否满足条件，当a≠0 时，必须有，从而解出实数a的取值范围．
【解答过程】解：命题p：∃x0∈R，ax02+3x0+3≤0是假命题，
即“ax02+3x0+3＞0“是真命题 ①．
当a＝0 时，①不成立，
当a≠0时，要使①成立，必须有，解得a，
故实数a的取值范围为（，+∞）．
故选：A．
6．（5分）（2021秋•上蔡县校级月考）已知p：x2+2x﹣3＞0，q：x＞a，若q是p的充分不必要条件，则a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣3]B．（﹣∞，1]C．[﹣3，+∞）D．[1，+∞）
【解题思路】根据充分不必要条件的定义建立条件关系即可得到结论．
【解答过程】解：由x2+2x﹣3＞0得x＞1或x＜﹣3，
若q是p的充分不必要条件，
则a≥1，
故选：D．
7．（5分）（2021春•福建月考）若命题“∃x0∈R，x02+（a﹣1）x0+1≤0”的否定是真命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．[﹣1，3]B．（﹣1，3）
C．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）
【解题思路】命题“∃x0∈R，x02+（a﹣1）x0+1≤0”的否定是真命题，可得：“∀x∈R，x2+（a﹣1）x+1＞0”是真命题．
则Δ＜0．
【解答过程】解：命题“∃x0∈R，x02+（a﹣1）x0+1≤0”的否定是真命题，
∴“∀x∈R，x2+（a﹣1）x+1＞0”是真命题．
∴Δ＝（a﹣1）2﹣4＜0，解得：﹣1＜a＜3．
则实数a的取值范围是（﹣1，3）．
故选：B．
8．（5分）（2021秋•香坊区校级期末）下列结论中正确的个数是（ ）
①命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题；
②命题“∀x∈R，x2+1＜0”是全称量词命题；
③命题“∃x∈R，x2+2x+1≤0”的否定为“∀x∈R，x2+2x+1≤0”；
④命题“a＞b是ac2＞bc2的必要条件”是真命题．
A．0B．1C．2D．3
【解题思路】根据存在量词命题、全称量词命题的概念，命题否定的求法，分析选项，即可得答案．
【解答过程】解：对于①：命题“所有的四边形都是矩形”是全称量词命题，故①错误；
对于②：命题““∀x∈R，x2+1＜0”是全称量词命题；故②正确；
对于③：命题p：∃x∈R，x2+2x+1≤0，则￢p：∀x∈R，x2+2x+1＞0，故③错误；
对于④：ac2＞bc2，∴c2≠0，即c2＞0，所以不等式两边同除以c2便得到a＞b，
∴“a＞b”是“ac2＞bc2”的必要条件；④正确；
即正确的有2个，
故选：C．
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（5分）（2021秋•辽源期末）下列存在量词命题中，为真命题的是（ ）
A．∃x∈Z，x2﹣2x﹣3＝0
B．至少有一个x∈Z，使x能同时被2和3整除
C．∃x∈R，|x|＜0
D．有些自然数是偶数
【解题思路】选项A：解出方程的解即可判断；选项B：举特例如6即可判断求解；选项C：根据绝对值的应用即可判断；选项D：举特例如2，4，即可判断．
【解答过程】解：选项A：因为方程x2﹣2x﹣3＝0的两根为3和﹣1，所以x∈Z，故A正确；
选项B：因为6能同时被2和3整除，且6∈Z，故B正确；
选项C：根据绝对值的意义可得|x|≥0恒成立，不存在x满足|x|＜0，故C错误；
选项D：2，4等既是自然数又是偶数，故D正确；
故选：ABD．
10．（5分）（2021秋•浦北县校级月考）若“∀x∈（0，2），都有2x2﹣λx+1≥0”是真命题，则实数λ可能的值是（ ）
A．1B．C．3D．
【解题思路】先分参得到（2x）min≥λ，再利用基本不等式求最值即可．
【解答过程】解：∵对∀x∈（0，2），2x2﹣λx+1≥0恒成立，
即2xλ对任意的x∈（0，2）恒成立，
即（2x）min≥λ，
∵2x2，当且仅当x等号成立，
∴λ≤2，
∴实数λ可能的值是1，2，
故选：AB．
11．（5分）（2022春•乐清市校级期中）若“x2+x﹣12＜0”是“x2﹣（2k+3）x+k2+3k＞0”的充分不必要条件，则实数k可以是（ ）
A．﹣8B．﹣5C．1D．4
【解题思路】分别解出x2+x﹣12＜0，x2﹣（2k+3）x+k2+3k＞0，再根据充分不必要条件列出不等式，即可得出．
【解答过程】解：x2+x﹣12＜0⇔﹣4＜x＜3，
x2﹣（2k+3）x+k2+3k＞0⇔x＜k或x＞k+3，
∵x2+x﹣12＜0是x2﹣（2k+3）x+k2+3k＞0的充分不必要条件，
∴k≥3或k+3≤﹣4，
解得k≥3或k≤﹣7，
则实数k可以是﹣8和4，
故选：AD．
12．（5分）（2022春•锡山区校级期中）下列命题正确的是（ ）
A．命题“∃x∈R，x2+x+1≥0”的否定是“∀x∈R，x2+x+1＜0”
B．a+b＝0的充要条件是1
C．∀x∈R，x2＞0
D．a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件
【解题思路】利用全称命题的否定判断A，利用举实例判断BC，利用充分条件的定义判断D．
【解答过程】解：A，∵∃x∈R，x2+x+1≥0的否定是∀x∈R，x2+x+1＜0，∴A正确，
B，当a＝b＝0时，满足a+b＝0，但1不成立，∴B错误，
C，当x＝0时，x2＝0，∴C错误，
D，当a＞1，b＞1时，则ab＞1，∴充分性成立，∴D正确，
故选：AD．
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2021秋•商丘期末）“x＞2”是“x2﹣2x＞0”的 充分不必要 条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）
【解题思路】根据x的取值范围可解决此题．
【解答过程】解：由x2﹣2x＞0解得x＜0或x＞2，∴“x＞2”是“x2﹣2x＞0”的充分不必要条件．
故答案为：充分不必要．
14．（5分）（2022•怀化一模）已知a∈R，且“x＞a”是“x2＞2x”的充分不必要条件，则a的取值范围是 [2，+∞） ．
【解题思路】先解一元二次不等式求出x的范围，再利用充要条件的定义求解即可．
【解答过程】解：∵x2＞2x，∴x＞2或x＜0，
∵x＞a是x2＞2x的充分不必要条件，
∴a≥2，
∴a的取值范围是[2，+∞），
故答案为：[2，+∞）．
15．（5分）（2021秋•新疆期末）若命题“∃x0＞1，x02﹣ax0+a+3＜0”是假命题，则a的取值范围是 {a|a≤6} ．
【解题思路】由题意得，∀x＞1，x2﹣ax+a+3≥0是真命题，分离参数后，转化为求解相应的最值，结合基本不等式可求．
【解答过程】解：由题意得，∀x＞1，x2﹣ax+a+3≥0是真命题，
所以a（x﹣1）≤x2+3在x＞1时恒成立，
所以ax﹣12在x＞1时恒成立，
因为x＞1时，x﹣12≥22＝6，当且仅当x﹣1，即x＝3时取等号，
所以a≤6，
所以a的范围为{a|a≤6}．
故答案为：{a|a≤6}．
16．（5分）（2021秋•海淀区校级期末）已知函数f（x）＝lg2x，g（x）＝2x+a，若存在，使得f（x1）＝g（x2），则a的取值范围是 [﹣5，0] ．
【解题思路】根据条件求出两个函数的值域，结合存在，使得f（x1）＝g（x2），等价为两个集合有公共元素，然后根据集合关系进行求解即可．
【解答过程】解：当x≤2时，lg2f（x）≤lg22，即﹣1≤f（x）≤1，则f（x）的值域为[﹣1，1]，
当 x≤2时，2a≤g（x）≤4+a，即1+a≤g（x）≤4+a，则g（x）的值域为[1+a，4+a]，
若存在，使得f（x1）＝g（x2），
则[1+a，4+a]∩[﹣1，1]≠∅，
若[1+a，4+a]∩[﹣1，1]＝∅，
则1+a＞1或4+a＜﹣1，
得a＞0或a＜﹣5，
则当[1+a，4+a]∩[﹣1，1]≠∅时，﹣5≤a≤0，
即实数a的取值范围是[﹣5，0]，
故答案为：[﹣5，0]．
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（2021秋•许昌期末）求证：角θ为第二象限角的充要条件是．
【解题思路】利用充要条件的定义进行证明．
【解答过程】证明：充分性：即如果成立，那么θ为第二象限角．
若sinθ＞0成立，那么θ为第一或第二象限角，
也可能与y轴的正半轴重合；
又tanθ＜0成立，那么θ为第二或第四象限角．
因为成立，所以θ角的终边只能位于第二象限．
于是θ角为第二象限角．
则是角θ为第二象限角的充分条件．
必要性：即若角θ为第二象限角，那么成立．
若角θ为第二象限角，则sinθ＞0，csθ＜0，tanθ＜0．
则sinθ＞0，tanθ＜0，同时成立，
即角θ为第二象限角，那么成立．
则角θ为第二象限角是成立的必要条件．
综上可知，角θ为第二象限角的充要条件是．
18．（12分）（2020秋•邹城市期中）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，请写出它们的否定，并判断其真假：
（Ⅰ）p：对任意的x∈R，x2+x+1≠0都成立；
（Ⅱ）q：∃x∈R，使x2+3x+5≤0．
【解题思路】判断命题是特称命题还是全称命题，然后利用否定形式写出命题的否定，进而判断真假即可．
【解答过程】解：（Ⅰ）由于命题中含有全称量词“任意的”，
因此，该命题是全称量词命题．
又因为“任意的”的否定为“存在一个”，
所以其否定是：存在一个x∈R，使x2+x+1＝0成立，
即“∃x∈R，使x2+x+1＝0．”
因为Δ＝﹣3＜0，所以方程x2+x+1＝0无实数解，
此命题为假命题．
（Ⅱ）由于“：∃x∈R”表示存在一个实数x，即命题中含有存在量词“存在一个”，
因此，该命题是存在量词命题．
又因为“存在一个”的否定为“任意一个”，
所以其否定是：对任意一个实数x，都有x2+3x+5＞0成立．
即“∀x∈R，有x2+3x+5＞0”．
因为Δ＝﹣11＜0，所以对∀：x∈R，x2+3x+5＞0总成立，
此命题是真命题．
19．（12分）（2021秋•永昌县校级期末）设命题p：∃x∈R，x2﹣2x+m﹣3＝0，命题q：∀x∈R，x2﹣2（m﹣5）x+m2+19≠0．若p，q都为真命题，求实数m的取值范围．
【解题思路】分别求出命题p，q为真时实数m的取值范围，进而求出结论．
【解答过程】解：若命题p：∃x∈R，x2﹣2x+m﹣3＝0为真命题，
则Δ＝4﹣4（m﹣3）≥0，解得m≤4；
若命题q：∀x∈R，x2﹣2（m﹣5）x+m2+19≠0为真命题，
则Δ＝4（m﹣5）2﹣4（m2+19）＜0，
解得m∈（，+∞），又p，q都为真命题，
∴实数m的取值范围是{m|m≤4}∩{m|m}＝（，4]．
20．（12分）（2022春•东湖区校级期末）已知集合A＝{x|x2﹣4x﹣5≤0}，集合B＝{x|m﹣3＜x＜3m}．
（1）当m＝2时，求（∁RA）∩B；
（2）若“x∈B”是“x∈A”的必要不充分条件，求m的取值范围．
【解题思路】（1）先解一元二次不等式求出A，再利用集合的基本运算求解即可．
（2）先得到A⫋B，再列出不等式组求解即可．
【解答过程】解：（1）∵A＝{x|x2﹣4x﹣5≤0}＝{x|﹣1≤x≤5}，
∴∁RA＝{x|x＜﹣1或x＞5}，
当m＝2，B＝{x|﹣1＜x＜6}，
∴（∁RA）∩B＝{x|5＜x＜6}．
（2）∵x∈B“是“x∈A的必要不充分条件，∴A⫋B，
∴，解得，
故m的取值范围为．
21．（12分）（2021•龙岩二模）设函数f（x）＝|x﹣1|+a|x﹣2|，a∈R
（Ⅰ）若函数f（x）存在最小值，求a的取值范围；
（Ⅱ）若对任意x∈R，有f（x），求a的值．
【解题思路】（I）由题意可知：f（x），由于f（x）存在最小值，可得，解得a即可得出．
（II）由（I）可知：a≥﹣1，因此，或，解得a即可得出．
【解答过程】解：（I）由题意可知：f（x），
∵f（x）存在最小值，∴，解得a≥﹣1．
（II）由（I）可知：a≥﹣1，因此，或，
解得a．
22．（12分）（2021秋•番禺区校级期中）已知命题P：∃x∈R，使x2﹣4x+m＝0为假命题．
（1）求实数m的取值集合B；
（2）设A＝{x|3a＜x＜a+4}为非空集合，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【解题思路】（1）通过讨论m的范围，结合二次函数的性质求出B即可；
（2）根据充分必要条件的定义得到关于a的不等式组，解出即可．
【解答过程】解：（1）由题意，得关于x的方程x2﹣4x+m＝0无实数根，
所以Δ＝16﹣4m＜0，解得m＞4，
即B＝（4，+∞）；
（2）因为A＝{x|3a＜x＜a+4}为非空集合，
所以3a＜a+4，即a＜2，
因为x∈A是x∈B的充分不必要条件，
所以A是B的真子集，则a＜2且3a≥4，
即a＜2，
综上所述，实数a的取值范围为[，2）．