新高考数学一轮复习精选讲练专题1.6 不等关系与不等式性质（含解析）

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1．（5分）（2022春•辽宁期末）已知x，y∈R，且x＞y，则（ ）
A．B．lnx＞lny
C．x2＞y2D．（）x＜（）y
【解题思路】利用不等式的性质可判断A，C，利用对数函数和指数函数的性质可判断BD．
【解答过程】解：对于A，当x＝1，y＝﹣2时，显然不成立，故A错误，
对于B，当x≤0，y≤0时，lnx，lny无意义，故B错误，
对于C，当x＝1，y＝﹣2时，显然x2＞y2不成立，故C错误，
对于D，因为函数y在R上单调递减，且x＞y，
所以，故D正确，
故选：D．
2．（5分）（2022•杨浦区二模）下列不等式恒成立的是（ ）
A．|x+y|≥|x﹣y|B．
C．D．|x+y|+|x﹣y|≤|x|+|y|
【解题思路】举反例判断选项A、C、D，再通过不等式的性质判断选项B即可．
【解答过程】解：当x＝2，y＝﹣1时，|x+y|≥|x﹣y|不成立，
故选项A错误；
当x＝﹣1时，不成立，
故选项C错误；
当x＝2，y＝﹣1时，|x+y|+|x﹣y|≤|x|+|y|不成立，
故选项D错误；
xx＝|x|+x≥0，
故x＞0，
故选项B正确；
故选：B．
3．（5分）（2022春•昌平区期末）已知0＜a＜1，b＜0，则下列大小关系正确的是（ ）
A．ab＜1＜a2bB．1＜ab＜a2bC．ab＜a2b＜1D．a2b＜ab＜1
【解题思路】根据不等式的性质及指数函数的单调性，判断各选项即可．
【解答过程】解：∵0＜a＜1，b＜0，∴a2b＜1，∴AB错误；
a＞a2，ab＜a2b＜1，∴C正确，D错误．
故选：C．
4．（5分）（2021秋•焦作期中）已知﹣3＜a＜﹣2，3＜b＜4，则的取值范围为（ ）
A．（1，3）B．（，）C．（，）D．（，1）
【解题思路】由已知中：﹣3＜a＜﹣2，3＜b＜4可得：4＜a2＜9，，结合不等式的同号可乘性，可得的取值范围．
【解答过程】解：∵﹣3＜a＜﹣2，3＜b＜4，
∴4＜a2＜9，，
∴13，
故选：A．
5．（5分）（2022春•上饶月考）设a，b，c均为正实数，则三个数a，b，c（ ）
A．都大于4B．都小于4
C．至少有一个不大于4D．至少有一个不小于4
【解题思路】由三个数相加，根据基本不等式，利用反证法思想，可以确定正确答案．
【解答过程】解：∵abcabc4+4+4＝12，
当且仅当a＝b＝c时，取“＝”号，
若a4，b4，c4，则结论不成立，
∴a，b，c至少有一个不小于4，
故选：D．
6．（5分）（2022春•河南期中）若a是实数，，，则P，Q的大小关系是（ ）
A．Q＞PB．P＝Q
C．P＞QD．由a的取值确定
【解题思路】先平方，再分类讨论a的值，求解即可．
【解答过程】解：显然P，Q都是正数，
又，
，
①当a＜0时，则0＞a，∴Q2＞P2，Q＞P，
②当a≥0时，则a，∴Q2＞P2，Q＞P，
综上所述，Q＞P．
故选：A．
7．（5分）（2022•义乌市模拟）已知实数a，b，a＞0，b＞0，则“a+b＜2”是“”的（ ）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【解题思路】从充分性和必要性两个角度分别判断即可得出结论．
【解答过程】解：∵a＞0，b＞0，a+b＜2，
∴0＜a＜2﹣b，则，即充分性成立；
若，则两边同时平方可得，a＜2﹣b，即a+b＜2，即必要性成立；
∴“a+b＜2”是“”的充分必要条件．
故选：C．
8．（5分）（2022春•杭州期中）已知实数a，b满足a＞b＞0，则“0＜c＜b”是“”（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【解题思路】由，，依题意可得只需比较c（b﹣c﹣a）与0的大小，再根据充分条件、必要条件的定义判断可得结果．
【解答过程】解：∵，，
∵a＞b＞0，∴a+b＞0，
∴要比较与的大小，即比较与的大小，
即比较c（b﹣c﹣a）与0的大小，
当a＞b＞0且b＞c＞0时，c（b﹣c﹣a）＜0，且（a+c）（b﹣c）＞0，
即0＜ab+c（b﹣c﹣a）＜ab，∴，∴，故充分性成立，
当c＞b＞0时，c（b﹣c﹣a）＝c[﹣（a﹣b）﹣c]＜0，此时也满足，故必要性不成立，
∴“0＜c＜b”是“”充分不必要条件．
故选：A．
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（5分）下面列出的几种不等关系中，正确的为（ ）
A．x不大于3，可表示为“x＜3”
B．x与2的和是非负数，可表示为“x+2＞0”
C．△ABC的两边之和大于第三边，记三边分别为a，b，c，则可表示为“a+b＞c”
D．若某天的温度为t，最低温度为7℃，最高温度为13℃，则这天的温度范围可表示为“7℃≤t≤13℃”
【解题思路】先根据各选项的语言表述列出不等式即可．
【解答过程】解：∵x不大于3，可表示为x≤3，∴A错误，
∵x与2的和是非负数，可表示为x+2≥0，B错误，
根据三角形中任何两边之和大于第三边，则a+b＞c∴C正确，
∵最低温度为7℃，最高温度为13℃，∴7℃≤t≤13℃，∴D正确，
故选：CD．
10．（5分）（2022春•福州期末）若﹣1＜a＜b＜0，则（ ）
A．a2+b2＞2abB．C．D．
【解题思路】由重要不等式判断A；
举例法判断B；
由正负关系判断C；
作差法判断D．
【解答过程】解：对于A，因为a2+b2﹣2ab＝（a﹣b）2＞0（a≠b），所以a2+b2＞2ab，故正确；
对于B，取a，b，满足﹣1＜a＜b＜0，则2＞﹣3，故错误；
对于C，因为﹣1＜a＜b＜0，所以a+b＜0，而20，所以a+b＜2，故错误；
对于D，因为a（b）＝（a﹣b）+（）＝（a﹣b）（a﹣b）（1），
因为﹣1＜a＜b＜0，所以a﹣b＜0，0＜ab＜1，
所以0，即有为a（b），故正确．
故选：AD．
11．（5分）（2022春•开福区校级期末）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a＞0，b＞0，a+b＝2，则（ ）
A．0＜a≤1B．0＜ab≤1C．a2+b2≥2D．0＜b＜2
【解题思路】根据a＞0，b＞0，b＝2﹣a列不等式判断AD，再根据基本不等式判断BC即可．
【解答过程】解：∵a＞0，b＞0，b＝2﹣a．
∴，解得0＜a＜2．
同理可以得到：0＜b＜2，故A不正确．则D正确．
又∵，并且当且仅当a＝b时，取得等号．
故得到：0＜ab≤1，所以B正确．
又∵，并且当且仅当a＝b时，取得等号．
故得到：a2+b2≥2，所以C正确．
故选：BCD．
12．（5分）（2022•新华区校级模拟）已知a＞b＞c＞1，定义M，N，P，Q分别为，，则下列叙述正确的是（ ）
A．M＞N＞P
B．M＜N＜P
C．P是M，N，P，Q四个数中最小者
D．M是M，N，P，Q四个数中最大者
【解题思路】利用不等式的基本性质，作差法和基本不等式判断．
【解答过程】解：因为a＞b＞c＞1，
所以，则，即M＞N，
又，
，
，又，则Q＞P；
又，
，即P＜N，
，
当c＝4，b＝8，a＝16时，M﹣Q＝10＞0，
当c＝4，b＝100，a＝101时，，
故选：AC．
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2021秋•濂溪区校级月考）若0＜x＜1，则x、、、x2中最小的是 x2 ．
【解题思路】根据题意，分析可得01，0＜x2＜1，1，利用作差法分析可得答案．
【解答过程】解：根据题意，由于0＜x＜1，则有01，0＜x2＜1，1，
则x2﹣x＝x（x﹣1）＜0，即x2＜x；
x（1）＜0，即x，
则有x2＜x，其中最小的为x2；
故答案为：x2．
14．（5分）（2022春•赣州期中）已知t＞1，且，，则x，y的大小关系是 x＜y ．
【解题思路】可以转化为分式，再判断跟1的大小关系．从而确定x，y的大小．
【解答过程】解：．
．
．
故答案为：x＜y．
15．（5分）（2021•鸡冠区校级三模）已知1≤a+b≤3，﹣1≤a﹣b≤2，则z＝3a﹣b的取值范围是 [﹣1，7] ．
【解题思路】根据条件可求出∴﹣2≤2a﹣2b≤4，进而可得出z＝3a﹣b的取值范围．
【解答过程】解：∵1≤a+b≤3，﹣1≤a﹣b≤2，
∴﹣2≤2a﹣2b≤4，
∴﹣1≤3a﹣b≤7，
∴z＝3a﹣b的取值范围是：[﹣1，7]．
故答案为：[﹣1，7]．
16．（5分）（2021秋•杨浦区校级月考）已知m是实常数，若α：﹣1≤x≤3，β：m﹣1≤x≤2m+5，且α是β的充分条件，则实数m的取值范围是 [﹣1，0] ．
【解题思路】根据充分条件和必要条件与不等式的关系进行转化求解即可．
【解答过程】解：∵α是β的充分条件，
∴[﹣1，3]⊆[m﹣1，2m+5]，
则，得﹣1≤m≤0，
∵两个等号能同时成立，
∴﹣1≤m≤0，
故答案为：[﹣1，0]．
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（2021秋•武安市校级期末）x∈R，比较与的大小．
【解题思路】作差化简即可比较大小．
【解答过程】解：∵
＝（x3x+x21）﹣（x3x+x2）
0，
∴．
18．（12分）（2021秋•普宁市校级月考）已知﹣2＜a≤3，1≤b＜2，试求下列各式的取值范围．
（1）|a|；
（2）a+b；
（3）a﹣b；
（4）2a﹣3b．
【解题思路】根据绝对值运算可解决（1）；
根据不等式性质可解决（2）（3）（4）．
【解答过程】解：（1）0≤|a|≤3；
（2）﹣1＜a+b＜5；
（3）依题意得﹣2＜﹣b≤﹣1，又﹣2＜a≤3，相加得﹣4＜a﹣b≤2；
（4）由﹣2＜a≤3得﹣4＜2a≤6①，
由1≤b＜2得﹣6＜﹣3b≤﹣3②，
①+②得，﹣10＜2a﹣3b≤3．
19．（12分）（2021秋•金水区校级期中）已知对于正数a、b，存在一些特殊的形式，如：、、等．判断上述三者的大小关系，并证明．
【解题思路】利用基本不等式可得出、、的大小关系．
【解答过程】解：，证明如下：
因为a、b均为正数，由基本不等式可得a2+b2≥2ab，
则2（a2+b2）≥a2+b2+2ab＝（a+b）2，则，所以，
由上可知，则，即，
所以，，
综上所述，：，当且仅当a＝b时，两个等号都成立．
20．（12分）（2021秋•江岸区校级月考）试比较下列各组式子的大小：
（1）与，其中x＞1；
（2）x3﹣2y3与xy2﹣2x2y，其中x＞y＞0．
【解题思路】（1）由题意可得，，由0即可求解．
（2）由题意利用作差法即可求解．
【解答过程】解：（1）由题意可得，
，
因为0，
所以．
（2）（x3﹣2y3）﹣（xy2﹣2x2y）＝x3﹣xy2+2x2y﹣2y3＝x（x2﹣y2）+2y（x2﹣y2）＝（x2﹣y2）（x+2y）＝（x﹣y）（x+y）（x+2y），
因为x＞y＞0，所以x﹣y＞0，x+y＞0，x+2y＞0，
所以（x3﹣2y3）﹣（xy2﹣2x2y）＞0，
即x3﹣2y3＞xy2﹣2x2y．
21．（12分）（2021秋•太和县校级月考）（1）设xy＜0，试比较（x2+y2）（x﹣y）与（x2﹣y2）（x+y）的大小；
（2）已知1＜a+b＜3，﹣2＜a﹣b＜2，求2a+3b的取值范围．
【解题思路】（1）利用作差法，分类讨论即可比较两式的大小．
（2）设2a+3b＝m（a+b）+n（a﹣b），由题意可求m，n的值，结合已知即可求解．
【解答过程】解：（1）（x2+y2）（x﹣y）﹣（x2﹣y2）（x+y）＝（x﹣y）[x2+y2﹣（x+y）2]＝﹣2xy（x﹣y），
∵xy＜0，
∴当x＞y时，x﹣y＞0，﹣2xy（x﹣y）＞0，得（x2+y2）（x﹣y）＞（x2﹣y2）（x+y），
当x＜y时，x﹣y＜0，﹣2xy（x﹣y）＜0，得（x2+y2）（x﹣y）＜（x2﹣y2）（x+y）．
（2）设2a+3b＝m（a+b）+n（a﹣b），
则
解得，，
则，
∵1＜a+b＜3，﹣2＜a﹣b＜2，
∴，，
∴，
即．
22．（12分）（2021秋•长白县校级月考）（1）已知﹣3＜a＜2，﹣4＜b＜﹣3，试求2a+3b与a﹣b的取值范围．
（2）设f（x）＝（4a﹣3）x+b﹣2a，x∈[0，1]，若f（0）≤2，f（1）≤2，求a+b的取值范围．
【解题思路】（1）由﹣3＜a＜2，﹣4＜b＜﹣3，结合不等式的性质可得﹣18＜2a+3b＜﹣5，0＜a﹣b＜6；
（2）根据题意得，化简a+b，从而利用不等式的性质求得a+b的取值范围为（﹣∞，]．
【解答过程】解：（1）∵﹣3＜a＜2，﹣4＜b＜﹣3，
∴﹣6＜2a＜4，﹣12＜3b＜﹣9，
∴﹣6+（﹣12）＜2a+3b＜4+（﹣9），
即﹣18＜2a+3b＜﹣5．
又∵﹣4＜b＜﹣3，∴3＜﹣b＜4，
∴﹣3+3＜a﹣b＜2+4，
即0＜a﹣b＜6，
故﹣18＜2a+3b＜﹣5，0＜a﹣b＜6；
（2）根据题意得，
故a+b

，
∵f（0）≤2，f（1）≤2，∴3f（1）+f（0）+9≤17，
故a+b，
故a+b的取值范围为（﹣∞，]．