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新高考数学一轮复习提升训练7.1 空间几何中的平行与垂直（精练）（含解析）
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这是一份新高考数学一轮复习提升训练7.1 空间几何中的平行与垂直（精练）（含解析），共23页。试卷主要包含了平行问题等内容，欢迎下载使用。
1（2022·四川宜宾）如图，正方形ABED的边长为1，G，F分别是EC，BD的中点，求证： SKIPIF 1 < 0 平面ABC
【答案】证明见解析；
【解析】如图，连接AE，因F是正方形ABED对角线BD的中点，则F是AE的中点，而G是CE的中点，则 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
2．（2022·辽宁抚顺）在正方体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的中点.求证：
(1) SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
(2)平面 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【解析】（1）连接 SKIPIF 1 < 0 ，因为四边形 SKIPIF 1 < 0 为正方形， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点，所以 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点，又因为 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点，所以 SKIPIF 1 < 0 .因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
连接 SKIPIF 1 < 0 ，因为四边形 SKIPIF 1 < 0 为正方形， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点，所以 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点.又因为 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点，所以 SKIPIF 1 < 0 .因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .由（1）知 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以平面 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
3．（2022·江西南昌）两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，过M作 SKIPIF 1 < 0 于H，求证：
(1)平面 SKIPIF 1 < 0 平面BCE；
(2) SKIPIF 1 < 0 平面BCE.
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.
【解析】（1）在正方形ABCD中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，于是得 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，因 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由（1）知：平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
4．（2022·安徽安庆市）如图，四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，底面 SKIPIF 1 < 0 为直角梯形，且 SKIPIF 1 < 0 ，点M在棱 SKIPIF 1 < 0 上，若直线 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值
【答案】（1）1∶2；
【解析】连接 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于点N，连接 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，且平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
5．（2022·北京市第十三中学）如图，已知在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，底面 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，在 SKIPIF 1 < 0 上任取一点 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 作平面 SKIPIF 1 < 0 交平面 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求证： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(3)求证： SKIPIF 1 < 0 .
【答案】证明见解析
【解析】(1)证明：因为四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，因此， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
(2)证明：连接 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，
因为四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，
又因为 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 . SKIPIF 1 < 0
(3)证明： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
6．（2022·重庆八中高三阶段练习）如图，在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，底面 SKIPIF 1 < 0 是正方形， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相交于点O，F点是 SKIPIF 1 < 0 的中点，E点在线段 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ．求证：直线 SKIPIF 1 < 0 ∥平面 SKIPIF 1 < 0
【答案】证明见解析；
【解析】取 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，连接CG、GF、EO．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 点是 SKIPIF 1 < 0 的中点，故 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ．
又 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，
则 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
故平面 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ．
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ．
7（2022·山西临汾）如图（1），在梯形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，线段 SKIPIF 1 < 0 上有一点E，满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，现将 SKIPIF 1 < 0 分别沿 SKIPIF 1 < 0 折起，使 SKIPIF 1 < 0 ，得到如图（2）所示的几何体．求证： SKIPIF 1 < 0
【答案】证明见解析；
【解析】图（1）中， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ，
同理可得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
图（2）中， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
8．（2022·江西）如图所示，在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，E是 SKIPIF 1 < 0 的中点.
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 //平面 SKIPIF 1 < 0
(2)求证： SKIPIF 1 < 0 //平面 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析
【解析】(1)因为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)
取 SKIPIF 1 < 0 中点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，易得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，由（1）知 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，则四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
9．（2022·全国·高一）如图，在几何体 ABCDEF中，四边形ABCD为平行四边形，G为FC的中点，平面ABFE∩平面CDEF=EF
(1)证明:AF//平面BDG
(2)证明:AB//EF
【答案】(1)证明见解析.(2)证明见解析.
【解析】(1)连接AC交BD于O,连接OG.
因为四边形ABCD为平行四边形，所以AC、BD互相平分.
又G为FC的中点，所以OG为三角形ACF的中位线，所以 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ,所以AF//平面BDG.
(2)因为四边形ABCD为平行四边形，所以AB//CD.
因为 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ,所以AB//平面 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ,面 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 =EF.
所以AB//EF.
题组二 空间几何中的垂直
1．（2022·全国·高三专题练习）在平行四边形 SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0 过 SKIPIF 1 < 0 点作 SKIPIF 1 < 0 的垂线交 SKIPIF 1 < 0 的延长线于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .连接 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，如图1，将 SKIPIF 1 < 0 沿 SKIPIF 1 < 0 折起，使得点 SKIPIF 1 < 0 到达点 SKIPIF 1 < 0 的位置.如图2.证明：直线 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】证明见解析
【解析】证明：图1中，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0 .所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 也是直角三角形， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
在图2中， SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
2．（2022·全国·高三专题练习）如图，四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．证明： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
【答案】证明见解析
【解析】证明：如图，
连接AF，
由题意知 SKIPIF 1 < 0 为等腰三角形，
而 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
又因为平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ．
而 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ．
连接 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形，
因此 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ．
3．（2022·全国·高三专题练习）在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 ．证明： SKIPIF 1 < 0
【答案】证明见解析；
【解析】证明：在四边形 SKIPIF 1 < 0 中，作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以四边形 SKIPIF 1 < 0 为等腰梯形，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ；
4．（2022·上海松江·二模）如图，在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，底面 SKIPIF 1 < 0 是矩形， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，点 SKIPIF 1 < 0 在棱 SKIPIF 1 < 0 上．
(1)求四棱锥 SKIPIF 1 < 0 的全面积；
(2)求证： SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2)证明见解析.
【解析】(1)∵BC//AD，AD⊥平面ABP，∴BC⊥平面ABP，
∴BC⊥BP，∴ SKIPIF 1 < 0 ,
同理可得 SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
(2)∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴CD⊥PA．
又ABCD是矩形，∴CD⊥AD，
∵PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD．
∵AF⊂平面PAD，∴AF⊥CD．
∵PA＝AD，点F是PD的中点，∴AF⊥PD．
又CD∩PD＝D，∴AF⊥平面PDC．
∵PE⊂平面PDC，∴PE⊥AF．
5．（2022·河南·信阳高中）如图所示，直三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点．
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若三棱柱 SKIPIF 1 < 0 上下底面为正三角形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求证：平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【解析】(1)连接 SKIPIF 1 < 0 ，与 SKIPIF 1 < 0 相交于点F，连接MF，则 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，
因为 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点，所以MF是 SKIPIF 1 < 0 的中位线，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
(2)因为直三棱柱 SKIPIF 1 < 0 上下底面为正三角形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
由三线合一可得： SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 平面ABC， SKIPIF 1 < 0 平面ABC，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
6．（2022·北京大兴）如图，在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，底面 SKIPIF 1 < 0 为菱形， SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点.
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求证： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(3)若平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的大小.
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3) SKIPIF 1 < 0
【解析】(1)因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
又因为底面 SKIPIF 1 < 0 为菱形，所以 SKIPIF 1 < 0 .
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
(2)
取 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，联结 SKIPIF 1 < 0 .
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 的中点，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
因为底面 SKIPIF 1 < 0 为菱形，且 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形.
所以 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
(3)因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
因为平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，且平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 .
因为底面 SKIPIF 1 < 0 为菱形，且 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，所以 SKIPIF 1 < 0 .所以 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 是等边三角形.所以 SKIPIF 1 < 0 .
题组三 空间几何中的定理辨析
1．（2022·上海虹口·二模）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是平面 SKIPIF 1 < 0 内的两条直线， SKIPIF 1 < 0 是空间的一条直线，则“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，但 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是否相交无法判断，所以 SKIPIF 1 < 0 可能成立，也可能不成立．综上，“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ”的充分不必要条件．
故选：A．
2．（2022·全国·高三专题练习（文））在正方体 SKIPIF 1 < 0 中，E，F分别为 SKIPIF 1 < 0 的中点，则（ ）
A．平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 B．平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
C．平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 D．平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】解：在正方体 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 的中点，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；
选项BCD解法一：
如图，以点 SKIPIF 1 < 0 为原点，建立空间直角坐标系，设 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
则有 SKIPIF 1 < 0 ，可取 SKIPIF 1 < 0 ，
同理可得平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 不垂直，故B错误；
因为 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 不平行，
所以平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 不平行，故C错误；
因为 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 不平行，
所以平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 不平行，故D错误，
故选：A.
选项BCD解法二：
解：对于选项B，如图所示，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 的交线，
在 SKIPIF 1 < 0 内，作 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 内，作 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，连结 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 或其补角为平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成二面角的平面角，
由勾股定理可知： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
底面正方形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 为中点，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由勾股定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
从而有： SKIPIF 1 < 0 ，
据此可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
据此可得平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 不成立，选项B错误；
对于选项C，取 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 相交，故平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 不成立，选项C错误；
对于选项D，取 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，很明显四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 相交，故平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 不成立，选项D错误；
故选：A.
3．（2022·安徽省舒城中学三模（理））设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是不同的直线， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是不同的平面，则下面说法正确的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
B．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
D．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】A：由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 相交，错误；
B：由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 相交，错误；
C：由 SKIPIF 1 < 0 ，则存在直线 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 ，根据面面垂直的判定易知 SKIPIF 1 < 0 ，正确；
D：由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，错误.
故选：C
4（2022·全国·高三专题练习（理））已知 SKIPIF 1 < 0 是正方体 SKIPIF 1 < 0 的中心O关于平面 SKIPIF 1 < 0 的对称点，则下列说法中正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 是异面直线B． SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
连接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，交于点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，交于点 SKIPIF 1 < 0 .
连接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 .
由题可知， SKIPIF 1 < 0 在平面 SKIPIF 1 < 0 上，所以 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 共面，故A错误；
在四边形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，所以四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形.
SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；
由正方体的性质可得 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角为 SKIPIF 1 < 0 ，所以显然 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 不垂直，故C错误；
显然 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 不垂直，而 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 不垂直，故D错误.
故选：B.
5．（2022·浙江省新昌中学模拟预测）设a，b是两条不同的直线， SKIPIF 1 < 0 是两个不同的平面，给出下列命题：
①若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
②若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
③若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
④若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
其中为真命题的是（ ）
A．①②B．②③C．③④D．①④
【答案】C
【解析】①中， SKIPIF 1 < 0 ，则平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 可能平行，可能相交也可能垂直，故①错误；
②中， SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 可能平行，异面或者垂直，故②错误；
③中， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，故③正确；
④中， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故④正确.
故选：C.
6．（2022·湖北·华中师大一附中模拟预测）如图，正方体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 垂直，直线 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
B．直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 平行，直线 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
C．直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 异面，直线 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
D．直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 相交，直线 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】连接 SKIPIF 1 < 0 ；由正方体的性质可知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，所以直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 垂直；
由正方体的性质可知 SKIPIF 1 < 0 ，所以平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；
以 SKIPIF 1 < 0 为原点，建立如图坐标系，设正方体棱长为1， SKIPIF 1 < 0
显然直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 不平行，故B不正确；
直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 异面正确， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 不垂直，故C不正确；
直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 异面，不相交，故D不正确；
故选：A.
7．（2022·全国·高三专题练习）如图是一个几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F分别为PA，PD的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：
①直线BE与直线CF异面；
②直线BE与直线AF异面；
③直线EF SKIPIF 1 < 0 平面PBC；
④平面BCE⊥平面PAD.
其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】画出该几何体，如图所示，①因为E，F分别是PA，PD的中点，所以EF SKIPIF 1 < 0 AD，所以EF SKIPIF 1 < 0 BC，直线BE与直线CF是共面直线，故①不正确；
②直线BE与直线AF满足异面直线的定义，故②正确；
③由E，F分别是PA，PD的中点，可知EF SKIPIF 1 < 0 AD，所以EF SKIPIF 1 < 0 BC，因为EF SKIPIF 1 < 0 平面PBC，BC SKIPIF 1 < 0 平面PBC，所以直线EF SKIPIF 1 < 0 平面PBC，故③正确；
④因为BE与PA的关系不能确定，所以不能判定平面BCE⊥平面PAD，故④不正确.
所以正确结论的个数是2.
故选：B
1（2022·四川宜宾）如图，正方形ABED的边长为1，G，F分别是EC，BD的中点，求证： SKIPIF 1 < 0 平面ABC
【答案】证明见解析；
【解析】如图，连接AE，因F是正方形ABED对角线BD的中点，则F是AE的中点，而G是CE的中点，则 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
2．（2022·辽宁抚顺）在正方体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的中点.求证：
(1) SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
(2)平面 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【解析】（1）连接 SKIPIF 1 < 0 ，因为四边形 SKIPIF 1 < 0 为正方形， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点，所以 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点，又因为 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点，所以 SKIPIF 1 < 0 .因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
连接 SKIPIF 1 < 0 ，因为四边形 SKIPIF 1 < 0 为正方形， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点，所以 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点.又因为 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点，所以 SKIPIF 1 < 0 .因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .由（1）知 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以平面 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
3．（2022·江西南昌）两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，过M作 SKIPIF 1 < 0 于H，求证：
(1)平面 SKIPIF 1 < 0 平面BCE；
(2) SKIPIF 1 < 0 平面BCE.
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.
【解析】（1）在正方形ABCD中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，于是得 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，因 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由（1）知：平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
4．（2022·安徽安庆市）如图，四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，底面 SKIPIF 1 < 0 为直角梯形，且 SKIPIF 1 < 0 ，点M在棱 SKIPIF 1 < 0 上，若直线 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值
【答案】（1）1∶2；
【解析】连接 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于点N，连接 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，且平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
5．（2022·北京市第十三中学）如图，已知在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，底面 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，在 SKIPIF 1 < 0 上任取一点 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 作平面 SKIPIF 1 < 0 交平面 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求证： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(3)求证： SKIPIF 1 < 0 .
【答案】证明见解析
【解析】(1)证明：因为四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，因此， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
(2)证明：连接 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，
因为四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，
又因为 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 . SKIPIF 1 < 0
(3)证明： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
6．（2022·重庆八中高三阶段练习）如图，在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，底面 SKIPIF 1 < 0 是正方形， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相交于点O，F点是 SKIPIF 1 < 0 的中点，E点在线段 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ．求证：直线 SKIPIF 1 < 0 ∥平面 SKIPIF 1 < 0
【答案】证明见解析；
【解析】取 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，连接CG、GF、EO．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 点是 SKIPIF 1 < 0 的中点，故 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ．
又 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，
则 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
故平面 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ．
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ．
7（2022·山西临汾）如图（1），在梯形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，线段 SKIPIF 1 < 0 上有一点E，满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，现将 SKIPIF 1 < 0 分别沿 SKIPIF 1 < 0 折起，使 SKIPIF 1 < 0 ，得到如图（2）所示的几何体．求证： SKIPIF 1 < 0
【答案】证明见解析；
【解析】图（1）中， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ，
同理可得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
图（2）中， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
8．（2022·江西）如图所示，在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，E是 SKIPIF 1 < 0 的中点.
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 //平面 SKIPIF 1 < 0
(2)求证： SKIPIF 1 < 0 //平面 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析
【解析】(1)因为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)
取 SKIPIF 1 < 0 中点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，易得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，由（1）知 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，则四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
9．（2022·全国·高一）如图，在几何体 ABCDEF中，四边形ABCD为平行四边形，G为FC的中点，平面ABFE∩平面CDEF=EF
(1)证明:AF//平面BDG
(2)证明:AB//EF
【答案】(1)证明见解析.(2)证明见解析.
【解析】(1)连接AC交BD于O,连接OG.
因为四边形ABCD为平行四边形，所以AC、BD互相平分.
又G为FC的中点，所以OG为三角形ACF的中位线，所以 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ,所以AF//平面BDG.
(2)因为四边形ABCD为平行四边形，所以AB//CD.
因为 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ,所以AB//平面 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ,面 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 =EF.
所以AB//EF.
题组二 空间几何中的垂直
1．（2022·全国·高三专题练习）在平行四边形 SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0 过 SKIPIF 1 < 0 点作 SKIPIF 1 < 0 的垂线交 SKIPIF 1 < 0 的延长线于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .连接 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，如图1，将 SKIPIF 1 < 0 沿 SKIPIF 1 < 0 折起，使得点 SKIPIF 1 < 0 到达点 SKIPIF 1 < 0 的位置.如图2.证明：直线 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】证明见解析
【解析】证明：图1中，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0 .所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 也是直角三角形， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
在图2中， SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
2．（2022·全国·高三专题练习）如图，四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．证明： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
【答案】证明见解析
【解析】证明：如图，
连接AF，
由题意知 SKIPIF 1 < 0 为等腰三角形，
而 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
又因为平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ．
而 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ．
连接 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形，
因此 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ．
3．（2022·全国·高三专题练习）在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 ．证明： SKIPIF 1 < 0
【答案】证明见解析；
【解析】证明：在四边形 SKIPIF 1 < 0 中，作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以四边形 SKIPIF 1 < 0 为等腰梯形，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ；
4．（2022·上海松江·二模）如图，在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，底面 SKIPIF 1 < 0 是矩形， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，点 SKIPIF 1 < 0 在棱 SKIPIF 1 < 0 上．
(1)求四棱锥 SKIPIF 1 < 0 的全面积；
(2)求证： SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2)证明见解析.
【解析】(1)∵BC//AD，AD⊥平面ABP，∴BC⊥平面ABP，
∴BC⊥BP，∴ SKIPIF 1 < 0 ,
同理可得 SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
(2)∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴CD⊥PA．
又ABCD是矩形，∴CD⊥AD，
∵PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD．
∵AF⊂平面PAD，∴AF⊥CD．
∵PA＝AD，点F是PD的中点，∴AF⊥PD．
又CD∩PD＝D，∴AF⊥平面PDC．
∵PE⊂平面PDC，∴PE⊥AF．
5．（2022·河南·信阳高中）如图所示，直三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点．
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若三棱柱 SKIPIF 1 < 0 上下底面为正三角形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求证：平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【解析】(1)连接 SKIPIF 1 < 0 ，与 SKIPIF 1 < 0 相交于点F，连接MF，则 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，
因为 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点，所以MF是 SKIPIF 1 < 0 的中位线，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
(2)因为直三棱柱 SKIPIF 1 < 0 上下底面为正三角形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
由三线合一可得： SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 平面ABC， SKIPIF 1 < 0 平面ABC，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
6．（2022·北京大兴）如图，在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，底面 SKIPIF 1 < 0 为菱形， SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点.
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求证： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(3)若平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的大小.
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3) SKIPIF 1 < 0
【解析】(1)因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
又因为底面 SKIPIF 1 < 0 为菱形，所以 SKIPIF 1 < 0 .
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
(2)
取 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，联结 SKIPIF 1 < 0 .
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 的中点，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
因为底面 SKIPIF 1 < 0 为菱形，且 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形.
所以 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
(3)因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
因为平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，且平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 .
因为底面 SKIPIF 1 < 0 为菱形，且 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，所以 SKIPIF 1 < 0 .所以 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 是等边三角形.所以 SKIPIF 1 < 0 .
题组三 空间几何中的定理辨析
1．（2022·上海虹口·二模）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是平面 SKIPIF 1 < 0 内的两条直线， SKIPIF 1 < 0 是空间的一条直线，则“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，但 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是否相交无法判断，所以 SKIPIF 1 < 0 可能成立，也可能不成立．综上，“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ”的充分不必要条件．
故选：A．
2．（2022·全国·高三专题练习（文））在正方体 SKIPIF 1 < 0 中，E，F分别为 SKIPIF 1 < 0 的中点，则（ ）
A．平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 B．平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
C．平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 D．平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】解：在正方体 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 的中点，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；
选项BCD解法一：
如图，以点 SKIPIF 1 < 0 为原点，建立空间直角坐标系，设 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
则有 SKIPIF 1 < 0 ，可取 SKIPIF 1 < 0 ，
同理可得平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 不垂直，故B错误；
因为 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 不平行，
所以平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 不平行，故C错误；
因为 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 不平行，
所以平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 不平行，故D错误，
故选：A.
选项BCD解法二：
解：对于选项B，如图所示，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 的交线，
在 SKIPIF 1 < 0 内，作 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 内，作 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，连结 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 或其补角为平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成二面角的平面角，
由勾股定理可知： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
底面正方形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 为中点，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由勾股定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
从而有： SKIPIF 1 < 0 ，
据此可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
据此可得平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 不成立，选项B错误；
对于选项C，取 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 相交，故平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 不成立，选项C错误；
对于选项D，取 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，很明显四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 相交，故平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 不成立，选项D错误；
故选：A.
3．（2022·安徽省舒城中学三模（理））设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是不同的直线， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是不同的平面，则下面说法正确的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
B．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
D．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】A：由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 相交，错误；
B：由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 相交，错误；
C：由 SKIPIF 1 < 0 ，则存在直线 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 ，根据面面垂直的判定易知 SKIPIF 1 < 0 ，正确；
D：由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，错误.
故选：C
4（2022·全国·高三专题练习（理））已知 SKIPIF 1 < 0 是正方体 SKIPIF 1 < 0 的中心O关于平面 SKIPIF 1 < 0 的对称点，则下列说法中正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 是异面直线B． SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
连接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，交于点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，交于点 SKIPIF 1 < 0 .
连接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 .
由题可知， SKIPIF 1 < 0 在平面 SKIPIF 1 < 0 上，所以 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 共面，故A错误；
在四边形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，所以四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形.
SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；
由正方体的性质可得 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角为 SKIPIF 1 < 0 ，所以显然 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 不垂直，故C错误；
显然 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 不垂直，而 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 不垂直，故D错误.
故选：B.
5．（2022·浙江省新昌中学模拟预测）设a，b是两条不同的直线， SKIPIF 1 < 0 是两个不同的平面，给出下列命题：
①若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
②若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
③若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
④若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
其中为真命题的是（ ）
A．①②B．②③C．③④D．①④
【答案】C
【解析】①中， SKIPIF 1 < 0 ，则平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 可能平行，可能相交也可能垂直，故①错误；
②中， SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 可能平行，异面或者垂直，故②错误；
③中， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，故③正确；
④中， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故④正确.
故选：C.
6．（2022·湖北·华中师大一附中模拟预测）如图，正方体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 垂直，直线 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
B．直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 平行，直线 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
C．直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 异面，直线 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
D．直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 相交，直线 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】连接 SKIPIF 1 < 0 ；由正方体的性质可知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，所以直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 垂直；
由正方体的性质可知 SKIPIF 1 < 0 ，所以平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；
以 SKIPIF 1 < 0 为原点，建立如图坐标系，设正方体棱长为1， SKIPIF 1 < 0
显然直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 不平行，故B不正确；
直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 异面正确， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 不垂直，故C不正确；
直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 异面，不相交，故D不正确；
故选：A.
7．（2022·全国·高三专题练习）如图是一个几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F分别为PA，PD的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：
①直线BE与直线CF异面；
②直线BE与直线AF异面；
③直线EF SKIPIF 1 < 0 平面PBC；
④平面BCE⊥平面PAD.
其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】画出该几何体，如图所示，①因为E，F分别是PA，PD的中点，所以EF SKIPIF 1 < 0 AD，所以EF SKIPIF 1 < 0 BC，直线BE与直线CF是共面直线，故①不正确；
②直线BE与直线AF满足异面直线的定义，故②正确；
③由E，F分别是PA，PD的中点，可知EF SKIPIF 1 < 0 AD，所以EF SKIPIF 1 < 0 BC，因为EF SKIPIF 1 < 0 平面PBC，BC SKIPIF 1 < 0 平面PBC，所以直线EF SKIPIF 1 < 0 平面PBC，故③正确；
④因为BE与PA的关系不能确定，所以不能判定平面BCE⊥平面PAD，故④不正确.
所以正确结论的个数是2.
故选：B
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