2023年高考数学 7.1 空间几何中的平行与垂直（精练）（提升版）（解析版）

7.1 空间几何中的平行与垂直（精练）（提升版）

1（2022·四川宜宾）如图，正方形ABED的边长为1，G，F分别是EC，BD的中点，求证：平面ABC

【答案】证明见解析；

【解析】如图，连接AE，因F是正方形ABED对角线BD的中点，则F是AE的中点，而G是CE的中点，则，又平面，平面，所以平面.

2．（2022·辽宁抚顺）在正方体中，分别是和的中点.求证：

(1)平面.

(2)平面平面.

【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析

【解析】（1）连接，因为四边形为正方形，为中点，所以为中点，又因为为中点，所以.因为平面平面，所以平面，

（2）连接，因为四边形为正方形，为中点，所以为中点.又因为为中点，所以.因为平面平面所以平面.由（1）知平面，又，平面，所以平面平面.

3．（2022·江西南昌）两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，，，且，过M作于H，求证：

(1)平面平面BCE；

(2)平面BCE.

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.

【解析】（1）在正方形ABCD中，，，则，又平面，平面，因此平面，由，得，而，，则有，即，于是得，又平面，平面，则平面，因，平面，所以平面平面.

（2）由（1）知：平面平面，而平面，所以平面.

4．（2022·安徽安庆市）如图，四棱锥中，底面为直角梯形，且，点M在棱上，若直线平面，求的值

【答案】（1）1∶2；

【解析】连接与交于点N，连接，

，，，，

又平面，平面，且平面平面

．

5．（2022·北京市第十三中学）如图，已知在四棱锥中，底面是平行四边形，为的中点，在上任取一点，过和作平面交平面于.

(1)求证：平面；

(2)求证：平面；

(3)求证：.

【答案】证明见解析

【解析】(1)证明：因为四边形为平行四边形，则，

平面，平面，因此，平面.

(2)证明：连接交于点，连接，

因为四边形为平行四边形，，则为的中点，

又因为为的中点，则，

平面，平面，平面.       

(3)证明：平面，平面，平面平面，

.

6．（2022·重庆八中高三阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是正方形，与相交于点O，F点是的中点，E点在线段上，且．求证：直线∥平面

【答案】证明见解析；

【解析】取的中点，连接CG、GF、EO．

∵，

则，

∵点是的中点，故，且平面，

故平面．

又，故是的中点，是的中点，

则，且平面，

故平面，且，

故平面平面．

又平面，故平面．

7（2022·山西临汾）如图（1），在梯形中，且，线段上有一点E，满足，，现将分别沿折起，使，得到如图（2）所示的几何体．求证：

【答案】证明见解析；

【解析】图（1）中，，则，而，即，

在中，，有，

同理可得，则，

图（2）中，，则，而，平面，则有平面，

在中，，则，又，，平面，因此平面，

所以.

8．（2022·江西）如图所示，在四棱锥中，平面，E是的中点.

(1)求证：//平面

(2)求证：//平面.

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析

【解析】(1)因为平面，平面，平面平面，所以，

又平面，平面，则平面；

(2)

取中点，连接，易得，且，由（1）知且，

则且，则四边形为平行四边形，则，又平面，平面，则平面.

9．（2022·全国·高一）如图，在几何体 ABCDEF中，四边形ABCD为平行四边形，G为FC的中点，平面ABFE∩平面CDEF=EF

(1)证明:AF//平面BDG

(2)证明:AB//EF

【答案】(1)证明见解析.(2)证明见解析.

【解析】(1)连接AC交BD于O,连接OG.

因为四边形ABCD为平行四边形，所以AC、BD互相平分.

又G为FC的中点，所以OG为三角形ACF的中位线，所以.

因为面,面,所以AF//平面BDG.

(2)因为四边形ABCD为平行四边形，所以AB//CD.

因为面,面,所以AB//平面.

因为面,面面=EF.

所以AB//EF.

1．（2022·全国·高三专题练习）在平行四边形中过点作的垂线交的延长线于点，.连接交于点，如图1，将沿折起，使得点到达点的位置.如图2.证明：直线平面.

【答案】证明见解析

【解析】证明：图1中，在中，所以.所以

也是直角三角形，

，

在图2中，所以平面.

2．（2022·全国·高三专题练习）如图，四棱锥中，平面平面，为的中点，为的中点，且，，．证明：平面

【答案】证明见解析

【解析】证明：如图，

连接AF，

由题意知为等腰三角形，

而为的中点，所以．

又因为平面平面，且，平面平面，平面，

所以平面．

而平面，所以．

而，平面，所以平面．

连接，则，，

而，，所以且，

所以是平行四边形，

因此，故平面．

3．（2022·全国·高三专题练习）在四棱锥中，底面．证明：

【答案】证明见解析；

【解析】证明：在四边形中，作于，于，

因为，

所以四边形为等腰梯形，

所以，

故，，

所以，

所以，

因为平面，平面，

所以，

又，

所以平面，

又因为平面，

所以；

4．（2022·上海松江·二模）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，， 是的中点，点在棱上．

(1)求四棱锥的全面积；

(2)求证：．

【答案】(1)；(2)证明见解析.

【解析】(1)∵BC//AD，AD⊥平面ABP，∴BC⊥平面ABP，

∴BC⊥BP，∴,

同理可得,

∴

.

(2)∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴CD⊥PA．

又ABCD是矩形，∴CD⊥AD，

∵PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD．

∵AF⊂平面PAD，∴AF⊥CD．

∵PA＝AD，点F是PD的中点，∴AF⊥PD．

又CD∩PD＝D，∴AF⊥平面PDC．

∵PE⊂平面PDC，∴PE⊥AF．

5．（2022·河南·信阳高中）如图所示，直三棱柱中，为中点．

(1)求证：平面；

(2)若三棱柱上下底面为正三角形，，，求证：平面平面．

【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析

【解析】(1)连接，与相交于点F，连接MF，则为的中点，

因为为中点，所以MF是的中位线，所以，

因为平面，平面，所以平面

(2)因为直三棱柱上下底面为正三角形，，，

所以，

所以，

所以，即，

由三线合一可得：，

又因为平面ABC，平面ABC，

所以，

因为，

所以平面，

因为平面，

所以

因为

所以平面，

因为平面，

所以平面平面

6．（2022·北京大兴）如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，分别为，的中点.

(1)求证：平面；

(2)求证：平面；

(3)若平面平面，求的大小.

【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)

【解析】(1)因为平面，平面，所以.

又因为底面为菱形，所以.

又因为，所以平面.

(2)

取为的中点，联结.

在中，分别为的中点，

所以.

因为底面为菱形，且为的中点，

所以.

所以.

所以四边形为平行四边形.

所以.

因为平面平面.

所以平面.

(3)因为平面，平面，所以.

因为平面平面，且平面平面平面，所以平面.

所以.

因为底面为菱形，且为的中点，所以.所以

则是等边三角形.所以.

1．（2022·上海虹口·二模）已知，是平面内的两条直线，是空间的一条直线，则“”是“且”的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】当时，，所以且；

当且，，但，是否相交无法判断，所以可能成立，也可能不成立．综上，“”是“且”的充分不必要条件．

故选：A．

2．（2022·全国·高三专题练习（文））在正方体中，E，F分别为的中点，则（       ）

A．平面平面 B．平面平面

C．平面平面 D．平面平面

【答案】A

【解析】解：在正方体中，

且平面，

又平面，所以，

因为分别为的中点，

所以，所以，

又，

所以平面，

又平面，

所以平面平面，故A正确；

选项BCD解法一：

如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，设，

则，

，

则，，

设平面的法向量为，

则有，可取，

同理可得平面的法向量为，

平面的法向量为，

平面的法向量为，

则，

所以平面与平面不垂直，故B错误；

因为与不平行，

所以平面与平面不平行，故C错误；

因为与不平行，

所以平面与平面不平行，故D错误，

故选：A.

选项BCD解法二：

解：对于选项B，如图所示，设，，则为平面与平面的交线，

在内，作于点，在内，作，交于点，连结，

则或其补角为平面与平面所成二面角的平面角，

由勾股定理可知：，，

底面正方形中，为中点，则，

由勾股定理可得，

从而有：，

据此可得，即，

据此可得平面平面不成立，选项B错误；

对于选项C，取的中点，则，

由于与平面相交，故平面平面不成立，选项C错误；

对于选项D，取的中点，很明显四边形为平行四边形，则，

由于与平面相交，故平面平面不成立，选项D错误；

故选：A.

3．（2022·安徽省舒城中学三模（理））设，是不同的直线，，，是不同的平面，则下面说法正确的是（       ）

A．若，，则

B．若，，则

C．若，，则

D．若，，则

【答案】C

【解析】A：由，，则或相交，错误；

B：由，，则或或相交，错误；

C：由，则存在直线且，而则，根据面面垂直的判定易知，正确；

D：由，，则或，错误.

故选：C

4（2022·全国·高三专题练习（理））已知是正方体的中心O关于平面的对称点，则下列说法中正确的是（       ）

A．与是异面直线 B．平面

C． D．平面

【答案】B

【解析】

连接、，交于点，连接、，交于点.

连接、、、、.

由题可知，在平面上，所以与共面，故A错误；

在四边形中，且，所以四边形为平行四边形.

.

平面，平面，平面，故B正确；

由正方体的性质可得，因为，所以，又，平面， ，又，

，而与所成角为，所以显然与不垂直，故C错误；

显然与不垂直，而平面，所以与平面不垂直，故D错误.

故选：B.

5．（2022·浙江省新昌中学模拟预测）设a，b是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列命题：

①若，则

②若，则

③若，则

④若，则

其中为真命题的是（       ）

A．①② B．②③ C．③④ D．①④

【答案】C

【解析】①中，，则平面与平面可能平行，可能相交也可能垂直，故①错误；

②中，，直线与直线可能平行，异面或者垂直，故②错误；

③中，，则，故，故③正确；

④中，，则，故④正确.

故选：C.

6．（2022·湖北·华中师大一附中模拟预测）如图，正方体中，是的中点，则下列说法正确的是（       ）

A．直线与直线垂直，直线平面

B．直线与直线平行，直线平面

C．直线与直线异面，直线平面

D．直线与直线相交，直线平面

【答案】A

【解析】连接；由正方体的性质可知，是的中点，所以直线与直线垂直；

由正方体的性质可知，所以平面平面，

又平面，所以直线平面，故A正确；

以为原点，建立如图坐标系，设正方体棱长为1，

显然直线与直线不平行，故B不正确；

直线与直线异面正确，，，所以直线与平面不垂直，故C不正确；

直线与直线异面，不相交，故D不正确；

故选：A.

7．（2022·全国·高三专题练习）如图是一个几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F分别为PA，PD的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：

①直线BE与直线CF异面；

②直线BE与直线AF异面；

③直线EF平面PBC；

④平面BCE⊥平面PAD.

其中正确结论的个数是（       ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【解析】画出该几何体，如图所示，①因为E，F分别是PA，PD的中点，所以EFAD，所以EFBC，直线BE与直线CF是共面直线，故①不正确；

②直线BE与直线AF满足异面直线的定义，故②正确；

③由E，F分别是PA，PD的中点，可知EFAD，所以EFBC，因为EF平面PBC，BC平面PBC，所以直线EF平面PBC，故③正确；

④因为BE与PA的关系不能确定，所以不能判定平面BCE⊥平面PAD，故④不正确.

所以正确结论的个数是2.

故选：B