新高考数学一轮复习考点精讲讲练学案 对数函数的最值问题（含解析）

这是一份新高考数学一轮复习考点精讲讲练学案 对数函数的最值问题（含解析），共31页。学案主要包含了考点梳理，题型归纳，双基达标，高分突破等内容，欢迎下载使用。

对数函数
(1)对数函数的概念：一般地，函数y＝lgax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞).
(2)对数函数的图象和性质
底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称.
【题型归纳】
题型一：求对数函数的最值
1．下列函数中最小值为8的是（ ）
A．B．
C．D．
2．记在时的最大值为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
3．函数的最小值为（ ）
A．B．C．0D．
题型二： 根据对数函数的最值求参数或范围
4．设且，若对恒成立，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．若函数有最小值，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
6．已知函数的最大值与最小值的差为2，则（ ）
A．4B．3C．2D．
题型三： 对数函数最值与不等式的综合问题
7．若对任意的实数，不等（）恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．已知，，若，，使得，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
9．命题“任意x∈[1，2]，－a0”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．a1B．a1C．a2D．a2

【双基达标】
10．已知，且，函数，设函数的最大值为，最小值为，则（ ）
A．B．
C．D．
11．已知恒为正数，则取值范围是（ ）
A．B．C．D．
12．若函数有最小值，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
13．函数的最小值为（ ）
A．B．C．D．0
14．已知函数(，且)，若恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
15．已知函数f（x）=若f（2）=4，且函数f（x）存在最小值，则实数a的取值范围为（ ）
A．（1，]B．（1，2]
C．D．[，+∞）
16．已知函数若存在最小值，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
17．对于函数f(x)=lg(|x-2|+1)，给出如下三个命题:①f(x+2)是偶函数;②f(x)在区间(-∞，2)内是减函数，在区间(2，+∞)内是增函数;③f(x)没有最小值.其中正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．0
18．若函数有最大值，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
19．若函数（且）在区间上的最大值比最小值多2，则（ ）
A．2或B．3或C．4或D．2或
20．已知函数的值域为，若不等式在上恒成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
21．已知函数，若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
22．若不等式在内恒成立，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
23．若的解集为且函数的最大值为－1，则实数a的值为（ ）
A．2B．
C．3D．
24．若函数（，且）在区间上的最小值为2，则实数a的值为（ ）
A．B．C．2D．或2
25．已知函数(且)，则在区间上的最大值为（ ）
A．B．或C．1D．，
【高分突破】
单选题
26．已知函数f(x)= (a>0，且a≠1)在[-2，-1]上的最大值不大于a，则a的取值范围是（ ）
A．(1，2)B．(0，1)C．(0，0.5)D．(1，)
27．已知函数，，若对任意，存在，使得，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
28．设函数，求的最大值为（ ）
A．B．C．1D．2
29．已知函数，且)在区间上的最大值为，则的值为（ ）
A．B．C．D．或
30．若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
31．已知函数 则（ ）
A．在上单调递减B．在上的最大值为
C．在上无最小值D．的图象关于直线对称
32．已知函数是偶函数，则（ ）
A．B．在上是单调函数
C．的最小值为1D．方程有两个不相等的实数根
33．下列命题正确的是（ ）
A．
B．函数与表示同一个函数
C．若，则
D．函数在区间上的最大值与最小值之和为4
34．已知函数（且）在定义域内存在最大值，且最大值为，，若对任意，存在，使得，则实数的取值可以是（ ）
A．B．0C．D．3
三、填空题
35．若函数有最小值，则的取值范围是______．
36．若函数的值域为，则的取值范围是__________.
37．若函数与对于任意，都有，则称函数与是区间上的“阶依附函数”.已知函数与是区间上的“2阶依附函数”，则实数a的取值范围是___________.
38．若不等式在上恒成立，则实数a的取值范围为____.
39．函数，的最大值为______.
40．函数的最大值是_______．
四、解答题
41．已知函数.
（1）当时，求；
（2）求解关于的不等式；
（3）若恒成立，求实数的取值范围.
42．已知.
（1）若，求的值；
（2）记，
①求的定义域，并求的最大值；
②已知，试比较与的大小并说明理由.
43．设函数，且．
（1）求的值；
（2）若令，求实数t的取值范围；
（3）将表示成以为自变量的函数，并由此求函数的最大值与最小值及与之对应的x的值．
44．已知函数f(x)＝a－是定义域为R的奇函数.
（1）求实数a的值；
（2）当x∈[3，9]时，不等式恒成立，求实数m的取值范围.
45．已知，.
（1）当时，求函数的值域；
（2）对任意，其中常数，不等式恒成立，求实数的取值范围.
0＜a＜1
a＞1
图象
定义域
(0，＋∞)
值域
R
性质
过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0
减函数
增函数
参考答案
1．D
【解析】
【分析】
利用基本不等式或反例可得正确的选项.
【详解】
对于A，取，则，最小值不为8；
对于B，因为，但无解，从而此函数的最小值不为8，
对于C，取，则，此函数的最小值不为8，
对于D，，当且仅当时等号成立，故此函数的最小值为8，
故选：D.
2．A
【解析】
【分析】
画出的图象，然后讨论与，的大小关系，利用对数函数的性质，得出的解析式，然后求出最小值即可．
【详解】
由已知可得，
画出的图象，如下图所示，
当即时，由图象知，在上单调递减，
所以，
当即时，由图象知，在上单调递增，
所以，
当即时，由图象知，在上单调递减，在单调递增，
所以的最大值可能为或，
又，
所以当时，，
当时，，
综上
由对数函数的性质知的最小值为．
故选:A
3．C
【解析】
【分析】
利用对数函数单调性得出函数在时取得最小值．
【详解】
，
因为是增函数，因此当时，，，
当时，，，
而时，，
所以时，．
故选：C．
4．D
【解析】
【分析】
由题设知在恒成立，结合正弦函数、对数函数性质可得，再根据正弦、对数函数的区间单调性及恒成立求参数范围.
【详解】
由题设，即在恒成立，
当时，上，不满足题设，
所以，此时在上递减，递增，
要使不等式恒成立，则，即，
综上.
故选：D
5．A
【解析】
【分析】
根据对数函数的性质可得且，则，即可求出的大致范围，再令的根为、且，，，对分两种情况讨论，结合二次函数、对数函数的单调性判断即可；
【详解】
解：依题意且，所以，解得或，综上可得，
令的根为、且，，，
若，则在定义域上单调递增，在上单调递增，在上单调递减，
根据复合函数的单调性可知，在上单调递增，在上单调递减，函数不存在最小值，故舍去；
若，则在定义域上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
根据复合函数的单调性可知，在上单调递减，在上单调递增，所以函数在取得最小值，所以；
故选：A
6．C
【解析】
【分析】
根据解析式可得其单调性，根据x的范围，可求得的最大值和最小值，根据题意，列出方程，即可求得a值.
【详解】
由题意得在上为单调递增函数，
所以，，
所以，解得，
又，所以.
故选：C
7．C
【解析】
【分析】
根据对数函数的单调性得到，参变分离后换元，得到，利用在上的单调性求出最大值，从而得到实数m的取值范围.
【详解】
当时，要使得不等式有意义，
需要在恒成立，可得，
此时不等式恒成立等价于恒成立，
即.令，则，且，
所以.
因为在上单调递减，
所以，当时，取得最大值为1，
所以实数m的取值范围是.
故选：C.
8．D
【解析】
【分析】
根据给定条件求出函数的最小值，的最小值即可列式求解．
【详解】
函数在上单调递增，则有，
又在上单调递减，则有，
因为，，使得，于是得，解得，
所以实数的取值范围是．
故选：D
9．C
【解析】
【分析】
根据全称命题为真命题，求出的取值范围，结合充分不必要条件的定义进行判断即可．
【详解】
∵命题“任意x∈[1，2]，－a0”为真命题，
∴在[1，2]上恒成立，
此时，
∴a1，
故命题“任意x∈[1，2]，－a0”为真命题的一个充分不必要条件是a2，
故选：C
10．A
【解析】
【分析】
令，，，即可判断函数的奇偶性，再由，令，根据指数型函数的性质判断的单调性，即可得到的最值，即可求出函数的最大值与最小值之和；
【详解】
解：，
令，，，
由
，
可知，
故函数的图象关于原点对称，
设的最大值是，则的最小值是，
由，
令，
当时，在，递减，
所以的最小值是，的最大值是，
故，
的最大值与最小值的和是，
当时，在，单调递增，
所以的最大值是，的最小值是，
故，
故函数的最大值与最小值之和为8，
综上：函数的最大值与最小值之和为8，
故选：A．
11．A
【解析】
【分析】
分两种情况分类讨论，根据对数函数的性质即可求解.
【详解】
当时，是减函数，，
则，解得；
当时，是增函数，，
则，解得，又，所以；
综上取值范围是.
故选A
【点睛】
本题主要考查了对数函数的性质、利用单调性解不等式，分类讨论，属于中档题.
12．A
【解析】
令，只存在最小值，结合已知可得，再由对数函数的定义域，最小值为正数，建立的不等量关系，求解即可.
【详解】
令，函数有最小值，
，且，
所以的取值范围是.
故选：A.
【点睛】
本题考查对数型函数和二次函数的性质，要注意对数函数的定义域，属于基础题.
13．A
【解析】
【分析】
函数式变形后把作为一个整体，结合二次函数的性质求解．
【详解】
由题意知的定义域为.
所以，，
，时等号成立．
故选：A.
【点睛】
本题考查求对数型函数的最值，解题方法利用整体思想（实质就是换元法）结合二次函数的性质求解．
14．A
【解析】
【分析】
令，得到，根据恒成立，得到，即可求解.
【详解】
令，可得函数表示开口向上的抛物线，且对称轴为，
所以，
因为恒成立，所以，即，解得，
即实数a的取值范围是.
故选：A.
15．A
【解析】
【分析】
由f(2) =4运算可得，再由分段函数的最值结合对数函数的单调性即可得解.
【详解】
因为f(2)=2m+8=4，所以，
所以当x≤3时，，此时，
因为函数存在最小值，所以当x>3时，单调递增，且lga3≥2，
所以,解得a∈.
故选：A.
16．D
【解析】
【分析】
根据函数的单调性可知，若函数存在最小值，则最小值是，则根据指数函数的性质，列式求实数的取值范围.
【详解】
∵函数
∴当时，的范围是；当时，，，
由题意存在最小值，则，
解得.
故选：D．
17．B
【解析】
【分析】
根据奇偶性的定义，即可判断的奇偶性；画出图象，数形结合即可判断函数的单调性以及最值.
【详解】
因为函数f(x)=lg(|x-2|+1)，所以函数f(x+2)=lg(|x|+1)是偶函数.
由y=lg x的图象向左平移1个单位即可得到y=lg(x+1)的图象，
再将其进行翻折变换即可得到y=lg(|x|+1)的图象，
再将其图象向右平移2个单位即可得到y=lg(|x-2|+1)的图象.
数形结合，可知f(x)在区间(-∞，2)内是减函数，在区间(2，+∞)内是增函数.
由图象可知函数存在最小值为0.
所以①②正确.
故选：.
【点睛】
本题考查对数型复合函数图象的应用，涉及其单调性和最值的求解，属综合基础题.
18．B
【解析】
【分析】
由题意可得内层函数要有最小正值，且外层函数为减函数，可知0＜a＜1．再由二次函数的判别式小于0求得a的范围，取交集得答案．
【详解】
解：令，要使函数有最大值，
则内层函数要有最小正值，且外层函数为减函数，可知0＜a＜1．
要使内层函数要有最小正值，
则，解得．
综合得a的取值范围为．
故选：B.
19．A
【解析】
【分析】
分别讨论和，然后利用对数函数的单调性列方程即可得解.
【详解】
由题意解得或（舍去），
①当时，函数在定义域内为增函数，
则由题意得，
所以即，解得或（舍去）；
②当时，函数在定义域内为减函数，
则由题意得，
所以即，解得；
综上可得：或.
故选：A.
【点睛】
本题考查了分类讨论思想的应用，考查了对数函数单调性的应用，属于基础题.
20．A
【解析】
根据题意，先求得，把不等式在上恒成立，转化为在上恒成立，结合指数幂的运算性质，即可求解.
【详解】
由题意，函数的值域为，可得函数的最大值为，
当时，函数显然不存在最大值；
当时，函数在上单调递增，在上单调递减，当时，函数有最大值，即，解得；
当时，在上单调递减，在上单调递增，
此时函数无最大值，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
由在上恒成立，可得；
由在上恒成立，即在上恒成立，可得；
由在上恒成立，即在上恒成立，
令，可得函数在上单调递增，所以，即，
综上可得，即实数的取值范围是.
故选：A.
21．A
【解析】
【分析】
根据题意，转化为命题“，”为真命题．利用不等式恒成立得出关于的不等式求解.
【详解】
由题意知且，命题“，”为真命题，
当时，，易知在上单调递减，其最小值为，
则由恒成立得，即；
当时，恒成立，则，此时函数为增函数，
故，得．
综上，，
即实数的取值范围是．
故选：A
22．A
【解析】
【分析】
根据对数函数的图象与性质，分和两种情况分类讨论，结合函数的单调性，列出不等式，即可求解.
【详解】
当时，由，可得，则，
又由，此时不等式不成立，不合题意；
当时，函数在上单调递减，
此时函数在上单调递增，
又由在上单调递增，
要使得不等式在内恒成立，
可得，解得.
故选：A.
23．B
【解析】
【分析】
首先根据的解集为得到，根据函数的最大值为－1，得到，再解方程即可.
【详解】
因为的解集为，所以，
因为，函数的最大值为－1，
则，解得.
故选：B
24．B
【解析】
分类讨论最值，当时，当时，分别求出最值解方程，即可得解.
【详解】
由题：函数（，且）在区间上的最小值为2，
当时，在单调递增，
所以最小值，解得；
当时，在单调递减，
所以最小值，解得，不合题意，
所以.
故选：B
【点睛】
此题考查根据函数的最值求参数的取值，需要分类讨论，关键在于熟练掌握对数函数的单调性.
25．B
【解析】
讨论的取值范围，利用指数函数、对数函数的单调性，即可求出函数的最大值．
【详解】
解：因为(且)，即(且)，①当时，，函数在上单调递减，所以；②当时，，函数在上单调递增，所以；
所以的最大值为或
故选：B
【点睛】
本题主要考查指数函数的单调性的性质，利用函数单调性与的关系是解决本题的关键，注意要对进行分类讨论．
26．B
【解析】
【分析】
分类讨论，分析复合函数的单调性，明确函数的最大值，解不等式即可.
【详解】
令，则，
当时，，对称轴为，
此时，在上单调递减，而单调递增，
∴在上单调递减，
∴，
∴，即，不适合题意；
当时，，对称轴为，
此时，在上单调递减，而单调递减，
∴在上单调递增，
∴，
∴，即，又，
∴，
综上，a的取值范围是(0，1)
故选：B.
27．A
【解析】
【分析】
本题先将条件转化为不等式，再根据不等式求解即可.
【详解】
解：∵对任意，存在，使得，
∴
∵，∴ ，
∵，∴
∴ ，解得，
故选：A.
【点睛】
本题考查恒成立问题与存在性问题，关键在于问题的转化，是中档题.
28．B
【解析】
【分析】
分别求出分段函数每一段函数得最大值，然后取大者即可的解.
【详解】
解：当时，，
则，
当时，，
因为，则，
所以，
综上所述，
故选：B
29．D
【解析】
【分析】
根据对数函数的单调性分类讨论得最大值，从而求得参数值．
【详解】
当时，在上单调递增，，
即，解得；
当时，在上里调递减，即
解得；综上：或，
故选：D．
30．A
【解析】
【分析】
由指数函数的单调性，可判断，再由对数函数的单调性，求得的单调性和最大值，解不等式可得所求范围．
【详解】
解：由于，，可得，，
当时，则，在不恒成立；
故，
由在单调递增，
在单调递减，
可得在单调递增，
则的最大值为，
由题意可得，
即有，
解得，
故选：．
【点睛】
本题考查函数恒成立问题解法，注意运用函数的单调性，考查分类讨论思想和运算能力、推理能力．
31．BCD
【解析】
化简函数的解析式，求解函数的定义域，利用对数函数的性质，以及复合函数单调性的判断条件，逐项判断，即可得出结果.．
【详解】
，由得，函数的定义域为；
令，则，
二次函数开口向下，其对称轴为直线，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
又函数在上单调递增；
由复合函数的单调性，可得在上单调递增，在上单调递减；
故A错；
因为时，，即，所以在上的最大值为，无最小值；
故BC正确；
因为，，即，
所以的图象关于直线对称，故D正确.
故选：BCD．
【点睛】
思路点睛：
求解对数型复合函数的单调性及最值时，一般根据对数函数的单调性，以及复合函数单调性的判定方法，先判断函数单调性，再由函数单调性，即可求出最值等.
32．BD
【解析】
【分析】
根据偶函数定义求得，由复合函数的单调性得出的单调性，从而可判断各选项．
【详解】
是偶函数，则， ，，恒成立，所以，A错；
，
由勾形函数性质知在时是增函数，又在时有且为增函数，
所以在上是增函数，B正确，
为偶函数，因此在上递减，所以，C错；
易知时，，即的值域是，
所以有两个不相等的实根．D正确．
故选：BD．
33．ABD
【解析】
【分析】
A.利用分数指数幂的互化公式计算；B.利用函数相等的定义判断；C.利用换底公式以及对数运算公式计算；D.利用函数的奇偶性和函数的最值判断.
【详解】
A.根据根式与分数指数幂的运算公式可知正确，故A正确；
B.，根据函数相等的定义，可知与表示同一个函数，故B正确；
C. ，故C不正确；
D.首先设，函数的定义域是，，所以函数是奇函数，的最大值和最小值互为相反数，即的最大值和最小值之和为0，所以的最大值和最小值的和为4，故D正确.
故选：ABD
34．ABC
【解析】
【分析】
先求出，得到时，
再由题意得到，即可求出m的范围，对照四个选项即可得到正确答案.
【详解】
定义域为.
由题意知时，，即.
此时，
时，
时，，由得.
对照四个选项，可以选:ABC.
故答案为：ABC
35．
【解析】
【分析】
分和两种情况讨论，根据外层函数的单调性、内层函数的最值以及真数恒大于零可得出关于实数的不等式组，由此可解出实数的取值范围.
【详解】
当时，外层函数为减函数，对于内层函数，，则对任意的实数恒成立，
由于二次函数有最小值，此时函数没有最小值；
当时，外层函数为增函数，对于内层函数，
函数有最小值，若使得函数有最小值，
则，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】
本题考查实数的取值范围的求法，考查对数函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
36．
【解析】
【分析】
根据题意必须取得一切正数，进而结合二次函数的图像和性质即可得到答案.
【详解】
若函数的值域为，可得取得一切正数，
于是.
故答案为：.
37．
【解析】
【分析】
由题意得在上恒成立，又，所以在上恒成立，即在上恒成立，令，，设，研究的最小值即可．
【详解】
解：因为函数与是区间上的“2阶依附函数”，
所以在上恒成立，
又在上单调递增，则，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
，
令，，设，易知在上单调递增，
所以，
所以，
故答案为：．
38．
【解析】
【分析】
把不等式变形为，分和情况讨论，数形结合求出答案.
【详解】
解：变形为：，即在上恒成立．
令，
若，此时在上单调递减，，而当时，，显然不合题意；
当时，画出两个函数的图象，
要想满足在上恒成立，只需，即，解得：．
综上：实数a的取值范围是.
故答案为：
39．-2
【解析】
【分析】
通过对数函数的单调性，确定函数在给定区间内的最大值.
【详解】
因为 ，则，
由于 是减函数，所以，
故答案为：-2
40．2
【解析】
设，则，即求在上的最大值，根据对数函数的单调性可得答案.
【详解】
设，则，即求在上的最大值，
由在上是单调递增函数，
所以当，即时，函数有最大值2.
故答案为：2.
41．（1）；（2）当时，的解集为，当时；（3）.
【解析】
【分析】
（1）将直接代入解析式计算即可.
（2）将整理为，解得或，再对讨论即可解不等式.
（3）将问题转化为，分别分和讨论，求最小值，令其大于，即可求解.
【详解】
（1）当时，
（2）由得：
或
当时，解不等式可得：或
当时，解不等式可得：或
综上所述：当时，的解集为；当时，的解集为
（3）由得：
或
①当时，，
或，解得：
②当时，，
或，解得：
综上所述：的取值范围为
【点睛】
本题主要考查了复合函数的单调性、考查函数的最值和恒成立问题、考查分类讨论的思想，属于中档题.
42．（1）；（2）①，；②，理由见解析.
【解析】
（1）根据对数的运算性质解得，舍去负值可得结果；
（2）将化为，利用为增函数可得，，即.
【详解】
（1）由已知得，，，
∴，，
∴，但，∴.
（2）①，由，得，∴的定义域.
由于，
∴当时，，
②由，得，
即，
因为，
所以，
考虑函数，所以，
因，，都是增函数，所以为增函数，∴，∵，
故始终有成立.
【点睛】
关键点点睛：令，转化为，利用单调性求解是解题关键.
43．（1）6；（2）；（3），此时；，此时．
【解析】
【分析】
（1）根据题目函数的解析式，代入计算函数值；
（2）因为，根据对数函数的单调性求出实数t的取值范围；
（3）根据换元法将函数转化为二次函数，借助二次函数的单调性求出函数取最大值，最小值，接着再求取最值时对应的x的值.
【详解】
（1）；
（2），又，，，所以t的取值范围为；
（3）由，
令，，
当时，，即，解得，
所以
，此时；
当时，，即，
，此时．
【点睛】
求函数最值和值域的常用方法：
(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；
(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；
(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值；
(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值；
(5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．
44．（1）；（2），．
【解析】
【分析】
（1）根据函数的奇偶性求出的值；
（2）根据函数的单调性的定义证明函数为减函数，根据函数的单调性得到对，恒成立，令，问题转化为对，恒成立，令，，，根据函数的单调性求出的范围即可．
【详解】
（1）函数是定义域为的奇函数，
，解得．
经检验，当时，函数为奇函数，即所求实数的值为；
（2）设，且，
则，
，，，
，即，
所以是上的减函数，
由，可得．
是上的奇函数，，
又是上的减函数，
所以对，恒成立，
令，，，，，
对，恒成立，
令，，，
，解得，
所以实数的取值范围为，．
45．（1）；（2）当时，当时，当时，.
【解析】
【分析】
（1）依题意可得，根据二次函数的性质计算可得；
（2）由得，令，对一切的恒成立，参变分离，根据函数的单调性求出函数的最值即可求出参数的取值范围；
【详解】
（1）因为，，
令，
∵，∴，所以当，即时取最大值，当或，即或时取最小值，
∴函数的值域为.
（2）由得，
令，∵，∴，
∴对一切的恒成立，
①当时，若时，；
当时，恒成立，即，
函数在单调递减，于是时取最小值-2，此时，
于是；
②当时，此时时，恒成立，即，
∵，当且仅当，即时取等号，即的最小值为-3，；
③当时，此时时，恒成立，即，
函数在单调递增，于是时取最小值，
此时，于是.
综上可得：当时，当时，当时，