新高考数学一轮复习考点精讲讲练学案 幂函数的图象和性质（含解析）

这是一份新高考数学一轮复习考点精讲讲练学案 幂函数的图象和性质（含解析），共28页。学案主要包含了考点梳理，题型归纳，双基达标，高分突破等内容，欢迎下载使用。
1. 幂函数
(1)定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数.
(2)常见的五种幂函数的图象和性质比较
2. 幂函数相关常用结论
(1)一般地，在区间(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大、图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，图象越远离x轴(不包括幂函数y＝x0).
(2)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，最多只能同时出现在两个象限内.
(3)形如y＝xeq \s\up6(\f(m,n))或y＝x－eq \s\up6(\f(m,n))(m，n为互质的正整数)类型函数的奇偶性判断：当m，n都为奇数时，幂函数在定义域上为奇函数；当m为奇数，n为偶数时，幂函数在定义域上为非奇非偶函数；当m为偶数，n为奇数时，幂函数在定义域上为偶函数.
【题型归纳】
题型一：幂函数的图象
1．函数的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
2．在同一直角坐标系中，函数，且的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
3．幂函数在第一象限的图像如图所示，则的大小关系是 （ ）
A．B．C．D．
题型二：幂函数的单调性
4．若，则a､b､c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
5．幂函数在区间上单调递增，则（ ）
A．27B．C．D．
6．已知幂函数上单调递增，则（ ）
A．0B．C．D．
题型三：幂函数的奇偶性
7．下列函数中，与函数的奇偶性相同，且在上有相同单调性的是（ ）
A．B．
C．D．
8．幂函数的图象关于轴对称，且在上是增函数，则的值为（ ）
A．B．C．D．和
9．已知函数，若存在，使得不等式成立，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【双基达标】
10．若，，，则的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
11．四个数2.40.8,3.60.8，lg0.34.2, lg0.40.5的大小关系为（ ）
A．3.60.8>lg0.40.5>2.40.8>lg0.34.2
B．3.60.8>2.40.8>lg0.34.2>lg0.40.5
C．lg0.40.5>3.60.8>2.40.8>lg0.34.2
D．3.60.8>2.40.8>lg0.40.5>lg0.34.2
12．幂函数的图象过点(3， )，则它的单调递增区间是（ ）
A．[-1，+∞)B．[0，+∞)
C．(-∞，+∞)D．(-∞，0)
13．下列命题中，不正确的是（ ）
A．幂函数y=x-1是奇函数
B．幂函数y=x2是偶函数
C．幂函数y=x既是奇函数又是偶函数
D．y=既不是奇函数，又不是偶函数
14．函数的单调递减区间为（ ）
A．B．C．D．
15．已知函数是幂函数，对任意的且，满足，若，则的值（ ）
A．恒大于0B．恒小于0
C．等于0D．无法判断
16．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）
A．B．
C．D．，且
17．若，，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
18．下面是有关幂函数的四种说法，其中错误的叙述是
A．的定义域和值域相等B．的图象关于原点中心对称
C．在定义域上是减函数D．是奇函数
19．已知函数的大致图象如下图，则幂函数在第一象限的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
20．已知函数是幂函数，对任意，，且，满足，若，，且，则的值（ ）
A．恒大于0B．恒小于0C．等于0D．无法判断
21．已知实数a，b，c满足，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
22．已知函数为上的偶函数，对任意，，均有成立，若，则的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
23．已知幂函数在上单调递减，则实数m的值为（ ）
A．B．C．1D．或1
24．若，则下列函数①；②；③；④；⑤满足条件的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
25．下列命题中正确的是（ ）
A．当时，函数的图像是一条直线；
B．幂函数的图像都经过和点；
C．幂函数的定义域为；
D．幂函数的图像不可能出现在第四象限．
【高分突破】
单选题
26．三个数的大小顺序为（ ）
A．B．C．D．
27．若幂函数，，在第一象限的图像如图所示，则（ ）
A．B．C．D．
28．若幂函数在上单调递增，则（ ）
A．B．C．D．
29．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
30．若幂函数的图像经过点，则该函数的图像（ ）
A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于原点对称D．关于直线对称
31．若a>b，则
A．ln(a−b)>0B．3a0D．│a│>│b│
32．如图是幂函数的部分图像，已知分别取这四个值，则与曲线相应的依次为（ ）
A．B．
C．D．
33．满足的实数m的取值范围是（ ）.
A．B．
C．D．
34．已知幂函数的图象过点，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
35．已知函数，若，则下列不等式一定成立的有（ ）
A．B．
C．D．
36．下列说法中错误的是（ ）
A．幂函数的图象不经过第四象限
B．的图象是一条直线
C．若函数的定义域为，则它的值域为
D．若函数的值域为是，则它的定义域一定是
37．下面关于函数的性质，说法正确的是（ ）
A．的定义域为B．的值域为
C．在定义域上单调递减D．点是图象的对称中心
38．若幂函数在上单调递增，则（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
39．已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是________.
40．已知.若函数在上递减且为偶函数，则________.
41．已知，则由小到大的排列顺序是______．
42．已知幂函数在上单调递增，则m值为_____.
43．已知幂函数的图象关于原点对称，则满足成立的实数a的取值范围为___________.
44．已知幂函数在为增函数，则实数的值为___________.
四、解答题
45．已知函数，满足．
（1）求的值并求出相应的的解析式；
（2）对于（1）中的函数，使得在上是单调函数，求实数的取值范围．
46．已知幂函数（）在是严格减函数，且为偶函数.
（1）求的解析式；
（2）讨论函数的奇偶性，并说明理由.
47．在同一平面直角坐标系中画出函数与的图象，并利用图象求不等式的解集．
48．已知幂函数为偶函数，且在区间上单调递减.
（1）求函数的解析式；
（2）讨论的奇偶性.（直接给出结论，不需证明）
49．若幂函数在其定义域上是增函数.
（1）求的解析式；
（2）若，求的取值范围.
函数
图象
性质
定义域
值域
奇偶性
单调性
公共点
y＝x
R
R
奇
在R上单调递增
(1，1)
y＝x2
R
{y|y≥0}
偶
在(－∞，0]上单调递减；在[0，＋∞)上单调递增
y＝x3
R
R
奇
在R上单调递增
y＝xeq \s\up6(\f(1,2))
{x|x≥0}
{y|y≥0}
非奇
非偶
在[0，＋∞)上单调递增
y＝x－1
{x|x≠0}
{y|y≠0}
奇
在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减
参考答案
1．A
【解析】
【分析】
首先判断函数的奇偶性，再根据幂函数的性质判断即可；
【详解】
解：因为的定义域为，
又，故为偶函数，函数图象关于轴对称，故排除C、D；
当时，由幂函数的性质可知，在上单调递增，但是增长趋势越来越慢，故B错误；
故选：A
2．B
【解析】
【分析】
讨论时和时，函数的图象增减即可判断出可能的图象，即得答案.
【详解】
当时，为指数函数，且递减，
为幂函数，且在时递增，递增的幅度随x的增大而增加的更快，故A错误，B正确；
当时，为指数函数，且递增，
为幂函数，且在时递增，递增的幅度越往后越平缓，故C,D错误,
故选：B
3．D
【解析】
【分析】
根据幂函数的性质，在第一象限内，的右侧部分的图像，图像由下至上，幂指数增大，即可判断；
【详解】
根据幂函数的性质，
在第一象限内，的右侧部分的图像，图像由下至上，幂指数增大，
所以由图像得：，
故选：D
4．A
【解析】
【分析】
利用幂函数和指数函数的单调性比较大小
【详解】
因为在上单调递增，且，
所以，即，
因为在上单调递减，且，
所以，即，
所以，即
故选：A
5．A
【解析】
【分析】
根据幂函数的概念及性质，求得实数的值，得到幂函数的解析式，即可求解.
【详解】
由题意，令，即，解得或，
当时，可得函数，此时函数在上单调递增，符合题意；
当时，可得，此时函数在上单调递减，不符合题意，
即幂函数，则.
故选：A.
6．A
【解析】
【分析】
由题意可得且，从而可求出的值
【详解】
因为幂函数上单调递增，
所以且，
解得，
故选：A
7．D
【解析】
【分析】
根据指对函数的性质判断A、B，由正弦函数性质判断C，对于D有，即可判断奇偶性和单调性.
【详解】
由为奇函数且在上递增，
A、B：、非奇非偶函数，排除；
C：为奇函数，但在上不单调，排除；
D：，显然且定义域关于原点对称，在上递增，满足.
故选：D
8．D
【解析】
【分析】
分别代入的值，由幂函数性质判断函数增减性即可.
【详解】
因为，，
所以当时，，由幂函数性质得，在上是减函数；
所以当时，，由幂函数性质得，在上是常函数；
所以当时，，由幂函数性质得，图象关于 y 轴对称,在上是增函数；
所以当时，，由幂函数性质得，图象关于 y 轴对称,在上是增函数；
故选：D.
9．A
【解析】
【分析】
首先判断函数的奇偶性与单调性，依题意存在，使得成立，参变分离，即可求出参数的取值范围；
【详解】
解：因为定义域为，又，即为奇函数，且函数在上单调递增，所以为在定义域上单调递增的奇函数，
因为存在，使得成立，即成立，即成立，所以存在，使得成立，则成立，因为，所以，所以，即；
故选：A
10．D
【解析】
【分析】
由在第一象限内是增函数可得出的大小，由是减函数可得出的大小.
【详解】
因为在第一象限内是增函数，所以
因为是减函数，所以，所以
故选：D
【点睛】
本题考查的是利用指数函数和幂函数的单调性比较大小，较简单.
11．D
【解析】
【分析】
由对数函数的性质判出1＞lg0.4 0.5>0＞lg0.34.2，由幂函数的性质得到3.60.8＞2.40.8＞1，则四个数的大小得到比较．
【详解】
∵y＝x0.8在(0，＋∞)上是增函数，
又3.6>2.4>1，∴3.60.8>2.40.8>1.
∵lg0.34.2