北师大版八年级上册6 实数教学设计

这是一份北师大版八年级上册6 实数教学设计，共45页。教案主要包含了教学重点，教学难点，教学说明，归纳结论，展示结果等内容，欢迎下载使用。


1.通过拼图活动，让学生感受无理数产生的必要性.
2.借助计算器探索无理数是无限不循环小数.
3.会判断一个数是有理数还是无理数.
4.让学生亲自动手做拼图活动，培养学生的动手能力和合作精神，通过辨别一个数是有理数还是无理数，训练大家的思维判断能力.
5.了解有关无理数发现的知识，鼓励学生大胆质疑，培养他们为真理而奋斗的献身精神.
6.让学生理解估算的意义，掌握估算的方法，发展学生的数感和估算能力.
【教学重点】
1.无理数的探索过程.
2.了解无理数与有理数的区别，并能正确判断.
【教学难点】
把两个边长为1的正方形拼成一个大正方形的动手操作过程.
一、创设情境，导入新课
同学们，我们上了好多年的学，学过不计其数的数，概括起来我们都学过哪些数呢？
在小学我们学过自然数、小数、分数.
在初一我们还学过负数.
对，我们在小学学了非负数，在初一发现数不够用了，引入了负数，即把从小学学过的正数、零扩充到有理数范围，有理数包括整数和分数，那么有理数范围是否能满足我们实际生活的需要呢？下面我们就来共同研究这个问题.
【教学说明】随着学习的深入，知识层次的提高，有理数的范围不能适应现代生活的需要，这就要对数进行扩充，为学生学习新知识作准备.
二、思考探究，获取新知
无理数的概念
拼一拼：
请大家四个人为一组，拿出自己准备好的两个边长为1的正方形和剪刀，认真讨论之后，动手剪一剪，拼一拼，设法得到一个大的正方形，好吗？
【教学说明】通过小组合作交流，动手操作得到一个大的正方形，学生非常高兴地投入到活动中，调动了学生的积极性.
同学们展示，拼图的结果.
下面大家共同思考一个问题，假设拼成大正方形的边长为a，则a应满足什么条件呢？
【教学说明】探索拼图的过程，对于学生理解大正方形的边长是a是不是有理数很有帮助.
【归纳结论】因为12=1，22=4，32=9，……整数的平方越来越大，所以a应在1和2之间，故a不可能是整数，又(1/2)2=1/4，
(1/3)2=1/9，(2/3)2=4/9，…两个相同因数的乘积都为分数，所以a不可能是分数.
做一做：
大家判断一下3个正方形的边长之间有怎样的大小关系？说说你的理由.
【教学说明】结合图形，让学生进一步理解面积为2的正方形边长不是有理数，而是一种新数.
同学们能不能确定一下面积为2的正方形的边长为a的大致范围呢？
请大家用计算器探索，用表格的形式整理如下.
还可以进行下去吗？a是有限小数吗？
【教学说明】教师引导学生探索，让学生对这种不是有理数的新数有了初步的认识，为下面引出无理数的概念打下了基础.
【归纳结论】像这种无限不循环小数就叫做无理数.
如：圆周率π=3.14159265…也是一个无限不循环小数，0.5858858885…（相邻两个5之间8的个数逐次加1）也是一个无限不循环小数，它们都是无理数.而3，45，0.38， ，它们都能化成有限小数或循环小数，这些数都是有理数.
三、运用新知，深化理解
1.判断题
（1）有理数与无理数的差都是有理数.
（2）无限小数都是无理数.
（3）无理数都是无限小数.
（4）两个无理数的和不一定是无理数.
2.下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
0.351，-23，4.9·6·，3.14159，-5.2323332…，123456789101112…（由相继的正整数组成）.
在下列每一个圈里，至少填入三个适当的数.
【教学说明】学生自主完成，加深了对无理数的理解以及有理数与无理数的区别所在，让学生的疑难及时得到矫正与强化.
【答案】1.（1）；（2）；（3）√；（4）√；
2. 0.351，-2/3， ，3.14159；-5.2323332…，123456789101112…（由相继的正整数组成）.
四、师生互动，课堂小结
通过本节课的学习，你是如何判断一个数是有理数还是无理数？还有哪些困难？
【教学说明】引导学生寻找知识点间的区别和联系，加深对易错点的理解，有助于学生正确解题.
1.习题2.2第1、2、3题.
2.完成练习册中本课时相应练习.
这节课的内容是无理数的概念以及判断一个数是有理数还是无理数.是数的范围的又一次扩充，是很重要的一节.培养了学生分类归纳的思想.但对概念的理解掌握一些同学还不是很好，只能在以后的教学过程中不断的完善.
2平方根
第1课时 算术平方根
1.了解数的算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根.
2.根据求一个数的算术平方根与平方是互逆运算，会利用这个互逆运算关系求某些非正负数的算术平方根.
3.经历求一个数的算术平方根与平方的互逆关系，提高学生逆向思维方法.
4.学生动脑、动口，积极参与教学活动，培养他们对数学的好奇心和求知欲.
【教学重点】
了解算术平方根的概念，性质，会用根号表示一个正数的算术平方根.
【教学难点】
理解算术平方根的概念、性质.
一、创设情境，导入新课
上节课我们学习了无理数、 了解到无理数产生的实际背景和引入的必要性，掌握了无理数的概念，知道有理数和无理数的区别是：有理数是有限小数或无限循环小数，无理数是无限不循环小数.比如在a2=2中，2是有理数，而a是无理数.在前面我们学过若x2=a，则a叫x的平方，反过来x叫a的什么呢？本节课我们就来一起研究这个问题.
【教学说明】从平方入手，为学生下面学习算术平方根找到了突破口，让他们对算术平方根的求法与开平方这种互逆的关系形成了初步认识.
二、思考探究，获取新知
算术平方根的概念和求法.
下面请大家根据勾股定理，结合图形完成填空：
x2= ，y2= ，z2= ，w2=
请大家分析一下，x、y、z、w中哪些是有理数？哪些是无理数？
【教学说明】回忆勾股定理得到一个数的平方是一个正数，为下面给出算术平方根的概念作了开端.
【归纳结论】因为没有任何整数或分数的平方等于2，3，5，所以x、y、w不是有理数，而是无理数，即x= ，y=，w= .因为22=4.所以z=2，是有理数.
若一个正数x的平方等于a，即x2=a，则这个正数x就叫做a的算术平方根.记为“ ”读作“根号a”.这就是算术平方根的定义.特别地规定0的算术平方根是0，即=0.
下面我们根据算术平方根的定义求一些数的算术平方根.
例1求下列各数的算术平方根：
（1）900；（2）1；（3）49/64；（4）14.
通过上面的例题，大家思考一下，我们在求算术平方根时是借助于哪一种运算来求的？
【教学说明】学生很容易看出一个正数的平方与求算术平方根是互为逆运算，有利于对算术平方根概念的理解.
【答案】解：（1）因为302=900，所以900的算术平方根是30，即=30；（2）因为12=1，所以1的算术平方根是1，即1=1；（3）因为（7/8）2=49/64，所以49/64的算术平方根是7/8，即=7/8；（4）14的算术平方根是 .
【归纳结论】在求算术平方根时是借助于平方来求的.在例题中的步骤采取语言叙述和符号表示相互补充的做法，目的是让大家在计算中进一步体会一个正数的平方与求算术平方根是互为逆运算，在以后的步骤中可以简化.
三、运用新知，深化理解
1.填空题.
（1）若一个数的算术平方根是，则这个数是 .
（2）49的算术平方根是 .
（3）正数 的平方为144/25， 的算术平方根为 .
（4）（-1.44）2的算术平方根为 .
（5） 的算术平方根为 ， =
2.求下列各数的算术平方根，并用符号表示出来：
（1）（7.4）2；（2）(-3.9)2；（3）2.25；（4） .
3.自由下落的物体的高度h（米）与下落时间t（秒）的关系为h=4.9t2.有一铁球从19.6米高的建筑物上自由下落，到达地面需要多长时间？
【教学说明】学生独立完成，加深对算术平方根概念的理解，强化了算术平方根的求法和表示方法.
【答案】1.（1）5；（2）2/3；（3）12/5，4/3；（4）1.44；（5）3，0.2.
2.（1）=7.4；（2）=3.9；(3) =1.5；（4） =3/2.
3.解：将h=19.6代入公式h=4.9t2得t2=4，所以t= =2（秒）
即铁球到达地面需要2秒.
四、师生互动，课堂小结
本节课你学习了哪些新知识？还有什么困难？请与同学们交流.
【教学说明】教师引导学生回顾所学知识，加深印象.找出不足，共同提高.
1.习题2.3第1、2、3题.
2.完成练习册中本课时相应练习.
本节课从一个数的平方入手，用逆向思维求一个数的算术平方根，学生容易接受，解决问题起来应该说是得心应手，但要注意算术平方根的符号表示方法.
第2课时 平方根
1.了解平方根的概念、开平方的概念，进一步明确平方与开方互为逆运算.
2.会求一个数的平方根，明确算术平方根与平方根的区别与联系.
3.经历求一个数的平方根与平方互为逆运算的过程，培养学生求同和求异的思维方法，能从相似的事件中找到它们的共同点和不同点.
4.通过学生在学习中互相帮助、相互合作，并能对不同概念进行区分，培养大家的团队精神，以及认真仔细的学习态度，为学生将来走向社会而做准备，使他们能在工作中保持严谨的态度，正确处理好人际关系，成为各方面的佼佼者.
【教学重点】
1.了解平方根、开平方的概念，会利用互逆运算关系求某些非负数的算术平方根与平方根.
2.平方根与算术平方根的区别和联系.
【教学难点】
1.平方根与算术平方根的区别和联系.
2.负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算.
一、创设情境，导入新课
上节课我们学习了算术平方根的概念、性质.知道若一个正数x的平方等于a，即x2=a.则x叫a的算术平方根，记作x= ，而且a也是非负数，比如正数22=4，则2叫4的算术平方根，4叫2的平方，但是（-2）2=4，则-2叫4的什么根呢？下面我们就来讨论这个问题.
【教学说明】通过回顾算术平方根是一个正数正的平方根，从而顺其自然引出还有 一个负数的平方等于这个正数，为下面学习平方根做了心理准备.
二、思考探究，获取新知
1.平方根、开平方的概念
请大家思考两个问题.
（1）9的算术平方根是3，也就是说，3的平方是9，还有其他的数，它的平方也是9吗？
（2）平方等于4/25的数有几个？平方等于0.64的数呢？
【教学说明】学生很容易看出有正负两个数的平方为一个正数，让他们对平方根的概念有了初步认识.
【归纳结论】3的平方等于9，-3的平方也等于9，3是9的算术平方根，-3是9的平方根.平方等于4/25的数有两个，即2/5和-2/5，平方等于0.64的数也有两个，即0.8和-0.8.
一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个x就叫a的平方根（square rt），也叫二次方根，3和-3的平方都等于9，由定义可知3和-3都是9的平方根，即9的平方根有两个3和-3，9的算术平方根只有一个是3.
由平方根和算术平方根的定义，大家能否找出它们有什么相同和不同之处呢？
【教学说明】让学生找出平方根和算术平方根的相同点与不同点，对于正确理解两个不同的概念和学生准确解题很有帮助.
【归纳结论】联系：（1）具有包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种.
（2）存在条件相同：平方根和算术平方根都是只有非负数才有.
（3）0的平方根、算术平方根都是0.
区别：（1）定义不同：“如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根”；“非负数a的非负平方根叫a的算术平方根”.
（2）个数不同：一个正数有两个平方根，而一个正数的算术平方根只有一个.
（3）表示法不同：正数a的平方根表示为±，正数a的算术平方根表示为.
（4）取值范围不同：正数的平方根一正一负，互为相反数；正数的算术平方根只有一个.
什么叫开平方呢？我们共学了几种运算？这几种运算之间有怎样的联系？
【教学说明】使学生明白加与减、乘与除、平方与开平方都是互为逆运算.
2. 平方根的性质
请大家思考下面的问题：
（1）一个正数有几个平方根？
（2）0有几个平方根？
（3）负数呢？
【教学说明】通过前面的学习，学生不难得出一个正数有两个平方根，且它们互为相反数； 0有一个平方根是0；负数没有平方根，加深对平方根概念的理解.
【教学说明】由平方根的定义，学生不难得出结果，对于平方根的求法再次加深，以达到熟练运用.
三、运用新知，深化理解
1.求下列各数的平方根.
1.44，0，8，100/49，441，196，10-4
2.填空
（1）25的平方根是 ；
（2）（-5）2= ；
（3）（5）2= .
3.判断下列各数是否有平方根？并说明理由.
（1）（-3）2；（2）0；（3）-0.01；（4）-52；（5）-a2；（6）a2-2a+2
【教学说明】学生自主完成，加深对平方根概念的理解和检测学生对平方根求法的掌握情况，及时点拨，得以强化.
【答案】1.±1.2，0，± ，± ，±21，±14，±
2.（1）±5，（2）5，（3）5
3.有平方根的是：（-3）2，0，a2-2a+2，因为它们都是非负数；-0.01，-52没有平方根，因为它们都是负数；-a2，只有当a=0时它才有平方根.
四、师生互动，课堂小结
1.师生共同回顾平方根和开平方的概念以及只有非负数才有平方根.
2.本节课你有哪些收获？还存在哪些不足？
【教学说明】引导学生回顾知识点，找出它们之间的联系与区别以及学习过程中存在的不足，便于进一步深化和查漏补缺.
1.习题2.4第1、2、3、4题.
2.完成练习册中本课时相应练习.
这节主要是算术平方根与平方根的区别与联系，其中表示方法，求式子的值都是很容易混淆的.大部分的学生还是能勉强的掌握.但还是要在以后的教学过程中再多让学生分清他们.
3 立方根
1.了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根.
2.能用立方运算求某些数的立方根，明白开立方与立方互为逆运算.
3.正确区分立方根与平方根的不同.
4.在学习平方根的基础上，用类比的方法学习立方根的有关知识.
5.结合本节课的特点，训练学生类比思想的养成，发展他们求同求异思维，使他们能在复杂的环境中明辨是非.
【教学重点】
1.立方根的概念.
2.会求一个数的立方根.
【教学难点】
区分立方根与平方根的不同之处.
一、创设情境，导入新课
上节课我们学习了平方根的定义，若x2=a，则x叫a的平方根，即x=± .正方体的棱长为a，体积为8，根据正方体体积的公式得a3=8，那么a叫8的什么呢？本节课请大家根据上节课的内容自己来类推出结论，若x3=a，则x叫a的什么呢？
【教学说明】学生比较容易由平方根的定义类推得出立方根的定义，他们心目中已经对立方根有了初步认识.
二、思考探究，获取新知
1.立方根的概念及求法
下面大家能不能根据平方根的定义和记法来类推立方根的定义和记法呢？
【教学说明】由于学生在前面对于立方根的由来有了初步接触，应该来说学生接受比较快，容易掌握.
【归纳结论】若一个数x的立方等于a，即x3=a，那么这个数x就叫做a的立方根（cube rt；也叫三次方根）.记为x= ，读作x等于三次根号a，如2是8的立方根，-2/3是-8/27的立方根，0是0的立方根.
大家能否由开平方的定义，再类推开立方的定义呢？
【教学说明】学生在已学的开平方的基础上不难得出开立方的定义，有利于加深立方根概念的理解.
【归纳结论】求一个数a的立方根的运算，叫做开立方，其中a叫做被开方数.
2.立方根的性质
（1）2的立方等于多少？是否有其他的数，它的立方也是8？
（2）-3的立方等于多少？是否有其他的数，它的立方也是-27？
（3）0的立方等于多少？0有几个立方根？
【教学说明】从立方入手，让学生对立方根的求法再次得到加深.
【归纳结论】正数有一个正的立方根、负数有一个负的立方根，0的立方根有一个，是0.
3.平方根与立方根的区别与联系
我们已经学习了平方根与立方根的定义，并会求某些数的平方根和立方根，下面请大家说说它们的联系与区别.
【教学说明】让学生找出平方根与立方根的联系与区别.对于正确理解两个不同而又容易混淆的概念和准确解题有很大帮助.
【归纳结论】联系：（1）0的平方根、立方根都有一个是0.
（2）平方根、立方根都是开方的结果.
区别：（1）定义不同：“如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根”；“如果一个数的立方等于a，这个数就叫做a的立方根”.
（2）个数不同：一个正数有两个平方根，一个正数有一个立方根；一个负数没有平方根，一个负数有一个立方根.
（3）表示法不同
正数a的平方根表示为± ，a的立方根表示为 .
（4）被开方数的取值范围不同
±中的被开方数a是非负数；中的被开方数可以是任何数.
例1求下列各数的立方根：
（1）-27，（2）8/125；（3）0.216；（4）-5.
请大家思考下列问题：
表示a的立方根，则（）3等于什么？等于什么？
例2求下列各式的值：
【教学说明】由立方根的定义，学生不难得出结果，对于立方根的求法再次加深，以达到熟练运用.
三、运用新知，深化理解
【教学说明】学生独立完成，加深对立方根概念的理解和检测学生对于立方根求法的掌握情况，及时指导、点拨，得以强化提高.
四、师生互动，课堂小结
1.师生共同回顾立方根和开立方的概念以及立方根的性质.
2.本节课你有哪些收获？还有哪些疑问？
【教学说明】引导学生回顾所学知识，找出它们的相同点和不同点以及学习过程中存在的疑惑，便于进一步深化提高.
1.习题2.5第1、2、3题.
2.完成练习册中本课时相应练习.
本节的内容最好在学生熟练掌握平方根的内容的前提下进行.这样就能让学生用类推的方法得出立方根的相关结论.很容易理解与掌握.从学生上课的反映来看，这节课应该是比较成功的.
4 估算
1.能通过估算检验计算结果的合理性，能估计一个无理数的大致范围，并能通过估算比较两个数的大小.
2.掌握估算的方法，形成估算的意识，发展学生的数感.
3.通过一系列实际问题的解决让学生逐步掌握估算的基本方法.
4.培养学生把数学应用于日常生活中的能力，对结果合理性的觉察能力，近似估算能力.
【教学重点】
掌握估算的方法，能通过估算检验计算结果的合理性.
【教学难点】
掌握估算的方法，形成估算的意识.
一、创设情境，导入新课
在前面我们已经了解了估算一个根号表示的无理数一般是采用夹逼的方法.例如要估算 的大小，首先要找出20邻近的完全平方数.在日常生活中，往往要遇到估算一个比较大的数的平方根或立方根，我们怎么办呢？通过下面的学习你就明白了.
【教学说明】由于第二章第一节内容已经初步接触到估算，为他们后面学习估算比较大的数作好了铺垫.
二、思考探究，获取新知
估算和数的大小比较
某地开辟了一块长方形的荒地，新建一个以环保为主题的公园.已知这块荒地的长是宽的2倍，它的面积为400000米2
1.公园的宽大约是多少？它有1000米吗？
2.如果要求误差小于10米，它的宽大约是多少？与同伴交流.
3.该公园中心有一个圆形花圃，它的面积是800米2，你能估计它的半径吗？（误差小于1米）
【教学说明】从实际问题出发，关注学生能否主动从事估算等活动.对于较复杂的计算可用计算器.
议一议：
（1）下列计算结果正确吗？你是怎样判断的？与同伴进行交流.
（2）你能估算的大小吗？（结果精确到1）.
【教学说明】通过估算检验计算结果的合理性，在活动过程中能否向同伴清晰的解释自己的想法，并从中得到启发.
例1根据生活经验表明，靠墙摆放梯子时，若梯子底端离墙的距离约为梯子长度的1/3，则梯子比较稳定.现在有一个长度为6米的梯子，当梯子稳定摆放时，它的顶端能达到5.6米高的墙头吗？
例2在公园两侧分别有一柱状雕塑，高度分别是 （米）与（米），通过估算，试比较它们的高矮.你是怎么样想的？与同伴交流.
【教学说明】让学生体验生活中无处不在的数学，用数学语言有条理地表达自己估算思考过程.
三、运用新知，深化理解
1.估算下列数的大小：
（1） （精确到0.01） （2） （精确到-1）
2.通过估算，比较下面各组数的大小；
（1） ，3.85；（2），7/8.
3.下列估算正确吗？说说你的理由.
（1） ≈9.5；
（2） ≈232.
4.如图，一旗杆高10米，旗杆顶部A与地面一固定点B之间要拉一笔直的铁索，已知固定点B到旗杆底部的距离是7米，一工人准备了长约12.5米的铁索，你认为这一长度够吗？
【教学说明】教师可以引导学生先猜想然后再验证，让他们逐步掌握精确估算的方法.教学中宜采用分析法，不同的学生可能有不同的做法.
四、师生互动，课堂小结
通过本课的学习，你有什么收获？我们一起共享；你有什么问题？我们一起解决.
【教学说明】引导学生回顾所学知识，总结得出，便于及时矫正强化，达到共同提高.
1.习题2.6第1、2、5题.
2.完成练习册中本课时相应练习.
计算器的缺乏使这节课上的比较困难.不过问题与实际结合的很好，学生思考比较积极，大胆猜想，最终还是较好的完成了学习任务.
5 用计算器开方
1.会用计算器求平方根和立方根.
2.经历运用计算器探求数学规律的活动，发展合情推理的能力.
3.通过使用计算器求一个数的平方根与立方根操作过程，弄清计算器的操作方法.
4.让学生亲自使用计算器，培养他们的动手能力，激发他们的求知欲望，调动他们学习的兴趣.
【教学重点】
用计算器求平方根和立方根；运用计算器探求数学规律.
【教学难点】
探求规律，发展合情推理的能力.
一、创设情境，导入新课
出示科学计算器教学模板.利用科学计算器怎样进行开方运算呢?
【教学说明】使用科学计算器教学模板这一教学用具，直观、易于操作，调动了学生学习的兴趣，为这一节课的学习做了个良好的开端.
二、动手操作，获取新知
用计算器进行开方运算
下面给大家说明一下开平方、开立方运算的方法.
（1）开方运算要用到乘方运算键x2第二功能“”和∧第二功能“ ”
（2）对于开平方运算，按键顺序为：2nd x2 被开方数 =
（3）对于开立方运算，按键顺序为：3 2nd ∧ 被开方数 =
【教学说明】用不同型号的计算器进行开方运算，按键顺序可能有所不同.如用有些计算器进行开平方运算时，先按被开方数，然后按“”.
1.让学生跟随教师按步骤利用计算器计算下列各数：
【教学说明】让学生跟随教师尝试着使用计算器进行开平方或立方运算，达到熟练掌握使用计算器的方法和步骤.
2.做一做.
利用计算器，求下列各式的值.（结果精确到0.01）
（1） ；（2） ；（3） ；（4） .
【教学说明】教师让学生交流完成上述各题，加深他们使用计算器的操作方法的理解，使所学知识得到强化.
【展示结果】（1）28.28；（2）1.64；（3）0.76；（4）-0.76.
例 利用计算器比较和的大小.
（1）让学生讨论得出如何比较两数大小的方法.
（2）让一个学生把计算和的过程在教学模板上演示.
（3）教师演示P37例题的解答过程.
【教学说明】通过学生多次使用计算器，以提高他们的运算速度和正确率.
【归纳结论】我们利用计算器不仅可以进行开方运算，还可以比较两个无理数的大小.
三、运用新知，深化理解
1.利用计算器求下列各式的值.（保留4个有效数字）
2.利用计算器，比较下列各组数的大小.
3.（1）任意找一个正数，利用计算器将该数除以2，所得结果再除以2……
随着运算次数的增加，你发现了什么？
（2）再用一个负数试一试，看看是否仍有类似的规律.
【教学说明】随着使用计算器次数的增加，让学生自主完成应该没有什么困难.以达到熟练准确运用的目的.
四、师生互动，课堂小结
1.师生共同回忆利用计算器求平方根和立方根的按键顺序.
2.这节课你还掌握哪些知识？还有什么疑问？与同伴交流.
【教学说明】教师引导学生回顾所学知识，加强印象，达到熟练操作使用计算器.找出疑问，及时解决，共同提高.
1.习题2.7第1、2题.
2.完成练习册中本课时相应练习.
学生愿意使用计算器这一学习工具，帮助他们解决了学习上的不少较为麻烦的运算，在轻松愉快的学习中获取数学知识，无疑增加了他们学习数学的信心和热情.
6 实数
1.了解实数的意义，在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义，能对实数按要求分类.
2.了解有理数的运算法则在实数范围内仍然适用.
3.了解数轴上的点与实数一一对应，能用数轴上的点来表示无理数.
4.在学习有理数的基础上用类比的方法去解决问题，找规律，用旧知识去探索新知识.
5.通过复习旧知识探索新知识，培养学生学习的生动性，敢于大胆猜想，和同学能积极交流的合作意识.
【教学重点】
了解实数的意义，能对实数进行分类，明确数轴上的点与实数一一对应并能用数轴上的点来表示无理数.
【教学难点】
用数轴上的点来表示无理数.
一、创设情境，导入新课
我们以前学过有理数和无理数，那什么叫有理数？什么叫无理数？请举例说明.
把下列各数分别填入相应的集合内：
【教学说明】在已学的有理数和无理数的基础上，顺其自然地得出实数的概念.学生很容易接受.
【归纳结论】有理数和无理数统称实数，即实数可分为有理数和无理数.
二、思考探究，获取新知
1.在实数概念基础上对实数进行不同分类.
无理数与有理数一样，也有正负之分，如3是正的，-π是负的.
思考：
正有理数：
负有理数：
有理数：
无理数：
（2）0属于正数吗？0属于负数吗？
（3）实数除了可以分为有理数与无理数外，实数还可怎样分？
【教学说明】“思考”是使学生明确实数有两种不同的分法，加深了对概念的理解.
【归纳结论】实数还可以分为正实数、0、负实数.
2.了解实数范围内相反数、倒数、绝对值的意义.
在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样吗？
【教学说明】在有理数的相反数、倒数、绝对值意义的基础上学习实数范围内相反数、倒数、绝对值的意义，毫无疑问地给了学生一把拐杖，为后面的学习起了导航作用.
3.有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然适用.我们在有理数范围内学过运算法则和运算律是否在实数范围内这些运算法则和运算律还能继续用呢？
【教学说明】使学生明白实数范围内的运算法则和运算律可以在有理数的基础上直接套用，给他们的学习减轻了不少的麻烦.
4.用数轴上的点来表示无理数.
（1）如图，OA=OB，数轴上点A对应的数是什么？它介于哪两个整数之间？
（2）你能在坐标轴上找到5对应的点吗？如果将所有的有理数都标到数轴上，那么数轴上被填满了吗？
【教学说明】利用数形结合的思想让学生进一步认识了实数的分类.
【归纳结论】A点对应的数等于，它介于1与2之间.如果将所有有理数都标到数轴上，数轴未被填满，在数轴上还可以表示无理数.
每一个实数都可以用数轴上的点来表示；反过来数轴上的每一个点都表示一个实数.即实数和数轴上的点是一一对应的.
一样地，在数轴上，右边的点比左边的点表示的数大.
三、运用新知，深化理解
1.判断下列说法是否正确：（1）无限小数都是无理数；（2）无理数都是无限小数；（3）带根号的数都是无理数.
2.求下列各数的相反数、倒数和绝对值.
3.在数轴上作出5对应的点.
【教学说明】学生独立完成加深对所学知识的理解和检测对实数分类和有关概念的掌握情况，对学生存的问题及时指导，并进行强化.
四、师生互动，课堂小结
1.师生共同回忆实数的两种分类，相反数、倒数、绝对值的意义等知识点.
2.通过这节课的学习，你掌握了哪些知识？还存在哪些不足？
【教学说明】引导学生回顾所学知识，进行知识提炼和系统归纳整理，有助于学生加深印象，便于理解.
1.习题2.8第1、2、3题.
2.完成练习册中本课时相应练习.
本节内容并不复杂，很大部分是借助旧知识学习新知识，绝大部分同学掌握得很好.但在个别问题上，如-π属于负无理数，不属于小数或分数的范围，在今后的学习中需不断完善.
7 二次根式
第1课时 二次根式
1.理解二次根式和最简二次根式的概念，能把一个二次根式化成最简二次根式.
2.正确运用公式：
.
3.经历观察、比较、总结二次根式基本性质的过程，发展学生的归纳概括能力.
4.通过对二次根式的概念和性质的探究，提高数学探究能力和归纳表达能力.
5.经历观察、比较、总结和应用等数学活动，感受数学活动充满了探索性和创造性，体现发现的快乐，并提高应用的意识.
【教学重点】
二次根式的概念和性质，最简二次根式的概念与化简.
【教学难点】
二次根式的化简.
一、创设情境，导入新课
观察下列代数式：
这些式子都是我们在前面已经学习过的，它们有什么共同特征呢？
【教学说明】通过学生观察、总结归纳这些式子的特点为给二次根式下定义做好准备.
【归纳结论】它们都含有开方运算，并且被开方数都是非负数.
一般地，形如 （a≥0）的式子叫做二次根式，a叫做被开方数.
二次根式有些什么性质呢？让我们一起去研究吧！
二、思考探究，获取新知
二次根式的概念与化简
做一做：
（1）计算下列各式，你能得到什么猜想？
（2）根据上面的猜想，估计下面每组两个式子是否相等，借助计算器验证，并与同伴进行交流.
【教学说明】学生亲自计算，通过观察、猜想，借助计算器验证得出结论，这比教师讲无数遍的效果要好得多，同时也为后面归纳二次根式的基本性质作了很好的引导.
【归纳结论】

即积的算术平方根，等于各个因式算术平方根的积，商的算术平方根，等于被除数的算术平方根除以除数的算术平方根.
注意：a、b的取值范围不能忽略.
【教学说明】利用二次根式的性质，学生对于例1比较容易理解，教师对于例2可以适当点拨.
【归纳结论】一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式.
注意：化简时，通常要求最终结果中分母不含有根号，而且各个二次根式是最简二次根式.
三、运用新知，深化理解
1.下列式子是二次根式的有（ ）个.
A.2 B.3 C.4 D.5
2.下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
3.化简：
4.一个直角三角形的斜边长为20，一条直角边长为15，求另一条直角边长.
【教学说明】学生独立完成，可以加深对新学知识的理解和掌握二次根式的有关概念和性质的运用的掌握情况.便于及时纠正错误，得以强化提高.
四、师生互动，课堂小结
1.师生共同回顾二次根式、最简二次根式的概念以及二次根式的性质等知识.
2.本节课你有哪些收获？还有什么困惑？与同学们交流.
【教学说明】通过对新学知识点的回顾，总结得出，及时解答学生存在的疑难问题，有利于共同提高.
1.习题2.9第1、2、3题.
2.完成练习册中本课时相应练习.
这节课的主要内容就是根据二次根式的两个性质进行化简.学生对于比较直观一些的二次根式的化简很熟练，但对于略微复杂一点的二次根式的化简还不能够达到灵活自如，有待在今后的学习中加大训练力度.
第2课时 二次根式的四则运算
1.使学生能够利用积和商的算术平方根性质的反用进行二次根式的加减乘除运算.
2.让学生理解实数的运算法则和运算律对于二次根式同样适用.
3.学会运用把不是最简二次根式的要化成最简二次根式，如果被开方数相同，应当将这些项合并.
4.通过实数的运算与二次根式的运算比较体会类比的思想.
5.通过二次根式的运算培养学生的运算能力.
6.通过对二次根式运算的学习使学生认识到事物之间是相互联系的.激发学生学习热情，让学生充分参与到数学学习过程中来，使他们体验到成功的乐趣.
【教学重点】
二次根式加减乘除的运算.
【教学难点】
探讨二次根式运算的方法，快速准确地运用公式和运算律进行二次根式的运算.
一、创设情境，导入新课
前面我们学习了二次根式的两个性质：积的算术平方根和商的算术平方根的两个式子，即
现在把等号的左边与右边交换，就可得到二次根式的乘法法则和除法法则：
【教学说明】通过回忆旧知识得出新知识，学生并不陌生，有一定的基础，掌握起来也很容易，增强了学生学习数学的自信心和勇气.
二、思考探究，获取新知
二次根式的加减、乘除运算
依据上面的法则，下面的式子你会计算吗？
例1计算：
【教学说明】教师引导学生尝试着直接运用法则进行二次根式的乘除法运算，可以作适当点拨.
注：能约分的可以先约分，运算结果必须都是最简二次根式.
同样的，二次根式也可以进行加减运算，它和以前学过的实数的运算法则、运算律仍然适用.下面的计算不妨试一试？有困难的可以和同学交流.
例2计算：
【教学说明】对于有些二次根式的运算可以运用完全平方公式和平方差公式使计算简便，这就要在解题之前观察式子的特点，教师可以引导学生合作做题，错误较多的地方教师再作矫正、强调.
注：对于化简运算的结果中，如果被开方数相同，应当将这些项合并.根号前面是带分数的要化成假分数.
通过上面的学习，我们已经知道了怎样进行二次根式的加减乘除运算.下面的题，你能独立做吗？
例3计算：
【教学说明】通过前面两个例题的学习，学生进行二次根式的运算有了一定的基础，让学生体验成功的喜悦.
三、运用新知，深化理解
1.化简：
2.计算：
3.一个直角三角形的两条直角边长分别为cm和cm,求这个直角三角形的面积.
【教学说明】学生自主完成，加深对二次根式运算方法和技巧的掌握，提高他们运算的正确率和计算速度.特别要结合式子的特点运用公式和法则使计算简便.
.
四、师生互动，课堂小结
通过这节课你有哪些收获？谈谈自己的想法.
【教学说明】鼓励学生用自己的语言进行总结、归纳，特别是运算过程中要注意的几个细节，教师可以适度提醒.
1.布置作业：习题2.10中的1、3题.
2.完成练习册中本课时相应练习.
二次根式的运算并非一时就能熟练地掌握的，有待在今后的教学中花时间加大训练，以达到又准又快的目的.
第3课时 二次根式的混合运算
1.在有理数的混合运算及整式的混合运算的基础上，使学生了解二次根式的混合运算与以前所学知识的关系，在比较中求得方法，并能熟练地进行二次根式的混合运算.
2.对二次根式的混合运算与整式的混合运算及数的混合运算作比较，要注意运算的顺序及运算律在计算过程中的作用.
3.通过引导，在多解中进行比较，寻求有效快捷的计算方法.
4.通过独立思考与小组讨论，培养良好的学习态度，并且注重培养学生的类比思想.
【教学重点】
混合运算的法则，明确三级运算的顺序，运算律的合理使用.
【教学难点】
灵活运用公式或运算律以及约分等技巧，使计算简便.
一、创设情境，导入新课
已知：矩形的长是，宽是，求它的面积.
你能求出这个矩形的面积吗？
通过本节课的学习，我们就会很容易解决这一问题.
【教学说明】学生依据前面所学的二次根式的加减乘除四则运算的法则解答这个问题难度不大.通过问题的设置，激起学生的探索兴趣和求知欲望.
二、思考探究，获取新知
二次根式的混合运算
例1计算：
【教学说明】可以让学生独立做，再小组合作，总结交流计算中存在的不足，使学生逐渐掌握运算的规律和技巧方法，理解新旧知识的联系.
注：如果在二次根式的运算中，二次根式化简后的被开方数不可能相同，结果可以保留原来的形式，不必将它化成最简二次根式.
议一议：
化简 ，其中a=3，b=2，你是怎么做的？与同伴进行交流.
【教学说明】把二次根式中的被开方数由原来的数字形式改为字母形式，可能学生有些不适应，教师可以根据实际情况做必要的点拨。
注：对于被开方数是字母形式的，先进行化简，再把字母的值代入求得.
做一做：
如图所示，图中小正方形的边长为1，试求图中梯形ABCD的面积，你有哪些方法？与同伴进行交流.
【教学说明】把勾股定理与二次根式的混合运算充分地结合起来，提高了学生综合分析解决问题的能力.
三、运用新知，深化理解
【教学说明】学生独立完成，不断提高他们的运算速度和正确率，灵活运用公式或运算律的能力再次得到深化，达到事半功倍.
四、师生互动，课堂小结
通过今天的学习你有何收获？请你提醒大家，本节课所研究的内容，有什么需要特别记住的，有哪些地方是特别容易出错的.
【教学说明】不同的学生可能理解不一样，让学生能够说出自己的错误，让全班同学引以为戒，互相取长补短，达到整体提高.
1.布置作业：习题2.11中的第1、2题.
2.完成练习册中本课时相应练习.
二次根式的混合运算是学生的一大弱点，在计算过程中稍不留心很容易出错.在教师的正确引导和适度训练下会有很大的提高.
本章归纳总结
1.理解并掌握本章重要知识点，学生估算，能灵活运用运算法则、运算律或公式进行二次根式的运算.
2.通过梳理本章知识，回顾解决问题中所涉及到的提高学生的估算能力和运用类比的方法进行二次根式的运算.
3.在学习本章知识的过程中，让学生体会到事物之间的相互联系、相互作用.激发他们的探索热情和提高他们学习的积极性.
【教学重点】
回顾本章重要的概念，实数的运算.
【教学难点】
掌握估算的方法，熟练准确地进行二次根式的混合运算.
一、知识框图，整体把握
【教学说明】教师引导学生回顾本章所学的知识点，展现知识结构体系框图，有助于学生加深理解各知识之间的区别和相互联系.
二、释疑解惑，加深理解
1.平方根的求法
对于平方根的求法，一定要看清所给数的形式.如：求的平方根不能认为是±9.因为=9，其实就是求9的平方根，所以81的平方根应该是±3.
2.实数的分类.
①并不是所有的带根号的数都是无理数.如：=2，它是有理数.
②无限循环小数不能认为是无理数.如，它是分数，是有理数而不是无理数.
3.二次根式的运算.
①只有化简后如果被开方数相同，才能将它们进行合并.如+≠,因为它们本身就是最简二次根式，并且被开方数也不相同，不能直接把被开方数相加.
②有一种形式的二次根式的除法运算不能运用分配律.如：
这两种形式要认真理解才能算得准确.
三、典例精析，复习新知
例1（1）的算术平方根是 ；
（2）若=3，则x= ；
（3）若的平方根是±2，则a= ;
（4）= ， = .
【分析】（1）先求=？再求?的算术平方根；=5，5的算术平方根是；（2）由=3,可得3是x2的算术平方根，所以x2=9,即可求出x=±3;（3）由的平方根是±2,可得=4，即可求a=16；（4）先算出82，（-7）2的值，再求它们的算术平方根，即=8,=7.
例2比较 与 的大小.
【分析】本题利用估算法，其基本思路是设a、b为任意两个正实数，先估算出a、b两数或两数中某个数的取值范围，再进行比较.
【分析】先化简二次根式，要保证被开方数开出来结果的正确性，这与a+ 和a-的结果有直接的关系.
.
【教学说明】教师和学生共同回顾本章知识点，针对平时容易忽略又会发生错误的地方，教师要给予强调说明.
四、复习训练，巩固提高
1.下列说法错误的是（ ）
【教学说明】这几个比较典型的题目是为了检测学生对本章重点知识的掌握情况，提高学生的解题能力和运算速度.
五、师生互动，课堂小结
本节复习课你能完整地回顾有关实数的知识点吗？你觉得哪些地方需要给大家提醒的，可以与大家一起分享.教师根据实际情况适当补充.
1.布置作业：从复习题中选取.
2.完成练习册中本课时相应练习.
本节课从构建知识框架入手，以学生平时容易犯的错和中考热点为主线，提高学生解决问题的能力和解题速度.