2021学年6 实数教学设计

2．6　实　数

1．了解实数的概念，能按要求进行分类；(重点)

2．能利用化简对实数进行简单的四则运算．(难点)

一、情境导入

毕达哥拉斯学派认为宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比，即都可用有理数来描述，但后来这个学派的一位年轻成员希伯索斯(Hippasus)发现边长为1的正方形的对角线的长度不能用整数或整数的比来表示，这就引起了毕达哥拉斯学派信徒们的恐慌，为此希伯索斯招来了杀身之祸，后来被投入大海．他这一死，使得这一伟大发现的发展推迟了500多年，给数学的发展造成了不可弥补的损失．这是怎样的一个发现呢？

学习了本节知识之后，你就会知道了．

二、合作探究

探究点一：实数的相关概念及分类

把下列各数填入相应的集合内：

－，－，，，－，0，－π，－，－4.0，3.1010010001…(相邻两个1之间0的个数逐次加1)．

有理数集合：{　　　　　　　　　　…}；

无理数集合：{　　　　　　　　　　…}；

整数集合：{　　　　　　　　　　…}；

分数集合：{　　　　　　　　　　…}；

正实数集合：{　　　　　　　　　　…}；

负实数集合：{　　　　　　　　　　…}；

解析：根据有理数、无理数等的概念进行分类，应注意先把一些数化简再进行判断，如－＝2.

解：有理数集合：{－，，－，0，－，－4.0，…}；

无理数集合：{－，，－π，3.1010010001…(相邻两个1之间0的个数逐次加1)，…}；

整数集合：{－，0，…}；

分数集合：{－，，－，－4.0，…}；

正实数集合：{，，－，3.1010010001…(相邻两个1之间0的个数逐次加1)，…}；

负实数集合：{－，－，－π，－，－4.0，…}．

方法总结：至今我们所学的数不是有理数就是无理数，因此可先把题目中所列各数分成这两类，再从有理数中找整数及分数，这样可分散难点，逐个突破，同时可避免重复或遗漏．

探究点二：实数的性质

分别求下列各数的相反数、倒数和绝对值．

(1)；(2)；(3).

解析：根据实数的相反数、倒数和绝对值的定义写出相应结果．注意(1)(2)中的两个数要先化简为整数．

解：(1)∵＝－4，∴的相反数是4，倒数是－，绝对值是4.

(2)∵＝15，∴的相反数是－15，倒数是，绝对值是15.

(3)的相反数是－，倒数是，绝对值是.

方法总结：在实数范围内，相反数、倒数和绝对值等的意义和在有理数范围内的完全相同．

探究点三：实数与数轴上点的关系

【类型一】 求数轴上的点对应的实数

如图所示，数轴上A，B两点表示的数分别为－1和，点B关于点A的对称点为C，求点C所表示的实数．

解析：首先结合数轴和利用已知条件可以求出线段AB的长度，然后利用对称轴的性质即可求出点C所表示的实数．

解：∵数轴上A，B两点表示的数分别为－1和，∴点B到点A的距离为1＋，则点C到点A的距离为1＋，设点C表示的实数为x，则点A到点C的距离为－1－x，∴－1－x＝1＋，∴x＝－2－.

方法总结：本题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，其中利用了：当点C为点B关于点A的对称点时，点C到点A的距离等于点B到点A的距离；两点之间的距离为两数差的绝对值．

【类型二】 利用数轴进行估算

如图所示，数轴上A，B两点表示的数分别为，则A，B两点之间表示整数的点共有(　　)

A．6个  B．5个  C．4个  D．3个

解析：∵，∴，3，4，5，∴A，B两点之间表示整数的点共有4个．故选C.

方法总结：数轴上的点与实数一一对应，结合数轴分析，可轻松得出结论．

探究点四：实数的大小比较

已知0<x<1，则x，，x2，的大小关系为(　　)

A．x<<x2<  B．x<x2<<

C．x2<x<<  D.<x2<x<

解析：本题可以用特殊值法求解．例如取x＝，则＝4，x2＝，＝，从而可以比较其大小，<<<4，即x2<x<<.故选C项．

方法总结：当直接比较大小较困难时，我们可以采用特殊值法，所取特殊值必须符合两个条件：(1)在字母取值范围内；(2)求值计算简单．而求实数的相反数、倒数、绝对值的方法与求有理数的相反数、倒数、绝对值的方法是一样的．

探究点五：实数的运算

计算：

(1)＋2.34－π(精确到0.1)；

(2)(＋)(－1)(精确到0.01)；

(3)(＋＋)×.

解析：在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用．

解：(1)＋2.34－π≈×2.24＋2.34－3.14≈0.3.

(2)(＋)(－1)≈(1.732＋2.236)×(1.414－1)＝3.968×0.414≈1.64.

(3)(＋＋)×＝(－6＋＋4)×10＝－0.5×10＝－5.

方法总结：实数的运算同有理数的运算法则一样．实数运算中，无理数可选取近似值转化为有理数计算，中间结果所取的近似值要比最终结果要求的多一位小数．

三、板书设计

实数

前面已学习了平方根、立方根，认识了无理数，了解了无理数是客观存在的，从而将有理数扩充到实数范围，使学生对数的认识进一步深入．中学阶段有关数的问题多是在实数范围内进行讨论的，同时实数内容也是今后学习一元二次方程、函数的基础．