新教材数学苏教版必修第一册第8章 8.1 8.1.2　用二分法求方程的近似解 课件

8.1.2　用二分法求方程的近似解

知识点1　二分法的定义

对于在区间[a，b]上的图象连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值，即f(x)＝0的近似解的方法叫作二分法．

1．观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是(　　)

A　　　　B　 　　C　　　　D

[答案]　A

知识点2　用二分法求方程的一个近似解的操作流程

以上操作过程中，如果存在c，使得f(c)＝0，那么c就是方程f(x)＝0的一个精确值．

用“二分法”求方程的近似解时，应通过移项问题转化为求函数的零点近似值．如求f(x)＝g(x)的近似解时可构造函数h(x)＝f(x)－g(x)，将问题转化为求h(x)的零点近似值的问题．

2．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)二分法所求出的方程的解都是近似解． (　　)

(2)函数f(x)＝|x|可以用二分法求零点． (　　)

(3)用二分法求函数零点的近似值时，每次等分区间后，零点必定在右侧区间内． (　　)

(4)用“二分法”求方程的近似解一定可将y＝f(x)在[a，b]内的所有零点得到． (　　)

[提示]　四句话都是错的．(1)中，二分法求出的解也有精确解，如f(x)＝x－1在(0,2)上用二分法求解时，中点为x＝1，而f(1)＝0．(2)中， f(x)＝|x|≥0，不能用二分法．(3)中，二分法求零点时，零点可以在等分区间后的右侧，也可以在左侧．(4)中f(x)在[a，b]内的近似解可能有多个，而二分法求解时，只须达到一定的精确度即可，故可能会漏掉一些，另外在等分区间后，中点的函数值与某一端点函数值同号时内部也未必没有零点，故采用“二分法”不一定求出函数的所有零点的近似解．

[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×

类型1　“二分法”的概念

【例1】　下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点近以值的是(　　)

A　　　　B　　　　C　　　　D

D　[根据二分法的基本方法，函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断，且f(a)·f(b)<0，即函数的零点是变号零点，才能将区间[a，b]一分为二，逐步得到零点的近似值．对各图象分析可知，选项A、B、C都符合条件，而选项D不符合，由于零点左右两侧的函数值不变号，因此不能用二分法求函数零点的近似值．故选D．]

判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点.因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用.

1．已知函数f(x)的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为(　　)

A．4,4　　　　　 B．3,4

C．5,4     D．4,3

D　[图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左右函数值异号的零点有3个，所以用二分法求解的个数为3，故选D．]

2．关于“二分法”求方程的近似解，下列说法正确的是(　　)

A．“二分法”求方程的近似解一定可将y＝f(x)在[a，b]内的所有零点得到

B．“二分法”求方程的近似解有可能得不到y＝f(x)在[a，b]内的零点

C．应用“二分法”求方程的近似解，y＝f(x)在[a，b]内有可能无零点

D．“二分法”求方程的近似解可能得到f(x)＝0在[a，b]内的精确解

D　[如果函数在某区间满足二分法，且在区间内存在两个及以上的实根，二分法只可能求出其中的一个，∴A错误；二分法的实施满足零点存在定理，在区间内一定存在零点，∴B错误；C只要限定了近似解的范围就可以得到方程的近似解，∴C错误；“二分法”求方程的近似解，甚至有可能得到函数的精确零点，∴D正确．]

类型2　用“二分法”求方程的近似解

【例2】　利用计算器，求方程ln x＝2－x的近似解(精确到0.1)．

[解]　分别画出函数y＝ln x和y＝2－x的图象，如图所示，在两个函数图象的交点处，函数值相等．因此，这个点的横坐标就是方程ln x＝2－x的解．由函数y＝ln x 与y＝2－x的图象可以发现，方程ln x＝2－x有唯一解，且这个解在区间(1,2)内．设f(x)＝ln x＋x－2，则函数f(x)的零点即方程ln x＝2－x的解，记为x0，利用计算器计算得

f(1)＜0，f(2)＞0⇒x0∈(1,2)；

f(1.5)＜0，f(2)＞0⇒x0∈(1.5,2)；

f(1.5)＜0，f(1.75)＞0⇒x0∈(1.5,1.75)；

f(1.5)＜0，f(1.625)＞0⇒x0∈(1.5,1.625)；

f(1.5)＜0，f(1.562 5)＞0⇒x0∈(1.5,1.562 5)；

f(1.531 25)＜0，f(1.562 5)＞0⇒x0∈(1.531 25,1.562 5)；

f(1.546 875)＜0，f(1.562 5)＞0⇒

x0∈(1.546 875，1.562 5)；

f(1.554 687 5)＜0，f(1.562 5)＞0⇒

x0∈(1.554 687 5,1.562 5)；

因为1.554 687 5与1.562 5精确到0.1的近似值都为1.6，所以方程ln x＝2－x的近似解为x0≈1.6．

用二分法求方程的近似解应明确两点

1根据函数的零点与相应方程的解的关系，求函数的零点与求相应方程的解是等价的，求方程fx＝0的近似解，即按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解.

2对于求形如fx＝gx的方程的近似解，可以通过移项转化成求形如Fx＝fx－gx＝0的方程的近似解，然后按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解.

3．求的近似值．(精确到0.1)

[解]　是x3＝2的根，因此可构造f(x)＝x3－2，问题转化为“求f(x)的零点的近似解”．

用二分法求其零点．

由f(1)＝－1<0，f(2)＝6>0．故可取区间[1,2]为计算的初始区间．

用二分法逐次计算，如下：

f(1)<0，f(1.5)>0⇒x1∈(1,1.5)，

f(1.25)<0，f(1.5)>0⇒x1∈(1.25,1.5)，

f(1.25)<0，f(1.375)>0⇒x1∈(1.25,1.375)，

f(1.25)<0，f(1.312 5)>0⇒x1∈(1.25,1.312 5)，

因为1.25与1.312 5精确到0.1的近似值都为1.3，所以1.3是精确到0.1的近似值．

1．用“二分法”可求一元方程的近似解，对于精确到ε的说法正确的是(　　)

A．ε越大，近似解的精确度越高

B．ε越大，近似解的精确度越低

C．重复计算次数就是ε

D．重复计算次数与ε无关

B　[依“二分法”的具体步骤可知，ε越大，近似解的精确度越低．]

2．在用二分法求函数f(x)零点近似值时，第一次取的区间是[－2,4]，则第三次所取的区间可能是(　　)

A．[1,4]　　　　　　　　 B．[－2,1]

C．[－2,2.5]     D．[－0.5,1]

D　[因第一次所取的区间是[－2,4]，所以第二次所取的区间可能是[－2,1]，[1,4]；第三次所取的区间可能为[－2，－0.5]，[－0.5,1]，[1,2.5]，[2.5,4]，只有D在其中，故答案为D．]

3．已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则不能利用二分法求解的零点是________．

x3　[因为x3左右两侧的函数值同号，故其不能用二分法求解．]

4．用二分法求函数y＝f(x)在区间(2,4)上的近似解，验证f(2)·f(4)<0，精确到0.1，取区间(2,4)的中点x1＝＝3，计算得f(2)·f(x1)<0，则此时零点x0∈________．(填区间)

(2,3)　[由f(2)·f(3)<0可知，x0∈(2,3)．]

5．如图，一块电路板的线路AB之间有64个串联的焊接点(不含端点A，B)，如果线路不通的原因是由于焊口脱落所致，要想检验出哪一处的焊口脱落，则至多需要检测________次．

6　[第1次取中点把焊点数减半为＝32，第2次取中点把焊点数减半为＝16，第3次取中点把焊点数减半为＝8，第4次取中点把焊点数减半为＝4，第5次取中点把焊点数减半为＝2，第6次取中点把焊点数减半为＝1，所以至多需要检测的次数是6．]

回顾本节知识，自我完成以下问题．

1．用二分法求函数近似零点时，函数应满足哪些条件？

[提示]　(1)f(x)在区间(a，b)上的图象连续不断．

(2)在区间(a，b)端点的函数值f(a)·f(b)<0．

2．使用二分法求方程近似解的理论依据是什么？

[提示]　零点存在定理．