新教材数学苏教版必修第一册第2章 2.2　充分条件、必要条件、充要条件 课件

2.2　充分条件、必要条件、充要条件

知识点1　充分条件与必要条件

“p⇒q”含义的理解：一方面，一旦p成立，q一定也成立．即p对q的成立是充分的；另一方面，如果q不成立，那么p一定不成立；即q对p的成立是必要的．

1．(1)p是q的充分条件与q是p的必要条件所表示的推出关系是否相同？

(2)以下五种表述形式：①p⇒q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q．这五种表述形式等价吗？

[提示]　(1)相同，都是p⇒q．(2)等价．

1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)q是p的必要条件时，p是q的充分条件． (　　)

(2)q不是p的必要条件时，“pq”成立． (　　)

(3)若q是p的必要条件，则q成立，p也成立． (　　)

[答案]　(1)√　(2)√　(3)×

知识点2　充要条件

(1)如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分且必要条件，简称p是q的充要条件．

为了方便起见，p是q的充要条件，就记作p⇔q，称为“p与q等价”或“p等价于q”．“⇒”和“⇔”都具有传递性，即

①如果p⇒q，q⇒s，则p⇒s；

②如果p⇔q, q⇔s，则p⇔s．

(2)若p⇒q，但qp，则称p是q的充分不必要条件．

(3)若q⇒p，但pq，则称p是q的必要不充分条件．

(4)若pq，且qp，则称p是q的既不充分也不必要条件．

2．(1)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题，这种说法对吗？

(2)“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？

[提示]　(1)正确．若p是q的充要条件，则p⇔q，即p等价于q．

(2)若①p是q的充要条件，则由p⇒q证的是充分性，由q⇒p证的是必要性．

②若p的充要条件是q，则由p⇒q证的是必要性，由q⇒p证的是充分性．

知识点3　性质定理和判定定理与充分必要条件的关系

(1)性质定理是某类对象具有的具体特征，所以性质定理具有“必要性”；

(2)判定定理是指对象只要具有某具体的特征，就一定有该对象的所有特征，所以判定定理具有“充分性”；

(3)数学中的定义既可以作为判定，也可以作为性质．即数学中的定义具有“充要性”．

2．“同位角相等”是“两直线平行”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．既是充分条件，也是必要条件

D．既不充分也不必要条件

C　[两直线平行，同位角相等．两条直线被第三条直线所截得的同位角相等，那么这两条直线平行．]

类型1　充分条件、必要条件的判断

【例1】　指出下列各题中p是q的什么条件．

(1)p：x－3＝0，q：(x－2)(x－3)＝0；

(2)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等；

(3)p：a＞b，q：ac＞bc．

[解]　(1)x－3＝0⇒(x－2)(x－3)＝0，但(x－2)·(x－3)＝0x－3＝0，故p是q的充分不必要条件．

(2)两个三角形相似两个三角形全等，但两个三角形全等⇒两个三角形相似，故p是q的必要不充分条件．

(3)a＞bac＞bc，且ac＞bca＞b，

故p是q的既不充分也不必要条件．

定义法判断充分条件、必要条件

1确定谁是条件，谁是结论.

2尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件.

3尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件.

1．指出下列各组命题中，p是q的什么条件．

(1)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形；

(2)p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0．

[解]　(1)因为四边形的对角线相等D/⇒四边形是平行四边形，四边形是平行四边形D/⇒四边形的对角线相等，所以p是q的既不充分也不必要条件．

(2)因为(x－1)2＋(y－2)2＝0⇒x＝1且y＝2⇒(x－1)(y－2)＝0，而(x－1)(y－2)＝0D/⇒(x－1)2＋(y－2)2＝0，所以p是q的充分不必要条件．

类型2　充要条件的探求与证明

【例2】　已知a、b是实数，求证：a4－b4－2b2＝1成立的充要条件是a2－b2＝1．

[证明]　充分性：若a2－b2＝1成立，则a4－b4－2b2＝(a2＋b2)(a2－b2)－2b2＝a2＋b2－2b2＝a2－b2＝1，所以a2－b2＝1是a4－b4－2b2＝1的充分条件．

必要性：若a4－b4－2b2＝1成立，则a4－(b2＋1)2＝0，即(a2＋b2＋1)(a2－b2－1)＝0．

因为a，b为实数，所以a2＋b2＋1≠0，所以a2－b2－1＝0，即a2－b2＝1．

所以a2－b2＝1是a4－b4－2b2＝1的必要条件．

综上可知，a4－b4－2b2＝1成立的充要条件为a2－b2＝1．

充要条件的证明策略

(1)要证明一个条件p是否是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真．

(2)在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，写出集合A＝{x|p(x)}及B＝{x|q(x)}，利用集合间的包含关系进行判断，证明前必须分清充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论．

提醒：证明时一定要注意，分清充分性与必要性的证明方向．

2．试证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0．

[证明]　①必要性：因为一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，所以Δ＝b2－4ac＞0，x1x2＝＜0(x1，x2为方程的两根)，所以ac＜0．

②充分性：由ac＜0可推得Δ＝b2－4ac＞0及x1x2＝＜0(x1，x2为方程的两根)．所以方程ax2＋bx＋c＝0有两个相异实根，且两根异号，即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．

综上所述，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0．

类型3　充分条件与必要条件及充要条件的应用

【例3】　已知p：实数x满足3a<x<a，其中a<0；q：实数x满足－2≤x≤3．若p是q的充分条件，求实数a的取值范围．

[解]　p：3a<x<a，即集合A＝{x|3a<x<a}．

q：－2≤x≤3，即集合B＝{x|－2≤x≤3}．

因为p⇒q，所以A⊆B，

所以⇒－≤a<0，

所以a的取值范围是－≤a<0．

[母题探究]

1．将本例中条件p改为“实数x满足a<x<3a，其中a>0”，若p是q的必要条件，求实数a的取值范围．

[解]　p：a<x<3a，即集合A＝{x|a<x<3a}．

q：－2≤x≤3，即集合B＝{x|－2≤x≤3}．

因为q⇒p，所以B⊆A，

所以⇒a∈∅．

2．将例题中的条件“q：实数x满足－2≤x≤3”改为“q：实数x满足－3≤x≤0”，其他条件不变，求实数a的取值范围．

[解]　p：3a<x<a，其中a<0，即集合A＝{x|3a<x<a}．

q：－3≤x≤0，即集合B＝{x|－3≤x≤0}．

因为p是q的充分条件，所以p⇒q，所以A⊆B，

所以⇒－1≤a<0．所以a的取值范围是－1≤a<0．

充分条件与必要条件的应用技巧

1应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题.

2求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式组进行求解.

3．已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为________．

[9，＋∞)　[因为p是q的充分不必要条件，

所以p⇒q且qp．

即{x|－2≤x≤10}是{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}的真子集，所以或解得m≥9．

所以实数m的取值范围为[9，＋∞)．]

1．“x>0”是“x≠0”的(　　)

A．充分不必要条件     B．必要不充分条件

C．充分必要条件     D．既不充分也不必要条件

A　[由“x>0”⇒“x≠0”，反之不一定成立．因此“x>0”是“x≠0”的充分不必要条件．]

2．(多选题)使x>3成立的充分条件是(　　)

A．x>4     B．x>5    C．x>2     D．x>1

AB　[x>4⇒x>3，x>5⇒x>3，其他选项不可推出x>3．]

3．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的(　　)

A．充分不必要条件     B．必要不充分条件

C．充分必要条件     D．既不充分也不必要条件

A　[因为x≥2且y≥2⇒x2＋y2≥4, x2＋y2≥4x≥2且y≥2，如x＝－2，y＝1，所以“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的充分不必要条件．]

4．若“x>1”是“x>a”的充分条件，则a的取值范围是________．

a≤1　[因为x>1⇒x>a，所以a≤1．]

5．“x2＝2x”是“x＝0”的________条件，“x＝0”是“x2＝2x”的________条件(用“充分”“必要”填空)．

必要　充分　[由于x＝0⇒x2＝2x，所以“x2＝2x”是“x＝0”的必要条件，“x＝0”是“x2＝2x”的充分条件．]

回顾本节知识，自我完成以下问题．

1．充分条件、必要条件及充要条件的判断方法有哪些？

[提示]　(1)定义法．(2)等价法．(3)利用集合间的关系．

2．你是怎样研究充分条件、必要条件及充要条件的？

[提示]　严格按照定义判断．若已知两个命题之间的关系求参数范围时，利用数轴求解，但要注意端点值．