专题04 待定系数求二次函数的解析式压轴题五种模型全攻略-【常考压轴题】2022-2023学年九年级数学下册压轴题攻略（苏科版）

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专题04 待定系数求二次函数的解析式压轴题五种模型全攻略

考点一 一点一参数代入求二次函数的解析式 考点二 两点两参数代入求二次函数的解析式
考点三 三点三参数代入求二次函数的解析式 考点四 已知顶点式求二次函数的解析式
考点五 已知交点式求二次函数的解析式
典型例题


考点一 一点一参数代入求二次函数的解析式
例题：（2022·全国·九年级专题练习）已知抛物线y＝x2＋（3﹣m）x﹣2m＋2
(1)若抛物线经过坐标原点，求此时抛物线的解析式；
(2)该抛物线的顶点随着m的变化而移动，当顶点移到最高处时，求该抛物线的顶点坐标；
【答案】(1)y＝x2+2x
(2)（﹣2，0）
【分析】（1）用待定系数法将（0，0）代入进行计算即可得；
（2）设抛物线的顶点坐标为（p，q），即可得，，顶点移到最高处，即是q取最大值，而进行计算，利用二次函数的性质即可得．
（1）
解：将（0，0）代入得：
，
解得m＝1，
∴抛物线的解析式为；
（2）
解：设抛物线的顶点坐标为（p，q），
则，，
顶点移到最高处，即是q取最大值，
而
＝
＝
＝，
∵，
∴当时，q最大值是0，
此时，
∴当顶点移到最高处时，抛物线的顶点坐标为（﹣2，0）．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是作为待定系数法，二次函数的性质．
【变式训练】
1．（2022·湖南·长沙市长郡双语实验中学九年级开学考试）已知抛物线（）经过点（，0）．
(1)求抛物线的函数表达式和顶点坐标．
(2)直线l交抛物线于点A（，m），B（n，7），n为正数．若点P在抛物线上且在直线l下方（不与点A，B重合），求出点P纵坐标的取值范围．
【答案】(1)，顶点坐标为
(2)
【分析】（1）将点（-2，0）代入求解；
（2）分别求出点A、B坐标，根据图像开口方向及顶点坐标求解．
（1）
解：把（-2，0）代入，
可得，
解得，
∴抛物线的函数表达式为，
∵，
∴抛物线顶点坐标为；
（2）
把代入，
可得，
∴，
把代入函数解析式得，
解得或，
∴或，
∵n为正数，
∴，
∴点A坐标为，点B坐标为，
∵抛物线开口向上，顶点坐标为，
∴抛物线顶点在下方，
∴，．
【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式以及二次函数的性质，解题关键是熟练掌握二次函数的性质以及待定系数法求函数解析式．

考点二 两点两参数代入求二次函数的解析式
例题：（2022·福建·莆田二中九年级阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线图像恰好经过A（2，﹣9），B（4，﹣5）两点，求该抛物线解析式．
【答案】
【分析】利用待定系数法解答，即可求解．
【详解】解：把A（2，﹣9），B（4，﹣5）代入，得：
，
解得：，
所以该抛物线解析式为．
【点睛】本题主要考查了求二次函数的解析式，熟练掌握利用待定系数法求二次函数的解析式的方法是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023·湖北·襄州七中九年级阶段练习） 如图，已知二次函数的图象经过点A(2，0)，B(0，-6)两点．

(1)求这个二次函数的解析式；
(2)设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求△ABC的面积．
【答案】(1)
(2)6
【分析】（1）将点A及点B的坐标代入即可得出b、c的值，继而可得出二次函数解析式；
（2）根据（1）求得的解析式，可得出对称轴，也可得出AC的长度，根据 可得出答案．
（1）
解：（1）将点A（2，0）、B（0，−6）代入得：
，
解得：，
故这个二次函数的解析式为：．
（2）
∵二次函数的解析式为：，
∴二次函数的对称轴为x＝4，
∴（4，0），B（0，−6）
∴OC＝4，，
∵点A（2，0），
∴AC＝2，
故．
【点睛】此题考查了二次函数综合题，涉及了待定系数法求函数解析式、三角形的面积，要注意掌握点的坐标与线段长度之间的转换．
2．（2021·山东·嘉祥县金屯镇中学九年级阶段练习）如图，抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）与x轴交于点A（2，0）和点B（﹣6，0），与y轴交于点C．

(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线上是否存在一点P，使△PAB的面积与△ABC的面积相等，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)设抛物线的对称轴与x轴交于点M，在对称轴上存在点Q，使△CMQ是以MC为腰的等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标．
【答案】(1)y＝
(2)存在，点P的坐标为：（﹣2+，﹣6）或（﹣2﹣，﹣6）或（﹣4，6）
(3)点Q的坐标为（﹣2，2）或（﹣2，﹣2）或（﹣2，12）
【分析】（1）把A（2，0）和B（﹣6，0）代入解方程组即可；
（2）先假设存点P，设出P点坐标，利用△PAB的面积与△ABC的面积相等建立方程求解即可；
（3）如图1中，分三种情形①当时，②当时，③当时，分别求解即可．
（1）
解：（1）把A（2，0）和B（﹣6，0）代入，得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）
存在，P（﹣2+，﹣6）或（﹣2﹣，﹣6）或（﹣4，6），
理由如下：
∵A（2，0）、B（﹣6，0）、，
∴AB＝8，C（0，6），OC＝6，
设点P的纵坐标为，由△PAB的面积与△ABC的面积相等，得：
，
∴．
解得：或．
当时，＝﹣6，
解得，
当时，＝6，
解得：（此时与点C重合，舍去），，
综上所述，点P的坐标为：（﹣2+，﹣6）或（﹣2﹣，﹣6）或（﹣4，6）；
（3）
解：如图
∵抛物线的解析式为：，
∴它的对称轴为直线x＝﹣2，
∴M（﹣2，0），
设点Q坐标为（﹣2，t）．
∵中，当x＝0时，y＝6，
∴C（0，6），
∵M（﹣2，0），
∴，，．
①当CQ＝QM时，，
解得，
∴点Q的坐标为，此时，MC不是腰，不符合题意，舍去；
②当CM＝QM时，，
解得：，
∴点Q的坐标为或，
③当CM＝CQ时，，
解得：t＝0（舍去），或t＝12，
∴Q点坐标为
综上所述，符合条件的点Q的坐标为（﹣2，2）或（﹣2，﹣2）或（﹣2，12）

【点睛】本题考查二次函数综合题、待定系数法、等腰三角形的判定和性质、三角形面积问题等知识，解题的关键是分类讨论思想的运用，属于中考压轴题．

考点三 三点三参数代入求二次函数的解析式
例题：（2021·四川·邻水县坛同镇初级中学九年级阶段练习）已知二次函数y＝c的图象经过（0，﹣2），（﹣1，﹣1），（1，1）三点．
(1)求这个函数的解析式；
(2)写出此抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标，增减性，最值．
【答案】(1)y＝
(2)抛物线的开口象上，对称轴为直线x＝﹣，顶点坐标为（﹣，﹣），当x≤﹣时，y随x的增大而减小，当x＞时，y随x的增大增大，当x＝时，y取最小值﹣．

【分析】（1）用待定系数法直接可得函数的解析式；
（2）配成顶点式，根据二次函数性质可得答案．
（1）
解：把（0，﹣2），（﹣1，﹣1），（1，1）代入y＝得：

解得，
∴这个函数的解析式为y＝；
（2）
∵y＝2+x﹣2＝2﹣，
∴抛物线的开口象上，对称轴为直线x＝﹣，顶点坐标为（﹣，﹣），
当x≤﹣时，y随x的增大而减小，当x＞时，y随x的增大增大，
当x＝时，y取最小值﹣．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握待定系数法，求出二次函数解析式．
【变式训练】
1．（2022·云南·会泽县以礼中学校九年级阶段练习）如图，抛物线与x轴交于点A（-2，0）和点B（4，0），与y轴交于点C（0，4）

(1)求抛物线的解析式．
(2)点D在抛物线的对称轴上，求AD+CD的最小值．
(3)点P是直线BC上方的点，连接CP，BP，若△BCP的面积等于3，求点P的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)或

【分析】（1）利用待定系数法解答，即可求解；
（2）连接BD，根据二次函数的的对称性可得AD=BD，可得到当点B，D，C三点共线时，AD+CD的值最小，最小值等于BC的长，利用勾股定理求出BC，即可求解；
（3）过点P作PF⊥x轴于点F，交BC于点E，先求出直线BC的解析式，设点，则点，可得，再根据△BCP的面积等于3，列出方程，即可求解．
（1）
解：把点A（-2，0），点B（4，0），点C（0，4）代入得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）
如图，连接BD，
∵点D在抛物线的对称轴上，
∴AD=BD，
∴AD+CD=BD+CD≥BC，
∴当点B，D，C三点共线时，AD+CD的值最小，最小值等于BC的长，
∵点B（4，0），点C（0，4），
∴OB=OC=4，
∴；

（3）
解：如图，过点P作PF⊥x轴于点F，交BC于点E，
设直线BC的解析式为，
把点B（4，0），点C（0，4）代入得：
，
解得：，
∴直线BC的解析式为，
设点，则点，
∴，
∵△BCP的面积等于3，
∴，
解得：m=1或3，
∴点P的坐标为或．
【点睛】本题主要考查了求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键．
2．（2022·甘肃·武威第九中学九年级阶段练习）如图，已知抛物线与x轴的交点坐标A(﹣4，0)，B(2，0)，并过点C(﹣2，﹣2)，与y轴交于点D．

(1)求出抛物线的解析式；
(2)求出△ABD的面积；
(3)在抛物线对称轴上是否存在一点E，使BE+DE的值最小，如果有，写出点E的坐标；如果没有，说明理由．
【答案】(1)y＝
(2)△ABD的面积为6
(3)存在，点E的坐标为(﹣1，﹣)

【分析】（1）利用待定系数法将A，B，C三点坐标代入抛物线解析式，解方程组即可求得结论；
（2）利用抛物线解析式求得点D坐标，利用点的坐标表示出线段OA，OB，OD的长度，根据三角形的面积公式即可求得结论；
（3）连接AD交对称轴于点E，则此时BD+BE最小；分别求得对称轴方程和直线AD的解析式，联立后解方程组即可求得点E坐标．
（1）
∵物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣4，0），B（2，0），C（﹣2，﹣2），
∴，
解得：．
∴抛物线的解析式为y＝．
（2）
令x＝0，则y＝﹣2，
∴D（0，﹣2）．
∴OD＝2．
∵A（﹣4，0），B（2，0），
∴OA＝4，OB＝2，
∴AB＝OA+OB＝6．
∴AB•AD＝×6×2＝6．
∴△ABD的面积为6．
（3）
在抛物线对称轴上存在一点E，使BE+DE的值最小，理由：
∵y＝＝＝，
∴抛物线y＝的对称轴为直线x＝﹣1．
连接AD交对称轴于点E，则此时BD+BE最小，如图，

设直线AD的解析式为y＝kx+m，由题意得：
，
解得：．
∴直线AD的解析式为y＝﹣x﹣2．
∴．
解得：．
∴E（﹣1，﹣）．
∴抛物线对称轴上存在一点E，使BE+DE的值最小，点E的坐标为（﹣1，﹣）
【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法确定函数的解析式，二次函数图象的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，一次函数图象的性质，轴对称的性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
3．（2021·河南·睢县第二中学九年级期中）如图，抛物线经过A(﹣1，0)，B(3，0)，C(0，)三点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；
(3)点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)（1，1）
(3)存在，，，，，

【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）因为点A关于对称轴对称的点B的坐标为（3，0），连接BC交对称轴直线于点P，求出P点坐标即可；
（3）分点N在x轴下方或上方两种情况进行讨论．
（1）
解：设抛物线的解析式为，
，，三点在抛物线上，
，
解得．
抛物线的解析式为：．
（2）
抛物线的解析式为，
其对称轴为直线：．
连接，设直线的解析式为，

，，
解得．
直线的解析式为．
当时，．
；
（3）
存在．如图2所示．

①当点在轴上方时，
抛物线的对称轴为直线，，
；
②当点在轴下方时，
如图，过点作轴于点，
△△．
，即点的纵坐标为．
．解得或，
，，，．
综上所述，点的坐标为，，，，．
【点睛】本题考查的是二次函数综合知识，涉及到用待定系数法求一次函数与二次函数的解析式、平行四边的判定与性质、全等三角形等知识，在解答（3）时要注意进行分类讨论．

考点四 已知顶点式求二次函数的解析式
例题：（2020·浙江省义乌市廿三里初级中学九年级阶段练习）已知抛物线经过点，，三点，求抛物线的解析式．
【答案】
【分析】解法一：根据A（﹣2，0），B（，0），可设交点式，代入C点坐标即可求得二次函数的解析式；
解法二：可设一般式，代入A、B、C点坐标即可求二次函数的解析式．
【详解】解：解法一：设    
代入C（0，2）得
解得：
，
∴，
解法二：设    
代入A（﹣2，0），B（，0），C（0，2）三点，得
  ，解得：
，
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
【变式训练】
1．（2022·广东·揭阳市实验中学模拟预测）如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的顶点为，连接．

(1)求此抛物线的解析式；
(2)抛物线对称轴上是否存在一点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，，

【分析】（1）设抛物线的解析式为，再把代入求出的值即可；
（2）根据（1）中抛物线的解析式，求出抛物线的对称轴及顶点坐标，设出点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，求出点的坐标，所以可得出的面积，进而得出点的坐标．
（1）
解：∵抛物线与x轴交于，两点，
∴设抛物线的解析式为，
∵过点，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为，即；
（2）
解：∵抛物线的解析式为；
∴其对称轴，顶点的坐标为，
∵点在抛物线的对称轴上，
∴设，
∵，，
∴设过点、的直线解析式为，
∴，解得，
∴直线的解析式为，
∴直线与轴的交点的坐标为，
∴，
∴，
∵，
∴，解得，
当点在点上方时，，解得，
∴此时；
当点在点下方时，，解得，
∴此时，
综上所述，可得：，．

【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、求二次函数解析式、三角形的面积公式，解本题的关键在明确题意，利用二次函数性质和数形结合思想解答问题．
2．（2022·吉林·安图县第三中学九年级阶段练习）已知关于x的二次函数的图象与x轴交于（-1，0），(3，0)两点，且图象过点(0，3)，
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)写出它的开口方向、对称轴
【答案】(1)
(2)开口向下，对称轴为直线
【分析】（1）设这个二次函数的解析式为，然后把点(0，3)代入，即可求解；
（2）把二次函数的解析式化为顶点式，即可求解．
（1）
解：设这个二次函数的解析式为，
把点(0，3)代入得：，
解得：，
∴这个二次函数的解析式为；
（2）
解：∵，
∴二次函数开口向下，
∵，
∴二次函数的对称轴为直线．
【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函数的性质．
3．（2022·河南·开封市东信学校九年级阶段练习）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣1，0），B（3，0）．C（0，﹣3）三点，直线l是抛物线的对称轴．

(1)求抛物线的函数解析式；
(2)设点M是直线l上的一个动点，当点M到点A，点C的距离之和最短时，求点M的坐标．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）利用两点式和待定系数法求函数解析式即可；
（2）连接BC，BC与直线l的交点即为M．
（1）
解：设二次函数的解析式为：，
将点C（0，﹣3）代入得：，
解得：，
∴；
∴函数的解析式为：．
（2）
解：抛物线的对称轴为：；
点A关于直线l的对称点为点B，
连接BC，则BC是点M到点A，点C的距离之和的最小值，
设直线BC的解析式为：，则：
，解得：，
∴，
设，代入得：
，
∴．

【点睛】本题考查二次函数的综合应用，准确求出函数的解析式，利用二次函数的性质进行解题是解题的关键．本题的动点问题是将军饮马问题，找到定点的对称点，与另一个定点形成的线段即为最短距离．

考点五 已知交点式求二次函数的解析式
例题：（2021·宁夏·石嘴山市第九中学九年级期中）已知抛物线的顶点为P（﹣2，3），且过A（﹣3，0），求此二次函数的解析式．
【答案】
【分析】设抛物线的顶点式，将顶点P（﹣2，3）及点A（﹣3，0）代入即可解答．
【详解】解：设二次函数解析式为：，
∵顶点坐标为P（﹣2，3），
∴，
将点A（﹣3，0）代入得，解得：，
∴．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，根据题目给出的条件，正确设出二次函数解析式是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·湖北·浠水县兰溪镇河口中学九年级阶段练习）已知某二次函数的图象经过点（2，-6），当x＝1时，函数的最大值为-4，求此二次函数的解析式．
【答案】
【分析】根据题意得到抛物线的顶点坐标为（1，-4），于是可设顶点式，然后把（2，-6）代入求出a的值即可．
【详解】解：∵当x=1时，函数的最大值为-4，
∴抛物线的顶点坐标为（1，-4），
设所求二次函数解析式为，
把（2，-6）代入得，解得a=-2，
∴此二次函数解析式为．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
2．（2020·天津市西青区当城中学九年级阶段练习）抛物线的顶点坐标为（3，－1）且经过点（2，3），求该抛物线解析式．
【答案】
【分析】因为抛物线的顶点坐标为M（3，﹣1），所以设此二次函数的解析式为，把点（2，3）代入解析式即可解答．
【详解】解：已知抛物线的顶点坐标为（3，﹣1），
设此二次函数的解析式为，
把点（2，3）代入解析式，得：
a﹣1＝3，即a＝4，
∴此函数的解析式为．
【点睛】本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法．题目给出了二次函数的顶点坐标，则采用顶点式求解简单．
3．（2020·天津市西青区张家窝中学九年级阶段练习）已知二次函数图像的顶点坐标（-1，-3），且经过点（1，5），求此二次函数的表达式．
【答案】
【分析】由于已知二次函数的顶点坐标，则可设顶点式，然后把（1，5）代入求出a即可．
【详解】解：设二次函数的解析式为，
把（1，5）代入得a•4﹣3＝5，解得a＝2，
所以二次函数的解析式为．
即 ．
【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
4．（2022·湖北武汉·九年级期中）已知抛物线经过点(－1，0)，(3，0)，且函数有最小值－4．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若0＜x＜4，求函数值y的取值范围．
【答案】(1)（或）
(2)
【分析】（1）利用二次函数的对称性可由抛物线经过点(－1，0)，(3，0)，得到抛物线的对称轴为直线，则抛物线的顶点坐标为，于是可设顶点式，然后把代入求出a的值即可；
（2）求得和的函数值，即可求得结论．
（1）
∵抛物线经过点(－1，0)，(3，0)，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵函数有最小值-4，
∴抛物线的顶点坐标为，
设抛物线解析式为，
把代入得，解得，
∴抛物线的解析式为（或）．
（2）
∵，
∴抛物线开口向上，函数有最小值为，
当时，，
∴当时，函数值y的取值范围是．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图像上点的坐标特征，二次函数的性质，求得顶点坐标是解题的关键．










课后训练


一、选择题
1．（2022·江苏·九年级专题练习）将抛物线y＝（x+2）2﹣3先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后所得抛物线的解析式为（　　）
A．y＝（x+3）2﹣5 B．y＝（x+3）2﹣1 C．y＝（x+1）2﹣1 D．y＝（x+1）2﹣5
【答案】D
【分析】先得到抛物线y＝（x+2）2﹣3的顶点坐标为（﹣2，﹣3），再利用点的平移规律得到点（-2，-3）平移后对应点的坐标为（-1，-5），然后根据顶点式写出平移的抛物线解析式．
【详解】解：抛物线y＝（x+2）2﹣3的顶点坐标为（﹣2，﹣3），把（﹣2，﹣3）向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后得到对应点的坐标为（﹣1，﹣5），所以平移后抛物线解析式为y＝（x+1）2﹣5．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象的平移与几何变换，利用抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题关键．
2．（2022·江苏·九年级专题练习）一个二次函数，当x＝0时，y＝﹣5；当x＝﹣1时，y＝﹣4；当x＝﹣2时，y＝5，则这个二次函数的关系式是（    ）
A．y＝4x2+3x﹣5 B．y＝2x2+x+5 C．y＝2x2﹣x+5 D．y＝2x2+x﹣5
【答案】A
【分析】设二次函数的关系式是y＝ax2+bx+c（a≠0），然后由当x＝0时，y＝﹣5；当x＝﹣1时，y＝﹣4；当x＝﹣2时，y＝5，得到a，b，c的三元一次方程组，解方程组确定a，b，c的值即可．
【详解】解：设二次函数的关系式是y＝ax2+bx+c（a≠0），
∵当x＝0时，y＝﹣5；当x＝﹣1时，y＝﹣4；当x＝﹣2时，y＝5，
∴c＝﹣5①，
a﹣b+c＝﹣4②，
4a﹣2b+c＝5③，
解由①②③组成的方程组得，a＝4，b＝3，c＝﹣5，
所以二次函数的关系式为：y＝4x2+3x﹣5．
故选：A．
【点睛】本题考查了用待定系数法确定二次函数的解析式．设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），通过解方程组确定a，b，c的值．
3．（2022·全国·九年级单元测试）已知抛物线经过点(0，5)，且顶点坐标为(2，1)，关于该抛物线，下列说法正确的是（    ）
A．表达式为 B．图象开口向下
C．图象与轴有两个交点 D．当时，随的增大而减小
【答案】D
【分析】由二次函数顶点坐标可设抛物线解析式为顶点式，将(0，5)代入解析式求解．
【详解】解：∵抛物线顶点坐标为(2，1)，
∴，
将(0，5)代入得，
解得，
∴，故选项A不符合题意；
∵a=1>0，
∴图象开口向上，故选项B不符合题意；
∵顶点坐标为(2，1)，且图象开口向上，
∴图象与轴没有有两个交点，故选项C不符合题意；
∵a=1>0，且对称轴为直线x=2，
∴时，随增大而减小，故选项D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握二次函数图象与系数的关系．
二、填空题
4．（2022·吉林·安图县第三中学九年级阶段练习）若二次函数的图象经过原点，则a＝____．
【答案】1
【分析】把点（0，0）代入，即可求解．
【详解】解：∵二次函数的图象经过原点，
∴且，
解得：．
故答案为：1
【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，通过代入点的坐标即可求解，较为简单．
5．（2021·湖北·黄梅县晋梅中学九年级阶段练习）已知一个二次函数的图象顶点坐标为（2，3），过点（1，7），则这个二次函数的解析式为 _____．（用一般式表示）
【答案】
【分析】设顶点式，再把（1，7）代入求得a＝4，从而得到抛物线解析式，然后把顶点式化为一般式即可．
【详解】解：∵二次函数的图象顶点坐标为（2，3），
∴抛物线解析式可设为，
把（1，7）代入得，
解得a＝4，
所以二次函数解析式为，
即．
故答案为：．
【点睛】本题了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．
6．（2022·宁夏·隆德县第二中学九年级期末）抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x
⋯
0
1
2
3
4
⋯
y
⋯
3
0
-1
0
3
⋯
则抛物线的解析式是______________．
【答案】
【分析】结合题意，根据二次函数的性质，通过列二元一次方程组并求解，即可得到答案．
【详解】根据题意，得：

将代入到，得：
∴
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数、二元一次方程组的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数、二元一次方程组的性质，从而完成求解．
三、解答题
7．（2022·福建·莆田第二十五中学九年级阶段练习）根据下列条件分别求二次函数的表达式．
(1)已知二次函数的图象经过点(﹣2，﹣1)，且当时，函数有最大值2．
(2)已知二次函数图象的对称轴是直线x＝1，与坐标轴交于点(0，﹣1)，(﹣1，0)．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）由二次函数当时，有最大值是2，得到二次函数的顶点坐标为（），设出二次函数的顶点式方程，将（）代入求出a的值，即可求出二次函数的解析式．
（2）已知抛物线的对称轴，可以设出函数的解析式为，把（），（）代入函数解析式即可求得函数解析式．
（1）
解：由二次函数当时，有最大值是2，得到顶点坐标为（），
设二次函数解析式为（a≠0），
将点（）代入得：，
解得：，
则二次函数解析式为．
（2）
设函数的解析式是，根据题意得：
，
解得：．
则函数的解析式是．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，根据条件正确设出函数的解析式形式是解题的关键．
8．（2022·陕西·西安工业大学附中九年级期中）抛物线 与x轴交于A（﹣2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．

(1)求抛物线的表达式；
(2)点D是抛物线上一点，且∠DBC的角平分线在x轴上，点M是y轴上一点，若△ADM是以AD为腰的等腰三角形，求出点M的坐标．
【答案】(1)
(2)（0，5）或（0，）或（0，）

【分析】（1）将A、B、C三点坐标代入求出a、b、c即可；
（2）如图，根据角平分线的定义得出∠DBA=∠CBA，可证明△≌△BOC，得出点坐标，利用待定系数法求解直线的解析式，与抛物线联立方程组求出点D坐标，设M（0，t），分AM=AD和DM=AD两种情况，利用两点距离坐标公式列方程求解即可．
（1）
解：将A（﹣2，0）、B（6，0）、C（0，﹣3）代入中，
得，解得：
∴求抛物线的表达式为；
（2）
解：如图，设BD交y轴于点，
∵∠DBC的角平分线在x轴上，
∴∠DBA=∠CBA，又∠=∠BOC=90°，OB=OB，
∴△≌△BOC（ASA），
∴=OC=3，
∴（0，3），
设直线的解析式为，
则，解得：，
∴直线的解析式为，
联立方程组，解得或，
∴D（-4，5），
设M（0，t），
则，
，
，
∵△ADM是以AD为腰的等腰三角形，
∴AM=AD和DM=AD，
当AM=AD时，，则=29，
解得：t=±5，
当t=-5时，M（0，-5），
设直线DM的解析式为y=px+q，
则，解得：，
∴直线DM的解析式为，则点A（-2，0）在直线DM上，即A、D、M不能构成三角形，
∴（0，5）；
当DM=AD时，，则=29，
解得：，
∴（0，）或（0，），
综上，满足条件的点M坐标为（0，5）或（0，）或（0，）．

【点睛】本题考查待定系数法求函数的解析式、角平分线的定义、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、两点距离坐标公式、解方程等知识，属于二次函数与几何图形相结合的综合题型，难度适中，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用数形结合和分类讨论思想求解是解答的关键．
9．（2022·湖北·汉川市官备塘中学九年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点和点.

(1)求这条抛物线所对应的函数解析式；
(2)点为该抛物线上一点（不与点重合），直线将的面积分成两部分，求点的坐标.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）设抛物线的表达式为，待定系数法求解析式即可求解；
（2）当BH=AB=2时，CH将△ABC的面积分成2：1两部分，即点H的坐标为（2，0），则CH和抛物线的交点即为点P，进而求解；
（1）
∵抛物线经过点和点.
∴设抛物线的表达式为，，
∵，
∴，
解得：，
∴；
（2）
由点A、B的坐标知，OB=2OA，
故CO将△ABC的面积分成2：1两部分，此时，点P不在抛物线上；
如图，设交轴于点

∵，
当BH=AB=2时，CH将△ABC的面积分成2：1两部分，
∴，
∴
∴点H的坐标为（2，0），
由可得,
设过点C、H的直线解析式为，
∴，
解得，
直线CH的表达式为，
联立，
解得：或（舍去），
故点P的坐标为（6，-8）．
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式和与几何图形结合的综合，数形结合是解题的关键．
10．（2022·吉林·安图县第三中学九年级阶段练习）二次函数 中的x，y满足如表
x
…
﹣1
0
1
2
…
y
…
0
﹣3
m
﹣3
…

(1)该抛物线的顶点坐标为　 　；
(2)①求m的值．
②当x＞1时，y随值的x增大而　 　（填“增大”或“减小”）．
【答案】(1)（1，-4）；
(2)①m=-4；②增大
【分析】（1）设一般式，再取两组对应值代入得到关于a、b的方程组，然后解方程组即可；
（2）①把x=1代入二次函数的解析式求解即可；
②根据二次函数的性质即可写出答案．
（1）
解：设抛物线解析式为，
把（-1，0），（2，-3）代入得，
解得：，
∴解析式为：，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
∴当x=1时，y=-4，
∴抛物线的顶点坐标为（1，-4）．
故答案为：（1，-4）；
（2）
解：①把x=1代入，可得y=1-2-3=-4，
所以m=-4；
②∵，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=1，
∴当x＞1时，y随值的x增大而增大．
故答案为：增大．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握待定系数法，求出二次函数的解析式．
11．（2022·福建·莆田第二十五中学九年级阶段练习）如图是一个二次函数的图象，顶点是原点O，且过点A(2，1)．

(1)求出二次函数的表达式；
(2)我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，请用整数n表示这条抛物线上所有的整点坐标．
(3)过y轴的正半轴上一点C(0，c)作AO的平行线交抛物线于点B，如果点B是整点，求证：OAB的面积是偶数．
【答案】(1)
(2)，其中n为整数
(3)见解析

【分析】（1）可设抛物线的解析式为，然后只需把点A的坐标代入抛物线的解析式，就可解决问题；
（2）由抛物线的解析式可知，要使y是整数，只需x是偶数，故x可用2n表示（n为整数），由此就可解决问题；
（3）运用待定系数法求出直线OA的解析式，然后根据两直线平行一次项的系数相同，可得到直线BC的函数表达式；由于点B是整点，点B的坐标可表示为，代入直线BC的解析式，即可得到a的值（用n表示），然后根据平行等积法可得，由于与是相邻整数，必然一奇一偶，因而是偶数，问题得以解决．
（1）
解：∵二次函数的图象，顶点是原点O，且过点A(2，1)，
设抛物线的解析式为，将点代入得，
，
解得，
∴二次函数的表达式为；
（2）
解：∵抛物线的解析式为，
∴抛物线上整点坐标可表示为，其中n为整数
（3）
证明：设直线OA的解析式为把点A（2，1）代入y=kx,得
1=2k,
解得k=，
∴直线OA的解析式为,
∴过点C（0，c）与直线OA平行的直线的解析式为；
∵点B是整点，
∴点B的坐标可表示为，其中n为整数，
把B代入,得

∴．
∵，
∴，
∵为整数，
∴与一奇一偶，
∴是偶数，
即△OAB的面积是偶数．
【点睛】本题主要考查了运用待定系数法求直线与抛物线的解析式、两直线平行问题、直线上点的坐标特征、平行等积法、奇数与偶数等知识，运用平行等积法是解决第（3）小题的关键．
12．（2021·江苏·昆山市城北中学九年级阶段练习）如图，已知抛物线（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B．

(1)若直线y＝mx+n经过B，C两点，求直线BC和抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴x＝﹣1上找一点M，使MA+MC的值最小，求点M的坐标；
(3)设P为抛物线的对称轴x＝﹣1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．
【答案】(1)，y＝x+3
(2)M的坐标为（﹣1，2）
(3)点P的坐标为（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1，）或（﹣1，）

【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）设直线BC与对称轴x＝﹣1的交点为M，则此时MA+MC的值最小，进而求解；
（3）分点B为直角顶点、点C为直角顶点、P为直角顶点三种情况，分别求解即可．
（1）
解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，且抛物线经过A（1，0），
故点B的坐标为（﹣3，0），
设抛物线的表达式为y＝＝，
将点C坐标代入上式得：3＝a（﹣3），解得a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为：；
把B（﹣3，0），C（0，3）代入y＝mx+n得：
，解得，
∴直线的解析式为y＝x+3；
（2）
解：设直线BC与对称轴x＝﹣1的交点为M，则此时MA+MC的值最小．

把x＝﹣1代入直线y＝x+3得y＝2，故M（﹣1，2），
即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为（﹣1，2）；
（3）
解：设P（﹣1，t），B（﹣3，0），C（0，3），
则＝18，＝＝，，
若点B为直角顶点时，则，
即18+＝，
解得t＝﹣2；
若点C为直角顶点时，则BC2+PC2＝PB2，
即＝18+，
解得t＝4，
若P为直角顶点时，则，则+＝18，
解得t＝，
综上，点P的坐标为（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1，）或（﹣1，）．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、直角三角形的性质、点的对称性等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
13．（2022·全国·九年级单元测试）如图，抛物线交x轴于点A（1，0），交y轴交于点B，对称轴是直线x＝2．

(1)求抛物线的解析式；
(2)若在抛物线上存在一点D，使△ACD的面积为8，请求出点D的坐标．
(3)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使△PAB的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)D（5，8）或（﹣1，8）
(3)存在，（2，1）

【分析】（1）利用待定系数法解答，即可求解；
（2）先求出点C（0，3），可得AC=2，根据三角形的面积可得到n＝±8，再代入抛物线解析式，即可求解；
（3）根据抛物线的对称性可得当点P与点B，C共线时，△PAB的周长最小，求出直线BC的解析式，即可求解．
（1）
解：由题意得∶，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）
解：令y=0，则，
解得：，
∴点C（0，3），
∴AC=2，
设D（m，n），
∵△ACD的面积为8，
∴×2×|n|＝8，
∴n＝±8，
当n＝8时，，解得x＝5或﹣1，
∴D（5，8）或（﹣1，8），
当n＝﹣8时，，方程无解，
综上所述，D（5，8）或（﹣1，8）；
（3）
解：连接BC与直线x＝2交于点P，
∵点A与点C关于x＝2对称，
∴AP=CP，
∴△PAB的周长为PA+PB+AB=PC+PB+AB≤BC+AB，
∴当点P与点B，C共线时，△PAB的周长最小，为BC+AB，
当x=0时，y=3，
∴y＝x2﹣4x+3与y轴的交点为B（0，3），
设直线BC的解析式为：y＝kx+b′，
把点B（0，3），C（3，0）代入得：
，解得，
∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3，
当x=2时，y=1
∴直线BC与x＝2的交点坐标为：（2，1）
∴点P的坐标为：（2，1）．

【点睛】本题主要考查了二次函数的应用、待定系数法、一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题．
14．（2022·甘肃·民勤县第六中学九年级期末）如图，抛物线经过点A(2，0)，B(-2，4)，(-4，0)，直线AB与抛物线的对称轴交于点E．

(1)求抛物线的表达式；
(2)点M在直线AB上方的抛物线上运动，当ΔABM的面积最大时，求点M的坐标；
(3)若点F为平面内的一点，且以点为顶点的四边形是平行四边形，请写出符合条件的点F的坐标．
【答案】(1)
(2)（0，4）
(3)（-5，1）或（1，7）或（-3，-1）

【分析】（1）已知抛物线上的三点用待定系数法求解析式；
（2）根据抛物线的解析式，设出点M的坐标，作一条竖线交AB于N，利用公式求△ABM的面积；
（3）求出点E坐标，利用平行四边形的性质和平移求点F的坐标，注意分类讨论．
（1）
解：将点A(2，0)，B(-2，4)，C(-4，0)分别代入得：
，
解得．
∴抛物线的表达式为y=．
（2）
如图，作MNy轴交直线AB于点N，

设点M(m，)．
设直线AB的方程为，将代入解析式得：
，
解得，
∴直线AB的解析式为：，
∴， ，
∴，
∵-1＜0，且-2＜0＜2，
∴当m=0时，ΔABM的面积最大，此时，所以M的坐标为（0，4）．
（3）
∵抛物线的对称轴为直线，
将代入得y=3，
∴E（-1，3），
当BC为对角线时，构成．
∵B(-2，4)，E（-1，3），
∴点E到点B向左一个单位长度，向上1个单位长度，
∴点C到点F也向左一个单位长度，向上1个单位长度，
∵C(-4，0)，
∴ F（-5，1）．
同理，当BE为对角线时，构成，可得F（1，7）；
当BF为对角线时，构成，可得F（-3，-1）．
综上所述点F得坐标为（-5，1）或（1，7）或（-3，-1） ．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，直角坐标系中三角形面积求法，与已知平行四边形三个顶点求第四个点坐标的方法，记住面积公式和会分类讨论是解题的关键．
15．（2022·黑龙江省新华农场中学九年级阶段练习）如图，已知抛物线的对称轴是直线x=3，且与x轴相交于A、B两点（B点在A点的右侧），与y轴交于C点．

(1)A点的坐标是_____________；B点坐标是________________；
(2)求直线BC的解析式；
(3)点P是直线BC上方的抛物线上的一动点（不与B、C重合），是否存在点P，使△PBC的面积最大．若存在，请求出△PBC的最大面积，若不存在，试说明理由；
(4)若点M在x轴上，点N在抛物线上，以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M点坐标．
【答案】(1)，
(2)直线的解析式为
(3)存在点，使的面积最大，最大面积是16，理由见详解
(4)满足条件的点的坐标为，，，，，

【分析】（1）由抛物线的对称轴为直线，利用二次函数的性质即可求出值，进而可得出抛物线的解析式，再利用二次函数图象上点的坐标特征，即可求出点、的坐标；
（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点的坐标，由点、的坐标，利用待定系数法即可求出直线的解析式，
（3）假设存在，设点的坐标为，过点作轴，交直线于点，则点的坐标为，，利用三角形的面积公式即可得出关于的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题；
（1）
解：抛物线的对称轴是直线，
，解得：，
抛物线的解析式为．
当时，，
解得：，，
点的坐标为，点的坐标为．
故答案为，．
（2）
解：当时，，
点的坐标为．
设直线的解析式为．
将、代入，
，解得：，
直线的解析式为．
（3）
解：假设存在，设点的坐标为，过点作轴，交直线于点，则点的坐标为，如图所示．

，
．
，
当时，的面积最大，最大面积是16．
，
存在点，使的面积最大，最大面积是16．
（4）
解：如图，

当为平行四边形的边时，由点可知点的纵坐标的绝对值为4，
∴或，
解得：，
当，时，则有，
∴，
∴，
同理可得当，，，，可得，，，，
当为对角线时，则有，
∴，
∴，
综上所述，满足条件的点的坐标为，，，，，．
【点睛】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积，解题的关键是：（1）利用二次函数的性质求出的值；（2）根据三角形的面积公式找出关于的函数关系式；（3）根据的长度，找出关于的含绝对值符号的一元二次方程；（4）用分类讨论的思想解决问题即可．