专题01 一元二次方程压轴题三种模型全攻略-《常考压轴题》2022-2023学年九年级数学上册压轴题攻略（苏科版）

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（1）一元二次方程的定义：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
（2）概念解析：
一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2．
判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
例题：（2022·全国·九年级单元测试）下列方程：①x2-1=0；②2x2+3x=（1-2x）（2+x）；③x+=2；④2x2-=0，⑤ax2+bx+c=0．其中是一元二次方程的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式训练1】（2022·黑龙江·哈尔滨市第十七中学校八年级期中）下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练2】（2021·北京密云·八年级期末）已知（m+1）x2+5x﹣3＝0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是 _____．
【变式训练3】（2022·全国·九年级单元测试）已知（m－1）＋3x－5＝0是一元二次方程，则m＝________．
〓知识点二 一元二次方程的一般形式
（1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．
其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a=0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．
要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．
例题：（2022·全国·九年级单元测试）将方程（3x－1）（2x＋4）＝2化为一般形式为____________，其中二次项系数为________，一次项系数为________．
【变式训练1】（2022·河北承德·九年级期末）一元二次方程的常数项是（ ）
A．－1B．1C．－6D．6
【变式训练2】（2022·山东济宁·九年级期末）一元二次方程的二次项系数是（ ）
A．1B．3C．D．4
【变式训练3】（2022·广西钦州·九年级期末）方程的一次项系数是______．
〓知识点三 已知一元二次方程的根求参数问题
（1）一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．
ax12+bx1+c=0（a≠0），ax22+bx2+c=0（a≠0）．
例题：（2022·四川成都·九年级期末）已知x＝2是关于x的一元二次方程x2+kx﹣2＝0的一个根，则实数k的值为_____．
【变式训练1】（2022·湖北恩施·二模）已知x=2是一元二次方程x2+bx－c=0的解，则－4b+2c=（ ）
A．8B．－8C．4D．－4
【变式训练2】（2022·湖南娄底·二模）若a是的一个根，则的值是（ ）
A．2020B．2021C．2022D．2023
【变式训练3】（2022·广东·佛山市华英学校九年级期中）设a为一元二次方程的一个实数根，___________．
【课后训练】
一、选择题
1．（2022·浙江绍兴·八年级期中）下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·天津滨海新·九年级期末）一元二次方程化成一般形式后，它的二次项系数和一次项系数分别是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·云南文山·九年级期末）如果3是关于x的方程的一个根，那么c的值为（ ）
A．B．C．9D．
4．（2022·山东淄博·八年级期中）若一元二次方程有一个解为，则k为（ ）
A．B．1C．D．0
5．（2022·山东·聊城市茌平区教育和体育局教研室一模）已知a是方程的一个根，则代数式的值为（ ）
A．1B．C．或1D．2
二、填空题
6．（2022·江西上饶·九年级期末）把一元二次方程化为一般形式为______．
7．（2022·云南昭通·九年级期末）一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项的和是_______．
8．（2022·天津北辰·九年级期末）已知关于x的一元二次方程的一个根是，则__________．
9．（2022·全国·九年级单元测试）若关于x的方程(m－3)xm²－7－x＋3＝0是一元二次方程，则m的值是________．
10．（2022·河北邯郸·七年级期中）若m是方程2x2﹣3x﹣2＝0的一个根，则﹣6m2+9m﹣9的值为_______．
三、解答题
11．（2022·广东省深圳市沙湾实验学校九年级期末）把下列方程化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数以及常数项．
(1)（2x﹣1）（3x＋2）＝x2＋2；
(2)．
12．（2021·北京·人大附中九年级阶段练习）若关于x的一元二次方程x2﹣4mx+2m2＝0的一个根是x＝2，求代数式2（m﹣2）2﹣5的值．
13．（2021·北京·宣武外国语实验学校七年级期中）已知关于x的方程 的一个解是 ，求代数式的值．
14．（2021·北京·九年级专题练习）已知是方程的一个根，求代数式的值．
15．（2021·全国·九年级专题练习）已知关于x的方程(2k＋1)x2＋4kx＋k－1＝0，问：
（1）k为何值时，此方程是一元一次方程？
（2）k为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项．