新高考数学一轮复习讲练教案8.3 第1课时 圆的方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系（含解析）

第三节　圆的方程

第1课时　系统知识牢基础——圆的方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系

知识点一　圆的方程

1．圆的定义及方程

2．点与圆的位置关系

点M(x0，y0)，圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2.

　[提醒]　不要把形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的结构都认为是圆，一定要先判断D2＋E2－4F的符号，只有大于0时才表示圆．

3．谨记常用结论

若x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，则有：

(1)当F＝0时，圆过原点．

(2)当D＝0，E≠0时，圆心在y轴上；当D≠0，E＝0时，圆心在x轴上．

(3)当D＝F＝0，E≠0时，圆与x轴相切于原点；E＝F＝0，D≠0时，圆与y轴相切于原点．

(4)当D2＝E2＝4F时，圆与两坐标轴相切．

[重温经典]

1．(教材改编题)圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是(　　)

A．(2,3)　　　　　　　　　 B．(－2,3)

C．(－2，－3)  D．(2，－3)

答案：D

2．(教材改编题)圆心坐标为(1,1)且过原点的圆的方程是(　　)

A．(x－1)2＋(y－1)2＝1  B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1

C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2  D．(x－1)2＋(y－1)2＝2

答案：D

3．(易错题)方程x2 ＋y2＋mx－2y＋3＝0表示圆，则m的取值范围是(　　)

A．(－∞，－)∪(，＋∞)

B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)

C．(－∞，－)∪(，＋∞)

D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)

答案：B

4．若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－1,1)  B．(0,1)

C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)  D．a＝±1

答案：A

5．(教材改编题)已知圆C经过A(5,2)，B(－1,4)两点，圆心在x轴上，则圆C的方程为______________．

解析：设圆C的方程为(x－a)2＋y2＝r2，

由题意可得

解得所以圆C的方程为(x－1)2＋y2＝20.

答案：(x－1)2＋y2＝20

6．已知圆C经过点A(1,3)，B(4,2)，且与直线2x＋y－10＝0相切，则圆C的标准方程为________________．

解析：由题意，设圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，

因为点B(4,2)在直线2x＋y－10＝0上，所以点B(4,2)是圆与直线2x＋y－10＝0的切点，

连接圆心C和切点的直线与切线2x＋y－10＝0垂直，

则kBC＝，则BC的方程为y－2＝(x－4)，

整理得x－2y＝0，

由线段AB的垂直平分线的方程为3x－y－5＝0，

联立方程组解得

即圆心坐标为C(2,1)，

又由r＝＝＝，

所以圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.

答案：(x－2)2＋(y－1)2＝5

知识点二　直线与圆的位置关系

1．直线与圆的位置关系(半径r，圆心到直线的距离为d)

2．圆的切线

(1)过圆上一点的圆的切线

①过圆x2＋y2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是x0x＋y0y＝r2.

②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.

(2)过圆外一点的圆的切线

过圆外一点M(x0，y0)的圆的切线求法：可用点斜式设出方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率k，从而得切线方程；若求出的k值只有一个，则说明另一条直线的斜率不存在，其方程为x＝x0.

(3)切线长

①从圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)外一点M(x0，y0)引圆的两条切线，切线长为 .

②两切点弦长：利用等面积法，切线长a与半径r的积的2倍等于点M与圆心的距离d与两切点弦长b的积，即b＝.

[提醒]　过一点求圆的切线方程时，要先判断点与圆的位置关系，以便确定切线的条数．

3．圆的弦长

直线和圆相交，求被圆截得的弦长通常有两种方法：

(1)几何法：因为半弦长、弦心距d、半径r构成直角三角形，所以由勾股定理得L ＝2.

(2)代数法：若直线y＝kx＋b与圆有两交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有：|AB|＝      |x1－x2|＝ |y1－y2|.

4．谨记常用结论

过直线Ax＋By＋C＝0和圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0.

[重温经典]

1．(教材改编题)直线l：x－y＋1＝0与圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的位置关系是(　　)

A．相离  B．相切

C．相交且过圆心  D．相交但不过圆心

解析：选D　圆的方程化为(x－2)2＋(y－1)2＝4，圆心为(2,1)，半径为2，圆心到直线l的距离为＝<2，所以直线l与圆相交．又圆心不在直线l上，所以直线不过圆心．故选D.

2．若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是(　　)

A．[－3，－1]  B．[－1,3]

C．[－3,1]  D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)

解析：选C　由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为，

∴≤ ，即|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1.

故选C.

3．(教材改编题)圆C：x2＋y2－2x＝0被直线y＝x截得的线段长为(　　)

A．2   B.

C．1   D.

解析：选C　圆C：x2＋y2－2x＝0的圆心为(1,0)，半径为1，圆心到直线y＝x的距离为d＝＝，弦长为2·＝1，故选C.

4．(易错题)圆x2＋y2－4x＝0在点P(1，)处的切线方程为(　　)

A．x＋y－2＝0  B．x＋y－4＝0

C．x－y＋4＝0  D．x－y＋2＝0

解析：选D　圆的方程为(x－2)2＋y2＝4，圆心坐标为(2,0)，半径为2，点P在圆上，由题可知切线的斜率存在，设切线方程为y－＝k(x－1)，即kx－y－k＋＝0，         ∴＝2，解得k＝.

∴切线方程为y－＝(x－1)，即x－y＋2＝0.

5．(教材改编题)设直线x－y＋a＝0与圆x2＋y2＋2x－4y＋2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝2，则a＝(　　)

A．－1或1  B．1或5

C．－1或3  D．3或5

解析：选B　由题得圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝3，所以圆心为(－1,2)，半径为.所以圆心到直线的距离为＝，解得a＝1或5.故选B.

6．已知直线l与圆x2＋y2－4y＝0相交于A，B两点，且线段AB的中点P坐标为       (－1,1)，则直线l的方程为__________．

解析：因为圆x2＋y2－4y＝0的圆心坐标为C(0,2)，又点P坐标为(－1,1)，所以直线CP的斜率为kCP＝＝1.

又因为AB是圆的一条弦，P为AB的中点，

所以AB⊥CP，故kAB＝－1，即直线l的斜率为－1，

因此，直线l的方程为y－1＝－(x＋1)，即x＋y＝0.

答案：x＋y＝0

知识点三　圆与圆的位置关系

1．圆与圆的位置关系(两圆半径为r1，r2，d＝|O1O2|)

　[提醒]　涉及两圆相切时，没特别说明，务必要分内切和外切两种情况进行讨论．

2．谨记常用结论

圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交时：

(1)将两圆方程直接作差，得到两圆公共弦所在直线方程；

(2)两圆圆心的连线垂直平分公共弦；

(3)x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0表示过两圆交点的圆系方程(不包括C2)．

[重温经典]

1．(教材改编题)圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是(　　)

A．相离  B．相交

C．外切  D．内切

解析：选B　圆O1的圆心坐标为(1,0)，半径长r1＝1，圆O2的圆心坐标为(0,2)，半径长r2＝2，故两圆的圆心距d＝，而r2－r1＝1，r1＋r2＝3，则有r2－r1<d<r1＋r2，故两圆相交．

2．圆C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9与圆C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4外切，则m的值为(　　)

A．2  B．－5

C．2或－5  D．不确定

解析：选C　由题意得C1(m，－2)，r1＝3，C2(－1，m)，r2＝2，则两圆心之间的距离为|C1C2|＝＝2＋3＝5，解得m＝2或－5.故选C.

3．圆x2＋y2＝8与圆x2＋y2＋4x－16＝0的公共弦长为(　　)

A．8  B．4

C．2  D．1

解析：选B　两圆方程作差得x＝2，

当x＝2时，由x2＋y2＝8得y2＝8－4＝4，即y＝±2，

即两圆的交点坐标为A(2,2)，B(2，－2)，

则|AB|＝2－(－2)＝4，故选B.

4．圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与圆C2：x2＋y2－4x－2y＋4＝0的公切线有(　　)

A．1条  B．2条

C．3条  D．4条

解析：选D　圆C1：(x＋1)2＋(y＋1)2＝4，∴圆心C1(－1，－1)，半径r1＝2；圆C2：(x－2)2＋(y－1)2＝1，

∴圆心C2(2,1)，半径r2＝1.

∴两圆心的距离d＝＝，r1＋r2＝3，∴d>r1＋r2，∴两圆外离，∴两圆有4条公切线．

5．(教材改编题)若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦的长为2，则a＝________.

解析：两圆的方程相减，得公共弦所在的直线方程为(x2＋y2＋2ay－6)－(x2＋y2)＝0－4⇒y＝，又a>0，结合图形，利用半径、弦长的一半及弦心距所构成的直角三角形，可知＝ ＝1⇒a＝1.

答案：1

6．(易错题)若圆x2＋y2＝1与圆(x＋4)2＋(y－a)2＝25相切，则常数a＝________.

解析：两圆的圆心距d＝，由两圆相切，得＝5＋1或＝5－1，解得a＝±2或a＝0.

答案：±2或0