新高考数学一轮复习讲练教案7.5 第1课时 空间向量及其应用（含解析）

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第五节　空间向量及其应用
第1课时　系统知识牢基础——空间向量及其应用
知识点一　空间向量的概念及有关定理
1．空间向量的有关概念
名称
定义
空间向量
在空间中，具有大小和方向的量
相等向量
方向相同且模相等的向量
相反向量
方向相反且模相等的向量
共线向量
(或平行向量)
表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量
共面向量
平行于同一个平面的向量
2.空间向量的有关定理
(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb.
(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.
(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，其中，{a，b，c}叫做空间的一个基底．
[重温经典]
1．(教材改编题)若O，A，B，C为空间四点，且向量，，不能构成空间的一个基底，则(　　)
A．，， 共线　　　 B．， 共线
C．， 共线 D．O，A，B，C四点共面
解析：选D　∵向量，， 不能构成空间的一个基底，∴向量，，共面，因此O，A，B，C四点共面，故选D.
2．已知正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E为上底面A1C1的中心，若＝＋x＋y，则x，y的值分别为(　　)
A．1,1 B．1，
C.， ` D.，1
解析：选C　＝＋＝＋＝＋(＋)，故x＝，y＝.
3．(多选)如图所示，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且AP＝3PN，＝，设＝a，＝b，＝c，则下列等式成立的是(　　)
A．＝b－c　　　 B．＝b＋c－a
C．＝b－c－a D．＝a＋b＋c
解析：选BD　对于A，利用向量的四边形法则，
＝＋＝b＋c，A错；
对于B，利用向量的四边形法则和三角形法则，得
＝－＝－＝－
＝＋－＝b＋c－a，B对；
对于C，因为点P在线段AN上，且AP＝3PN，
所以＝＝b＋c－a，
所以＝＝b＋c－a，C错；
对于D，＝＋＝a＋b＋c－a＝a＋b＋c，D对，故选B、D.
4.如图所示，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，O为AC的中点，用，，表示，则＝________________.
解析：∵＝＝(＋)，∴＝＋＝(＋)＋＝＋＋.
答案：＋＋
5.如图所示，在四面体OABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝________(用a，b，c表示)．
解析：＝＋＝a＋
＝a＋(－)＝a＋
＝a＋×(＋)＝a＋b＋c.
答案：a＋b＋c
6．设a＝(2x,1,3)，b＝(1,3,9)，若a∥b，则x＝________.
解析：∵a∥b，∴＝＝，∴x＝.
答案：
7．(易错题)给出下列命题：
①若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行；
②若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c共面；
③已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p，总存在实数x，y，z使得p＝xa＋yb＋zc；
④若A，B，C，D是空间任意四点，则有＋＋＋＝0.
其中为真命题的是________(填序号)．
解析：若a与b共线，则a，b所在的直线可能平行也可能重合，故①不正确；三个向量a，b，c中任两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故②不正确；只有当a，b，c不共面时，空间任意一个向量p才一定能表示为p＝xa＋yb＋zc，故③不正确；据向量运算法则可知④正确．
答案：④
知识点二　两个向量的数量积及其运算
1．空间向量的数量积及运算律
(1)数量积及相关概念
①两向量的夹角：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作a，b，其范围是[0，π]，若a，b＝，则称a与b互相垂直，记作a⊥b.
②非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cosa，b．
(2)空间向量数量积的运算律
①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；
②交换律：a·b＝b·a；
③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
2．空间向量的坐标表示及其应用
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).

向量表示
坐标表示
数量积
a·b
a1b1＋a2b2＋a3b3
共线
a＝λb(b≠0，λ∈R)
a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3
垂直
a·b＝0(a≠0，b≠0)
a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
模
|a|

夹角
a，b(a≠0，b≠0)
cosa，b＝


[重温经典]

1．在空间四边形ABCD中，·＋·＋·的值为(　　)
A．－1　　　　　　　　　 B．0
C．1 D．2
解析：选B　如图，令＝a，＝b，＝c，
则·＋·＋·
＝·(－)＋·(－)＋·(－)
＝a·(c－b)＋b·(a－c)＋c·(b－a)
＝a·c－a·b＋b·a－b·c＋c·b－c·a
＝0.
2.如图所示，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则||等于(　　)
A．6 B．6
C．12 D．144
解析：选C　∵＝＋＋，
∴ 2＝2＋2＋2＋2·＝36＋36＋36＋2×36cos 60°＝144，∴||＝12，故选C.
3．(教材改编题)已知a＝(1,2，－2)，b＝(0,2,4)，则a，b夹角的余弦值为________．
解析：cosa，b＝＝－.
答案：－
4．已知a＝(2,3,1)，b＝(－4,2，x)，且a⊥b，则|b|＝________.
解析：∵a⊥b，∴－8＋6＋x＝0，解得x＝2，
故|b|＝＝2.
答案：2
5．已知a＝(cos θ，1，sin θ)，b＝(sin θ，1，cos θ)，则向量a＋b与a－b的夹角是________．
解析：∵a＋b＝(cos θ＋sin θ，2，cos θ＋sin θ)，a－b＝(cos θ－sin θ，0，sin θ－cos θ)，
∴(a＋b)·(a－b)＝(cos2θ－sin2θ)＋(sin2θ－cos2θ)＝0，
∴(a＋b)⊥(a－b)，则a＋b与a－b的夹角是.
答案：
6．(易错题)如图所示，在大小为45°的二面角A­EF­D中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是________．
解析：∵＝＋＋，
∴||2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝1＋1＋1－＝3－，故||＝.
答案：
知识点三　空间中的平行与垂直的向量表示
1．直线的方向向量和平面的法向量
(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量．
(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量．
2．空间位置关系的向量表示

位置关系
向量表示
直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2
l1∥l2
n1∥n2⇔n1＝λn2
l1⊥l2
n1⊥n2⇔n1·n2＝0
直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m
l∥α
n⊥m⇔n·m＝0
l⊥α
n∥m⇔n＝λm
平面α，β的法向量分别为n，m
α∥β
n∥m⇔n＝λm
α⊥β
n⊥m⇔n·m＝0

[重温经典]

1．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则下列向量是平面ABC法向量的是(　　)
A．(－1,1,1) B．(1，－1,1)
C. D.
解析：选C　设n＝(x，y，z)为平面ABC的法向量，
则，化简得∴x＝y＝z，故选C.
2．已知直线l与平面α垂直，直线l的一个方向向量为u＝(1，－3，z)，向量v＝(3，－2,1)与平面α平行，则z等于(　　)
A．3 B．6
C．－9 D．9
解析：选C　∵l⊥α，v与平面α平行，
∴u⊥v，即u·v＝0，
∴1×3＋(－3)×(－2)＋z×1＝0，
∴z＝－9.
3．平面α的一个法向量为(1,2，－2)，平面β的一个法向量为(－2，－4，k)．若α∥β，则k等于(　　)
A．2 B．－4
C．4 D．－2
解析：选C　∵α∥β，∴两平面的法向量平行，
∴－＝－＝，∴k＝4.
4．(教材改编题)已知平面α，β的法向量分别为n1＝(2,3,5)，n2＝(－3,1，－4)，则(　　)
A．α∥β B．α⊥β
C．α，β相交但不垂直 D．以上均不对
解析：选C　∵n1≠λn2，且n1·n2＝－23≠0，∴α，β相交但不垂直．
5.如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线ON，AM的位置关系是________．
解析：以A为原点，分别以，，所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系(图略)，设正方体的棱长为1，
则A(0,0,0)，M，O，N.
∵·＝·＝0，
∴ON与AM垂直．
答案：垂直
6．(易错题)如图所示，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，过点E作EF⊥BP交BP于点F.
(1)证明：PA∥平面EDB；
(2)证明：PB⊥平面EFD.
证明：如图所示，以D为坐标原点，射线DA，DC，DP分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系．设DC＝a.
(1)连接AC交BD于点G，连接EG.
依题意得A(a,0,0)，P(0,0，a)，E.
因为底面ABCD是正方形，
所以G是此正方形的中心，
故点G的坐标为，所以＝(a,0，－a)，＝.
则＝2，故PA∥EG.
而EG⊂平面EDB，PA⊄平面EDB，所以PA∥平面EDB.
(2)依题意得B(a，a,0)，所以＝(a，a，－a)．
又＝，故·＝0＋－＝0，所以PB⊥DE.由题可知EF⊥PB，且EF∩DE＝E，所以PB⊥平面EFD.
知识点四　利用空间向量求空间角
1．异面直线所成角
设异面直线a，b所成的角为θ，则cos θ＝，其中a，b分别是直线a，b的方向向量．
2．直线与平面所成角
如图所示，设l为平面α的斜线，l∩α＝A，a为l的方向向量，n为平面α的法向量，φ为l与α所成的角，则sin φ＝|cosa，n|＝.
3．二面角
(1)若AB，CD分别是二面角α­l­β的两个平面内与棱l垂直的异面直线，则二面角(或其补角)的大小就是向量与的夹角，如图a.

(2)平面α与β相交于直线l，平面α的法向量为n1，平面β的法向量为n2，n1，n2＝θ，则二面角α­l­β为θ或π－θ.设二面角大小为φ，则|cos φ|＝|cos θ|＝，如图b，c.
[重温经典]
1．(易错题)已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1，1)，则两平面所成的二面角为(　　)
A．45° B．135°
C．45°或135° D．90°
解析：选C　cosm，n＝＝＝，即m，n＝45°，∴两平面所成的二面角为45°或135°.
2．(教材改编题)已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量， 若cosm，n＝－，则l与α所成的角为(　　)
A．30° B．60°
C．120° D．150°
解析：选A　由于cosm，n＝－，所以m，n＝120°，所以直线l与α所成的角为30°.
3．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的正弦值为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B　设正方体的棱长为1，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．则B(1,1,0)，B1(1，1,1)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，D1(0，0,1)．
所以＝(0,0,1)，＝(－1,1,0)，＝(－1,0,1)．
令平面ACD1的法向量为n＝(x，y，z)，则n·＝－x＋y＝0，n·＝－x＋z＝0，令x＝1，可得n＝(1,1,1)，
所以sin θ＝|cosn，|＝＝.
4．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝2，AA1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为________．
解析：建立如图所示的空间直角坐标系．
易得A(2,0,0)，B(2,3,0)，B1(2,3,1)，C1(0,3,1)，
则＝(0,3,1)，＝(－2,0,1)．
设异面直线AB1与BC1所成的角为θ，
则cos θ＝|cos，|＝＝.
答案：
5．过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABCD，若AB＝PA，则平面ABP与平面CDP所成的二面角为________．
解析：如图，建立空间直角坐标系，设AB＝PA＝1，则A(0,0,0)，D(0,1,0)，P(0,0,1)，由题意，AD⊥平面PAB，设E为PD的中点，连接AE，则AE⊥PD，又CD⊥平面PAD，
所以CD⊥AE，从而AE⊥平面PCD.所以＝(0,1,0)，
＝分别是平面PAB，平面PCD的法向量，且，＝45°.
故平面PAB与平面PCD所成的二面角为45°.
答案：45°