新高考数学一轮复习讲练教案4.3 三角函数的图象与性质（含解析）

这是一份新高考数学一轮复习讲练教案4.3 三角函数的图象与性质（含解析），共24页。

第三节　三角函数的图象与性质
核心素养立意下的命题导向
1.与不等式相结合考查三角函数定义域的求法，凸显数学运算的核心素养．
2．与二次函数、函数的单调性等结合考查函数的值域(最值)，凸显数学运算的核心素养．
3．借助函数的图象、数形结合思想考查函数的奇偶性、单调性、对称性等性质，凸显数学运算、直观想象和逻辑推理的核心素养．

[理清主干知识]
1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．
(2)在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，，(π， －1)，，(2π，1)．
2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象



定义域
R
R
xx∈R，且x≠kπ＋，k∈Z
值域
[－1,1]
[－1,1]
R
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
单调性
在－＋2kπ，＋2kπ(k∈Z)上是递增函数，在＋2kπ，＋2kπ(k∈Z)上是递减函数
在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是递增函数，在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是递减函数
在－＋kπ，＋kπ(k∈Z)上是递增函数
周期性
周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是
周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是
周期是kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是
对称性
对称轴是x＝＋kπ(k∈Z)，对称中心是(kπ，0)(k∈Z)
对称轴是x＝kπ(k∈Z)，对称中心是kπ＋，0(k∈Z)
对称中心是(k∈Z)

[澄清盲点误点]
一、关键点练明
1．(三角函数的定义域)函数y＝tan 2x的定义域是(　　)
A.　　 B.
C. D.
答案：D
2．(三角函数的周期性)已知函数f(x)＝cos(ω>0)的最小正周期为π，则ω＝________.
答案：2
3．(三角函数的奇偶性)若函数f(x)＝sin(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝________.
解析：由已知f(x)＝sin是偶函数，可得＝kπ＋(k∈Z)，即φ＝3kπ＋(k∈Z)，又φ∈[0,2π]，所以φ＝.
答案：
4．(三角函数的对称性)函数f(x)＝3sin的对称轴为________，对称中心为________．
答案：x＝＋(k∈Z)　(k∈Z)
5．(三角函数的单调性)函数y＝tan的单调递增区间为__________________．
答案：(k∈Z)
二、易错点练清
1．(忽视正切函数自身的定义域)函数y＝lg(3tan x－)的定义域为________________．
解析：要使函数y＝lg(3tan x－)有意义，
则3tan x－>0，即tan x>.
所以＋kπ 答案：(k∈Z)
2．(忽视ω与0的大小关系对单调性的影响)函数y＝sin的单调递增区间为________________．
解析：y＝sin＝－sin，
令2kπ＋≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
解得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，
所以函数的单调递增区间为(k∈Z)．
答案：(k∈Z)
3．(忽视正、余弦函数的有界性)函数f(x)＝2cos2x＋5sin x－4的最小值为________，最大值为________．
解析：f(x)＝2cos2x＋5sin x－4＝－2sin2x＋5sin x－2＝－22＋.因为－1≤ sin x≤1，所以当sin x＝－1时，f(x)有最小值－9；当sin x＝1时，f(x)有最大值1.
答案：－9　1

考点一　三角函数的定义域、值域
[典题例析]　
(1)已知函数f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则(　　)
A．f(x)的最小正周期为π，最大值为3
B．f(x)的最小正周期为π，最大值为4
C．f(x)的最小正周期为2π，最大值为3
D．f(x)的最小正周期为2π，最大值为4
(2)函数y＝的定义域为____________________．
(3)函数y＝sin x－cos x＋sin xcos x，x∈[0，π]的值域为________．
[解析]　(1)∵f(x)＝2cos2x－sin2x＋2＝1＋cos 2x－＋2＝cos 2x＋，∴f(x)的最小正周期为π，最大值为4.故选B.
(2)要使函数有意义，必须有

即故函数的定义域为
.
(3)设t＝sin x－cos x，
则t2＝sin2x＋cos2x－2sin xcos x，
即sin xcos x＝，且－1≤t≤.
∴y＝－＋t＋＝－(t－1)2＋1.
当t＝1时，ymax＝1；
当t＝－1时，ymin＝－1.
∴函数的值域为[－1,1]．
[答案]　(1)B
(2)
(3)[－1,1]
[方法技巧]
1．三角函数定义域的求法
求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数图象来求解．
[提醒]　解三角不等式时要注意周期，且k∈Z不可以忽略．
2．三角函数值域或最值的3种求法
直接法
形如y＝asin x＋k或y＝acos x＋k的三角函数，直接利用sin x，cos x的值域求出
化一法
形如y＝asin x＋bcos x＋k的三角函数，化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，确定ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域(最值)
换元法
形如y＝asin2x＋bsin x＋k的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝ sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)
　　[针对训练]
1．函数y＝的定义域为(　　)
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
解析：选D　要使函数有意义，需sin x－cos x≥0，即sin x≥cos x，
解得2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)，
故原函数的定义域为(k∈Z)．
2．函数f(x)＝sin2x＋cos x－的最大值是________．
解析：依题意，f(x)＝sin2x＋cos x－＝－cos2x＋cos x＋＝－2＋1，
因为x∈，所以cos x∈[0,1]，
因此当cos x＝时，f(x)max＝1.
答案：1
3．若函数f(x)＝sin(x＋φ)＋cos x的最大值为2，则常数φ的一个取值为________．
解析：∵f(x)＝sin(x＋φ)＋cos x的最大值为2，
∴cos x＝1，解得x＝2kπ，k∈Z，
且sin(x＋φ)＝sin(2kπ＋φ)＝sin φ＝1，
∴φ＝＋2nπ，n∈Z，∴可取φ＝.
答案：(答案不唯一)
4．已知函数f(x)＝sin，其中x∈，若f(x)的值域是，则实数a的取值范围为________．
解析：∵x∈，∴x＋∈，
∵当x＋∈时，f(x)的值域为，
∴由函数的图象知，≤a＋≤π，
∴≤a≤π.∴a的取值范围是.
答案：
考点二　三角函数的单调性
考法(一)　求三角函数的单调区间
[例1]　求下列函数的单调区间：
(1)f(x)＝|tan x|；
(2)f(x)＝cos，x∈.
[解]　(1)观察图象可知，y＝|tan x|的单调递增区间是(k∈Z)，单调递减区间是(kπ－，kπ] (k∈Z)．
(2)当2kπ－π≤2x－≤2kπ(k∈Z)，
即kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)时，函数f(x)是增函数；
当2kπ≤2x－≤2kπ＋π(k∈Z)，
即kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)时，函数f(x)是减函数．
因此函数f(x)在上的单调递增区间是
[－，]，单调递减区间是，.
[方法技巧]　求三角函数单调区间的2种方法
代换法
就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u(或t)，利用基本三角函数的单调性列不等式求解
图象法
画出三角函数的正、余弦和正切曲线，结合图象求它的单调区间

[提醒]　求解三角函数的单调区间时，若x的系数为负，应先化为正，同时切莫忽视函数自身的定义域．
考法(二)　已知函数的单调性求参数值或范围
[例2]　(1)若函数f(x)＝sin ωx(ω>0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω等于(　　)
A.　　　　　　　　　　 B.
C．2 D．3
(2)(2021·深圳模拟)若f(x)＝cos 2x＋acos(＋x)在区间上是增函数，则实数a的取值范围为________．
[解析]　(1)因为f(x)＝sin ωx(ω>0)过原点，
所以当0≤ωx≤，即0≤x≤时，y＝sin ωx是增函数；
当≤ωx≤，即≤x≤时，y＝sin ωx是减函数．
由f(x)＝sin ωx(ω>0)在上单调递增，
在上单调递减知，＝，所以ω＝.
(2)f(x)＝cos 2x＋acos＝1－2sin2x－asin x，
令sin x＝t，t∈，则g(t)＝－2t2－at＋1，t∈，
因为f(x)在上单调递增，
所以－≥1，即a≤－4.
[答案]　(1)B　(2)(－∞，－4]
[方法技巧]
已知单调区间求参数范围的3种方法
子集法
求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解
反子
集法
由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解
周期
性法
由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过周期列不等式(组)求解

[针对训练]
1．已知为函数f(x)＝sin(2x＋φ)的零点，则函数f(x)的单调递增区间是(　　)
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
解析：选C　 由于为函数f(x)＝sin(2x＋φ)的零点，
则f＝0，所以sin＝0，
解得φ＝，故f(x)＝sin.
令－＋2kπ≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
故函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
2．已知ω>0，函数f(x)＝sin在上单调递减，则ω的取值范围是(　　)
A. B.
C. D．(0,2]
解析：选A　由 当k＝0时，由解得≤ω≤.
3．cos 23°，sin 68°，cos 97°从小到大的顺序是____________．
解析：sin 68°＝sin(90°－22°)＝cos 22°.
因为余弦函数y＝cos x在[0，π]上是单调递减的，
且22°<23°<97°，
所以cos 97° 即cos 97° 答案：cos 97° 考点三　三角函数的周期性、奇偶性及对称性
考法(一)　三角函数的周期性
[例1]　函数f(x)＝的最小正周期为(　　)
A.　　　　　　　　　 B.
C．π D．2π
[解析]　由已知得f(x)＝＝＝＝sin x·cos x＝sin 2x，所以f(x)的最小正周期为T＝＝π.
[答案]　C

[方法技巧]　三角函数周期的求解方法
公式法
(1)三角函数y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的最小正周期分别为2π，2π，π；
(2)y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为
图象法
利用三角函数图象的特征求周期．如：相邻两最高点(最低点)之间为一个周期，最高点与相邻的最低点之间为半个周期

考法(二)　三角函数的奇偶性
[例2]　已知函数f(x)＝3sin，φ∈(0，π)．
(1)若f(x)为偶函数，则φ＝________；
(2)若f(x)为奇函数，则φ＝________.
[解析]　(1)因为f(x)＝3sin为偶函数，
所以－＋φ＝kπ＋(k∈Z)，
又因为φ∈(0，π)，所以φ＝.
(2)因为f(x)＝3sin为奇函数，
所以－＋φ＝kπ(k∈Z)，又φ∈(0，π)，所以φ＝.
[答案]　(1)　(2)
[方法技巧]
与三角函数奇偶性相关的结论
三角函数中，判断奇偶性的前提是定义域关于原点对称，奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acos ωx＋b的形式．常见的结论有：
(1)若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)．
(2)若y＝Acos(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)．
(3)若y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)．　　
考法(三)　三角函数的对称性
[例3]　(1)(多选)(2021·大连模拟)已知函数f(x)＝sin xcos x＋(1－2sin2x)，则有关函数f(x)的说法正确的是(　　)
A．f(x)的图象关于点(，0)对称
B．f(x)的最小正周期为π
C．f(x)的图象关于直线x＝对称
D．f(x)的最大值为
(2)已知函数y＝sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝对称，则φ的值为________．
[解析]　(1)由题可知f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝sin2x＋.当x＝时，2x＋＝π，故函数f(x)的图象关于点，0对称，故A正确；当x＝时，2x＋＝，所以函数f(x)的图象不关于直线x＝对称，故C错误；函数f(x)的最小正周期T＝＝π，故B正确；函数f(x)的最大值为1，故D错误．故选A、B.
(2)由题意得f＝sin＝±1，
∴＋φ＝kπ＋(k∈Z)，∴φ＝kπ－(k∈Z)．
∵φ∈，∴φ＝－.
[答案]　(1)AB　(2)－
[方法技巧]　三角函数对称性问题的2种求解方法
定义法
正(余)弦函数的对称轴是过函数的最高点或最低点且垂直于x轴的直线，对称中心是图象与x轴的交点，即函数的零点
公式法
函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴为x＝－＋，对称中心为；函数y＝Acos(ωx＋φ)的对称轴为x＝－，对称中心为；函数y＝Atan(ωx＋φ)的对称中心为.上述k∈Z

[针对训练]
1．(多选)(2021·福州质检)设函数f(x)＝cos，则下列结论正确的是(　　)
A．f(x)的一个周期为－2π
B．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称
C．f(x＋π)的一个零点为x＝
D．f(x)在上单调递减
解析：选ABC　A项，因为f(x)＝cos的周期为2kπ(k∈Z)，所以f(x)的一个周期为－2π，A项正确；
B项，因为f(x)＝cos图象的对称轴为直线x＝kπ－(k∈Z)，所以y＝f(x)的图象关于直线x＝对称，B项正确；
C项，f(x＋π)＝cos.令x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝kπ－，当k＝1时，x＝，所以f(x＋π)的一个零点为x＝，C项正确；
D项，令2kπ≤x＋≤π＋2kπ(k∈Z)，得－＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z)，所以f(x)的单调递减区间为(k∈Z)，故f(x)在上单调递减，在上单调递增，故D项错误．故选A、B、C.
2．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为4π，且∀x∈R，有f(x)≤f成立，则f(x)图象的一个对称中心是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选A　由f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为4π，
得ω＝.
因为f(x)≤f恒成立，所以f(x)max＝f，
即×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，
由|φ|<，得φ＝，故f(x)＝sin.
令x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝2kπ－(k∈Z)，
故f(x)图象的对称中心为(k∈Z)，
当k＝0时，f(x)图象的对称中心为.


一、创新命题视角——学通学活巧迁移
三角函数中有关ω的求解
数学运算是解决数学问题的基本手段，通过运算可促进学生思维的发展；而逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式．运算和推理贯穿于探究数学问题的始终，可交替使用，相辅相成．
类型(一)　三角函数的周期T与ω的关系
[例1]　为了使函数y＝sin ωx(ω>0)在区间[0,1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值为(　　)
A．98π　　　　　　　　　 B.π
C.π D．100π
[解析]　由题意，至少出现50次最大值即至少需用49个周期，所以T＝·≤1，所以ω≥π.
[答案]　B
[名师微点]
解决此类问题的关键在于结合条件弄清周期T＝与所给区间的关系，从而建立不等关系．
类型(二)　三角函数的单调性与ω的关系
[例2]　若函数f(x)＝sin ωx(ω>0)在区间上单调递减，则ω的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
[解析]　令＋2kπ≤ωx≤π＋2kπ(k∈Z)，
得＋≤x≤＋(k∈Z)，
因为f(x)在上单调递减，
所以(k∈Z)，
解得6k＋≤ω≤4k＋3(k∈Z)．
又ω>0，所以k≥0，
又6k＋<4k＋3(k∈Z)，得0≤k<，所以k＝0.
故≤ω≤3.
[答案]　D
[名师微点]
根据正弦函数的单调递减区间，确定函数f(x)的单调递减区间，根据函数f(x)＝ sin ωx(ω>0)，在区间上单调递减，建立不等式，即可求ω的取值范围．　　
类型(三)　三角函数的对称性、最值与ω的关系
[例3]　(1)已知f(x)＝sin ωx－cos ωx，若函数f(x)图象的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标都不属于区间(π，2π)，则ω的取值范围是________．
(2)已知函数f(x)＝2sin ωx在区间上的最小值为－2，则ω的取值范围是________．
[解析]　(1)f(x)＝sin ωx－cos ωx＝sin，
令ωx－＝＋kπ(k∈Z)，解得x＝＋(k∈Z)．
当k＝0时，≤π，即ω≥，
当k＝1时，＋≥2π，即ω≤.
综上，≤ω≤.
(2)显然ω≠0，分两种情况：
若ω>0，当x∈时，－ω≤ωx≤ω，
因为函数f(x)＝2sin ωx在区间上的最小值为－2，所以－ω≤－，解得ω≥；
若ω<0，当x∈时，ω≤ωx≤－ω，
因为函数f(x)＝2sin ωx在区间上的最小值为－2，所以ω≤－，解得ω≤ －2.
综上所述，符合条件的实数ω的取值范围为.
[答案]　(1)　(2)
[名师微点]
解答这类三角函数题除了需要熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的单调性外，还必须知晓一个周期里函数最值的变化，以及何时取到最值，函数取到最值的区间要求与题目给定的区间的关系如何．　　

二、创新考查方式——领悟高考新动向

1．(多选)下列关于函数f(x)＝sin|x|＋|sin x|的结论正确的是(　　)
A．f(x)是偶函数
B．f(x)在区间上单调递增
C．f(x)在[－π，π]上有4个零点
D．f(x)的最大值为2
解析：选AD　A中，f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sin x|＝f(x)，
∴f(x)是偶函数，故A正确；
B中，当x∈时，f(x)＝sin x＋sin x＝2sin x，函数单调递减，故B错误；
C中，当x＝0时，f(x)＝0，
当x∈(0，π]时，f(x)＝2sin x，
令f(x)＝0，得x＝π.
又∵f(x)是偶函数，
∴函数f(x)在[－π，π]上有3个零点，故C错误；
D中，∵sin|x|≤|sin x|，∴f(x)≤2|sin x|≤2，
当x＝＋kπ(k∈Z)时，
f(x)能取得最大值2，故D正确．
2．已知函数f(x)＝Asin(A＞0，ω＞0)只能同时满足下列三个条件中的两个：
①函数f(x)的最大值为2；
②函数f(x)的图象可由y＝sin的图象平移得到；
③函数f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为.
(1)请写出这两个条件序号，并求出f(x)的解析式；
(2)求方程f(x)＋1＝0在区间[－π，π]上所有解的和．
解：(1)函数f(x)＝Asin满足的条件为①③.
理由如下：
由题意可知条件①②互相矛盾，
故③为函数f(x)＝Asin满足的条件之一，
由③可知，T＝π，∴ω＝2，故②不合题意，
∴函数f(x)＝Asin满足的条件为①③.
由①可知A＝2，∴f(x)＝2sin.
(2)∵f(x)＋1＝0，∴sin＝－.
∴2x＋＝－＋2kπ(k∈Z)或2x＋＝π＋2kπ(k∈Z)．
即x＝－＋kπ(k∈Z)或x＝＋kπ(k∈Z)．
又∵x∈[－π，π]，
∴x的取值为－，π，－，，
∴方程f(x)＋1＝0在区间[－π，π]上所有解的和为π.

一、基础练——练手感熟练度
1．下列函数中，周期为2π的奇函数为(　　)
A．y＝sincos　　　　 B．y＝sin2x
C．y＝tan 2x D．y＝sin 2x＋cos 2x
解析：选A　y＝sin2x为偶函数；y＝tan 2x的周期为；y＝sin 2x＋cos 2x为非奇非偶函数，故B、C、D都不正确，故选A.
2．(多选)关于函数y＝tan，下列说法正确的是(　　)
A．是奇函数
B．在区间上单调递减
C.为其图象的一个对称中心
D．最小正周期为
解析：选CD　函数y＝tan是非奇非偶函数，A错；函数y＝tan在区间上单调递增，B错；最小正周期为，D对；由2x－＝(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)．当k＝0时，x＝，所以它的图象关于对称，C对．故选C、D.
3．函数y＝|cos x|的一个单调递增区间是(　　)
A.　　　　　　 B．[0，π]
C. D．
解析：选D　将y＝cos x位于x轴下方的图象关于x轴对称翻折到x轴上方，x轴上方(或x轴上)的图象不变，即得y＝|cos x|的图象(如图)．故选D.

4．函数y＝cos2x－2sin x的最大值与最小值分别为(　　)
A．3，－1 B．3，－2
C．2，－1 D．2，－2
解析：选D　y＝cos2x－2sin x＝1－sin2x－2sin x
＝－sin2x－2sin x＋1，
令t＝sin x，
则t∈[－1,1]，y＝－t2－2t＋1＝－(t＋1)2＋2，
所以ymax＝2，ymin＝－2.
5．定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈时，f(x)＝sin x，则f的值为(　　)
A．－ B.
C. D.
解析：选D　∵f(x)的最小正周期是π，∴f＝f＝f，∵函数f(x)是偶函数，∴f＝f＝f＝sin ＝.故选D.
二、综合练——练思维敏锐度
1．下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间上为减函数的是(　　)
A．y＝sin 2x　　　　　　　 B．y＝2|cos x|
C．y＝cos D．y＝tan(－x)
解析：选D　A选项，函数在上单调递减，在上单调递增，故排除A；B选项，函数在上单调递增，故排除B；C选项，函数的周期是4π，故排除C.故选D.
2．如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点对称，那么|φ|的最小值为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选A　由题意得3cos＝3cos＝3cos＝0，
∴＋φ＝kπ＋(k∈Z)，
∴φ＝kπ－(k∈Z)，取k＝0，得|φ|的最小值为.
3．同时满足f(x＋π)＝f(x)与f＝f的函数f(x)的解析式可以是(　　)
A．f(x)＝cos 2x B．f(x)＝tan x
C．f(x)＝sin x D．f(x)＝sin 2x
解析：选D　由题意知所求函数的周期为π，且图象关于直线x＝对称．
A．f(x)＝cos 2x的周期为π，f＝0不是函数的最值，∴其图象不关于直线x＝对称．
B．f(x)＝tan x的周期为π，但图象不关于直线x＝对称．
C．f(x)＝sin x的周期为2π，不合题意．
D．f(x)＝sin 2x的周期为π，且f＝1为函数最大值，∴D满足条件．故选D.
4．若函数f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)为奇函数，且在上为减函数，则θ的一个值为(　　)
A．－ B．－
C. D.
解析：选D　由题意得f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)＝2sin.因为函数f(x)为奇函数，所以θ＋＝kπ(k∈Z)，故θ＝－＋kπ(k∈Z)．当θ＝－时，f(x)＝2sin 2x，在上为增函数，不合题意；当θ＝时，f(x)＝－2sin 2x，在上为减函数，符合题意，故选D.
5．(2021·惠州模拟)已知函数f(x)＝2sin的图象的一个对称中心为，其中ω为常数，且ω∈(1,3)．若对任意的实数x，总有f(x1)≤f(x)≤f(x2)，则|x1－x2|的最小值是(　　)
A．1 B．
C．2 D．π
解析：选B　因为函数f(x)＝2sin的图象的一个对称中心为，所以ω＋＝kπ(k∈Z)，所以ω＝3k－1(k∈Z)，由ω∈(1,3)，得ω＝2.由题意得|x1－x2|的最小值为函数的半个周期，即＝＝.
6．(多选)已知函数f(x)＝sin ωx(ω>0)的图象关于直线x＝对称，且f(x)在上为单调函数，则下述四个结论中正确的是(　　)
A．满足条件的ω取值有2个
B.为函数f(x)的一个对称中心
C．f(x)在上单调递增
D．f(x)在(0，π)上有一个极大值点和一个极小值点
解析：选ABC　因为函数f(x)＝sin ωx(ω>0)的图象关于直线x＝对称，所以ω＝＋kπ(k∈Z)，
解得ω＝>0(k∈Z)，
又f(x)在上为单调函数，所以≤，即ω≤2，
所以ω＝或ω＝2，即f(x)＝sinx或f(x)＝sin 2x，
所以总有f＝0，故A、B正确；
由f(x)＝sinx或f(x)＝sin 2x图象知，
f(x)在上单调递增，故C正确；
当x∈(0，π)时，f(x)＝sinx只有一个极大值点，不符合题意，故D不正确．故选A、B、C.
7．函数y＝sin x＋cos x＋3cos xsin x的最大值是________，最小值是________．
解析：令t＝sin x＋cos x，
则t∈[－，]．
∵(sin x＋cos x)2－2sin xcos x＝1，
∴sin xcos x＝，
∴y＝t2＋t－，t∈[－， ]，
∵对称轴t＝－∈[－， ]，
∴ymin＝f＝×－－＝－，
ymax＝f()＝＋.
故函数的最大值与最小值分别为＋，－.
答案：＋　－
8．(2021年1月新高考八省联考卷)写出一个最小正周期为2的奇函数f(x)＝________.
解析：基本初等函数中的既为周期函数又为奇函数的函数为y＝sin x，∴此题可考虑在此基础上调整周期使其满足题意．由此可知f(x)＝sin ωx且T＝⇒f(x)＝sin πx.
答案：sin πx
9．(2020·全国卷Ⅲ)关于函数f(x)＝sin x＋有如下四个命题：
①f(x)的图象关于y轴对称．
②f(x)的图象关于原点对称．
③f(x)的图象关于直线x＝对称．
④f(x)的最小值为2.
其中所有真命题的序号是________．
解析：由题意知f(x)的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，且关于原点对称．又f(－x)＝ sin(－x)＋＝－＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，所以①为假命题，②为真命题．因为f＝sin＋＝cos x＋，f＝sin＋＝cos x＋，所以f＝f，所以函数f(x)的图象关于直线x＝对称，③为真命题．当sin x<0时，f(x)<0，所以④为假命题．综上，所有真命题的序号是②③.
答案：②③
10．已知函数f(x)＝cos(2x＋θ)在上单调递增，若f≤m恒成立，则实数m的取值范围为________．
解析：f(x)＝cos(2x＋θ)，
当x∈时，－π＋θ≤2x＋θ≤－＋θ，
由函数f(x)在上是增函数，
得(k∈Z)，
则2kπ－≤θ≤2kπ＋(k∈Z)．
又0≤θ≤，∴0≤θ≤.
∵f＝cos，又≤θ＋≤π，
∴fmax＝0，∴m≥0.
答案：[0，＋∞)
11．若函数y＝sin ωx在区间上单调递减，则ω的取值范围是________．
解析：因为函数y＝sin ωx在区间上单调递减，
所以ω＜0且函数y＝sin(－ωx)在区间上单调递增，
则
即解得－4≤ω＜0.
答案：[－4,0)
12．已知函数f(x)＝2|cos x|sin x＋sin 2x，给出下列四个命题：
①函数f(x)的图象关于直线x＝对称；
②函数f(x)在区间上单调递增；
③函数f(x)的最小正周期为π；
④函数f(x)的值域为[－2,2]．
其中是真命题的序号是________．
解析：对于函数f(x)＝2|cos x|sin x＋sin 2x，
由于f＝－2，f＝0，
所以f≠f，
故f(x)的图象不关于直线x＝对称，故排除①.
在区间上，f(x)＝2|cos x|sin x＋sin 2x＝2sin 2x，2x∈，此时函数f(x)单调递增，故②正确．
函数f＝，f＝0.
所以f≠f，故函数f(x)的最小正周期不是π，故③错误．
当cos x≥0时，f(x)＝2|cos x|sin x＋sin 2x＝2sin xcos x＋sin 2x＝2sin 2x，故它的最大值为2，最小值为－2；
当cos x<0时，f(x)＝2|cos x|sin x＋sin 2x＝－2sin xcos x＋sin 2x＝0.
综合可得，函数f(x)的最大值为2，最小值为－2，故④正确．
答案：②④
13．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为π.
(1)当f(x)为偶函数时，求φ的值；
(2)若f(x)的图象过点，求f(x)的单调递增区间．
解：因为f(x)的最小正周期为π，所以T＝＝π，即ω＝2.所以f(x)＝sin(2x＋φ)．
(1)当f(x)为偶函数时，φ＝＋kπ(k∈Z)，
因为0<φ<，所以φ＝.
(2)当f(x)的图象过点时，sin＝，
即sin＝.
又因为0<φ<，所以<＋φ<π.
所以＋φ＝，即φ＝.
所以f(x)＝sin.
令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
14．在①函数f(x)的图象关于点对称；②函数f(x)在上的最小值为；③函数f(x)的图象关于直线x＝对称．在这三个条件中任选两个补充到下面的问题中，再解答这个问题．
已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)＋b，若满足条件________与________．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)设g(x)＝f，求g(x)的单调区间．
解：(1)选①②.
∵为f(x)的对称中心，
∴2×＋φ＝kπ，k∈Z，即φ＝kπ＋，k∈Z，
又|φ|<，∴φ＝.
∵－≤x≤，∴－≤2x＋≤，
∴－≤sin≤1.
∴f(x)min＝－＋b＝，∴b＝1，
∴f(x)＝sin＋1.
选②③.
∵x＝为f(x)的一条对称轴，
∴2×＋φ＝kπ＋，k∈Z，∴φ＝kπ＋，k∈Z，
又|φ|<，∴φ＝.
∵－≤x≤，∴－≤2x＋≤，
∴－≤sin≤1.
∴f(x)min＝－＋b＝，∴b＝1，
∴f(x)＝sin＋1.
(2)由(1)知f(x)＝sin＋1，
则g(x)＝f＝sin＋1
＝－sin＋1，
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
∴g(x)的单调递减区间为，k∈Z.
由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，
∴g(x)的单调递增区间为，k∈Z.