江苏省各地市2023年中考数学真题分类汇编-03解答题中档题知识点分类

这是一份江苏省各地市2023年中考数学真题分类汇编-03解答题中档题知识点分类，共30页。试卷主要包含了计算，0；，先化简，再求值，的函数关系如图所示等内容，欢迎下载使用。
江苏省各地市2023年中考数学真题分类汇编-03解答题中档题知识点分类
一．实数的运算（共1小题）
1．（2023•宿迁）计算：．
二．分式的混合运算（共1小题）
2．（2023•镇江）（1）计算：﹣4sin45°+（）0；
（2）化简：（1﹣）÷．
三．分式的化简求值（共1小题）
3．（2023•宿迁）先化简，再求值：，其中．
四．解一元一次不等式组（共1小题）
4．（2023•常州）解不等式组，把解集在数轴上表示出来，并写出整数解．

五．反比例函数图象上点的坐标特征（共1小题）
5．（2023•泰州）阅读下面方框内的内容，并完成相应的任务．
小丽学习了方程、不等式，函数后提出如下问题：如何求不等式x2﹣x﹣6＜0的解集？
通过思考，小丽得到以下3种方法：
方法1 方程x2﹣x﹣6＝0的两根为x1＝﹣2，x2＝3，可得函数y＝x2﹣x﹣6的图象与x轴的两个交点横坐标为﹣2、3，画出函数图象，观察该图象在x轴下方的点，其横坐标的范围是不等式x2﹣x﹣6＜0的解集．
方法2 不等式x2﹣x﹣6＜0可变形为x2＜x+6，问题转化为研究函数y＝x2与y＝x+6的图象关系．画出函数图象，观察发现；两图象的交点横坐标也是﹣2、3；y＝x2的图象在y＝x+6的图象下方的点，其横坐标的范围是该不等式的解集．
方法3 当x＝0时，不等式一定成立；当x＞0时，不等式变为x﹣1＜；当x＜0时，不等式变为x﹣1＞．问题转化为研究函数y＝x﹣1与y＝的图象关系…​
​任务：
（1）不等式x2﹣x﹣6＜0 的解集为 　 　；
（2）3种方法都运用了 　 　的数学思想方法（从下面选项中选1个序号即可）；
A．分类讨论
B．转化思想
C．特殊到一般
D．数形结合
（3）请你根据方法3的思路，画出函数图象的简图，并结合图象作出解答．
六．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
6．（2023•常州）在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于点A（2，4）、B（4，n）．C是y轴上的一点，连接CA、CB．
（1）求一次函数、反比例函数的表达式；
（2）若△ABC的面积是6，求点C的坐标．
七．二次函数的应用（共2小题）
7．（2023•宿迁）某商场销售A、B两种商品，每件进价均为20元．调查发现，如果售出A种20件，B种10件，销售总额为840元；如果售出A种10件，B种15件，销售总额为660元．
（1）求A、B两种商品的销售单价；
（2）经市场调研，A种商品按原售价销售，可售出40件，原售价每降价1元，销售量可增加10件；B种商品的售价不变，A种商品售价不低于B种商品售价．设A种商品降价m元，如果A、B两种商品销售量相同，求m取何值时，商场销售A、B两种商品可获得总利润最大？最大利润是多少？
8．（2023•泰州）某公司的化工产品成本为30元/千克．销售部门规定：一次性销售1000千克以内时，以50元/千克的价格销售；一次性销售不低于1000千克时，每增加1千克降价0.01元．考虑到降价对利润的影响，一次性销售不低于1750千克时，均以某一固定价格销售．一次性销售利润y（元）与一次性销售量x（千克）的函数关系如图所示．
（1）当一次性销售800千克时利润为多少元？
（2）求一次性销售量在1000～1750kg之间时的最大利润；
（3）当一次性销售多少千克时利润为22100元？

八．切线的性质（共2小题）
9．（2023•镇江）如图，将矩形ABCD（AD＞AB）沿对角线BD翻折，C的对应点为点C′，以矩形ABCD的顶点A为圆心，r为半径画圆，⊙A与BC′相切于点E，延长DA交⊙A于点F，连接EF交AB于点G．
（1）求证：BE＝BG；
（2）当r＝1，AB＝2时，求BC的长．

10．（2023•南通）如图，等腰三角形OAB的顶角∠AOB＝120°，⊙O和底边AB相切于点C，并与两腰OA，OB分别相交于D，E两点，连接CD，CE．
（1）求证：四边形ODCE是菱形；
（2）若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．

九．切线的判定与性质（共1小题）
11．（2023•宿迁）（1）如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于点F，弦AD平分∠BAC，点E在AC上，连接DE、DB，　 　．求证：　 　；
从①DE与⊙O相切；②DE⊥AC中选择一个作为已知条件，余下的一个作为结论，将题目补充完整（填写序号），并完成证明过程；
（2）在（1）的前提下，若AB＝6，∠BAD＝30°，求阴影部分的面积．

一十．作图—复杂作图（共1小题）
12．（2023•连云港）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交边AC于点D，连接BD，过点C作CE∥AB．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作图：过点B作⊙O的切线，交CE于点F；（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）
（2）在（1）的条件下，求证：BD＝BF．

一十一．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
13．（2023•泰州）如图，堤坝AB长为10m，坡度i为1：0.75，底端A在地面上，堤坝与对面的山之间有一深沟，山顶D处立有高20m的铁塔CD．小明欲测量山高DE，他在A处看到铁塔顶端C刚好在视线AB上，又在坝顶B处测得塔底D的仰角α为26°35′．求堤坝高及山高DE．（sin26°35′≈0.45，cos26°35′≈0.89，tan26°35′≈0.50，小明身高忽略不计，结果精确到1m）

一十二．条形统计图（共2小题）
14．（2023•连云港）为了解本校八年级学生的暑期课外阅读情况，某数学兴趣小组抽取了50名学生进行问卷调查．
（1）下面的抽取方法中，应该选择 　 　．
A．从八年级随机抽取一个班的50名学生
B．从八年级女生中随机抽取50名学生
C．从八年级所有学生中随机抽取50名学生
（2）对调查数据进行整理，得到下列两幅尚不完整的统计图表：

暑期课外阅读情况统计表
阅读数量（本）
人数
0
5
1
25
2
a
3本及以上
5
合计
50
统计表中的a＝　 　，补全条形统计图；
（3）若八年级共有800名学生，估计八年级学生暑期课外阅读数量达到2本及以上的学生人数；
（4）根据上述调查情况，写一条你的看法．
15．（2023•镇江）香醋中有一种物质，其含量不同，风味不同，各风味香醋中该种物质的含量如表：
风味
偏甜
适中
偏酸
含量（mg/100ml）
71.2
89.8
110.9
某超市销售不同包装（塑料瓶装和玻璃瓶装）的以上三种风味的香醋，小明将该超市1﹣5月份售出的香醋数量绘制成如下的条形统计图：

已知1﹣5月份共售出150瓶香醋，其中“偏酸”的香醋占比40%．
（1）求出a、b的值；
（2）售出的玻璃瓶装香醋中的该种物质的含量的众数为 　 　mg/100ml，中位数为 　 　mg/100ml；
（3）根据小明绘制的条形统计图，你能获得哪些信息（写出一条即可）？
一十三．中位数（共1小题）
16．（2023•常州）为合理安排进、离校时间，学校调查小组对某一天八年级学生上学、放学途中的用时情况进行了调查．本次调查在八年级随机抽取了20名学生，建立以上学途中用时为横坐标、放学途中用时为纵坐标的平面直角坐标系，并根据调查结果画出相应的点，如图所示：

（1）根据图中信息，下列说法中正确的是 　 　（写出所有正确说法的序号）；
①这20名学生上学途中用时都没有超过30min；
②这20名学生上学途中用时在20min以内的人数超过一半；
③这20名学生放学途中用时最短为5min；
④这20名学生放学途中用时的中位数为15min．
（2）已知该校八年级共有400名学生，请估计八年级学生上学途中用时超过25min的人数；
（3）调查小组发现，图中的点大致分布在一条直线附近．请直接写出这条直线对应的函数表达式并说明实际意义．
一十四．方差（共1小题）
17．（2023•南通）某校开展以“筑梦天宫、探秘苍穹”为主题的航天知识竞赛，赛后在七、八年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩，进行整理、分析，得出有关统计图表．
抽取的学生竞赛成绩统计表
年级
平均数
中位数
众数
方差
七年级
82
83
87
52.6
八年级
82
84
91
65.6

注：设竞赛成绩为x（分），规定：
90≤x≤100为优秀；75≤x＜90为良好；
60≤x＜75为合格；x＜60为不合格．
（1）若该校八年级共有300名学生参赛，估计优秀等次的约有 　 　人；
（2）你认为七、八年级中哪个年级学生的竞赛成绩更好些？请从两个方面说明理由．

一十五．列表法与树状图法（共1小题）
18．（2023•南通）有同型号的A，B两把锁和同型号的a，b，c三把钥匙，其中a钥匙只能打开A锁，b钥匙只能打开B锁，c钥匙不能打开这两把锁．
（1）从三把钥匙中随机取出一把钥匙，取出c钥匙的概率等于 　 　；
（2）从两把锁中随机取出一把锁，从三把钥匙中随机取出一把钥匙，求取出的钥匙恰好能打开取出的锁的概率．

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参考答案与试题解析
一．实数的运算（共1小题）
1．（2023•宿迁）计算：．
【答案】0．
【解答】解：原式＝，
＝0．
二．分式的混合运算（共1小题）
2．（2023•镇江）（1）计算：﹣4sin45°+（）0；
（2）化简：（1﹣）÷．
【答案】（1）1；
（2）．
【解答】解：（1）原式＝2﹣4×+1
＝2﹣2+1
＝1；
（2）原式＝×
＝．
三．分式的化简求值（共1小题）
3．（2023•宿迁）先化简，再求值：，其中．
【答案】x﹣1；．
【解答】解：
＝
＝
＝x﹣1，
当时，原式＝．
四．解一元一次不等式组（共1小题）
4．（2023•常州）解不等式组，把解集在数轴上表示出来，并写出整数解．

【答案】﹣1＜x≤2，数轴见解答，整数解是：0，1，2．
【解答】解：，
解不等式①得，x≤2，
解不等式②得，x＞﹣1，
∴不等式组的解集是﹣1＜x≤2，
在数轴上表示为
，
∴不等式组的整数解是：0，1，2．
五．反比例函数图象上点的坐标特征（共1小题）
5．（2023•泰州）阅读下面方框内的内容，并完成相应的任务．
小丽学习了方程、不等式，函数后提出如下问题：如何求不等式x2﹣x﹣6＜0的解集？
通过思考，小丽得到以下3种方法：
方法1 方程x2﹣x﹣6＝0的两根为x1＝﹣2，x2＝3，可得函数y＝x2﹣x﹣6的图象与x轴的两个交点横坐标为﹣2、3，画出函数图象，观察该图象在x轴下方的点，其横坐标的范围是不等式x2﹣x﹣6＜0的解集．
方法2 不等式x2﹣x﹣6＜0可变形为x2＜x+6，问题转化为研究函数y＝x2与y＝x+6的图象关系．画出函数图象，观察发现；两图象的交点横坐标也是﹣2、3；y＝x2的图象在y＝x+6的图象下方的点，其横坐标的范围是该不等式的解集．
方法3 当x＝0时，不等式一定成立；当x＞0时，不等式变为x﹣1＜；当x＜0时，不等式变为x﹣1＞．问题转化为研究函数y＝x﹣1与y＝的图象关系…​
​任务：
（1）不等式x2﹣x﹣6＜0 的解集为 　﹣2＜x＜3　；
（2）3种方法都运用了 　D　的数学思想方法（从下面选项中选1个序号即可）；
A．分类讨论
B．转化思想
C．特殊到一般
D．数形结合
（3）请你根据方法3的思路，画出函数图象的简图，并结合图象作出解答．
【答案】（1）﹣2＜x＜3；
（2）D；
（3）见解答．
【解答】解：（1）解方程x2﹣x﹣6＝0，
得x1＝﹣2，x2＝3，
∴函数y＝x2﹣x﹣6的图象与x轴的两个交点横坐标为﹣2、3，
画出二次函数y＝x2﹣x﹣6的大致图象（如图所示），

由图象可知：当﹣2＜x＜3时函数图象位于x轴下方，此时y＜0，即x2﹣x﹣6＜0．
所以不等式x2﹣x﹣6＜0的解集为：﹣2＜x＜3．
故答案为：﹣2＜x＜3；
（2）上述3种方法都运用了数形结合思想，
故答案为：D；
（3）当x＝0时，不等式一定成立；当x＞0时，不等式变为x﹣1＜；当x＜0时，不等式变为x﹣1＞．
画出函数y＝x﹣1和函数y＝的大致图象如图：

当x＞0时，不等式x﹣1＜的解集为0＜x＜3；当x＜0时，不等式x﹣1＞的解集为﹣2＜x＜0，
∵当x＝0时，不等式x2﹣x﹣6＜0一定成立，
∴不等式x2﹣x﹣6＜0的解集为：﹣2＜x＜3．
六．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
6．（2023•常州）在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于点A（2，4）、B（4，n）．C是y轴上的一点，连接CA、CB．
（1）求一次函数、反比例函数的表达式；
（2）若△ABC的面积是6，求点C的坐标．
【答案】（1）反比例函数解析式为y＝；一次函数的解析为y＝﹣x+6．
（2）C（0，0）或（0，12）．
【解答】解：（1）∵点A（2，4）在反比例函数y＝的图象上，
∴m＝2×4＝8，
∴反比例函数解析式为y＝；
又∵点B（4，n）在y＝上，
∴n＝2，
∴点B的坐标为（4，2），
把A（2，4）和B（4，2）两点的坐标代入一次函数y＝kx+b得，
解得，
∴一次函数的解析为y＝﹣x+6．
（2）对于一次函数y＝﹣x+6，令x＝0，则y＝6，
即D（0，6），
根据题意得：S△ABC＝S△BCD﹣S△ACD＝＝6，
解得：CD＝6，
∴OC＝0或12，
∴C（0，0）或（0，12）．

七．二次函数的应用（共2小题）
7．（2023•宿迁）某商场销售A、B两种商品，每件进价均为20元．调查发现，如果售出A种20件，B种10件，销售总额为840元；如果售出A种10件，B种15件，销售总额为660元．
（1）求A、B两种商品的销售单价；
（2）经市场调研，A种商品按原售价销售，可售出40件，原售价每降价1元，销售量可增加10件；B种商品的售价不变，A种商品售价不低于B种商品售价．设A种商品降价m元，如果A、B两种商品销售量相同，求m取何值时，商场销售A、B两种商品可获得总利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）A种商品的销售单价为30元，B种商品的销售单价为24元；
（2）m取5时，商场销售A、B两种商品可获得总利润最大，最大利润是810元．
【解答】解：（1）设A种商品的销售单价为a元，B种商品的销售单价为b元，
由题意可得：，
解得，
答：A种商品的销售单价为30元，B种商品的销售单价为24元；
（2）设利润为w元，
由题意可得：w＝（30﹣m﹣20）（40+10m）+（24﹣20）（40+10m）＝﹣10（m﹣5）2+810，
∵A种商品售价不低于B种商品售价，
∴30﹣m≥24，
解得m≤6，
∴当m＝5时，w取得最大值，此时w＝810，
答：m取5时，商场销售A、B两种商品可获得总利润最大，最大利润是810元．
8．（2023•泰州）某公司的化工产品成本为30元/千克．销售部门规定：一次性销售1000千克以内时，以50元/千克的价格销售；一次性销售不低于1000千克时，每增加1千克降价0.01元．考虑到降价对利润的影响，一次性销售不低于1750千克时，均以某一固定价格销售．一次性销售利润y（元）与一次性销售量x（千克）的函数关系如图所示．
（1）当一次性销售800千克时利润为多少元？
（2）求一次性销售量在1000～1750kg之间时的最大利润；
（3）当一次性销售多少千克时利润为22100元？

【答案】（1）当一次性销售800千克时利润为16000元；
（2）一次性销售量在1000～1750kg之间时的最大利润为22500元；
（3）当一次性销售为1300或1700或1768千克时利润为22100元．
【解答】解：（1）根据题意，当x＝800时，y＝800×（50﹣30）＝800×20＝16000，
∴当一次性销售800千克时利润为16000元；
（2）设一次性销售量在1000～1750kg之间时，销售价格为50﹣30﹣0.01（x﹣1000）＝﹣0.01x+30，
∴y＝x（﹣0.01x+30）＝﹣0.01x2+30x＝﹣0.01（x2﹣3000x）＝﹣0.01（x﹣1500）2+22500，
∵﹣0.01＜0，1000≤x≤1750，
∴当x＝1500时，y有最大值，最大值为22500，
∴一次性销售量在1000～1750kg之间时的最大利润为22500元；
（3）①当一次性销售量在1000～1750kg之间时，利润为22100元，
∴﹣0.01（x﹣1500）2+22500＝22100，
解得x1＝1700，x2＝1300；
②当一次性销售不低于1750千克时，均以某一固定价格销售，
设此时函数解析式为y＝kx，
由（2）知，当x＝1750时，y＝﹣0.01（1750﹣1500）2+22500＝21875，
∴B（1750，21875），
把B的坐标代入解析式得：21875＝1750k，
解得k＝12.5，
∴当一次性销售不低于1750千克时函数解析式为y＝12.5x，
当y＝22100时，则22100＝12.5x，
解得x＝1768
综上所述，当一次性销售为1300或1700或1768千克时利润为22100元．
八．切线的性质（共2小题）
9．（2023•镇江）如图，将矩形ABCD（AD＞AB）沿对角线BD翻折，C的对应点为点C′，以矩形ABCD的顶点A为圆心，r为半径画圆，⊙A与BC′相切于点E，延长DA交⊙A于点F，连接EF交AB于点G．
（1）求证：BE＝BG；
（2）当r＝1，AB＝2时，求BC的长．

【答案】（1）证明见解析；
（2）2．
【解答】（1）证明：连接AE，
∵BC′与圆相切于E，
∴半径AE⊥BE，
∴∠BEG+∠AEG＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠ABC＝90°，DC＝AB＝2，
∴∠BAF＝90°，
∴∠AGF+∠F＝90°，
∵AF＝AE，
∴∠F＝∠AEG，
∴∠AGF＝∠BEG，
∵∠AGF＝∠BGE，
∴∠BEG＝∠BGE，
∴BE＝BG；
（2）解：∵∠AEB＝90°，AE＝1，AB＝2，
∴sin∠ABE＝＝，
∴∠ABE＝30°，
由折叠的性质得到∠CBD＝∠DBC′，
∵∠ABC＝90°，
∴∠CBD＝×（90°﹣30°）＝30°，
∴BC＝CD＝2．

10．（2023•南通）如图，等腰三角形OAB的顶角∠AOB＝120°，⊙O和底边AB相切于点C，并与两腰OA，OB分别相交于D，E两点，连接CD，CE．
（1）求证：四边形ODCE是菱形；
（2）若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．

【答案】（1）证明过程见解答；
（2）图中阴影部分的面积为﹣2．
【解答】（1）证明：连接OC，

∵⊙O和底边AB相切于点C，
∴OC⊥AB，
∵OA＝OB，∠AOB＝120°，
∴∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝60°，
∵OD＝OC，OC＝OE，
∴△ODC和△OCE都是等边三角形，
∴OD＝OC＝DC，OC＝OE＝CE，
∴OD＝CD＝CE＝OE，
∴四边形ODCE是菱形；
（2）解：连接DE交OC于点F，

∵四边形ODCE是菱形，
∴OF＝OC＝1，DE＝2DF，∠OFD＝90°，
在Rt△ODF中，OD＝2，
∴DF＝＝＝，
∴DE＝2DF＝2，
∴图中阴影部分的面积＝扇形ODE的面积﹣菱形ODCE的面积
＝﹣OC•DE
＝﹣×2×2
＝﹣2，
∴图中阴影部分的面积为﹣2．
九．切线的判定与性质（共1小题）
11．（2023•宿迁）（1）如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于点F，弦AD平分∠BAC，点E在AC上，连接DE、DB，　①（答案不唯一）　．求证：　②（答案不唯一）　；
从①DE与⊙O相切；②DE⊥AC中选择一个作为已知条件，余下的一个作为结论，将题目补充完整（填写序号），并完成证明过程；
（2）在（1）的前提下，若AB＝6，∠BAD＝30°，求阴影部分的面积．

【答案】（1）①（答案不唯一）；②（答案不唯一）；证明过程见解答；
（2）阴影部分的面积为．
【解答】解：（1）若选择：①作为条件，②作为结论，
如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于点F，弦AD平分∠BAC，点E在AC上，连接DE、DB，DE与⊙O相切，求证：DE⊥AC，
证明：连接OD，

∵DE与⊙O相切于点D，
∴∠ODE＝90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠DAB，
∵OA＝OD，
∴∠DAB＝∠ADO，
∴∠EAD＝∠ADO，
∴AE∥DO，
∴∠AED＝180°﹣∠ODE＝90°，
∴DE⊥AC；
若选择：②作为条件，①作为结论，
如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于点F，弦AD平分∠BAC，点E在AC上，连接DE、DB，DE⊥AC，求证：DE与⊙O相切，
证明：连接OD，

∵DE⊥AC，
∴∠AED＝90°，
AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠DAB，
∵OA＝OD，
∴∠DAB＝∠ADO，
∴∠EAD＝∠ADO，
∴AE∥DO，
∴∠ODE＝180°﹣∠AED＝90°，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE与⊙O相切；
故答案为：①（答案不唯一）；②（答案不唯一）；
（2）连接OF，DF，

∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵AB＝6，∠BAD＝30°，
∴BD＝AB＝3，AD＝BD＝3，
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠DAB＝30°，
在Rt△AED中，DE＝AD＝，AE＝DE＝，
∵∠EAD＝∠DAB＝30°，
∴∠DOB＝2∠DAB＝60°，∠DOF＝2∠EAD＝60°，
∵OD＝OF，
∴△DOF都是等边三角形，
∴∠ODF＝60°，
∴∠DOB＝∠ODF＝60°，
∴DF∥AB，
∴△ADF的面积＝△ODF的面积，
∴阴影部分的面积＝△AED的面积﹣扇形DOF的面积
＝AE•DE﹣
＝××﹣
＝﹣
＝，
∴阴影部分的面积为．
一十．作图—复杂作图（共1小题）
12．（2023•连云港）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交边AC于点D，连接BD，过点C作CE∥AB．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作图：过点B作⊙O的切线，交CE于点F；（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）
（2）在（1）的条件下，求证：BD＝BF．

【答案】（1）作图见解答过程；
（2）证明见解答过程．
【解答】（1）解：如图：

过B作BF⊥AB，交CE于F，直线BF即为所求直线；
（2）证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵AB∥CE，
∴∠ABC＝∠BCF，
∴∠BCF＝∠ACB，
∵点D在以AB为直径的圆上，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BDC＝90°，
∵BF为⊙O的切线，
∴∠ABF＝90°，
∵AB∥CE，
∴∠BFC+∠ABF＝180°，
∴∠BFC＝90°，
∴∠BDC＝∠BFC，
在△BCD和△BCF中，
，
∴△BCD≌△BCF（AAS），
∴BD＝BF．
一十一．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
13．（2023•泰州）如图，堤坝AB长为10m，坡度i为1：0.75，底端A在地面上，堤坝与对面的山之间有一深沟，山顶D处立有高20m的铁塔CD．小明欲测量山高DE，他在A处看到铁塔顶端C刚好在视线AB上，又在坝顶B处测得塔底D的仰角α为26°35′．求堤坝高及山高DE．（sin26°35′≈0.45，cos26°35′≈0.89，tan26°35′≈0.50，小明身高忽略不计，结果精确到1m）

【答案】堤坝高为8米，山高DE为20米．
【解答】解：过B作BH⊥AE于H，
∵坡度i为1：0.75，
∴设BH＝4xm，AH＝3xm，
∴AB＝＝5x＝10m，
∴x＝2，
∴AH＝6m，BH＝8m，
过B作BF⊥CE于F，
则EF＝BH＝8，BF＝EH，
设DF＝am，
∵α＝26°35′．
∴BF＝＝＝2a，
∴AE＝6+2a，
∵坡度i为1：0.75，
∴CE：AE＝（20+a+8）：（6+2a）＝1：0.75，
∴a＝12，
∴DF＝12（米），
∴DE＝DF+EF＝12+8＝20（米），
答：堤坝高为8米，山高DE为20米．

一十二．条形统计图（共2小题）
14．（2023•连云港）为了解本校八年级学生的暑期课外阅读情况，某数学兴趣小组抽取了50名学生进行问卷调查．
（1）下面的抽取方法中，应该选择 　C　．
A．从八年级随机抽取一个班的50名学生
B．从八年级女生中随机抽取50名学生
C．从八年级所有学生中随机抽取50名学生
（2）对调查数据进行整理，得到下列两幅尚不完整的统计图表：

暑期课外阅读情况统计表
阅读数量（本）
人数
0
5
1
25
2
a
3本及以上
5
合计
50
统计表中的a＝　15　，补全条形统计图；
（3）若八年级共有800名学生，估计八年级学生暑期课外阅读数量达到2本及以上的学生人数；
（4）根据上述调查情况，写一条你的看法．
【答案】（1）C；
（2）15，补全条形统计图见解答；
（3）320人；
（4）大多数学生暑期课外阅读数量不够多，要加强宣传课外阅读数的重要性（答案不唯一）．
【解答】解：（1）下面的抽取方法中，应该选择从八年级所有学生中随机抽取50名学生，
故答案为：C；
（2）由题意得，a＝50﹣5﹣25﹣5＝15，
补全条形统计图如下：

故答案为：15；
（3）800×＝320（人），
答：八年级学生暑期课外阅读数量达到2本及以上的学生人数约为320人；
（4）大多数学生暑期课外阅读数量不够多，要加强宣传课外阅读数的重要性（答案不唯一）．
15．（2023•镇江）香醋中有一种物质，其含量不同，风味不同，各风味香醋中该种物质的含量如表：
风味
偏甜
适中
偏酸
含量（mg/100ml）
71.2
89.8
110.9
某超市销售不同包装（塑料瓶装和玻璃瓶装）的以上三种风味的香醋，小明将该超市1﹣5月份售出的香醋数量绘制成如下的条形统计图：

已知1﹣5月份共售出150瓶香醋，其中“偏酸”的香醋占比40%．
（1）求出a、b的值；
（2）售出的玻璃瓶装香醋中的该种物质的含量的众数为 　110.9　mg/100ml，中位数为 　89.8　mg/100ml；
（3）根据小明绘制的条形统计图，你能获得哪些信息（写出一条即可）？
【答案】（1）18，20；（2）110.9，89.8；（3）人们更喜欢风味偏酸的香醋（答案不唯一，合理即可）．
【解答】解：（1）∵1﹣5月份共售出150瓶香醋，其中“偏酸”的香醋占比40%，
∴售出“偏酸”的香醋的数量为150×40%＝60（瓶）．
∴a+42＝60，解得a＝18．
∵15+b+17+38+a+42＝150，即130+b＝150，解得b＝20．
综上，a＝18，b＝20．
（2）售出的玻璃瓶装香醋的数量为20+38+42＝100（瓶）．
其中：风味偏甜的有20瓶，风味适中的有38瓶，风味偏酸的有42瓶，
∵售出的风味偏酸的数量最多，风味适中的数量居中，
∴售出的玻璃瓶装香醋中的该种物质的含量的众数为110.9mg/100ml，中位数为89.8mg/100ml．
故答案为：110.9，89.8．
（3）根据小明绘制的条形统计图可知，人们更喜欢风味偏酸的香醋（答案不唯一，合理即可）．
一十三．中位数（共1小题）
16．（2023•常州）为合理安排进、离校时间，学校调查小组对某一天八年级学生上学、放学途中的用时情况进行了调查．本次调查在八年级随机抽取了20名学生，建立以上学途中用时为横坐标、放学途中用时为纵坐标的平面直角坐标系，并根据调查结果画出相应的点，如图所示：

（1）根据图中信息，下列说法中正确的是 　①②③　（写出所有正确说法的序号）；
①这20名学生上学途中用时都没有超过30min；
②这20名学生上学途中用时在20min以内的人数超过一半；
③这20名学生放学途中用时最短为5min；
④这20名学生放学途中用时的中位数为15min．
（2）已知该校八年级共有400名学生，请估计八年级学生上学途中用时超过25min的人数；
（3）调查小组发现，图中的点大致分布在一条直线附近．请直接写出这条直线对应的函数表达式并说明实际意义．
【答案】（1）①②③；
（2）20；
（3）直线的解析式为：y＝x；这条直线可近似反映学生上学途中用时和放学途中用时一样．
【解答】解：（1）根据在坐标系中点的位置，可知：
这20名学生上学途中用时最长的时间为30min，故①说法正确；
这20名学生上学途中用时在20min以内的人数为：17人，超过一半，故②说法正确；
这20名学生放学途中用时最段的时间为5min，故③说法正确；
这20名学生放学途中用时的中位数是用时第10和第11的两名学生用时的平均数，在图中，用时第10和第11的两名学生的用时均小于15min，故这20名学生放学途中用时的中位数为也小于15min，即④说法错误；
故答案为：①②③．
（2）根据图中信息可知，上学途中用时超过25min的学生有1人，
故该校八年级学生上学途中用时超过25min的人数为400×120＝20（人）．
（3）如图：

设直线的解析式为：y＝kx+b，根据图象可得，直线经过点（10，10），（7，7），
将（10，10），（7，7）代入y＝kx+b，得：
，
解得：，
故直线的解析式为：y＝x；
则这条直线可近似反映学生上学途中用时和放学途中用时一样．
一十四．方差（共1小题）
17．（2023•南通）某校开展以“筑梦天宫、探秘苍穹”为主题的航天知识竞赛，赛后在七、八年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩，进行整理、分析，得出有关统计图表．
抽取的学生竞赛成绩统计表
年级
平均数
中位数
众数
方差
七年级
82
83
87
52.6
八年级
82
84
91
65.6

注：设竞赛成绩为x（分），规定：
90≤x≤100为优秀；75≤x＜90为良好；
60≤x＜75为合格；x＜60为不合格．
（1）若该校八年级共有300名学生参赛，估计优秀等次的约有 　90　人；
（2）你认为七、八年级中哪个年级学生的竞赛成绩更好些？请从两个方面说明理由．

【答案】（1）90；
（2）八年级成绩较好，理由见解析．
【解答】解：（1）若该校八年级共有300名学生参赛，估计优秀等次的约有300×＝90（人），
故答案为：90；
（2）八年级成绩较好，理由如下：
因为七、八年级的平均数相等，而八年级的众数和中位数大于七年级的众数和中位数，
所以八年级得分高的人数较多，即八年级成绩较好（答案不唯一）．
一十五．列表法与树状图法（共1小题）
18．（2023•南通）有同型号的A，B两把锁和同型号的a，b，c三把钥匙，其中a钥匙只能打开A锁，b钥匙只能打开B锁，c钥匙不能打开这两把锁．
（1）从三把钥匙中随机取出一把钥匙，取出c钥匙的概率等于 　　；
（2）从两把锁中随机取出一把锁，从三把钥匙中随机取出一把钥匙，求取出的钥匙恰好能打开取出的锁的概率．
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）∵有同型号的a，b，c三把钥匙，
∴从三把钥匙中随机取出一把钥匙，取出c钥匙的概率等于，
故答案为：；
（2）画树状图如下：

共有6种等可能的结果，其中取出的钥匙恰好能打开取出的锁的结果有2种，即Aa、Bb，
∴取出的钥匙恰好能打开取出的锁的概率为＝．