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高中数学5.3 导数在研究函数中的应用示范课ppt课件
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这是一份高中数学5.3 导数在研究函数中的应用示范课ppt课件，共55页。PPT课件主要包含了目录索引，本节要点归纳等内容，欢迎下载使用。
1.了解函数的最大值、最小值的含义.2.理解导数与函数最大(小)值的关系.3.会利用导数求函数的最大(小)值.4.了解导数在解决利润最大、效率最高、用料最省等实际问题中的应用.5.掌握利用导数解决最优化问题的方法
基础落实·必备知识全过关
重难探究·能力素养全提升
成果验收·课堂达标检测
知识点1 函数在闭区间上的最大(小)值一般地,如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条 的曲线,那么它必有最大值和最小值.
不一定在区间端点处取得,且 最大值和最小值都是唯一的
名师点睛1.给定的区间必须是闭区间,如果是开区间,尽管函数图象是连续的,那么它也不一定有最大值和最小值.例如函数f(x)= 在区间(0,2)上的图象是连续不断的曲线,但在该区间上,函数f(x)既没有最大值,也没有最小值.2.所给函数的图象必须是连续曲线,否则不一定有最大值和最小值,例如函数f(x)= 在区间[-1,1]上只有最大值,没有最小值.3.函数的最大(小)值是一个整体性概念,最大值(最小值)必须是整个区间内所有函数值中的最大值(最小值).4.极值只能在函数区间的内部取得,而最大(小)值可以在区间的端点取得,有极值的不一定有最大(小)值,有最大(小)值的不一定有极值,极值有可能是最大(小)值,最大(小)值只要不在端点处则一定是极值.
过关自诊1.极值与最值有何区别和联系?
提示 (1)函数的极值表示函数在某一点附近的局部性质,是在局部对函数值的比较;函数的最值是表示函数在一个区间上的情况,是对函数在整个区间上的函数值的比较.(2)函数在闭区间上的极值不一定是最值,需要将极值和区间端点的函数值进行比较.(3)如果连续函数在区间(a,b)内只有一个极值,那么极大值就是最大值,极小值就是最小值.
2.下列结论正确的是( )A.若f(x)在区间[a,b]上有极大值,则极大值一定是区间[a,b]上的最大值B.若f(x)在区间[a,b]上有极小值,则极小值一定是区间[a,b]上的最小值C.若f(x)在区间[a,b]上有极大值,则极大值一定是在x=a和x=b处取得D.若f(x)在区间[a,b]上连续,则f(x)在区间[a,b]上存在最大值和最小值
解析 函数f(x)在区间[a,b]上的极值不一定是最值,最值也不一定是极值,极值一定不会在端点处取得,而若f(x)在区间[a,b]上连续,则f(x)在区间[a,b]上一定存在最大值和最小值.
知识点2 函数在闭区间[a,b]上最大(小)值的求法一般地,求函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下:1.求函数y=f(x)在区间(a,b)内的 ; 2.将函数y=f(x)的各极值与 的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是 ,最小的一个是 .
名师点睛如果函数f(x)在闭区间[a,b]上恰好是单调函数,那么函数的最大(小)值恰好在两个端点处取到.当f(x)在闭区间[a,b]上单调递增时,f(a)是最小值,f(b)是最大值;当f(x)在闭区间[a,b]上单调递减时,f(a)是最大值,f(b)是最小值.
过关自诊[北师大版教材例题]求函数f(x)=x3-2x2+5在区间[-2,2]上的最值.
解 f'(x)=3x2-4x.解方程f'(x)=0,
比较这4个数的大小,可知:函数f(x)=x3-2x2+5在区间[-2,2]上的最大值是5,最小值是-11.
知识点3 生活中的优化问题在实际生产生活中,求利润最大、用料最省、效率最高等问题,通常称为优化问题.名师点睛用导数解决实际生活问题的基本思路
过关自诊1.在实际问题中,若在定义域内函数只有一个极值点,则函数在该点处取最大(小)值吗?你能列举几个关于利润的等量关系吗?
提示 根据函数的极值与单调性的关系可以判断,函数在该点处取最大(小)值,并且极小值点对应最小值,极大值点对应最大值.举例:利润=收入-成本,利润=每件产品的利润×销售件数.
2.要做一个圆锥形漏斗,其母线长为20 cm,要使其体积最大,则高应为( )
探究点一 求函数的最大(小)值
角度1.求函数在闭区间上的最大(小)值【例1】 求下列函数在相应区间上的最大值与最小值:(1)f(x)=x3-3x2-10,x∈[-1,1];
分析 求函数的导数,得到函数的极值点,先求出极值,再结合定义域,将所有极值与区间端点的函数值进行比较求得最大(小)值.
所以当x=-1时,函数取最小值f(-1)=-14,当x=0时,函数取最大值f(0)=-10.
解 (1)f'(x)=3x2-6x=3x(x-2),令f'(x)=0,得x=0(x=2舍去).当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
规律方法 求解函数在闭区间上的最值,需注意以下三点:
变式训练1求下列函数在所给区间上的最大值与最小值:
当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
所以当x=-3时,f(x)取得极小值,也就是最小值,故f(x)的最小值为f(-3)=27,当x=-1时,f(x)取得最大值f(-1)=55.
角度2.求函数在开区间或无穷区间上的最大(小)值【例2】 求下列函数的最大值与最小值:
分析 没有给定相应的闭区间,因此应分析函数在其定义域上的单调性与极值情况,根据单调性与极值画出函数的大致图象,结合图象求出最大值与最小值.
极小值,在x=3处取得极大值,又当x=1时,f(x)=0;当x<1时,f(x)<0;当x>1时,f(x)>0.据此可以画出函数的大致图象,如图所示.
(2)函数f(x)的定义域是R,且f'(x)=2x·ex+(x2-3)ex=ex(x2+2x-3),令f'(x)>0,得x>1或x<-3;令f'(x)<0,得-3
规律方法 求函数在开区间或无穷区间上最大(小)值的方法求函数在无穷区间或开区间上的最大(小)值,不仅要研究其极值情况,还要研究其单调性,并通过单调性和极值情况,画出函数的大致图象,然后借助图象观察得到函数的最大(小)值.
探究点二 含参数的最大(小)值问题
角度1.求含参数的函数的最大(小)值
解 (1)f(x)的定义域是(0,+∞).
①当a>0时,令f'(x)>0,解得0a,故f(x)在区间(0,a)上单调递增,在区间(a,+∞)上单调递减.②当a≤0时,f'(x)<0,f(x)在区间(0,+∞)上单调递减.综上,当a>0时,f(x)在区间(0,a)上单调递增,在区间(a,+∞)上单调递减;当a≤0时,f(x)在区间(0,+∞)上单调递减.
规律方法 求解函数在区间上的最大(小)值,需注意以下几点:(1)对函数进行准确求导,并检验f'(x)=0的根是否在给定区间内.(2)根据极值点与所给区间的相对位置关系(即极值点是否在区间内)确定分类讨论的标准后确定函数的极值.(3)分类讨论后比较极值与端点函数值的大小,确定最大(小)值.
变式训练3已知a是实数,函数f(x)=x2(x-a),求f(x)在区间[0,2]上的最大值.
角度2.与函数最大(小)值和参数有关的综合问题【例4】 设函数f(x)=tx2+2t2x+t-1(x∈R,t>0).(1)求f(x)的最小值h(t);(2)若h(t)<-2t+m对t∈(0,2)恒成立,求实数m的取值范围.分析(1)利用配方法,即可求出二次函数f(x)的最小值h(t);(2)构造函数g(t)=h(t)-(-2t+m),只需使g(t)在区间(0,2)内的最大值小于零即可求得m的取值范围.
解 (1)∵f(x)=t(x+t)2-t3+t-1(x∈R,t>0),∴当x=-t时,f(x)取最小值,即f(-t)=-t3+t-1,即h(t)=-t3+t-1.
(2)令g(t)=h(t)-(-2t+m)=-t3+3t-1-m,0
变式探究若将本例(2)的条件改为“存在t∈(0,2],使h(t)<-2t+m成立”,则实数m的取值范围如何求解?
解 令g(t)=h(t)-(-2t+m)=-t3+3t-1-m,由g'(t)=-3t2+3=0,得t=1或t=-1(不合题意,舍去).当t变化时,g'(t),g(t)的变化情况如下表:
易知g(t)在(0,2]上有最小值g(2)=-3-m,存在t∈(0,2],使h(t)<-2t+m成立,等价于g(t)的最小值g(2)<0.∴-3-m<0,∴m>-3,故实数m的取值范围为(-3,+∞).
规律方法 分离参数求解不等式恒成立问题的步骤
探究点三 生活中的优化问题
【例5】 某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足关系式y= +10(x-6)2,其中3
f'(x)=10[(x-6)2+2(x-3)(x-6)]=30(x-4)(x-6),于是当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
由上表可得,x=4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点,也是最大值点,所以,当x=4时,函数f(x)取得最大值,且最大值等于42.故当销售价格为4元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大.
规律方法 利用导数解决生活中优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系,列出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系y=f(x);(2)求函数的导数f'(x),解方程f'(x)=0;(3)比较函数在区间端点和极值点处的函数值的大小,其中最大(小)者为f(x)在区间上的最大(小)值.求解时应注意:(1)合理选择变量,正确写出函数解析式,给出函数定义域;(2)与实际问题相联系;(3)必要时注意分类讨论思想的应用.
变式训练4[北师大版教材例题]如图①,一边长为48 cm的正方形铁皮,四角各截去一个大小相同的小正方形,然后折起,可以做成一个无盖长方体容器,如图②.所得容器的容积V(单位:cm3)是关于截去的小正方形的边长x(单位:cm)的函数.
(1)随着x的变化,容积V是如何变化的?(2)截去的小正方形的边长为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少?
解 (1)根据题意,可得V=V(x)=(48-2x)2x.由实际情况可知函数V(x)的定义域为{x|0
V=(48-2x)2x的大致图象如图.根据对函数变化规律的讨论可知:当0
探究点四 构造函数证明函数不等式
当-10,即f(x)在(-1,0)上单调递增;当x>0时,f'(x)<0,即f(x)在(0,+∞)上单调递减.于是函数f(x)在(-1,+∞)上的最大值为f(x)max=f(0)=0,因此,当x>-1时,f(x)≤f(0)=0,即ln(x+1)-x≤0,即ln(x+1)≤x(右边不等式得证).
当x∈(-1,0)时,g'(x)<0;当x∈(0,+∞)时,g'(x)>0.即g(x)在(-1,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,故函数g(x)在(-1,+∞)上的最小值为g(x)min=g(0)=0,
规律方法 在函数不等式的证明中,若不等式的两边含有自变量时,可移项后构造函数,证明所构造的函数的最大(小)值与0的大小关系,常见的方法是:欲证明f(x)>g(x),可以构造函数F(x)=f(x)-g(x),只需要证明函数F(x)的最小值大于0.形如g(x)
2.函数f(x)=(x+1)ex的最小值是 .
解析 由f(x)=(x+1)ex,得f'(x)=(x+2)ex,当x>-2时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当x<-2时,f'(x)<0,f(x)单调递减,因此当x=-2时,函数有最小值,最小值为
4.函数f(x)=x3+2ax2+1在区间[0,1]上的最小值为f(1),则a的取值范围为 .
解析 f'(x)=3x2+4ax,f(x)在[0,1]上的最小值为f(1),说明f(x)在[0,1]上单调递减,所以当x∈[0,1]时,f'(x)≤0恒成立,即3x+4a≤0恒成立.所以
5.做一个容积为256 m3的长方体水箱,它的底面是正方形,该水箱无盖,当所用材料最省时(即所用材料的面积最小),它的高为 m.
1.了解函数的最大值、最小值的含义.2.理解导数与函数最大(小)值的关系.3.会利用导数求函数的最大(小)值.4.了解导数在解决利润最大、效率最高、用料最省等实际问题中的应用.5.掌握利用导数解决最优化问题的方法
基础落实·必备知识全过关
重难探究·能力素养全提升
成果验收·课堂达标检测
知识点1 函数在闭区间上的最大(小)值一般地,如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条 的曲线,那么它必有最大值和最小值.
不一定在区间端点处取得,且 最大值和最小值都是唯一的
名师点睛1.给定的区间必须是闭区间,如果是开区间,尽管函数图象是连续的,那么它也不一定有最大值和最小值.例如函数f(x)= 在区间(0,2)上的图象是连续不断的曲线,但在该区间上,函数f(x)既没有最大值,也没有最小值.2.所给函数的图象必须是连续曲线,否则不一定有最大值和最小值,例如函数f(x)= 在区间[-1,1]上只有最大值,没有最小值.3.函数的最大(小)值是一个整体性概念,最大值(最小值)必须是整个区间内所有函数值中的最大值(最小值).4.极值只能在函数区间的内部取得,而最大(小)值可以在区间的端点取得,有极值的不一定有最大(小)值,有最大(小)值的不一定有极值,极值有可能是最大(小)值,最大(小)值只要不在端点处则一定是极值.
过关自诊1.极值与最值有何区别和联系?
提示 (1)函数的极值表示函数在某一点附近的局部性质,是在局部对函数值的比较;函数的最值是表示函数在一个区间上的情况,是对函数在整个区间上的函数值的比较.(2)函数在闭区间上的极值不一定是最值,需要将极值和区间端点的函数值进行比较.(3)如果连续函数在区间(a,b)内只有一个极值,那么极大值就是最大值,极小值就是最小值.
2.下列结论正确的是( )A.若f(x)在区间[a,b]上有极大值,则极大值一定是区间[a,b]上的最大值B.若f(x)在区间[a,b]上有极小值,则极小值一定是区间[a,b]上的最小值C.若f(x)在区间[a,b]上有极大值,则极大值一定是在x=a和x=b处取得D.若f(x)在区间[a,b]上连续,则f(x)在区间[a,b]上存在最大值和最小值
解析 函数f(x)在区间[a,b]上的极值不一定是最值,最值也不一定是极值,极值一定不会在端点处取得,而若f(x)在区间[a,b]上连续,则f(x)在区间[a,b]上一定存在最大值和最小值.
知识点2 函数在闭区间[a,b]上最大(小)值的求法一般地,求函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下:1.求函数y=f(x)在区间(a,b)内的 ; 2.将函数y=f(x)的各极值与 的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是 ,最小的一个是 .
名师点睛如果函数f(x)在闭区间[a,b]上恰好是单调函数,那么函数的最大(小)值恰好在两个端点处取到.当f(x)在闭区间[a,b]上单调递增时,f(a)是最小值,f(b)是最大值;当f(x)在闭区间[a,b]上单调递减时,f(a)是最大值,f(b)是最小值.
过关自诊[北师大版教材例题]求函数f(x)=x3-2x2+5在区间[-2,2]上的最值.
解 f'(x)=3x2-4x.解方程f'(x)=0,
比较这4个数的大小,可知:函数f(x)=x3-2x2+5在区间[-2,2]上的最大值是5,最小值是-11.
知识点3 生活中的优化问题在实际生产生活中,求利润最大、用料最省、效率最高等问题,通常称为优化问题.名师点睛用导数解决实际生活问题的基本思路
过关自诊1.在实际问题中,若在定义域内函数只有一个极值点,则函数在该点处取最大(小)值吗?你能列举几个关于利润的等量关系吗?
提示 根据函数的极值与单调性的关系可以判断,函数在该点处取最大(小)值,并且极小值点对应最小值,极大值点对应最大值.举例:利润=收入-成本,利润=每件产品的利润×销售件数.
2.要做一个圆锥形漏斗,其母线长为20 cm,要使其体积最大,则高应为( )
探究点一 求函数的最大(小)值
角度1.求函数在闭区间上的最大(小)值【例1】 求下列函数在相应区间上的最大值与最小值:(1)f(x)=x3-3x2-10,x∈[-1,1];
分析 求函数的导数,得到函数的极值点,先求出极值,再结合定义域,将所有极值与区间端点的函数值进行比较求得最大(小)值.
所以当x=-1时,函数取最小值f(-1)=-14,当x=0时,函数取最大值f(0)=-10.
解 (1)f'(x)=3x2-6x=3x(x-2),令f'(x)=0,得x=0(x=2舍去).当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
规律方法 求解函数在闭区间上的最值,需注意以下三点:
变式训练1求下列函数在所给区间上的最大值与最小值:
当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
所以当x=-3时,f(x)取得极小值,也就是最小值,故f(x)的最小值为f(-3)=27,当x=-1时,f(x)取得最大值f(-1)=55.
角度2.求函数在开区间或无穷区间上的最大(小)值【例2】 求下列函数的最大值与最小值:
分析 没有给定相应的闭区间,因此应分析函数在其定义域上的单调性与极值情况,根据单调性与极值画出函数的大致图象,结合图象求出最大值与最小值.
极小值,在x=3处取得极大值,又当x=1时,f(x)=0;当x<1时,f(x)<0;当x>1时,f(x)>0.据此可以画出函数的大致图象,如图所示.
(2)函数f(x)的定义域是R,且f'(x)=2x·ex+(x2-3)ex=ex(x2+2x-3),令f'(x)>0,得x>1或x<-3;令f'(x)<0,得-3
规律方法 求函数在开区间或无穷区间上最大(小)值的方法求函数在无穷区间或开区间上的最大(小)值,不仅要研究其极值情况,还要研究其单调性,并通过单调性和极值情况,画出函数的大致图象,然后借助图象观察得到函数的最大(小)值.
探究点二 含参数的最大(小)值问题
角度1.求含参数的函数的最大(小)值
解 (1)f(x)的定义域是(0,+∞).
①当a>0时,令f'(x)>0,解得0
规律方法 求解函数在区间上的最大(小)值,需注意以下几点:(1)对函数进行准确求导,并检验f'(x)=0的根是否在给定区间内.(2)根据极值点与所给区间的相对位置关系(即极值点是否在区间内)确定分类讨论的标准后确定函数的极值.(3)分类讨论后比较极值与端点函数值的大小,确定最大(小)值.
变式训练3已知a是实数,函数f(x)=x2(x-a),求f(x)在区间[0,2]上的最大值.
角度2.与函数最大(小)值和参数有关的综合问题【例4】 设函数f(x)=tx2+2t2x+t-1(x∈R,t>0).(1)求f(x)的最小值h(t);(2)若h(t)<-2t+m对t∈(0,2)恒成立,求实数m的取值范围.分析(1)利用配方法,即可求出二次函数f(x)的最小值h(t);(2)构造函数g(t)=h(t)-(-2t+m),只需使g(t)在区间(0,2)内的最大值小于零即可求得m的取值范围.
解 (1)∵f(x)=t(x+t)2-t3+t-1(x∈R,t>0),∴当x=-t时,f(x)取最小值,即f(-t)=-t3+t-1,即h(t)=-t3+t-1.
(2)令g(t)=h(t)-(-2t+m)=-t3+3t-1-m,0
变式探究若将本例(2)的条件改为“存在t∈(0,2],使h(t)<-2t+m成立”,则实数m的取值范围如何求解?
解 令g(t)=h(t)-(-2t+m)=-t3+3t-1-m,由g'(t)=-3t2+3=0,得t=1或t=-1(不合题意,舍去).当t变化时,g'(t),g(t)的变化情况如下表:
易知g(t)在(0,2]上有最小值g(2)=-3-m,存在t∈(0,2],使h(t)<-2t+m成立,等价于g(t)的最小值g(2)<0.∴-3-m<0,∴m>-3,故实数m的取值范围为(-3,+∞).
规律方法 分离参数求解不等式恒成立问题的步骤
探究点三 生活中的优化问题
【例5】 某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足关系式y= +10(x-6)2,其中3
f'(x)=10[(x-6)2+2(x-3)(x-6)]=30(x-4)(x-6),于是当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
由上表可得,x=4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点,也是最大值点,所以,当x=4时,函数f(x)取得最大值,且最大值等于42.故当销售价格为4元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大.
规律方法 利用导数解决生活中优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系,列出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系y=f(x);(2)求函数的导数f'(x),解方程f'(x)=0;(3)比较函数在区间端点和极值点处的函数值的大小,其中最大(小)者为f(x)在区间上的最大(小)值.求解时应注意:(1)合理选择变量,正确写出函数解析式,给出函数定义域;(2)与实际问题相联系;(3)必要时注意分类讨论思想的应用.
变式训练4[北师大版教材例题]如图①,一边长为48 cm的正方形铁皮,四角各截去一个大小相同的小正方形,然后折起,可以做成一个无盖长方体容器,如图②.所得容器的容积V(单位:cm3)是关于截去的小正方形的边长x(单位:cm)的函数.
(1)随着x的变化,容积V是如何变化的?(2)截去的小正方形的边长为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少?
解 (1)根据题意,可得V=V(x)=(48-2x)2x.由实际情况可知函数V(x)的定义域为{x|0
V=(48-2x)2x的大致图象如图.根据对函数变化规律的讨论可知:当0
探究点四 构造函数证明函数不等式
当-1
当x∈(-1,0)时,g'(x)<0;当x∈(0,+∞)时,g'(x)>0.即g(x)在(-1,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,故函数g(x)在(-1,+∞)上的最小值为g(x)min=g(0)=0,
规律方法 在函数不等式的证明中,若不等式的两边含有自变量时,可移项后构造函数,证明所构造的函数的最大(小)值与0的大小关系,常见的方法是:欲证明f(x)>g(x),可以构造函数F(x)=f(x)-g(x),只需要证明函数F(x)的最小值大于0.形如g(x)
2.函数f(x)=(x+1)ex的最小值是 .
解析 由f(x)=(x+1)ex,得f'(x)=(x+2)ex,当x>-2时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当x<-2时,f'(x)<0,f(x)单调递减,因此当x=-2时,函数有最小值,最小值为
4.函数f(x)=x3+2ax2+1在区间[0,1]上的最小值为f(1),则a的取值范围为 .
解析 f'(x)=3x2+4ax,f(x)在[0,1]上的最小值为f(1),说明f(x)在[0,1]上单调递减,所以当x∈[0,1]时,f'(x)≤0恒成立,即3x+4a≤0恒成立.所以
5.做一个容积为256 m3的长方体水箱,它的底面是正方形,该水箱无盖,当所用材料最省时(即所用材料的面积最小),它的高为 m.
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