新高考数学一轮复习提升练习考向45 二项式定理 (含解析)

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考向45  二项式定理1．（2021·山东·高考真题）的二项展开式中，所有项的二项式系数之和是（    ）A．0 B． C． D．32【答案】D【分析】根据的二项展开式系数之和为求解即可【详解】的二项展开式中所有项的二项式系数之和为故选：D2．（2021·湖南·高考真题）的展开式中常数项是______．（用数字作答）【答案】15【分析】写出二项展开式的通项，由的指数为0求得值，则答案可求．【详解】解：由．取，得．展开式中常数项为．故答案为：15． 1.求二项展开式的特定项问题,实质是考查通项的特点,一般需要建立方程求k,再将k的值代回通项求解,注意k的取值范围（）.（1）第项：：此时k+1=m,直接代入通项.（2）常数项：即这项中不含“变元”,令通项中“变元”的幂指数为0建立方程.（3）有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程.2．解题技巧：（1）形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可．（2）对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．（3）若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝. 1. 二项式定理(a+b)n=an+an-1b+…+an-rbr+…+bn(n∈N*)2. 二项展开式的通项 Tr+1=an-rbr,它表示第r+1项3. 二项式系数，，…，【知识拓展】1.=1，=1，=+. 2.= (0≤m≤n). 3.二项式系数先增后减中间项最大.当n为偶数时,第+1项的二项式系数最大,最大值为;当n为奇数时,第项和第项的二项式系数最大,最大值为或.4.各二项式系数和:+++…+=2n，+++…=+++…=2n-1. 1．（2021·云南大理·模拟预测（理））二项式的展开式中的系数是，则（    ）A． B．1 C． D．2．（2021·广西南宁·模拟预测（理））已知的展开式中各项系数的和为3，则该展开式中常数项为（    ）A．80 B．160 C．240 D．3203．（2021·浙江嘉兴·模拟预测）已知多项式，则 ______，______.4．（2021·上海·模拟预测）二项展开式中的x的有理项的系数和为______ 1．（2021·上海·模拟预测）二项式的展开式中，其中是有理项的项数共有（    ）A．4项 B．7项 C．5项 D．6项2．（2021·辽宁·抚顺市第二中学模拟预测）的展开式中，第二项为（    ）A． B． C． D．3．（2021·吉林长春·一模（理））展开式中，的系数是（    ）A． B． C． D．4．（2021·全国·模拟预测）在的二项展开式中，的系数为（    ）A．40 B．20 C．-40 D．-205．（2021·全国·模拟预测）展开式中的系数是（    ）A．10 B． C．5 D．6．（2021·浙江·模拟预测）的展开式中的常数项为32，则实数a的值为________；展开式中含项的系数为________.7．（2021·全国·模拟预测）若二项式展开式的各项系数和为81，则展开式中的常数项是___________.8．（2021·上海·模拟预测）在的展开式中，与项的系数和为___________.（结果用数值表示）9．（2021·全国·模拟预测（理））已知二项式的展开式中，常数项为，则实数___________.10．（2021·全国·模拟预测（理））已知的展开式中的系数为，的展开式中的系数为，，则非零常数的值为________．11．（2021·甘肃·嘉峪关市第一中学三模（理））若展开式的二项式系数之和为64，则展开式中的常数项是________．12．（2021·全国·模拟预测）已知的展开式的二项式系数和为128，若，则________．  1．（2020·山东·高考真题）在的二项展开式中，第项的二项式系数是（    ）A． B． C． D．2．（2021·江苏·高考真题）已知的展开式中的系数为40，则等于（    ）A．5 B．6 C．7 D．83．（2020·北京·高考真题）在的展开式中，的系数为（    ）．A． B．5 C． D．104．（2020·全国·高考真题（理））的展开式中x3y3的系数为（    ）A．5 B．10C．15 D．205．（2019·全国·高考真题（理））（1+2x2 ）（1+x）4的展开式中x3的系数为A．12 B．16 C．20 D．246．（2021·浙江·高考真题）已知多项式，则___________，___________.7．（2020·浙江·高考真题）设，则________；________．8．（2021·天津·高考真题）在的展开式中，的系数是__________．9．（2020·天津·高考真题）在的展开式中，的系数是_________．10．（2019·江苏·高考真题）设.已知.（1）求n的值；（2）设，其中，求的值. 1．【答案】B【分析】根据多项式乘法法则及排列组合知识即可求解.【详解】解：可以看作8个因式的乘积，根据多项式乘法法则，展开式中项需要从8个因式中取7个和1个相乘得到，所以由排列组合的知识有展开式中的系数，解得，故选：B.2．【答案】D【分析】令解得，再求得展开式的通项公式求解.【详解】令得，解得，则展开式的通项为，则展开式中常数项为．故选：D3．【答案】        【分析】设，利用赋值法可得出，求得，利用赋值法可得出的值.【详解】设，则，因为，所以，，因此，.故答案为：；.4．【答案】255【分析】易得展开式的通项为，再由为有理数求解.【详解】展开式的通项为，若为有理数，则，所以x的有理项的系数和为，故答案为：255  1．【答案】D【分析】根据二项展开式的通项公式，由的指数值为整数即可解出．【详解】二项式的展开式中，通项公式为，，时满足题意，共6项．故选：D.2．【答案】C【分析】先表示出展开式的通项，再令r=1可求得.【详解】,第二项是，即=故选：C3．【答案】B【分析】写出展开式的通项公式，令，即得解【详解】展开式的通项为，令，故，故选：B.4．【答案】A【分析】由二项式得到展开式通项，进而确定的系数.【详解】的展开式的通项，令，解得，故的系数为，故选：A.5．【答案】B【分析】前一个括号内有与两项，，，所以分两种情况讨论得解.【详解】前一个括号内有与两项，，展开式第项，，展开式系数为，，时，不能出现∴的系数为．故选：B．6．【答案】        【分析】先求出的展开式的通项公式为，由，可得，从而可由题意可得，可求出a的值，含项的系数由展开式的常数项加上二次项系数【详解】因为的展开式的通项公式为，所以的展开式中的常数项为，解得.所以的展开式中含项的系数为.故答案为：，7．【答案】32【分析】利用赋值法求得，结合二项式展开式的通项公式求得展开式中的常数项.【详解】令得，二项式展开式的通项公式为，由解得，所以展开式中的常数项为.故答案为：8．【答案】【分析】根据二项展开式的通项公式以及多项式的乘法原理即可解出．【详解】因为展开式的通项公式为，所以的展开式中的系数为，项的系数为，即与项的系数和为．故答案为：．9．【答案】2【分析】写出二项式的展开式公式，令，结合题意即可求出参数a【详解】二项式的展开式通项公式为 令，解得，因为常数项为14，所以，解得，故答案为：210．【答案】【分析】根据题设二项式分别写出的系数、，由已知等量关系列方程求参数的值即可.【详解】的展开式中含的项为：，∴，的展开式中含的项为：，∴，由，即，解得．故答案为：11．【答案】60【分析】根据二项式系数之和，可求得n值，求得展开式的通项公式，令，求得k值，计算即可得答案.【详解】根据二项式系数之和为64，可得，解得，所以展开式的通项公式为，令，可得，所以展开式中的常数项为.故答案为：6012．【答案】【分析】根据二项式系数和，可求得n值，设，则，所求即为，根据展开式的通项公式，即可求得，即可得答案.【详解】由的展开式的二项式系数和为128，则，∴．设，则，则，∴，，∴．故答案为：1．【答案】A【分析】本题可通过二项式系数的定义得出结果.【详解】第项的二项式系数为，故选：A.2．【答案】A【分析】写出x2项，进一步即可解出.【详解】，所以.故选：A.3．【答案】C【分析】首先写出展开式的通项公式，然后结合通项公式确定的系数即可.【详解】展开式的通项公式为：，令可得：，则的系数为：.故选：C.【点睛】二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．4．【答案】C【分析】求得展开式的通项公式为（且），即可求得与展开式的乘积为或形式，对分别赋值为3，1即可求得的系数，问题得解.【详解】展开式的通项公式为（且）所以的各项与展开式的通项的乘积可表示为：和在中，令，可得：，该项中的系数为，在中，令，可得：，该项中的系数为所以的系数为故选：C【点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式的通项公式，还考查了赋值法、转化能力及分析能力，属于中档题.5．【答案】A【分析】本题利用二项展开式通项公式求展开式指定项的系数．【详解】由题意得x3的系数为，故选A．【点睛】本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数．6．【答案】;    .    【分析】根据二项展开式定理，分别求出的展开式，即可得出结论.【详解】， ，所以，，所以.故答案为：.7．【答案】        【分析】利用二项式展开式的通项公式计算即可.【详解】的通项为，令，则，故；.故答案为：；.【点晴】本题主要考查利用二项式定理求指定项的系数问题，考查学生的数学运算能力，是一道基础题.8．【答案】160【分析】求出二项式的展开式通项，令的指数为6即可求出.【详解】的展开式的通项为，令，解得，所以的系数是.故答案为：160.9．【答案】10【分析】写出二项展开式的通项公式，整理后令的指数为2，即可求出．【详解】因为的展开式的通项公式为，令，解得．所以的系数为．故答案为：．【点睛】本题主要考查二项展开式的通项公式的应用，属于基础题．10．【答案】（1）；（2）-32.【分析】(1)首先由二项式展开式的通项公式确定的值，然后求解关于的方程可得的值；(2)解法一：利用(1)中求得的n的值确定有理项和无理项从而可得a,b的值，然后计算的值即可；解法二：利用(1)中求得的n的值，由题意得到的展开式，最后结合平方差公式即可确定的值.【详解】（1）因为，所以，．因为，所以，解得．（2）由（1）知，．．解法一：因为，所以，从而．解法二：．因为，所以．因此．【点睛】本题主要考查二项式定理、组合数等基础知识，考查分析问题能力与运算求解能力.