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    2021年山东省泰安市中考数学真题试卷 解析版

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    这是一份2021年山东省泰安市中考数学真题试卷 解析版,共36页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    2021年山东省泰安市中考数学试卷
    一、选择题(本大题共12小题,在每小题给出的四个选项中,只有一个是正确的,请把正确的选项选出来,每小题选对得4分,选错、不选或选出的答案超过一个,均记零分)
    1.下列各数:﹣4,﹣2.8,0,|﹣4|,其中比﹣3小的数是(  )
    A.﹣4 B.|﹣4| C.0 D.﹣2.8
    2.下列运算正确的是(  )
    A.2x2+3x3=5x5 B.(﹣2x)3=﹣6x3
    C.(x+y)2=x2+y2 D.(3x+2)(2﹣3x)=4﹣9x2
    3.如图是由若干个同样大小的小正方体所搭几何体的俯视图,小正方形中的数字表示在该位置小正方体的个数,则这个几何体的左视图是(  )

    A. B. C. D.
    4.如图,直线m∥n,三角尺的直角顶点在直线m上,且三角尺的直角被直线m平分,若∠1=60°,则下列结论错误的是(  )

    A.∠2=75° B.∠3=45° C.∠4=105° D.∠5=130°
    5.为了落实“作业、睡眠、手机、读物、体质”等五项管理要求,了解学生的睡眠状况,调查了一个班50名学生每天的睡眠时间,绘成睡眠时间频数分布直方图如图所示,则所调查学生睡眠时间的众数,中位数分别为(  )

    A.7h,7h B.8h,7.5h C.7h,7.5h D.8h,8h
    6.如图,在△ABC中,AB=6,以点A为圆心,3为半径的圆与边BC相切于点D,与AC,AB分别交于点E和点G,点F是优弧GE上一点,∠CDE=18°,则∠GFE的度数是(  )

    A.50° B.48° C.45° D.36°
    7.已知关于x的一元二次方程kx2﹣(2k﹣1)x+k﹣2=0有两个不相等的实数根,则实数k的取值范围是(  )
    A.k>﹣ B.k< C.k>﹣且k≠0 D.k<且k≠0
    8.将抛物线y=﹣x2﹣2x+3的图象向右平移1个单位,再向下平移2个单位得到的抛物线必定经过(  )
    A.(﹣2,2) B.(﹣1,1) C.(0,6) D.(1,﹣3)
    9.如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,∠B=90°,∠BCD=120°,AB=2,CD=1,则AD的长为(  )

    A.2﹣2 B.3﹣ C.4﹣ D.2
    10.如图,在平行四边形ABCD中,E是BD的中点,则下列四个结论:
    ①AM=CN;
    ②若MD=AM,∠A=90°,则BM=CM;
    ③若MD=2AM,则S△MNC=S△BNE;
    ④若AB=MN,则△MFN与△DFC全等.
    其中正确结论的个数为(  )

    A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
    11.如图,为了测量某建筑物BC的高度,小颖采用了如下的方法:先从与建筑物底端B在同一水平线上的A点出发,沿斜坡AD行走130米至坡顶D处,再从D处沿水平方向继续前行若干米后至点E处,在E点测得该建筑物顶端C的仰角为60°,建筑物底端B的俯角为45°,点A、B、C、D、E在同一平面内,斜坡AD的坡度i=1:2.4.根据小颖的测量数据,计算出建筑物BC的高度约为(参考数据:≈1.732)(  )

    A.136.6米 B.86.7米 C.186.7米 D.86.6米
    12.如图,在矩形ABCD中,AB=5,BC=5,点P在线段BC上运动(含B、C两点),连接AP,以点A为中心,将线段AP逆时针旋转60°到AQ,连接DQ,则线段DQ的最小值为(  )

    A. B. C. D.3
    二、填空题(本大题共6小题,满分18分。只要求填写最后结果,每小题填对得4分)
    13.(3分)2021年5月15日7时18分,天问一号着陆巡视器成功着陆于火星,我国首次火星探测任务着陆火星取得圆满成功.探测器距离地球约3.2亿千米.数据3.2亿千米用科学记数法可以表示为    千米.

    14.(3分)《九章算术》中记载:“今有甲乙二人持钱不知其数,甲得乙半而钱五十,乙得甲太半而钱亦五十.问甲、乙持钱各几何?”其大意是:“今有甲乙二人,不知其钱包里有多少钱,若乙把其一半的钱给甲,则甲的钱数为50;而甲把其的钱给乙,则乙的钱数也为50.问甲、乙各有多少钱?”设甲的钱数为x,乙的钱数为y,根据题意,可列方程组为   .
    15.(3分)如图是抛物线y=ax2+bx+c的部分图象,图象过点(3,0),对称轴为直线x=1,有下列四个结论:①abc>0;②a﹣b+c=0;③y的最大值为3;④方程ax2+bx+c+1=0有实数根.其中正确的为    (将所有正确结论的序号都填入).

    16.(3分)若△ABC为直角三角形,AC=BC=4,以BC为直径画半圆如图所示,则阴影部分的面积为    .

    17.(3分)如图,将矩形纸片ABCD折叠(AD>AB),使AB落在AD上,AE为折痕,然后将矩形纸片展开铺在一个平面上,E点不动,将BE边折起,使点B落在AE上的点G处,连接DE,若DE=EF,CE=2,则AD的长为    .

    18.(3分)如图,点B1在直线l:y=x上,点B1的横坐标为2,过点B1作B1A1⊥l,交x轴于点A1,以A1B1为边,向右作正方形A1B1B2C1,延长B2C1交x轴于点A2;以A2B2为边,向右作正方形A2B2B3C2,延长B3C2交x轴于点A3;以A3B3为边,向右作正方形A3B3B4C3,延长B4C3交x轴于点A4;…;照这个规律进行下去,则第n个正方形AnBnBn+1∁n的边长为    (结果用含正整数n的代数式表示).

    三、解答题(本大题共7小题,满分78分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤)
    19.(10分)(1)先化简,再求值:,其中a=+3;
    (2)解不等式:1﹣.
    20.(10分)为庆祝中国共产党成立100周年,落实教育部《关于在中小学组织开展“从小学党史,永远跟党走”主题教育活动的通知》要求,某学校举行党史知识竞赛,随机调查了部分学生的竞赛成绩,绘制成两幅不完整的统计图表.根据统计图表提供的信息,解答下列问题:
    (1)本次共调查了    名学生;C组所在扇形的圆心角为    度;
    (2)该校共有学生1600人,若90分以上为优秀,估计该校优秀学生人数为多少?
    (3)若E组14名学生中有4人满分,设这4名学生为E1,E2,E3,E4,从其中抽取2名学生代表学校参加上一级比赛,请用列表或画树状图的方法求恰好抽到E1,E2的概率.
    竞赛成绩统计表(成绩满分100分)
    组别
    分数
    人数
    A组
    75<x≤80
    4
    B组
    80<x≤85

    C组
    85<x≤90
    10
    D组
    90<x≤95

    E组
    95<x≤100
    14
    合计


    21.(10分)如图,点P为函数y=x+1与函数y=(x>0)图象的交点,点P的纵坐标为4,PB⊥x轴,垂足为点B.
    (1)求m的值;
    (2)点M是函数y=(x>0)图象上一动点,过点M作MD⊥BP于点D,若tan∠PMD=,求点M的坐标.

    22.(10分)接种疫苗是阻断新冠病毒传播的有效途径,针对疫苗急需问题,某制药厂紧急批量生产,计划每天生产疫苗16万剂,但受某些因素影响,有10名工人不能按时到厂.为了应对疫情,回厂的工人加班生产,由原来每天工作8小时增加到10小时,每人每小时完成的工作量不变,这样每天只能生产疫苗15万剂.
    (1)求该厂当前参加生产的工人有多少人?
    (2)生产4天后,未到的工人同时到岗加入生产,每天生产时间仍为10小时.若上级分配给该厂共760万剂的生产任务,问该厂共需要多少天才能完成任务?
    23.(11分)四边形ABCD为矩形,E是AB延长线上的一点.
    (1)若AC=EC,如图1,求证:四边形BECD为平行四边形;
    (2)若AB=AD,点F是AB上的点,AF=BE,EG⊥AC于点G,如图2,求证:△DGF是等腰直角三角形.

    24.(13分)二次函数y=ax2+bx+4(a≠0)的图象经过点A(﹣4,0),B(1,0),与y轴交于点C,点P为第二象限内抛物线上一点,连接BP、AC,交于点Q,过点P作PD⊥x轴于点D.
    (1)求二次函数的表达式;
    (2)连接BC,当∠DPB=2∠BCO时,求直线BP的表达式;
    (3)请判断:是否有最大值,如有请求出有最大值时点P的坐标,如没有请说明理由.

    25.(14分)如图1,O为半圆的圆心,C、D为半圆上的两点,且=.连接AC并延长,与BD的延长线相交于点E.
    (1)求证:CD=ED;
    (2)AD与OC,BC分别交于点F,H.
    ①若CF=CH,如图2,求证:CF•AF=FO•AH;
    ②若圆的半径为2,BD=1,如图3,求AC的值.


    2021年山东省泰安市中考数学试卷
    参考答案与试题解析
    一、选择题(本大题共12小题,在每小题给出的四个选项中,只有一个是正确的,请把正确的选项选出来,每小题选对得4分,选错、不选或选出的答案超过一个,均记零分)
    1.下列各数:﹣4,﹣2.8,0,|﹣4|,其中比﹣3小的数是(  )
    A.﹣4 B.|﹣4| C.0 D.﹣2.8
    【分析】有理数大小比较的法则:①正数都大于0;②负数都小于0;③正数大于一切负数;④两个负数,绝对值大的其值反而小,据此判断即可.
    【解答】解:∵|﹣4|=4,
    ∴﹣4<﹣3<﹣2.8<0<|﹣4|,
    ∴其中比﹣3小的数是﹣4.
    故选:A.
    2.下列运算正确的是(  )
    A.2x2+3x3=5x5 B.(﹣2x)3=﹣6x3
    C.(x+y)2=x2+y2 D.(3x+2)(2﹣3x)=4﹣9x2
    【分析】根据合并同类项,积的乘方,完全平方公式,平方差公式计算即可.
    【解答】解:A选项,2x2与3x3不是同类项,不能合并,故该选项计算错误,不符合题意;
    B选项,原式=﹣8x3,故该选项计算错误,不符合题意;
    C选项,原式=x2+2xy+y2,故该选项计算错误,不符合题意;
    D选项,原式=22﹣(3x)2=4﹣9x2,故该选项计算正确,符合题意;
    故选:D.
    3.如图是由若干个同样大小的小正方体所搭几何体的俯视图,小正方形中的数字表示在该位置小正方体的个数,则这个几何体的左视图是(  )

    A. B. C. D.
    【分析】根据从左边看得到的图形是左视图,可得答案.
    【解答】解:从左边看从左到右第一列是两个小正方形,第二列有4个个小正方形,第三列有3个小正方形,
    故选:B.
    4.如图,直线m∥n,三角尺的直角顶点在直线m上,且三角尺的直角被直线m平分,若∠1=60°,则下列结论错误的是(  )

    A.∠2=75° B.∠3=45° C.∠4=105° D.∠5=130°
    【分析】利用平行线的性质、直角的定义、三角形外角的性质即可解决问题.
    【解答】解:如图,

    ∵三角尺的直角被直线m平分,
    ∴∠6=∠7=45°,
    ∴∠4=∠1+∠6=45°+60°=105°,
    ∵m∥n,
    ∴∠3=∠7=45°,∠2=180°﹣∠4=75°,
    ∴∠5=180°﹣∠3=180°﹣45°=135°,
    故选项A、B、C正确,
    故选:D.
    5.为了落实“作业、睡眠、手机、读物、体质”等五项管理要求,了解学生的睡眠状况,调查了一个班50名学生每天的睡眠时间,绘成睡眠时间频数分布直方图如图所示,则所调查学生睡眠时间的众数,中位数分别为(  )

    A.7h,7h B.8h,7.5h C.7h,7.5h D.8h,8h
    【分析】直接利用众数以及中位数的概念分别分析求出即可.
    【解答】解:∵7h出现了19次,出现的次数最多,
    ∴所调查学生睡眠时间的众数是7h;
    ∵共有50名学生,中位数是第25、26个数的平均数,
    ∴所调查学生睡眠时间的中位数是=7.5(h).
    故选:C.
    6.如图,在△ABC中,AB=6,以点A为圆心,3为半径的圆与边BC相切于点D,与AC,AB分别交于点E和点G,点F是优弧GE上一点,∠CDE=18°,则∠GFE的度数是(  )

    A.50° B.48° C.45° D.36°
    【分析】连接AD,根据切线的性质得到AD⊥BC,根据垂直的定义得到∠ADB=∠ADC=90°,根据直角三角形的性质得到∠B=30°,根据三角形的内角和定理得到∠GAD=60°,根据等腰三角形的性质得到∠AED=∠ADE=72°,根据圆周角定理即可得到结论。
    【解答】解:连接AD,
    ∵BC与⊙A相切于点D,
    ∴AD⊥BC,
    ∴∠ADB=∠ADC=90°,
    ∵AB=6,AG=AD=3,
    ∴AD=AB,
    ∴∠B=30°,
    ∴∠GAD=60°,
    ∵∠CDE=18°,
    ∴∠ADE=90°﹣18°=72°,
    ∵AD=AE,
    ∴∠AED=∠ADE=72°,
    ∴∠DAE=180°﹣∠ADE﹣∠AED=180°﹣72°﹣72°=36°,
    ∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=60°+36°=96°,
    ∴∠GFE=GAE=96°=48°,
    故选:B.

    7.已知关于x的一元二次方程kx2﹣(2k﹣1)x+k﹣2=0有两个不相等的实数根,则实数k的取值范围是(  )
    A.k>﹣ B.k< C.k>﹣且k≠0 D.k<且k≠0
    【分析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且△=(2k﹣1)2﹣4k•(k﹣2)>0,然后其出两个不等式的公共部分即可.
    【解答】解:根据题意得k≠0且△=(2k﹣1)2﹣4k•(k﹣2)>0,
    解得k>﹣且k≠0.
    故选:C.
    8.将抛物线y=﹣x2﹣2x+3的图象向右平移1个单位,再向下平移2个单位得到的抛物线必定经过(  )
    A.(﹣2,2) B.(﹣1,1) C.(0,6) D.(1,﹣3)
    【分析】直接将原函数写成顶点式,再利用二次函数平移规律:左加右减,上加下减,进而得出平移后解析式,再把各选项的点代入判断即可.
    【解答】解:y=﹣x2﹣2x+3
    =﹣(x2+2x)+3
    =﹣[(x+1)2﹣1]+3
    =﹣(x+1)2+4,
    ∵将抛物线y=﹣x2﹣2x+3的图象向右平移1个单位,再向下平移2个单位,
    ∴得到的抛物线解析式为:y=﹣x2+2,
    当x=﹣2时,y=﹣(﹣2)2+2=﹣4+2=﹣2,故(﹣2,2)不在此抛物线上,故A选项不合题意;
    当x=﹣1时,y=﹣(﹣1)2+2=﹣1+2=1,故(﹣1,1)在此抛物线上,故B选项符合题意;
    当x=0时,y=﹣02+2=0+2=2,故(0,6)不在此抛物线上,故A选项不合题意;
    当x=1时,y=﹣12+2=﹣1+2=1,故(1,﹣3)不在此抛物线上,故A选项不合题意;
    故选:B.
    9.如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,∠B=90°,∠BCD=120°,AB=2,CD=1,则AD的长为(  )

    A.2﹣2 B.3﹣ C.4﹣ D.2
    【分析】延长AD、BC交于E,先利用直角三角形的性质求得AE的长,然后再求得DE的长,从而求得答案.
    【解答】解:延长AD、BC交于E,
    ∵∠BCD=120°,
    ∴∠A=60°,
    ∵∠B=90°,
    ∴∠ADC=90°,∠E=30°,
    在Rt△ABE中,AE=2AB=4,
    在Rt△CDE中,DE==,
    ∴AD=AE﹣DE=4﹣,
    故选:C.

    10.如图,在平行四边形ABCD中,E是BD的中点,则下列四个结论:
    ①AM=CN;
    ②若MD=AM,∠A=90°,则BM=CM;
    ③若MD=2AM,则S△MNC=S△BNE;
    ④若AB=MN,则△MFN与△DFC全等.
    其中正确结论的个数为(  )

    A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
    【分析】根据平行四边形的性质,证明△MDB≌△NBD,从而判断①正确;若MD=AM,∠A=90°,则平行四边形ABCD为矩形,通过证明△BAM≌△CDM可以判断②;过点M作MG⊥BC,交BC于G,过点E作EH⊥BC,交BC于H,通过三角形面积公式可以判断③;若AB=MN则四边形MNCD是等腰梯形,通过证明△MNC≌△DCN和△MFN≌△DFC即可判断④.
    【解答】解:①∵四边形ABCD是平行四边形,
    ∴AD∥BC,AD=BC,
    ∴∠ADB=∠CBD,
    ∵E是BD的中点,
    ∴BE=DE,
    在△MDB和△NBD中,

    ∴△MDB≌△NBD(ASA),
    ∴DM=BN,
    ∴AM=CN,
    故①正确;
    ②若MD=AM,∠A=90°,
    则平行四边形ABCD为矩形,
    ∴∠D=∠A=90°,
    在△BAM和△CDM中,

    ∴△BAM≌△CDM(SAS),
    ∴BM=CM,
    故②正确;
    ③过点M作MG⊥BC,交BC于G,过点E作EH⊥BC,交BC于H,

    由①可知四边形MBCD是平行四边形,E为BD中点,
    ∴MG=2EH,
    又∵MD=2AM,BN=MD,AM=NC,
    ∴S△ANC=NC•MG=•BN•2EH=BN•EH=S△BNE,
    故③正确;
    ④∵AB=MN,AB=DC,
    ∴MN=DC,
    ∴四边形MNCD是等腰梯形,
    ∴∠MNC=∠DCN,
    在△MNC和△DCN中,

    ∴△MNC≌△DCN(SAS),
    ∴∠NMC=∠CDN,
    在△MFN和△DFC中,

    ∴△MFN≌△DFC(AAS),
    故④正确.
    ∴正确的个数是4个,
    故选:D.
    11.如图,为了测量某建筑物BC的高度,小颖采用了如下的方法:先从与建筑物底端B在同一水平线上的A点出发,沿斜坡AD行走130米至坡顶D处,再从D处沿水平方向继续前行若干米后至点E处,在E点测得该建筑物顶端C的仰角为60°,建筑物底端B的俯角为45°,点A、B、C、D、E在同一平面内,斜坡AD的坡度i=1:2.4.根据小颖的测量数据,计算出建筑物BC的高度约为(参考数据:≈1.732)(  )

    A.136.6米 B.86.7米 C.186.7米 D.86.6米
    【分析】作DH⊥AB于H,延长DE交BC于F.则四边形DHBF是矩形,在Rt△ADH中求出DH,再在Rt△EFB中求出EF,在Rt△EFC中求出CF即可解决问题.
    【解答】解:如图作DH⊥AB于H,延长DE交BC于F.

    在Rt△ADH中,AD=130米,DH:AH=1:2.4,
    ∴DH=50(米),
    ∵四边形DHBF是矩形,
    ∴BF=DH=50(米),
    在Rt△EFB中,∠BEF=45°,
    ∴EF=BF=50米,
    在Rt△EFC中,FC=EF•tan60°,
    ∴CF=50×≈86.6(米),
    ∴BC=BF+CF=136.6(米).
    故选:A.
    12.如图,在矩形ABCD中,AB=5,BC=5,点P在线段BC上运动(含B、C两点),连接AP,以点A为中心,将线段AP逆时针旋转60°到AQ,连接DQ,则线段DQ的最小值为(  )

    A. B. C. D.3
    【分析】如图,以AB为边向右作等边△ABF,作射线FQ交AD于点E,过点D作DH⊥QE于H.利用全等三角形的性质证明∠AFQ=90°,推出∠AEF=60°,推出点Q的运动轨迹是射线FE,求出DH,可得结论.
    【解答】解:如图,以AB为边向右作等边△ABF,作射线FQ交AD于点E,过点D作DH⊥QE于H.

    ∵四边形ABCD是矩形,
    ∴∠ABP=∠BAE=90°,
    ∵△ABF,△APQ都是等边三角形,
    ∴∠BAF=∠PAQ=60°,BA=FA,PA=QA,
    ∴∠BAP=∠FAQ,
    在△BAP和△FAQ中,
    ,
    ∴△BAP≌△FAQ(SAS),
    ∴∠ABP=∠AFQ=90°,
    ∵∠FAE=90°﹣60°=30°,
    ∴∠AEF=90°﹣30°=60°,
    ∵AB=AF=5,AE=AF÷cos30°=,
    ∴点Q的运动轨迹是射线FE,
    ∵AD=BC=5,
    ∴DE=AD﹣AE=,
    ∵DH⊥EF,∠DEH=∠AEF=60°,
    ∴DH=DE•sin60°=×=,
    根据垂线段最短可知,当点Q与H重合时,DQ的值最小,最小值为,
    故选:A.
    二、填空题(本大题共6小题,满分18分。只要求填写最后结果,每小题填对得4分)
    13.(3分)2021年5月15日7时18分,天问一号着陆巡视器成功着陆于火星,我国首次火星探测任务着陆火星取得圆满成功.探测器距离地球约3.2亿千米.数据3.2亿千米用科学记数法可以表示为  3.2×108 千米.

    【分析】把一个大于10的数写成科学记数法形式:a×10n,其中1≤a<10,n为正整数,n的值比这个数的位数少1.
    【解答】解:3.2亿=320000000=3.2×108,
    故答案为:3.2×108.
    14.(3分)《九章算术》中记载:“今有甲乙二人持钱不知其数,甲得乙半而钱五十,乙得甲太半而钱亦五十.问甲、乙持钱各几何?”其大意是:“今有甲乙二人,不知其钱包里有多少钱,若乙把其一半的钱给甲,则甲的钱数为50;而甲把其的钱给乙,则乙的钱数也为50.问甲、乙各有多少钱?”设甲的钱数为x,乙的钱数为y,根据题意,可列方程组为  .
    【分析】根据乙把其一半的钱给甲,则甲的钱数为50;而甲把其的钱给乙,则乙的钱数也为50和题目中所设的未知数,可以列出相应的方程组,从而可以解答本题.
    【解答】解:由题意可得,

    故答案为:.
    15.(3分)如图是抛物线y=ax2+bx+c的部分图象,图象过点(3,0),对称轴为直线x=1,有下列四个结论:①abc>0;②a﹣b+c=0;③y的最大值为3;④方程ax2+bx+c+1=0有实数根.其中正确的为  ②④ (将所有正确结论的序号都填入).

    【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系,由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系,然后根据对称轴判定b与0的关系;当x=﹣1时,y=a﹣b+c;然后由图象确定当y=﹣1时,x的值有2个.
    【解答】解:∵抛物线开口向下,
    ∴a<0,
    ∵对称轴x=﹣=1,
    ∴b=﹣2a>0,
    ∵抛物线与y轴的交点在y轴正半轴,
    ∴c>0,
    ∴abc<0,故①错误;
    ∵抛物线与x轴的交点(3,0),对称轴为直线x=1,
    ∴抛物线x轴的另一个交点在(﹣1,0),
    ∴当x=﹣1时,y=a﹣b+c=0,即②正确;
    由图象无法判断y的最大值,故③错误;
    方程ax2+bx+c+1=0,可看作二次函数y=ax2+bx+c与y=﹣1的交点个数,
    由图象可知,必然有2个交点,即方程ax2+bx+c+1=0有2个不想等的实数根.
    故④正确.
    故答案为:②④.

    16.(3分)若△ABC为直角三角形,AC=BC=4,以BC为直径画半圆如图所示,则阴影部分的面积为  4 .

    【分析】连接CD.构建直径所对的圆周角∠BDC=90°,然后利用等腰直角△ABC的性质:斜边上的中线是斜边的一半、中线与垂线重合,求得CD=BD=AD,从而求得弦BD与CD所对的弓形的面积相等,所以图中阴影部分的面积=直角三角形ABC的面积﹣直角三角形BCD的面积.
    【解答】解:连接CD.

    ∵BC是直径,
    ∴∠BDC=90°,即CD⊥AB;
    又∵△ABC为等腰直角三角形,
    ∴CD是斜边AB的垂直平分线,
    ∴CD=BD=AD,
    ∴=,
    ∴S弓形BD=S弓形CD,
    ∴S阴影=SRt△ABC﹣SRt△BCD;
    ∵△ABC为等腰直角三角形,CD是斜边AB的垂直平分线,
    ∴SRt△ABC=2SRt△BCD;
    又SRt△ABC=×4×4=8,
    ∴S阴影=4;
    故答案为:4.
    17.(3分)如图,将矩形纸片ABCD折叠(AD>AB),使AB落在AD上,AE为折痕,然后将矩形纸片展开铺在一个平面上,E点不动,将BE边折起,使点B落在AE上的点G处,连接DE,若DE=EF,CE=2,则AD的长为  4+2 .

    【分析】证明Rt△EBF≌Rt△EB′D(HL),推出BF=DB′,再证明DB′=EC=BF=2,想办法求出AB′,可得结论。
    【解答】解:由翻折的性质可知,EB=EB′,∠B=∠AB′E=∠EB′D=90°,
    在Rt△EBF和Rt△EB′D中,
    ,
    ∴Rt△EBF≌Rt△EB′D(HL),
    ∴BF=DB′,
    ∵四边形ABCD是矩形,
    ∴∠C=∠CDB′=∠EB′D=90°,
    ∴四边形ECDB′是矩形,
    ∴DB′=EC=2,
    ∴BF=EC=2,
    由翻折的性质可知,BF=FG=2,∠FAG=45°,∠AGF=∠B=∠AGF=90°,
    ∴AG=FG=2,
    ∴AF=2.
    ∴AB=AB′=2+2,
    ∴AD=AB′+DB′=4+2,
    故答案为:4+2。

    18.(3分)如图,点B1在直线l:y=x上,点B1的横坐标为2,过点B1作B1A1⊥l,交x轴于点A1,以A1B1为边,向右作正方形A1B1B2C1,延长B2C1交x轴于点A2;以A2B2为边,向右作正方形A2B2B3C2,延长B3C2交x轴于点A3;以A3B3为边,向右作正方形A3B3B4C3,延长B4C3交x轴于点A4;…;照这个规律进行下去,则第n个正方形AnBnBn+1∁n的边长为   (结果用含正整数n的代数式表示).

    【分析】设直线y=x与x轴夹角为α,过B1作B1H⊥x轴于H,由点B1的横坐标为2,点B1在直线l:y=x上,可得OH=2,B1H=1,OB1==,tanα==,Rt△A1B1O中,求得A1B1=OB1•tanα=,即第1个正方形边长是,在Rt△A2B2O中,求得第2个正方形边长是×,在Rt△A3B3O中,求得第3个正方形边长是×=×()2,在Rt△A4B4O中,求得第4个正方形边长是×=×()3,......观察规律即可得:第n个正方形边长是×()n﹣1.
    【解答】解:设直线y=x与x轴夹角为α,过B1作B1H⊥x轴于H,如图:

    ∵点B1的横坐标为2,点B1在直线l:y=x上,令x=2得y=1,
    ∴OH=2,B1H=1,OB1==,
    ∴tanα==,
    Rt△A1B1O中,A1B1=OB1•tanα=,即第1个正方形边长是,
    ∴OB2=OB1+B1B2=+=×3,
    Rt△A2B2O中,A2B2=OB2•tanα=×3×=×,即第2个正方形边长是×,
    ∴OB3=OB2+B2B3=×3+×=×,
    Rt△A3B3O中,A3B3=OB3•tanα=××=×,即第3个正方形边长是×=×()2,
    ∴OB4=OB3+B3B4=×+×=×,
    Rt△A4B4O中,A4B4=OB4•tanα==××=×,即第4个正方形边长是×=×()3,
    ......
    观察规律可知:第n个正方形边长是×()n﹣1,
    故答案为:×()n﹣1.
    三、解答题(本大题共7小题,满分78分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤)
    19.(10分)(1)先化简,再求值:,其中a=+3;
    (2)解不等式:1﹣.
    【分析】(1)分式的混合运算,注意先算乘除,然后算加减,有小括号先算小括号里面的,然后代入求值;
    (2)解一元一次不等式,按照去分母,去括号,移项,合并同类项,系数化1的步骤进行计算求解.
    【解答】解:(1)原式=[]

    =﹣,
    当a=+3时,原式=﹣;
    (2)去分母,得:8﹣(7x﹣1)>2(3x﹣2),
    去括号,得:8﹣7x+1>6x﹣4,
    移项,得:﹣7x﹣6x>﹣4﹣1﹣8,
    合并同类项,得:﹣13x>﹣13,
    系数化1,得:x<1.
    20.(10分)为庆祝中国共产党成立100周年,落实教育部《关于在中小学组织开展“从小学党史,永远跟党走”主题教育活动的通知》要求,某学校举行党史知识竞赛,随机调查了部分学生的竞赛成绩,绘制成两幅不完整的统计图表.根据统计图表提供的信息,解答下列问题:
    (1)本次共调查了  50 名学生;C组所在扇形的圆心角为  72 度;
    (2)该校共有学生1600人,若90分以上为优秀,估计该校优秀学生人数为多少?
    (3)若E组14名学生中有4人满分,设这4名学生为E1,E2,E3,E4,从其中抽取2名学生代表学校参加上一级比赛,请用列表或画树状图的方法求恰好抽到E1,E2的概率.
    竞赛成绩统计表(成绩满分100分)
    组别
    分数
    人数
    A组
    75<x≤80
    4
    B组
    80<x≤85

    C组
    85<x≤90
    10
    D组
    90<x≤95

    E组
    95<x≤100
    14
    合计


    【分析】(1)用A组人数除以它所占的百分比得到本次共调查的总人数;用360°乘以C组人数所占的百分比得到C组的圆心角的度数;
    (2)先计算出D组的人数,然后用1600乘以样本中D组和E组人数所占的百分比即可;
    (3)画树状图展示所有12种等可能的结果,找出恰好抽到E1,E2的结果数,然后根据概率公式求解。
    【解答】解:(1)本次共调查的学生=14÷28%=50(人);
    C组的圆心角为360°×=72°,
    故答案为50;72;
    (2)B组的人数为50×12%=16(人),
    则D组的人数为50﹣4﹣6﹣1﹣14=16(人),
    则优秀的人数为1600×=960(人);
    (3)画树状图为:

    共有12种等可能的结果,其中恰好抽到E1,E2的结果数为2,
    所以恰好抽到E1,E2的概率==.
    21.(10分)如图,点P为函数y=x+1与函数y=(x>0)图象的交点,点P的纵坐标为4,PB⊥x轴,垂足为点B.
    (1)求m的值;
    (2)点M是函数y=(x>0)图象上一动点,过点M作MD⊥BP于点D,若tan∠PMD=,求点M的坐标.

    【分析】(1)根据点P为函数y=x+1图象的点,点P的纵坐标为4,可以求得点P的坐标,进而求得m的值;
    (2)设点M的坐标(x,y),分两种情况:点M在点P右侧,点M在点P左侧,根据tan∠PMD=得=,根据点P的坐标求出x、y的值,即可得出答案.
    【解答】解:∵点P为函数y=x+1图象的点,点P的纵坐标为4,
    ∴4=x+1,解得:x=6,
    ∴点P(6,4),
    ∵点P为函数y=x+1与函数y=(x>0)图象的交点,
    ∴4=,
    ∴m=24;
    (2)设点M的坐标(x,y),
    ∵tan∠PMD=,
    ∴=,
    ①点M在点P右侧,如图,

    ∵点P(6,4),
    ∴PD=4﹣y,DM=x﹣6,
    ∴=,
    ∵xy=m=24,
    ∴y=,
    ∴2(4﹣)=x﹣6,解得:x=6或8,
    ∵点M在点P右侧,
    ∴x=8,
    ∴y=3,
    ∴点M的坐标为(8,3);
    ②点M在点P左侧,

    ∵点P(6,4),
    ∴PD=y﹣4,DM=6﹣x,
    ∴=,
    ∵xy=m=24,
    ∴y=,
    ∴2(4﹣)=x﹣6,解得:x=6或8,
    ∵点M在点P左侧,
    ∴此种情况不存在;
    ∴点M的坐标为(8,3).
    22.(10分)接种疫苗是阻断新冠病毒传播的有效途径,针对疫苗急需问题,某制药厂紧急批量生产,计划每天生产疫苗16万剂,但受某些因素影响,有10名工人不能按时到厂.为了应对疫情,回厂的工人加班生产,由原来每天工作8小时增加到10小时,每人每小时完成的工作量不变,这样每天只能生产疫苗15万剂.
    (1)求该厂当前参加生产的工人有多少人?
    (2)生产4天后,未到的工人同时到岗加入生产,每天生产时间仍为10小时.若上级分配给该厂共760万剂的生产任务,问该厂共需要多少天才能完成任务?
    【分析】(1)设当前参加生产的工人有x人,根据每人每小时完成的工作量不变,即可得出关于x的分式方程,解之经检验后即可得出结论;
    (2)利用每人每小时完成的工作量=工作总量÷工作时间÷参与工作的人数,即可求出每人每小时完成的工作量,设还需要生产y天才能完成任务,根据工作总量=工作效率×工作时间×工作人数,即可得出关于y的方程求解.
    【解答】解:(1)设当前参加生产的工人有x人,由题意可得:

    解得:x=30,
    经检验:x=30是原分式方程的解,且符合题意,
    ∴当前参加生产的工人有30人;
    (2)每人每小时完成的数量为:16÷8÷40=0.05(万剂),
    设还需要生产y天才能完成任务,由题意可得:
    4×15+(30+10)×10×0.05y=760,
    解得:y=35,
    35+4=39(天),
    ∴该厂共需要39天才能完成任务.
    23.(11分)四边形ABCD为矩形,E是AB延长线上的一点.
    (1)若AC=EC,如图1,求证:四边形BECD为平行四边形;
    (2)若AB=AD,点F是AB上的点,AF=BE,EG⊥AC于点G,如图2,求证:△DGF是等腰直角三角形.

    【分析】(1)先根据四边形ABCD为矩形,CB⊥AE,AC=EC得出AB=BE即可;
    (2)由AB=AD得出矩形ABCD是正方形,得出∠E=∠GAE=45°,然后证明△EGF≌△AGD,再得出∠DGF=90°,GF=GD,∠DGA=∠FGE,从而得出结论.
    【解答】证明:(1)∵四边形ABCD为矩形,
    ∴AB∥CD,AB=CD,CB⊥AE,
    又∵AC=EC,
    ∴AB=BE,
    ∴BE=CD,BE∥CD,
    ∴四边形BECD为平行四边形;
    (2)∵AB=AD,
    ∴矩形ABCD是正方形,
    ∵EG⊥AC,
    ∴∠E=∠GAE=45°,
    ∴GE=GA,
    又∵AF=BE,
    ∴AB=FE,
    ∴FE=AD,
    在△EGF和△AGD中,
    ,
    ∴△EGF≌△AGD(SAS),
    ∴GF=GD,∠DGA=∠FGE,
    ∠DGF=∠DGA+∠AGF=∠EGF+∠AGF=∠AGE=90°,
    ∴△DGF是等腰直角三角形.
    24.(13分)二次函数y=ax2+bx+4(a≠0)的图象经过点A(﹣4,0),B(1,0),与y轴交于点C,点P为第二象限内抛物线上一点,连接BP、AC,交于点Q,过点P作PD⊥x轴于点D.
    (1)求二次函数的表达式;
    (2)连接BC,当∠DPB=2∠BCO时,求直线BP的表达式;
    (3)请判断:是否有最大值,如有请求出有最大值时点P的坐标,如没有请说明理由.

    【分析】(1)利用待定系数法即可求出答案;
    (2)设BP与y轴交于点E,设OE=a,则CE=4﹣a,BE=4﹣a,运用勾股定理可求得a=,得出E(0,),再利用待定系数法即可求出答案;
    (3)设PD与AC交于点N,过点B作y轴的平行线与AC相交于点M,利用待定系数法求出直线AC表达式,再利用BM∥PN,可得△PNQ∽△BMQ,进而得出==,设P(a0,﹣a02﹣3a0+4)(﹣4<a0<0),则N(a0,a0+4),从而得到=,利用二次函数的性质即可求得答案.
    【解答】解:(1)∵二次函数y=ax2+bx+4(a≠0)的图象经过点A(﹣4,0),B(1,0),
    ∴,
    解得:,
    ∴该二次函数的表达式为y=﹣x2﹣3x+4;
    (2)如图,设BP与y轴交于点E,
    ∵PD∥y轴,
    ∴∠DPB=∠OEB,
    ∵∠DPB=2∠BCO,
    ∴∠OEB=2∠BCO,
    ∴∠ECB=∠EBC,
    ∴BE=CE,
    设OE=a,则CE=4﹣a,
    ∴BE=4﹣a,
    在Rt△BOE中,由勾股定理得:BE2=OE2+OB2,
    ∴(4﹣a)2=a2+12,
    解得:a=,
    ∴E(0,),
    设BE所在直线表达式为y=kx+e(k≠0),
    ∴,
    解得:,
    ∴直线BP的表达式为y=﹣x+;
    (3)有最大值.
    如图,设PD与AC交于点N,
    过点B作y轴的平行线与AC相交于点M,
    设直线AC表达式为y=mx+n,
    ∵A(﹣4,0),C(0,4),
    ∴,
    解得:,
    ∴直线AC表达式为y=x+4,
    ∴M点的坐标为(1,5),
    ∴BM=5,
    ∵BM∥PN,
    ∴△PNQ∽△BMQ,
    ∴==,
    设P(a0,﹣a02﹣3a0+4)(﹣4<a0<0),则N(a0,a0+4),
    ∴===,
    ∴当a0=﹣2时,有最大值,
    此时,点P的坐标为(﹣2,6).

    25.(14分)如图1,O为半圆的圆心,C、D为半圆上的两点,且=.连接AC并延长,与BD的延长线相交于点E.
    (1)求证:CD=ED;
    (2)AD与OC,BC分别交于点F,H.
    ①若CF=CH,如图2,求证:CF•AF=FO•AH;
    ②若圆的半径为2,BD=1,如图3,求AC的值.

    【分析】(1)如图1中,连接BC.想办法证明∠E=∠DCE即可。
    (2)①证明△AFO∽△AHC,可得结论。
    ②连接CD交BC于G.设OG=x,则DG=2﹣x.利用勾股定理构建方程求解即可。
    【解答】(1)证明:如图1中,连接BC.

    ∵=,
    ∴∠DCB=∠DBC,
    ∵AB是直径,
    ∴∠ACB=∠BCE=90°,
    ∴∠E+∠DBC=90°,∠ECD+∠DCB=90°,
    ∴∠E=∠DCE,
    ∴DE=DC.

    (2)①证明:如图2中,

    ∵CF=CH,
    ∴∠CFH=∠CHF,
    ∵∠AFO=∠CFH,
    ∴∠AFO=∠CHF,
    ∵=,
    ∴∠CAD=∠BAD,
    ∴△AFO∽△AHC,
    ∴=,
    ∴=,
    ∴CF•AF=OF•AH.

    ②解:如图3中,连接CD交BC于G.设OG=x,则DG=2﹣x.

    ∵=,
    ∴∠COD=∠BOD,
    ∵OC=OB,
    ∴OD⊥BC,CG=BG,
    在Rt△OCG和Rt△BGD中,则有22﹣x2=12﹣(2﹣x)2,
    ∴x=,即OG=,
    ∵OA=OB,
    ∴OG是△ABC的中位线,
    ∴OG=AC,
    ∴AC=.

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