2021年山东省泰安市中考数学真题试卷 (含解析)

2021年山东省泰安市中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分）1．下列各数：﹣4，﹣2.8，0，|﹣4|，其中比﹣3小的数是（　　）A．﹣4 B．|﹣4| C．0 D．﹣2.82．下列运算正确的是（　　）A．2x2+3x3＝5x5 B．（﹣2x）3＝﹣6x3 C．（x+y）2＝x2+y2 D．（3x+2）（2﹣3x）＝4﹣9x23．如图是由若干个同样大小的小正方体所搭几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置小正方体的个数，则这个几何体的左视图是（　　）A． B． C． D．4．如图，直线m∥n，三角尺的直角顶点在直线m上，且三角尺的直角被直线m平分，若∠1＝60°，则下列结论错误的是（　　）A．∠2＝75° B．∠3＝45° C．∠4＝105° D．∠5＝130°5．为了落实“作业、睡眠、手机、读物、体质”等五项管理要求，了解学生的睡眠状况，调查了一个班50名学生每天的睡眠时间，绘成睡眠时间频数分布直方图如图所示，则所调查学生睡眠时间的众数，中位数分别为（　　）A．7h，7h B．8h，7.5h C．7h，7.5h D．8h，8h6．如图，在△ABC中，AB＝6，以点A为圆心，3为半径的圆与边BC相切于点D，与AC，AB分别交于点E和点G，点F是优弧GE上一点，∠CDE＝18°，则∠GFE的度数是（　　）A．50° B．48° C．45° D．36°7．已知关于x的一元二次方程kx2﹣（2k﹣1）x+k﹣2＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（　　）A．k＞﹣ B．k＜ C．k＞﹣且k≠0 D．k＜且k≠08．将抛物线y＝﹣x2﹣2x+3的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线必定经过（　　）A．（﹣2，2） B．（﹣1，1） C．（0，6） D．（1，﹣3）9．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝90°，∠BCD＝120°，AB＝2，CD＝1，则AD的长为（　　）A．2﹣2 B．3﹣ C．4﹣ D．210．如图，在平行四边形ABCD中，E是BD的中点，则下列四个结论：①AM＝CN；②若MD＝AM，∠A＝90°，则BM＝CM；③若MD＝2AM，则S△MNC＝S△BNE；④若AB＝MN，则△MFN与△DFC全等．其中正确结论的个数为（　　）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个11．如图，为了测量某建筑物BC的高度，小颖采用了如下的方法：先从与建筑物底端B在同一水平线上的A点出发，沿斜坡AD行走130米至坡顶D处，再从D处沿水平方向继续前行若干米后至点E处，在E点测得该建筑物顶端C的仰角为60°，建筑物底端B的俯角为45°，点A、B、C、D、E在同一平面内，斜坡AD的坡度i＝1：2.4．根据小颖的测量数据，计算出建筑物BC的高度约为（参考数据：≈1.732）（　　）A．136.6米 B．86.7米 C．186.7米 D．86.6米12．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝5，点P在线段BC上运动（含B、C两点），连接AP，以点A为中心，将线段AP逆时针旋转60°到AQ，连接DQ，则线段DQ的最小值为（　　）A． B． C． D．3二、填空题（本大题共6小题，满分18分。只要求填写最后结果，每小题填对得4分）13．（3分）2021年5月15日7时18分，天问一号着陆巡视器成功着陆于火星，我国首次火星探测任务着陆火星取得圆满成功．探测器距离地球约3.2亿千米．数据3.2亿千米用科学记数法可以表示为 　 　千米．14．（3分）《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？”其大意是：“今有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也为50．问甲、乙各有多少钱？”设甲的钱数为x，乙的钱数为y，根据题意，可列方程组为　 　．15．（3分）如图是抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象，图象过点（3，0），对称轴为直线x＝1，有下列四个结论：①abc＞0；②a﹣b+c＝0；③y的最大值为3；④方程ax2+bx+c+1＝0有实数根．其中正确的为 　 　（将所有正确结论的序号都填入）．16．（3分）若△ABC为直角三角形，AC＝BC＝4，以BC为直径画半圆如图所示，则阴影部分的面积为 　 　．17．（3分）如图，将矩形纸片ABCD折叠（AD＞AB），使AB落在AD上，AE为折痕，然后将矩形纸片展开铺在一个平面上，E点不动，将BE边折起，使点B落在AE上的点G处，连接DE，若DE＝EF，CE＝2，则AD的长为 　 　．18．（3分）如图，点B1在直线l：y＝x上，点B1的横坐标为2，过点B1作B1A1⊥l，交x轴于点A1，以A1B1为边，向右作正方形A1B1B2C1，延长B2C1交x轴于点A2；以A2B2为边，向右作正方形A2B2B3C2，延长B3C2交x轴于点A3；以A3B3为边，向右作正方形A3B3B4C3，延长B4C3交x轴于点A4；…；照这个规律进行下去，则第n个正方形AnBnBn+1∁n的边长为 　 　（结果用含正整数n的代数式表示）．三、解答题（本大题共7小题，满分78分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）19．（10分）（1）先化简，再求值：，其中a＝+3；（2）解不等式：1﹣．20．（10分）为庆祝中国共产党成立100周年，落实教育部《关于在中小学组织开展“从小学党史，永远跟党走”主题教育活动的通知》要求，某学校举行党史知识竞赛，随机调查了部分学生的竞赛成绩，绘制成两幅不完整的统计图表．根据统计图表提供的信息，解答下列问题：（1）本次共调查了 　 　名学生；C组所在扇形的圆心角为 　 　度；（2）该校共有学生1600人，若90分以上为优秀，估计该校优秀学生人数为多少？（3）若E组14名学生中有4人满分，设这4名学生为E1，E2，E3，E4，从其中抽取2名学生代表学校参加上一级比赛，请用列表或画树状图的方法求恰好抽到E1，E2的概率．竞赛成绩统计表（成绩满分100分）21．（10分）如图，点P为函数y＝x+1与函数y＝（x＞0）图象的交点，点P的纵坐标为4，PB⊥x轴，垂足为点B．（1）求m的值；（2）点M是函数y＝（x＞0）图象上一动点，过点M作MD⊥BP于点D，若tan∠PMD＝，求点M的坐标．22．（10分）接种疫苗是阻断新冠病毒传播的有效途径，针对疫苗急需问题，某制药厂紧急批量生产，计划每天生产疫苗16万剂，但受某些因素影响，有10名工人不能按时到厂．为了应对疫情，回厂的工人加班生产，由原来每天工作8小时增加到10小时，每人每小时完成的工作量不变，这样每天只能生产疫苗15万剂．（1）求该厂当前参加生产的工人有多少人？（2）生产4天后，未到的工人同时到岗加入生产，每天生产时间仍为10小时．若上级分配给该厂共760万剂的生产任务，问该厂共需要多少天才能完成任务？23．（11分）四边形ABCD为矩形，E是AB延长线上的一点．（1）若AC＝EC，如图1，求证：四边形BECD为平行四边形；（2）若AB＝AD，点F是AB上的点，AF＝BE，EG⊥AC于点G，如图2，求证：△DGF是等腰直角三角形．24．（13分）二次函数y＝ax2+bx+4（a≠0）的图象经过点A（﹣4，0），B（1，0），与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上一点，连接BP、AC，交于点Q，过点P作PD⊥x轴于点D．（1）求二次函数的表达式；（2）连接BC，当∠DPB＝2∠BCO时，求直线BP的表达式；（3）请判断：是否有最大值，如有请求出有最大值时点P的坐标，如没有请说明理由．25．（14分）如图1，O为半圆的圆心，C、D为半圆上的两点，且＝．连接AC并延长，与BD的延长线相交于点E．（1）求证：CD＝ED；（2）AD与OC，BC分别交于点F，H．①若CF＝CH，如图2，求证：CF•AF＝FO•AH；②若圆的半径为2，BD＝1，如图3，求AC的值．2021年山东省泰安市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分）1．下列各数：﹣4，﹣2.8，0，|﹣4|，其中比﹣3小的数是（　　）A．﹣4 B．|﹣4| C．0 D．﹣2.8【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．【解答】解：∵|﹣4|＝4，∴﹣4＜﹣3＜﹣2.8＜0＜|﹣4|，∴其中比﹣3小的数是﹣4．故选：A．2．下列运算正确的是（　　）A．2x2+3x3＝5x5 B．（﹣2x）3＝﹣6x3 C．（x+y）2＝x2+y2 D．（3x+2）（2﹣3x）＝4﹣9x2【分析】根据合并同类项，积的乘方，完全平方公式，平方差公式计算即可．【解答】解：A选项，2x2与3x3不是同类项，不能合并，故该选项计算错误，不符合题意；B选项，原式＝﹣8x3，故该选项计算错误，不符合题意；C选项，原式＝x2+2xy+y2，故该选项计算错误，不符合题意；D选项，原式＝22﹣（3x）2＝4﹣9x2，故该选项计算正确，符合题意；故选：D．3．如图是由若干个同样大小的小正方体所搭几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置小正方体的个数，则这个几何体的左视图是（　　）A． B． C． D．【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．【解答】解：从左边看从左到右第一列是两个小正方形，第二列有4个个小正方形，第三列有3个小正方形，故选：B．4．如图，直线m∥n，三角尺的直角顶点在直线m上，且三角尺的直角被直线m平分，若∠1＝60°，则下列结论错误的是（　　）A．∠2＝75° B．∠3＝45° C．∠4＝105° D．∠5＝130°【分析】利用平行线的性质、直角的定义、三角形外角的性质即可解决问题．【解答】解：如图，∵三角尺的直角被直线m平分，∴∠6＝∠7＝45°，∴∠4＝∠1+∠6＝45°+60°＝105°，∵m∥n，∴∠3＝∠7＝45°，∠2＝180°﹣∠4＝75°，∴∠5＝180°﹣∠3＝180°﹣45°＝135°，故选项A、B、C正确，故选：D．5．为了落实“作业、睡眠、手机、读物、体质”等五项管理要求，了解学生的睡眠状况，调查了一个班50名学生每天的睡眠时间，绘成睡眠时间频数分布直方图如图所示，则所调查学生睡眠时间的众数，中位数分别为（　　）A．7h，7h B．8h，7.5h C．7h，7.5h D．8h，8h【分析】直接利用众数以及中位数的概念分别分析求出即可．【解答】解：∵7h出现了19次，出现的次数最多，∴所调查学生睡眠时间的众数是7h；∵共有50名学生，中位数是第25、26个数的平均数，∴所调查学生睡眠时间的中位数是＝7.5（h）．故选：C．6．如图，在△ABC中，AB＝6，以点A为圆心，3为半径的圆与边BC相切于点D，与AC，AB分别交于点E和点G，点F是优弧GE上一点，∠CDE＝18°，则∠GFE的度数是（　　）A．50° B．48° C．45° D．36°【分析】连接AD,根据切线的性质得到AD⊥BC,根据垂直的定义得到∠ADB＝∠ADC＝90°,根据直角三角形的性质得到∠B＝30°,根据三角形的内角和定理得到∠GAD＝60°,根据等腰三角形的性质得到∠AED＝∠ADE＝72°,根据圆周角定理即可得到结论。【解答】解：连接AD,∵BC与⊙A相切于点D，∴AD⊥BC,∴∠ADB＝∠ADC＝90°,∵AB＝6,AG＝AD＝3,∴AD＝AB,∴∠B＝30°,∴∠GAD＝60°,∵∠CDE＝18°，∴∠ADE＝90°﹣18°＝72°,∵AD＝AE,∴∠AED＝∠ADE＝72°,∴∠DAE＝180°﹣∠ADE﹣∠AED＝180°﹣72°﹣72°＝36°,∴∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝60°+36°＝96°,∴∠GFE＝GAE＝96°＝48°,故选：B．7．已知关于x的一元二次方程kx2﹣（2k﹣1）x+k﹣2＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（　　）A．k＞﹣ B．k＜ C．k＞﹣且k≠0 D．k＜且k≠0【分析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且△＝（2k﹣1）2﹣4k•（k﹣2）＞0，然后其出两个不等式的公共部分即可．【解答】解：根据题意得k≠0且△＝（2k﹣1）2﹣4k•（k﹣2）＞0，解得k＞﹣且k≠0．故选：C．8．将抛物线y＝﹣x2﹣2x+3的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线必定经过（　　）A．（﹣2，2） B．（﹣1，1） C．（0，6） D．（1，﹣3）【分析】直接将原函数写成顶点式，再利用二次函数平移规律：左加右减，上加下减，进而得出平移后解析式，再把各选项的点代入判断即可．【解答】解：y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x2+2x）+3＝﹣[（x+1）2﹣1]+3＝﹣（x+1）2+4，∵将抛物线y＝﹣x2﹣2x+3的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，∴得到的抛物线解析式为：y＝﹣x2+2，当x＝﹣2时，y＝﹣（﹣2）2+2＝﹣4+2＝﹣2，故（﹣2，2）不在此抛物线上，故A选项不合题意；当x＝﹣1时，y＝﹣（﹣1）2+2＝﹣1+2＝1，故（﹣1，1）在此抛物线上，故B选项符合题意；当x＝0时，y＝﹣02+2＝0+2＝2，故（0，6）不在此抛物线上，故A选项不合题意；当x＝1时，y＝﹣12+2＝﹣1+2＝1，故（1，﹣3）不在此抛物线上，故A选项不合题意；故选：B．9．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝90°，∠BCD＝120°，AB＝2，CD＝1，则AD的长为（　　）A．2﹣2 B．3﹣ C．4﹣ D．2【分析】延长AD、BC交于E，先利用直角三角形的性质求得AE的长，然后再求得DE的长，从而求得答案．【解答】解：延长AD、BC交于E，∵∠BCD＝120°，∴∠A＝60°，∵∠B＝90°，∴∠ADC＝90°，∠E＝30°，在Rt△ABE中，AE＝2AB＝4，在Rt△CDE中，DE＝＝，∴AD＝AE﹣DE＝4﹣，故选：C．10．如图，在平行四边形ABCD中，E是BD的中点，则下列四个结论：①AM＝CN；②若MD＝AM，∠A＝90°，则BM＝CM；③若MD＝2AM，则S△MNC＝S△BNE；④若AB＝MN，则△MFN与△DFC全等．其中正确结论的个数为（　　）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据平行四边形的性质，证明△MDB≌△NBD，从而判断①正确；若MD＝AM，∠A＝90°，则平行四边形ABCD为矩形，通过证明△BAM≌△CDM可以判断②；过点M作MG⊥BC，交BC于G，过点E作EH⊥BC，交BC于H，通过三角形面积公式可以判断③；若AB＝MN则四边形MNCD是等腰梯形，通过证明△MNC≌△DCN和△MFN≌△DFC即可判断④．【解答】解：①∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠ADB＝∠CBD，∵E是BD的中点，∴BE＝DE，在△MDB和△NBD中，，∴△MDB≌△NBD（ASA），∴DM＝BN，∴AM＝CN，故①正确；②若MD＝AM，∠A＝90°，则平行四边形ABCD为矩形，∴∠D＝∠A＝90°，在△BAM和△CDM中，，∴△BAM≌△CDM（SAS），∴BM＝CM，故②正确；③过点M作MG⊥BC，交BC于G，过点E作EH⊥BC，交BC于H，由①可知四边形MBCD是平行四边形，E为BD中点，∴MG＝2EH，又∵MD＝2AM，BN＝MD，AM＝NC，∴S△ANC＝NC•MG＝•BN•2EH＝BN•EH＝S△BNE，故③正确；④∵AB＝MN，AB＝DC，∴MN＝DC，∴四边形MNCD是等腰梯形，∴∠MNC＝∠DCN，在△MNC和△DCN中，，∴△MNC≌△DCN（SAS），∴∠NMC＝∠CDN，在△MFN和△DFC中，，∴△MFN≌△DFC（AAS），故④正确．∴正确的个数是4个，故选：D．11．如图，为了测量某建筑物BC的高度，小颖采用了如下的方法：先从与建筑物底端B在同一水平线上的A点出发，沿斜坡AD行走130米至坡顶D处，再从D处沿水平方向继续前行若干米后至点E处，在E点测得该建筑物顶端C的仰角为60°，建筑物底端B的俯角为45°，点A、B、C、D、E在同一平面内，斜坡AD的坡度i＝1：2.4．根据小颖的测量数据，计算出建筑物BC的高度约为（参考数据：≈1.732）（　　）A．136.6米 B．86.7米 C．186.7米 D．86.6米【分析】作DH⊥AB于H，延长DE交BC于F．则四边形DHBF是矩形，在Rt△ADH中求出DH，再在Rt△EFB中求出EF，在Rt△EFC中求出CF即可解决问题．【解答】解：如图作DH⊥AB于H，延长DE交BC于F．在Rt△ADH中，AD＝130米，DH：AH＝1：2.4，∴DH＝50（米），∵四边形DHBF是矩形，∴BF＝DH＝50（米），在Rt△EFB中，∠BEF＝45°，∴EF＝BF＝50米，在Rt△EFC中，FC＝EF•tan60°，∴CF＝50×≈86.6（米），∴BC＝BF+CF＝136.6（米）．故选：A．12．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝5，点P在线段BC上运动（含B、C两点），连接AP，以点A为中心，将线段AP逆时针旋转60°到AQ，连接DQ，则线段DQ的最小值为（　　）A． B． C． D．3【分析】如图，以AB为边向右作等边△ABF,作射线FQ交AD于点E,过点D作DH⊥QE于H．利用全等三角形的性质证明∠AFQ＝90°,推出∠AEF＝60°,推出点Q的运动轨迹是射线FE,求出DH,可得结论．【解答】解：如图，以AB为边向右作等边△ABF,作射线FQ交AD于点E,过点D作DH⊥QE于H．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABP＝∠BAE＝90°,∵△ABF,△APQ都是等边三角形，∴∠BAF＝∠PAQ＝60°,BA＝FA,PA＝QA,∴∠BAP＝∠FAQ,在△BAP和△FAQ中，,∴△BAP≌△FAQ(SAS),∴∠ABP＝∠AFQ＝90°,∵∠FAE＝90°﹣60°＝30°,∴∠AEF＝90°﹣30°＝60°,∵AB＝AF＝5,AE＝AF÷cos30°＝,∴点Q的运动轨迹是射线FE,∵AD＝BC＝5,∴DE＝AD﹣AE＝,∵DH⊥EF,∠DEH＝∠AEF＝60°,∴DH＝DE•sin60°＝×＝,根据垂线段最短可知，当点Q与H重合时，DQ的值最小，最小值为，故选：A．二、填空题（本大题共6小题，满分18分。只要求填写最后结果，每小题填对得4分）13．（3分）2021年5月15日7时18分，天问一号着陆巡视器成功着陆于火星，我国首次火星探测任务着陆火星取得圆满成功．探测器距离地球约3.2亿千米．数据3.2亿千米用科学记数法可以表示为 　3.2×108　千米．【分析】把一个大于10的数写成科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数，n的值比这个数的位数少1．【解答】解：3.2亿＝320000000＝3.2×108，故答案为：3.2×108．14．（3分）《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？”其大意是：“今有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也为50．问甲、乙各有多少钱？”设甲的钱数为x，乙的钱数为y，根据题意，可列方程组为　　．【分析】根据乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也为50和题目中所设的未知数，可以列出相应的方程组，从而可以解答本题．【解答】解：由题意可得，，故答案为：．15．（3分）如图是抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象，图象过点（3，0），对称轴为直线x＝1，有下列四个结论：①abc＞0；②a﹣b+c＝0；③y的最大值为3；④方程ax2+bx+c+1＝0有实数根．其中正确的为 　②④　（将所有正确结论的序号都填入）．【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴判定b与0的关系；当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c；然后由图象确定当y＝﹣1时，x的值有2个．【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵对称轴x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a＞0，∵抛物线与y轴的交点在y轴正半轴，∴c＞0，∴abc＜0，故①错误；∵抛物线与x轴的交点（3，0），对称轴为直线x＝1，∴抛物线x轴的另一个交点在（﹣1，0），∴当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝0，即②正确；由图象无法判断y的最大值，故③错误；方程ax2+bx+c+1＝0，可看作二次函数y＝ax2+bx+c与y＝﹣1的交点个数，由图象可知，必然有2个交点，即方程ax2+bx+c+1＝0有2个不想等的实数根．故④正确．故答案为：②④．16．（3分）若△ABC为直角三角形，AC＝BC＝4，以BC为直径画半圆如图所示，则阴影部分的面积为 　4　．【分析】连接CD．构建直径所对的圆周角∠BDC＝90°，然后利用等腰直角△ABC的性质：斜边上的中线是斜边的一半、中线与垂线重合，求得CD＝BD＝AD，从而求得弦BD与CD所对的弓形的面积相等，所以图中阴影部分的面积＝直角三角形ABC的面积﹣直角三角形BCD的面积．【解答】解：连接CD．∵BC是直径，∴∠BDC＝90°，即CD⊥AB；又∵△ABC为等腰直角三角形，∴CD是斜边AB的垂直平分线，∴CD＝BD＝AD,∴＝,∴S弓形BD＝S弓形CD，∴S阴影＝SRt△ABC﹣SRt△BCD；∵△ABC为等腰直角三角形，CD是斜边AB的垂直平分线，∴SRt△ABC＝2SRt△BCD；又SRt△ABC＝×4×4＝8，∴S阴影＝4；故答案为：4．17．（3分）如图，将矩形纸片ABCD折叠（AD＞AB），使AB落在AD上，AE为折痕，然后将矩形纸片展开铺在一个平面上，E点不动，将BE边折起，使点B落在AE上的点G处，连接DE，若DE＝EF，CE＝2，则AD的长为 　4+2　．【分析】证明Rt△EBF≌Rt△EB′D（HL）,推出BF＝DB′,再证明DB′＝EC＝BF＝2,想办法求出AB′,可得结论。【解答】解：由翻折的性质可知，EB＝EB′,∠B＝∠AB′E＝∠EB′D＝90°,在Rt△EBF和Rt△EB′D中，,∴Rt△EBF≌Rt△EB′D（HL）,∴BF＝DB′,∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝∠CDB′＝∠EB′D＝90°,∴四边形ECDB′是矩形，∴DB′＝EC＝2,∴BF＝EC＝2,由翻折的性质可知，BF＝FG＝2,∠FAG＝45°,∠AGF＝∠B＝∠AGF＝90°,∴AG＝FG＝2,∴AF＝2．∴AB＝AB′＝2+2,∴AD＝AB′+DB′＝4+2,故答案为：4+2。18．（3分）如图，点B1在直线l：y＝x上，点B1的横坐标为2，过点B1作B1A1⊥l，交x轴于点A1，以A1B1为边，向右作正方形A1B1B2C1，延长B2C1交x轴于点A2；以A2B2为边，向右作正方形A2B2B3C2，延长B3C2交x轴于点A3；以A3B3为边，向右作正方形A3B3B4C3，延长B4C3交x轴于点A4；…；照这个规律进行下去，则第n个正方形AnBnBn+1∁n的边长为 　　（结果用含正整数n的代数式表示）．【分析】设直线y＝x与x轴夹角为α，过B1作B1H⊥x轴于H，由点B1的横坐标为2，点B1在直线l：y＝x上，可得OH＝2，B1H＝1，OB1＝＝，tanα＝＝,Rt△A1B1O中，求得A1B1＝OB1•tanα＝，即第1个正方形边长是，在Rt△A2B2O中，求得第2个正方形边长是×，在Rt△A3B3O中，求得第3个正方形边长是×＝×（）2，在Rt△A4B4O中，求得第4个正方形边长是×＝×()3，......观察规律即可得：第n个正方形边长是×()n﹣1．【解答】解：设直线y＝x与x轴夹角为α，过B1作B1H⊥x轴于H，如图：∵点B1的横坐标为2，点B1在直线l：y＝x上，令x＝2得y＝1,∴OH＝2，B1H＝1，OB1＝＝，∴tanα＝＝,Rt△A1B1O中，A1B1＝OB1•tanα＝，即第1个正方形边长是，∴OB2＝OB1+B1B2＝+＝×3，Rt△A2B2O中，A2B2＝OB2•tanα＝×3×＝×，即第2个正方形边长是×，∴OB3＝OB2+B2B3＝×3+×＝×，Rt△A3B3O中，A3B3＝OB3•tanα＝××＝×，即第3个正方形边长是×＝×（）2，∴OB4＝OB3+B3B4＝×+×＝×，Rt△A4B4O中，A4B4＝OB4•tanα＝＝××＝×，即第4个正方形边长是×＝×()3，.....．观察规律可知：第n个正方形边长是×()n﹣1，故答案为：×()n﹣1．三、解答题（本大题共7小题，满分78分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）19．（10分）（1）先化简，再求值：，其中a＝+3；（2）解不等式：1﹣．【分析】（1）分式的混合运算，注意先算乘除，然后算加减，有小括号先算小括号里面的，然后代入求值；（2）解一元一次不等式，按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1的步骤进行计算求解．【解答】解：（1）原式＝[]＝＝﹣，当a＝+3时，原式＝﹣；（2）去分母，得：8﹣（7x﹣1）＞2（3x﹣2），去括号，得：8﹣7x+1＞6x﹣4，移项，得：﹣7x﹣6x＞﹣4﹣1﹣8，合并同类项，得：﹣13x＞﹣13，系数化1，得：x＜1．20．（10分）为庆祝中国共产党成立100周年，落实教育部《关于在中小学组织开展“从小学党史，永远跟党走”主题教育活动的通知》要求，某学校举行党史知识竞赛，随机调查了部分学生的竞赛成绩，绘制成两幅不完整的统计图表．根据统计图表提供的信息，解答下列问题：（1）本次共调查了 　50　名学生；C组所在扇形的圆心角为 　72　度；（2）该校共有学生1600人，若90分以上为优秀，估计该校优秀学生人数为多少？（3）若E组14名学生中有4人满分，设这4名学生为E1，E2，E3，E4，从其中抽取2名学生代表学校参加上一级比赛，请用列表或画树状图的方法求恰好抽到E1，E2的概率．竞赛成绩统计表（成绩满分100分）【分析】（1）用A组人数除以它所占的百分比得到本次共调查的总人数；用360°乘以C组人数所占的百分比得到C组的圆心角的度数；（2）先计算出D组的人数，然后用1600乘以样本中D组和E组人数所占的百分比即可；（3）画树状图展示所有12种等可能的结果，找出恰好抽到E1，E2的结果数，然后根据概率公式求解。【解答】解：（1）本次共调查的学生＝14÷28%＝50（人）；C组的圆心角为360°×＝72°，故答案为50；72；（2）B组的人数为50×12%＝16（人），则D组的人数为50﹣4﹣6﹣1﹣14＝16（人），则优秀的人数为1600×＝960（人）；（3）画树状图为：共有12种等可能的结果，其中恰好抽到E1，E2的结果数为2，所以恰好抽到E1，E2的概率＝＝．21．（10分）如图，点P为函数y＝x+1与函数y＝（x＞0）图象的交点，点P的纵坐标为4，PB⊥x轴，垂足为点B．（1）求m的值；（2）点M是函数y＝（x＞0）图象上一动点，过点M作MD⊥BP于点D，若tan∠PMD＝，求点M的坐标．【分析】（1）根据点P为函数y＝x+1图象的点，点P的纵坐标为4，可以求得点P的坐标，进而求得m的值；（2）设点M的坐标（x，y），分两种情况：点M在点P右侧，点M在点P左侧，根据tan∠PMD＝得＝，根据点P的坐标求出x、y的值，即可得出答案．【解答】解：∵点P为函数y＝x+1图象的点，点P的纵坐标为4，∴4＝x+1，解得：x＝6，∴点P（6，4），∵点P为函数y＝x+1与函数y＝（x＞0）图象的交点，∴4＝，∴m＝24；（2）设点M的坐标（x，y），∵tan∠PMD＝，∴＝，①点M在点P右侧，如图，∵点P（6，4），∴PD＝4﹣y，DM＝x﹣6，∴＝，∵xy＝m＝24，∴y＝，∴2（4﹣）＝x﹣6，解得：x＝6或8，∵点M在点P右侧，∴x＝8，∴y＝3，∴点M的坐标为（8，3）；②点M在点P左侧，∵点P（6，4），∴PD＝y﹣4，DM＝6﹣x，∴＝，∵xy＝m＝24，∴y＝，∴2（4﹣）＝x﹣6，解得：x＝6或8，∵点M在点P左侧，∴此种情况不存在；∴点M的坐标为（8，3）．22．（10分）接种疫苗是阻断新冠病毒传播的有效途径，针对疫苗急需问题，某制药厂紧急批量生产，计划每天生产疫苗16万剂，但受某些因素影响，有10名工人不能按时到厂．为了应对疫情，回厂的工人加班生产，由原来每天工作8小时增加到10小时，每人每小时完成的工作量不变，这样每天只能生产疫苗15万剂．（1）求该厂当前参加生产的工人有多少人？（2）生产4天后，未到的工人同时到岗加入生产，每天生产时间仍为10小时．若上级分配给该厂共760万剂的生产任务，问该厂共需要多少天才能完成任务？【分析】（1）设当前参加生产的工人有x人，根据每人每小时完成的工作量不变，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）利用每人每小时完成的工作量＝工作总量÷工作时间÷参与工作的人数，即可求出每人每小时完成的工作量，设还需要生产y天才能完成任务，根据工作总量＝工作效率×工作时间×工作人数，即可得出关于y的方程求解．【解答】解：（1）设当前参加生产的工人有x人，由题意可得：，解得：x＝30，经检验：x＝30是原分式方程的解，且符合题意，∴当前参加生产的工人有30人；（2）每人每小时完成的数量为：16÷8÷40＝0.05（万剂），设还需要生产y天才能完成任务，由题意可得：4×15+（30+10）×10×0.05y＝760，解得：y＝35，35+4＝39（天），∴该厂共需要39天才能完成任务．23．（11分）四边形ABCD为矩形，E是AB延长线上的一点．（1）若AC＝EC，如图1，求证：四边形BECD为平行四边形；（2）若AB＝AD，点F是AB上的点，AF＝BE，EG⊥AC于点G，如图2，求证：△DGF是等腰直角三角形．【分析】（1)先根据四边形ABCD为矩形，CB⊥AE,AC＝EC得出AB＝BE即可；（2）由AB＝AD得出矩形ABCD是正方形，得出∠E＝∠GAE＝45°，然后证明△EGF≌△AGD，再得出∠DGF＝90°，GF＝GD,∠DGA＝∠FGE,从而得出结论．【解答】证明：（1)∵四边形ABCD为矩形，∴AB∥CD,AB＝CD,CB⊥AE,又∵AC＝EC,∴AB＝BE,∴BE＝CD,BE∥CD,∴四边形BECD为平行四边形；(2)∵AB＝AD,∴矩形ABCD是正方形，∵EG⊥AC,∴∠E＝∠GAE＝45°,∴GE＝GA,又∵AF＝BE,∴AB＝FE,∴FE＝AD,在△EGF和△AGD中，,∴△EGF≌△AGD(SAS),∴GF＝GD,∠DGA＝∠FGE,∠DGF＝∠DGA+∠AGF＝∠EGF+∠AGF＝∠AGE＝90°,∴△DGF是等腰直角三角形．24．（13分）二次函数y＝ax2+bx+4（a≠0）的图象经过点A（﹣4，0），B（1，0），与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上一点，连接BP、AC，交于点Q，过点P作PD⊥x轴于点D．（1）求二次函数的表达式；（2）连接BC，当∠DPB＝2∠BCO时，求直线BP的表达式；（3）请判断：是否有最大值，如有请求出有最大值时点P的坐标，如没有请说明理由．【分析】（1）利用待定系数法即可求出答案；（2）设BP与y轴交于点E，设OE＝a，则CE＝4﹣a，BE＝4﹣a，运用勾股定理可求得a＝，得出E(0，)，再利用待定系数法即可求出答案；（3）设PD与AC交于点N，过点B作y轴的平行线与AC相交于点M，利用待定系数法求出直线AC表达式，再利用BM∥PN，可得△PNQ∽△BMQ，进而得出＝＝，设P(a0，﹣a02﹣3a0+4)(﹣4＜a0＜0)，则N(a0，a0+4)，从而得到＝，利用二次函数的性质即可求得答案．【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+4（a≠0）的图象经过点A（﹣4，0），B（1，0），∴，解得：，∴该二次函数的表达式为y＝﹣x2﹣3x+4；（2）如图，设BP与y轴交于点E，∵PD∥y轴，∴∠DPB＝∠OEB，∵∠DPB＝2∠BCO，∴∠OEB＝2∠BCO，∴∠ECB＝∠EBC，∴BE＝CE，设OE＝a，则CE＝4﹣a，∴BE＝4﹣a，在Rt△BOE中，由勾股定理得：BE2＝OE2+OB2，∴(4﹣a)2＝a2+12，解得：a＝，∴E(0，)，设BE所在直线表达式为y＝kx+e(k≠0)，∴，解得：，∴直线BP的表达式为y＝﹣x+；（3）有最大值．如图，设PD与AC交于点N，过点B作y轴的平行线与AC相交于点M，设直线AC表达式为y＝mx+n，∵A(﹣4，0)，C(0，4)，∴，解得：，∴直线AC表达式为y＝x+4，∴M点的坐标为（1，5），∴BM＝5，∵BM∥PN，∴△PNQ∽△BMQ，∴＝＝，设P(a0，﹣a02﹣3a0+4)(﹣4＜a0＜0)，则N(a0，a0+4)，∴＝＝＝，∴当a0＝﹣2时，有最大值，此时，点P的坐标为(﹣2，6)．25．（14分）如图1，O为半圆的圆心，C、D为半圆上的两点，且＝．连接AC并延长，与BD的延长线相交于点E．（1）求证：CD＝ED；（2）AD与OC，BC分别交于点F，H．①若CF＝CH，如图2，求证：CF•AF＝FO•AH；②若圆的半径为2，BD＝1，如图3，求AC的值．【分析】(1)如图1中，连接BC.想办法证明∠E＝∠DCE即可。（2）①证明△AFO∽△AHC,可得结论。②连接CD交BC于G.设OG＝x,则DG＝2﹣x.利用勾股定理构建方程求解即可。【解答】（1）证明：如图1中，连接BC．∵＝,∴∠DCB＝∠DBC,∵AB是直径，∴∠ACB＝∠BCE＝90°,∴∠E+∠DBC＝90°,∠ECD+∠DCB＝90°,∴∠E＝∠DCE,∴DE＝DC．(2)①证明：如图2中，∵CF＝CH,∴∠CFH＝∠CHF,∵∠AFO＝∠CFH,∴∠AFO＝∠CHF,∵＝,∴∠CAD＝∠BAD,∴△AFO∽△AHC,∴＝,∴＝,∴CF•AF＝OF•AH．②解：如图3中，连接CD交BC于G.设OG＝x,则DG＝2﹣x．∵＝,∴∠COD＝∠BOD,∵OC＝OB,∴OD⊥BC,CG＝BG,在Rt△OCG和Rt△BGD中，则有22﹣x2＝12﹣(2﹣x)2,∴x＝,即OG＝,∵OA＝OB,∴OG是△ABC的中位线，∴OG＝AC,∴AC＝．组别分数人数A组75＜x≤804B组80＜x≤85C组85＜x≤9010D组90＜x≤95E组95＜x≤10014合计组别分数人数A组75＜x≤804B组80＜x≤85C组85＜x≤9010D组90＜x≤95E组95＜x≤10014合计