新高考数学一轮复习基础巩固8.10 零点定理（精练）（含解析）

8.10 零点定理（精练）（基础版）

1．（2022·上海）若函数的零点为2，则函数的零点是（    ）

A．0， B．0， C．0，2 D．2，

【答案】A

【解析】因为函数的零点为2，所以，

∵，，∴，∴．

令，得或．

故选：A.

2．（2022·北京）已知且，则的零点个数为（    ）

A． B． C． D．不能确定

【答案】C

【解析】，，又，，

二次函数有个零点.

故选：C.

3．（2022·福建福州 ）（多选）已知函数，则函数的零点是（    ）

A．-1 B．0 C．1 D．2

【答案】ABC

【解析】令，

当时，有，则；

当时，有，则；

当时，有，则；

故函数的零点是

故选：ABC

4．（2021高三上·吉林月考）（多选）等比数列 中， 与 是函数 的两个零点，则 的值为（　　） 

A．-2 B．2 C．-5 D．5

【答案】B

【解析】由题意， 与 是函数 的两个零点

令

由韦达定理，

由于 为等比数列，故

故答案为：B

5．（2022·全国·专题练习）函数的零点是___．

【答案】8

【解析】由得，解得，即的零点为8.故答案为：8

6．（2022·福建·厦门外国语学校 ）已知函数则方程的根___________.

【答案】或2

【解析】当时，，所以，

令，得，

当时，，

当时，，

所以函数在上单调递减，在上单调递增，

所以，

故当时，有唯一根，

当时，，

令，解得（舍去）或2，

故当时，的根为2，

综上，根为或2.

故答案为：或2.

7．（2022·广东·佛山市南海区桂城中学 ）函数的导数的零点组成的集合为___________.

【答案】

【解析】,

令，则或或

故答案为：

1．（2021高三上·陕西月考）函数 的零点所在的一个区间是（　　） 

A．(1，2) B．(2，3) C．(3，4) D．(4，5)

【答案】B

【解析】函数 在 上单调递增且连续，

且 ，

；

故函数 的零点所在的一个区间是(2，3).

故答案为：B.

2．（2021高三上·月考）下列区间中，包含函数 的零点的是（　　） 

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】 函数 在 上单调递减，且 ，

的零点在 内.故答案为：C

3．（2022高三上·兴宁期末）若 ，则（　　）  

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】设函数 ，则 在 上单调递增，

又 ，

，

所以有 ， ，

所以由零点存在性定理可知函数 的一个零点位于 .

故答案为：C

4．（2022高三上·辽宁期中）已知函数 ，那么在下列区间中含有函数 零点的是（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为函数 ，是连续单调函数，

且

，

∴函数f(x)在区间 必有零点，

故答案为：B．

5．（2022高三上·海安月考）函数 的零点所在的大致区间是（　　）  

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】因为函数 在 上单调递增，

且 ， ，

所以函数 的零点所在的大致区间为 .

故答案为：A.

1．（2022高三上·河南期中）已知函数 ，则函数 的零点个数为（　　） 

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【解析】当 时，令 ，解得 或 （舍）；

当 时，令 ，解得 或 （舍）

∴ 或 为函数 的零点，

则函数 有2个零点.

故答案为：B.

2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则函数，的零点个数（　　）

A．5或6个 B．3或9个 C．9或10个 D．5或9个

【答案】D

【解析】设，则由，

得，即，

又，

由得或，此时函数单调递增，

由得，此时函数单调递减，

即函数在处取得极大值，

函数在处取得极小值，

又由，可得图象：

若，，则方程有三个解，

满足，，，

则当时，方程，有3个根，

当时，方程，有3个根，

当时，方程，有3个根，

此时共有9个根，

若，，则方程有两个解，

满足，，

则当时，方程，有3个根，

当，有2个根，

此时共有5个根，

同理，，也共有5个根

故选：D．

3．（2022·黑龙江 ）已知函数，则函数的零点个数是（    ）

A．4 B．5 C．6 D．7

【答案】B

【解析】令，，则，即，

分别作出函数和直线的图象，如图所示，

由图象可得有两个交点，横坐标设为，，

则，，

对于，分别作出函数和直线的图象，如图所示，

由图象可得，

当时，即方程有两个不相等的根，

当时，函数和直线有三个交点，

即方程有三个不相等的根，

综上可得的实根个数为，

即函数的零点个数是5.

故选：B.

4．（2023·全国·高三专题练习）若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x，则函数y＝f(x)－log3|x|的零点个数是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】D

【解析】由题意知，f(x)是周期为2的偶函数．

在同一坐标系内作出函数y＝f(x)及y＝log3|x|的图象，如下：

观察图象可以发现它们有4个交点，

即函数y＝f(x)－log3|x|有4个零点．

故选：D.

5．（2022·西安模拟）已知是定义在上的奇函数，且，则函数的零点个数至少为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】C

【解析】是定义在上的奇函数，

，且零点关于原点对称，

零点个数为奇数，排除选项，

又

，

，

，

，

的零点至少有个，
故答案为：C.

6．（2022·新疆三模）函数的零点个数为　     　.

【答案】2

【解析】当时，令，解得，，此时有1个零点；当时， ，显然单调递增，

又，由零点存在定理知此时有1个零点；综上共有2个零点.

故答案为：2.

7．（2022·全国·课时练习）函数的零点个数为________．

【答案】1

【解析】解法一：令，可得方程，即，

故原函数的零点个数即为函数与图象的交点个数．

在同一平面直角坐标系中作出两个函数的大致图象（如图）．

由图可知，函数与的图象只有一个交点，

故函数只有一个零点，

故答案为：1

解法二：∵，，

∴，

又的图象在上是不间断的，

∴在上必有零点，

又在上是单调递增的，

∴函数的零点有且只有一个，

故答案为：1

8．（2022·全国·课时练习）函数的零点个数为________．

【答案】1

【解析】令，可得方程．

在同一平面直角坐标系内作出函数与的图象，如图，

由图可知，函数与的图象只有一个交点，

故方程只有一个解，

故函数只有一个零点．

故答案为：1.

9．（2022·河南·郑州十九中高三阶段练习（文））已知函数则函数的零点个数是___________.

【答案】5

【解析】令，，

则，

分别作出和直线，

由图象可得有两个交点，横坐标设为，，

则，，

即有有2根；

时，有3个不等实根，

综上可得的实根个数为5，

即函数的零点个数是5．

故答案为：5．

10．（2023·全国·高三专题练习）若偶函数满足，在时，，则关于x的方程在上根的个数是___．

【答案】4

【解析】满足，故可得，所以函数是以2为周期的周期函数，且是偶函数

根据，得该函数在[0，4]上的图象为：

再在同一坐标系中做出函数的图象，当时，，当时，，而当时，

如图，当时，两函数图象有四个交点．

所以方程在[0，4]上有4个根．

故答案为：4．

11．（2022·全国·专题练习）奇函数定义在上，且对常数，恒有，则在区间上，方程根的个数最小值为_______.

【答案】5

【解析】函数是定义在上的奇函数，

故，

又，即周期为，

，

又由，且

，，

故在区间，方程根有，，，，，

个数最小值是个，

故答案为：5.

12．（2022·全国· 专题练习）已知函数图象关于直线对称，则函数在区间上零点的个数为_______.

【答案】3

【解析】函数图象关于直线对称，

，(的对称轴是)

，，

由知，时，，

故，

令得，．

因为，所以时，满足条件，

故零点有三个．

故答案为：3

1．（2022·四川雅安）已知函数，若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】函数有两个不同的零点，即方程有两个不同的根，从而函数的图象和函数的图象有两个不同的交点，

由可知，当时，函数是周期为1的函数，

如图，在同一直角坐标系中作出函数的图象和函数的图象，

数形结合可得，当即时，两函数图象有两个不同的交点，

故函数有两个不同的零点.

故选：A.

2．（2021·全国· 单元测试）已知函数有唯一的零点，则实数a的值为（    ）

A．1 B．－1 C．0 D．－2

【答案】B

【解析】函数定义域为R，函数，即函数为偶函数，

当时，，则在上单调递增，在上单调递减，

则当时，，因函数有唯一的零点，于是得，解得，

所以实数a的值为.

故选：B

3．（2022·辽宁·东北育才双语学校一模）已知函数，若关于x的方程有6个不同的实数根，则m的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】画出的图象如图，令，则先讨论的零点.

当，即时，不合题意；

当，即时，易得或，此时当或时均不满足有6个零点，不合题意；

故，或，设的两根为，不妨设，由韦达定理，且.

①当时，与均无零点，不合题意；

②当时：

1. 若，则，此时有4个零点，有2个零点，合题意；

2. 若，此时有3个零点，则有且仅有3个零点，此时，故；

综上可得或.

又，故，结合在上为减函数可得在，上为增函数.

故

故选：A

4．（2022·河南模拟）已知函数至多有2个不同的零点，则实数a的最大值为（　　）．

A．0 B．1 C．2 D．e

【答案】C

【解析】令，得到，

函数至多有2个不同的零点，等价于至多有两个不同的根，

即函数与至多有2个不同的交点

令，

则，

当时，，单调递增，

当或时，，单调递减，

所以与为函数的极值点，且，

且在R上恒成立，

画出的图象如下：

由图可知：或时，符合题意，

其中，解得：

设，则，

当时，，当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减，

由可得：，所以，

综上所述：实数a的最大值为2。

故答案为：C

5．（2022·江西省临川第二中学 ）已知函数恰有一个零点，则实数a的取值范围为______．

【答案】．

【解析】由 ，x=0不是方程的解，∴ ，

将原方程唯一零点转变为直线与曲线 有唯一交点，

下面讨论曲线的图像：

的定义域为 ， ，

当 时， ，当 时， ，

当 时，  ，

因此y在处，取得极小值，其极小值为 ，

当 时，，即y是单调递减的，

当x从小于0的方向趋向0的时候，y趋向于 ，

故图像如下图：

；

故答案为：.