新高考数学一轮复习课时过关练习第08章 平面解析几何第1节 直线的方程 (含解析)

这是一份新高考数学一轮复习课时过关练习第08章 平面解析几何第1节 直线的方程 (含解析)，共16页。试卷主要包含了直线的斜率，直线方程的五种形式等内容，欢迎下载使用。
考试要求 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.
1.直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角；
(2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°；
(3)范围：直线的倾斜角α的取值范围是{α|0°≤α0；
当k＝0时，直线为y＝1，符合题意，故k的取值范围是[0，＋∞).
(3)解 由题意可知k≠0，再由l的方程，
得Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1＋2k,k)，0))，B(0，1＋2k).
依题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－\f(1＋2k,k)0，))解得k>0.
∵S＝eq \f(1,2)·|OA|·|OB|＝eq \f(1,2)·eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1＋2k,k)))·|1＋2k|＝eq \f(1,2)·eq \f(（1＋2k）2,k)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4k＋\f(1,k)＋4))
≥eq \f(1,2)×(2×2＋4)＝4，
当且仅当4k＝eq \f(1,k)，即k＝eq \f(1,2)，等号成立，
∴Smin＝4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.
感悟提升 1.含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，能够看出“动中有定”.若直线的方程为y＝k(x－1)＋2，则直线过定点(1，2).
2.求解与直线方程有关的面积问题，应根据直线方程求解相应坐标或者相关长度，进而求得多边形面积.
3.求参数值或范围.注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解.
训练3 已知直线l过点M(2，1)，且分别与x轴的正半轴，y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，当△AOB面积最小时，求直线l的方程.
解 法一 设直线l的方程为
y－1＝k(x－2)，
则可得Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2k－1,k)，0))，B(0，1－2k).
∵l与x轴，y轴正半轴分别交于A，B两点，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(2k－1,k)＞0，,1－2k＞0，))∴k＜0.
于是S△AOB＝eq \f(1,2)·|OA|·|OB|
＝eq \f(1,2)·eq \f(2k－1,k)·(1－2k)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4－\f(1,k)－4k))
≥eq \f(1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(4＋2\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,k)))·（－4k）)))＝4.
当且仅当－eq \f(1,k)＝－4k，即k＝－eq \f(1,2)时，△AOB面积有最小值为4，此时，直线l的方程为y－1＝－eq \f(1,2)(x－2)，
即x＋2y－4＝0.
法二 设所求直线l的方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1(a＞0，b＞0)，则eq \f(2,a)＋eq \f(1,b)＝1.
又∵eq \f(2,a)＋eq \f(1,b)≥2eq \r(\f(2,ab))，∴eq \f(1,2)ab≥4，当且仅当eq \f(2,a)＝eq \f(1,b)＝eq \f(1,2)，
即a＝4，b＝2时，△AOB面积S＝eq \f(1,2)ab有最小值为4.
此时，直线l的方程是eq \f(x,4)＋eq \f(y,2)＝1，即x＋2y－4＝0.
1.倾斜角为120°且在y轴上的截距为－2的直线方程为( )
A.y＝－eq \r(3)x＋2 B.y＝－eq \r(3)x－2
C.y＝eq \r(3)x＋2 D.y＝eq \r(3)x－2
答案 B
解析 斜率为tan 120°＝－eq \r(3)，利用斜截式直接写出方程，即y＝－eq \r(3)x－2.
2.(2022·广东七校联考)若过点P(1－a，1＋a)和Q(3，2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围是( )
A.(－2，1)
B.(－1，2)
C.(－∞，0)
D.(－∞，－2)∪(1，＋∞)
答案 A
解析 由题意知eq \f(2a－1－a,3－1＋a)＜0，
即eq \f(a－1,2＋a)＜0，解得－2＜a＜1.
3.(2021·北京丰台区模拟)若直线y＝ax＋c经过第一、二、三象限，则有( )
A.a＞0，c＞0 B.a＞0，c＜0
C.a＜0，c＞0 D.a＜0，c＜0
答案 A
解析 ∵直线y＝ax＋c经过第一、二、三象限，
∴直线的斜率a＞0，在y轴上的截距c＞0.
4.直线2xcs α－y－3＝0eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,3)))))的倾斜角的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,3))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,3)))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2))) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(2π,3)))
答案 B
解析 直线2xcs α－y－3＝0的斜率k＝2cs α，
因为α∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,3)))，所以eq \f(1,2)≤cs α≤eq \f(\r(3),2)，
因此k＝2cs α∈[1，eq \r(3)].
设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，eq \r(3)].
又θ∈[0，π)，所以θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,3)))，
即倾斜角的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,3))).
5.过点(0，1)且与直线2x－y＋1＝0垂直的直线方程是( )
A.x＋2y－1＝0 B.x＋2y－2＝0
C.2x－y－1＝0 D.2x－y－2＝0
答案 B
解析 所求直线的斜率为－eq \f(1,2)，由所求直线过点(0，1)，则直线方程为y＝－eq \f(1,2)x＋1，即x＋2y－2＝0.
6.过函数f(x)＝eq \f(1,3)x3－x2图象上一个动点作函数图象的切线，则切线倾斜角的取值范围为( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(3π,4))) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π))
C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π)) D.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,4)))
答案 B
解析 ∵f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，
∴斜率k＝tan α≥－1，
解得倾斜角α∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π)).
7.在平面直角坐标系xOy中，经过点P(1，1)的直线l与x轴交于点A，与y轴交于点B.若eq \(PA,\s\up6(→))＝－2eq \(PB,\s\up6(→))，则直线l的方程是( )
A.x＋2y－3＝0 B.x－2y＋1＝0
C.2x＋y－3＝0 D.2x－y－1＝0
答案 A
解析 设A(a，0)，B(0，b)，由eq \(PA,\s\up6(→))＝－2eq \(PB,\s\up6(→))，可得a－1＝－2×(0－1)，0－1＝－2(b－1)，则a＝3，b＝eq \f(3,2).由截距式可得直线l的方程为eq \f(x,3)＋eq \f(y,\f(3,2))＝1，即x＋2y－3＝0.
8.(多选)若直线过点A(1，2)，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l的方程为( )
A.x－y＋1＝0 B.x＋y－3＝0
C.2x－y＝0 D.x－y－1＝0
答案 ABC
解析 当直线经过原点时，斜率为k＝eq \f(2－0,1－0)＝2，
所求直线为y＝2x，即2x－y＝0.
当直线不经过原点时，设所求直线方程为
x±y＝k，
把点A(1，2)代入可得1－2＝k或1＋2＝k，求得k＝－1或k＝3，
故所求的直线方程为x－y＋1＝0或x＋y－3＝0.
9.把直线x－y＋eq \r(3)－1＝0绕点(1，eq \r(3))逆时针旋转15°后，所得直线l的方程是________.
答案 y＝eq \r(3)x
解析 已知直线的斜率为1，则其倾斜角为45°，绕点逆时针旋转15°后，得到的直线l的倾斜角α＝45°＋15°＝60°，
直线l的斜率为tan α＝tan 60°＝eq \r(3)，
∴直线l的方程为y－eq \r(3)＝eq \r(3)(x－1)，
即y＝eq \r(3)x.
10.已知三角形的三个顶点A(－5，0)，B(3，－3)，C(0，2)，则BC边上中线所在的直线方程为________.
答案 x＋13y＋5＝0
解析 BC的中点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，－\f(1,2)))，
∴BC边上中线所在直线方程为
eq \f(y－0,－\f(1,2)－0)＝eq \f(x＋5,\f(3,2)＋5)，即x＋13y＋5＝0.
11.设直线l的方程为2x＋(k－3)y－2k＋6＝0(k≠3)，若直线l的斜率为－1，则k＝________；若直线l在x轴、y轴上的截距之和等于0，则k＝________.
答案 5 1
解析 因为直线l的斜率存在，所以直线l的方程可化为y＝－eq \f(2,k－3)x＋2.由题意得－eq \f(2,k－3)＝－1，解得k＝5.
直线l的方程可化为eq \f(x,k－3)＋eq \f(y,2)＝1，由题意得k－3＋2＝0，解得k＝1.
12.(2022·重庆质检)若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为________.
答案 －eq \f(1,3)
解析 依题意，设点P(a，1)，Q(7，b)，
则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＋7＝2，,b＋1＝－2，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－5，,b＝－3，))
从而可知直线l的斜率为eq \f(－3－1,7＋5)＝－eq \f(1,3).
13.(2022·长沙调研)设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))，则点P横坐标的取值范围为( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，－\f(1,2))) B.[－1，0]
C.[0，1] D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))
答案 A
解析 由题意知，y′＝2x＋2，
设P(x0，y0)，则在点P处的切线的斜率k＝2x0＋2.
因为曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))，则0≤k≤1，即0≤2x0＋2≤1，
故－1≤x0≤－eq \f(1,2).
14.(多选)已知直线xsin α＋ycs α＋1＝0(α∈R)，则下列命题正确的是( )
A.直线的倾斜角是π－α
B.无论α如何变化，直线不过原点
C.直线的斜率一定存在
D.当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积不小于1
答案 BD
解析 根据直线倾斜角的范围为[0，π)，
而π－α∈R，所以A不正确；
当x＝y＝0时，xsin α＋ycs α＋1＝1≠0，所以直线必不过原点，B正确；
当α＝eq \f(π,2)时，直线斜率不存在，C不正确；
当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积为S＝eq \f(1,2)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1,－sin α)))·eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1,－cs α)))＝eq \f(1,|sin 2α|)≥1，所以D正确.
15.已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当0＜a＜2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当a＝________时，四边形的面积最小，最小值为________.
答案 eq \f(1,2) eq \f(15,4)
解析 由题意知直线l1，l2恒过定点P(2，2)，直线l1在y轴上的截距为2－a，直线l2在x轴上的截距为a2＋2，所以四边形的面积S＝eq \f(1,2)×2×(2－a)＋eq \f(1,2)×2×(a2＋2)＝a2－a＋4＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋eq \f(15,4)，故当a＝eq \f(1,2)时，四边形面积的最小值为eq \f(15,4).
16.如图，射线OA，OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P(1，0)作直线AB分别交OA，OB于A，B两点，当AB的中点C恰好落在直线y＝eq \f(1,2)x上时，则直线AB的方程是________.
答案 (3＋eq \r(3))x－2y－3－eq \r(3)＝0
解析 由题意可得kOA＝tan 45°＝1，
kOB＝tan(180°－30°)＝－eq \f(\r(3),3)，
所以直线lOA：y＝x，lOB：y＝－eq \f(\r(3),3)x.
设A(m，m)，B(－eq \r(3)n，n)，
所以AB的中点Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m－\r(3)n,2)，\f(m＋n,2))).
由点C在直线y＝eq \f(1,2)x上，且A，P，B三点共线得
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(m＋n,2)＝\f(1,2)·\f(m－\r(3)n,2)，,（m－0）·（－\r(3)n－1）＝（n－0）·（m－1），))
解得m＝eq \r(3)，所以A(eq \r(3)，eq \r(3)).
又P(1，0)，所以kAB＝kAP＝eq \f(\r(3),\r(3)－1)＝eq \f(3＋\r(3),2)，
所以lAB：y＝eq \f(3＋\r(3),2)(x－1)，
即直线AB的方程为(3＋eq \r(3))x－2y－3－eq \r(3)＝0.名称
几何条件
方程
适用条件
斜截式
纵截距、斜率
y＝kx＋b
与x轴不垂直的直线
点斜式
过一点、斜率
y－y0＝k(x－x0)
两点式
过两点
eq \f(y－y1,y2－y1)＝eq \f(x－x1,x2－x1)
与两坐标轴均不垂直的直线
截距式
纵、横截距
eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1
不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线
一般式
Ax＋By＋C＝0
(A2＋B2≠0)
所有直线
α
0
0