(通用版)高考数学二轮复习选填题专项测试第16篇椭圆02（含解析）

  高考数学选填题专项测试02（椭圆）

第I卷（选择题)

一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（·全国高三二模）若椭圆：的一个焦点坐标为，则的长轴长为（    ）

A． B．2 C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】利用交点坐标求得的值，由此求得的长轴长.

【详解】由于方程为椭圆，且焦点在轴上，所以，解得，所以，长轴长为.故选：D

【点睛】本小题主要考查根据椭圆焦点坐标求参数，考查椭圆长轴长的求法，属于基础题.

2．（·重庆一中高三月考）若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】由抛物线方程可得其焦点坐标为，由椭圆的方程可得其焦点坐标为，再列方程求解即可.

【详解】由抛物线方程为，则其焦点坐标为，由椭圆的方程为，则其焦点坐标为，由已知有，即，故选：D.

【点睛】本题考查了抛物线、椭圆的焦点坐标的求法，属基础题.

3．（·河北高三）阿基米德（公元前287年～公元前212年）是伟大的古希腊哲学家、百科式科学家、数学家、物理学家、力学家，静态力学和流体静力学的奠基人，他研究了圆锥曲线许多性质，曾利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴与短半轴之积.若椭圆C的两个焦点为，，P为椭圆上一点，的面积最大值为12，且椭圆离心率为，则椭圆C的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】根据的最大值、离心率及椭圆中关系，可列方程组求得的值，结合题意即可确定椭圆C的面积.

【详解】设椭圆长半轴与短半轴分别为，的面积最大值为12，椭圆离心率为，

则，解得，，，由题意可知，所以椭圆C的面积为，故选：A.

【点睛】本题考查了圆锥曲线性质的简单应用，借助古典文化考查理解能力，属于基础题.

4．（·贵州贵阳一中高三月考）直线与椭圆交于、两点，（为原点）是面积为的等腰直角三角形，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】设点为第一象限的点，求出点的坐标，再将点的坐标代入椭圆的方程可求得的值.

【详解】不妨设点为第一象限的点，则，由于为等腰直角三角形，则点.

的面积为，所以，，所以，点在椭圆上，则，解得.故选：B.

【点睛】本题椭圆方程中参数的求解，涉及三角形面积的计算，解答的关键就是求出椭圆上一点的坐标，考查计算能力，属于中等题.

5． （·高密市第一中学高三月考）某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点（离地面最近的点）距地面千米，远地点（离地面最远的点）距地面千米，并且三点在同一直线上，地球半径约为千米，设该椭圈的长轴长、短轴长、焦距分别为，则下列中不正确的是（    ）

A． B． 

C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】根据条件数形结合可知，然后变形后，逐一分析选项，得到正确答案.

【详解】因为地球的中心是椭圆的一个焦点，并且根据图象可得 ，（*）

，故A正确；，故B正确；（*）两式相加，可得，故C不正确；由（*）可得 ，两式相乘可得 ， ，故D正确.故选：ABD

【点睛】本题考查圆锥曲线的实际应用问题，意在考查抽象，概括，化简和计算能力，本题的关键是写出近地点和远地点的方程，然后变形化简.

6. （·江西南昌二中高三一模）斜率为1的直线l与椭圆相交于A、B两点，则的最大值为　　

A．2 B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】设出直线的方程，代入椭圆方程中消去y，根据判别式大于0求得t的范围，进而利用弦长公式求得|AB|的表达式，利用t的范围求得|AB|的最大值．

【详解】设直线l的方程为y＝x+t，代入y2＝1，消去y得x2+2tx+t2﹣1＝0，由题意得△＝（2t）2﹣5（t2﹣1）＞0，即t2＜5．弦长|AB|＝4．故选：C．

【点睛】本题主要考查了椭圆的应用，直线与椭圆的关系．常需要把直线与椭圆方程联立，利用韦达定理，判别式找到解决问题的突破口．

7．（·山东高三月考）蒙日圆涉及的是几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线 的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆，若椭圆C： (a>0)的蒙日圆，a=（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】A

【解析】

【分析】由题意可得椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，设特殊值法，求出两条切线的交点坐标，代入蒙日圆的方程可得的值．

【详解】因为椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，找两个特殊点分别为，，则两条切线分别是，，这两条切线相互垂直，且两条直线的交点为，而在蒙日圆上，所以＝，解得＝.故选：A

【点睛】本小题主要考查利用给定的定理进行计算，考查椭圆的切线方程，属于基础题.

8．（·云南师大附中高三月考）已知椭圆与抛物线有公共焦点椭圆与抛物线交于两点，且三点共线，则椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】，不妨设A在第一象限，则点A即可写成，也可写成，然后由即可建立a，b，c的方程.

【详解】为坐标原点，由题意知，不妨设A在第一象限，则点，又因为在椭圆上，

所以，由，得，即，所以，解得，

又，故椭圆的离心率为.故选：A.

【点睛】本题考查椭圆的离心率问题，求椭圆的离心率问题关键是建立起a，b，c，三者间的等式或不等关系，本题属于基础题.

9．（·海南高三）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，如图是过且垂直于长轴的弦，则的内切圆方程是（    ）

A．           B． 

C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】利用公式计算出，其中为的周长，为内切圆半径，再利用圆心到直线AB的距离等于半径可得到圆心坐标.

【详解】由已知，，，，设内切圆的圆心为，半径为，则

，故有，解得，由，或（舍），所以的内切圆方程为

【点睛】本题考查椭圆中三角形内切圆的方程问题，涉及到椭圆焦点三角形、椭圆的定义等知识，考查学生的运算能力，是一道中档题.

10. （·山西大同一中高三一模）已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上且在轴的上方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率是（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】结合图形可以发现，利用三角形中位线定理，将线段长度用坐标表示成圆的方程，与椭圆方程联立可进一步求解.利用焦半径及三角形中位线定理，则更为简洁.

【详解】方法1：由题意可知，由中位线定理可得，设可得，联立方程可解得（舍），点在椭圆上且在轴的上方，

求得，所以

方法2：焦半径公式应用

解析：由题意可知，由中位线定理可得，即

求得，所以.

【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、直线与圆的位置关系，利用数形结合思想，是解答解析几何问题的重要途径.

11. （·浙江高三开学考试）设椭圆的标准方程为，若斜率为1的直线与椭圆相切同时亦与圆（为椭圆的短半轴）相切，记椭圆的离心率为，则（ ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】设切线方程为，代入椭圆方程，由直线与椭圆相切可得.直线与圆相切，可得，又，可求.

【详解】设切线方程为，代入椭圆方程可得：.因为相切，由直线与圆相切，可得：，或（舍去）.则有，因为，所以可得.

【点睛】本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，考查椭圆的几何性质，属于基础题.

12．（·广东高三）设过定点的直线与椭圆：交于不同的两点，，若原点在以为直径的圆的外部，则直线的斜率的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】设直线：，，，由原点在以为直径的圆的外部，可得，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，即可求得答案.

【详解】显然直线不满足条件，故可设直线：，，，由，得，，解得或，

，，，，

，解得，直线的斜率的取值范围为.故选：D.

【点睛】本题解题关键是掌握椭圆的基础知识和圆锥曲线与直线交点问题时，通常用直线和圆锥曲线联立方程组，通过韦达定理建立起目标的关系式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题．

第II卷（非选择题)

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中的横线上。

13.（·重庆巴蜀中学高三月考）求经过椭圆的左右焦点、和上顶点的圆的标准方程______.

【答案】

【解析】

【分析】根据椭圆的性质以及直角三角形的性质，确定圆心以及半径，即可得出该圆的方程.

【详解】根据椭圆的性质得，则

则为直角三角形，即过、，的圆的圆心为，半径，即

故答案为：

【点睛】本题主要考查了椭圆的基本性质以及求过三点的圆的方程，属于中档题.

14．（·江西南昌二中高三一模）已知为椭圆内一定点，经过引一条弦，使此弦被点平分，则此弦所在的直线方程为________________．

【答案】

【解析】

【分析】设弦所在的直线与椭圆相交于、两点，利用点差法可求得直线的斜率，进而可求得直线的点斜式方程，化为一般式即可.

【详解】设弦所在的直线与椭圆相交于、两点，由于点为弦的中点，则，得，由题意得，两式相减得，

所以，直线的斜率为，所以，弦所在的直线方程为，即.故答案为：.

【点睛】本题考查利用弦的中点求弦所在直线的方程，一般利用点差法，也可以利用韦达定理设而不求法来解答，考查计算能力，属于中等题.

15．（·吉林高三月考）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于，两点，且.圆与的延长线，的延长线，直线都相切，则圆的半径为______.

【答案】

【解析】

【分析】根据题意，设分别与直线，延长线，延长线切于，，，得出四边形是正方形，利用椭圆的定义，列式转化即可求出圆的半径.

【详解】由题知，设分别与直线，延长线，延长线切于，，，则四边形是正方形，而，，故，

所以.故答案为：.

【点睛】本题考查圆的半径和椭圆的定义的应用，以及圆的切线，考查转化思想和计算能力.

16.（·四川高三二模）经过椭圆中心的直线与椭圆相交于、两点（点在第一象限），过点作轴的垂线，垂足为点.设直线与椭圆的另一个交点为.则的值是_____．

【答案】

【解析】

【分析】作出图形，设点，则、，设点，利用点差法得出，利用斜率公式得出，进而可得出，可得出，由此可求得的值.

【详解】设点，则、，设点，

则，两式相减得，即，

即，由斜率公式得，，，故，因此，.

故答案为：.

【点睛】本题考查椭圆中角的余弦值的求解，涉及了点差法与斜率公式的应用，考查计算能力，属于中等题.