奥数六年级下册 第6讲：正反比例的应用 教案

（ 六年级 ）                                         备课教员：竺老师

第六讲    正反比例的应用

一、教学目标：

  学生为主体

知识目标

1. 能正确判断应用题中的量成什么比例关系。

2. 能利用正、反比例的意义正确解答应用题。

能力目标

1. 培养判断推理能力。

2. 提高自主分析能力。

情感目标

1. 自主探索解决实际问题，并有勇于探索的精神。
2. 继续认识辨证唯物主义观点。
3. 感悟到美源于生活，美来自生产和时代的进步，

   提高审美意识。

二、教学重点：

1. 使学生能正确判断应用题中的数量之间存在什么样的比例

   关系，并能利用正反比例的意义来列出含有未知数的等式，

   从而正确利用比例知识解答应用题。

三、教学难点：

1. 利用正反比例的意义正确列出等式。

四、教学准备：

PPT

五、教学过程：

第一课时（50分钟）

一、导入（5分)

【设计意图：让学生自己主动去回忆所学的概念，通过小组合作讨论，比较正反比例的相同点和不同点，梳理所学知识，使学生能抓住概念的本质，明确正反比例判断的要点，建立有效数学模型。】

师：同学们，你们还记得什么叫做比例吗？

生：……

师：非常不错，那我们来看看上面这个表格。

（出示PPT）

小组讨论：正、反比例有什么相同点和不同点，填写表格。

【探究新知，引入新课：
　　我们已经学过了比例，正比例和反比例的意义，还学过了解比例，应用这些比例的知识可以解决一些实际问题。这节课我们就来学习正反比例的应用。】

【板书课题：正反比例的应用】

二、探索发现授课（40分）

（一）例题1：（10分）

 阿博士种树的棵数和所需时间如下表：

1. 根据表格中的数量关系，判断这两种数的关系，并补充完整。
2. 根据上面的表格，在下图中描点，并用线连起来，说说你发现了什么。

讲解重点：通过一组具体的数据，让学生进一步感受变量和不变量，以及它们是正比例关系。

师：同学们，我们来看下题目中的数据，看看第一行，1、2、3、4、5……10，

再来看看第二行，5、10、15……

师：看来有些同学跃跃欲试了，唉，请这位同学上来补充完整。

生：……

师：不错，看来任何蛛丝马迹都逃不过同学们的火眼金睛。在这个题目中，种

    植棵树和时间是成什么比例关系？

生：正比例。

师：为什么说他们是正比例关系呢？

生：种树棵数和时间它们的比值是一定的，它们的比值是。

师：对，那这里的等式列出的是什么？

生：种植棵数=×时间。

师：表格都填写完成了，我们来做做第二题，自己动手画画看。

生：……

师：好了，你们发现了什么？

（若没有发现，进行进一步提示，把点逐一连接起来，并进行延伸）

生：它是一条直线。

师：它经过图中的0点吗？

生：经过。

师：不错，正比例是经过圆点的一条直线。

板书：

师：同学们都掌握了吗，我们来试下练习一吧。

练习1：（5分）

正方形的边长和周长如下表：

1. 在上表中将正方形的周长补充完整。周长写作C，边长写作，它们是什么关系？写出它们的关系式。
2. 根据上面的表格，在下图中描点，说说你发现了什么？

分析：正确理解正方形周长和边长的比例关系，正确的描图，并发现规律。

板书：

（二）例题2：（10分）

米德骑着一辆自行车从家去学校，4分钟骑了240米，用同样的速度，再骑11分钟就能到达学校。米德家离学校有多远？（用比例的方法解题）

讲解重点：根据行程公式，分析时间和路程之间关系，并会用比例的方法解题。

师：这样的行程问题，是不是很简单，你们都是怎么做的？

生：240÷4×（11+4）

师：同学们都做得非常正确，再来看看题目中还有些什么要求？

生：括号里有说，用比例的方法解。

师：不错，看来同学们审题非常细心。用比例的方法怎么解题呢？

    同学们还记得行程公式吗？

生：记得，路程=时间×速度。

师：不错，那我们来看本题中什么量是不变的？

生：速度是不变的。

师：速度不变，那路程和时间是成什么关系？

生：正比例关系。

师：那我们把米德家离学校设为米，那么用未知数怎么表示速度？

生：÷（11+4)

师：第一个条件中，4分钟骑了240米，速度怎么列式？

生：240÷4。

师：是的，那它们的单位统一了吗？

生：统一了，都是米每分钟。

师：对，我们在用比例的方法解题时，一定要先统一单位。这里它们的速度是

一定的。所以可以列式为÷（11+4)=240÷4。这是用比例的方法解吗？

生：不是。

师：我们在学习比的时候，是不是说比试除号改写成“：”号，所以这里用比

例的方法解题就是？

生：:（11+4)=240:4

师：还记得比例的基本性质吗？

生：在比例里，两外项之积等于两内项之积。

师：请一位同学上来板书一下。

板书：

解：

   设米德家离学校有米，

     :（11+4)=240:4

      4=240×15

       =900

答：米德家离学校为900米。

练习2：（5分）

      阿博士家每只母鸭每天都生一个蛋，那么8只母鸭一周可以生几个蛋？

（用比例的方法解题）

分析：设8只母鸭一周可以生个蛋，每只鸭每天生的蛋数量是一样的，在相同的时间里，生的蛋总数和母鸭的只数成正比，注意统一单位。

板书：

解：

    设8只母鸭一周生个蛋，

     （÷8）:7=1:1

       =56

答：8只母鸭一周可以生56个蛋。

三、小结：（5分）

1. 两种相关联的变量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相

   对应的两个数的比值一定，那么这两个变量之间的关系就叫做正比例关系。

   一个量随着另一个量的增加而减少或一个量随着另一个量的减少而增加，且

   它们的乘积相同，那么这两个量就成反比例。

2. 比例的基本性质：两个外项的积等于两个内项的积。

第二课时（50分）

一、复习导入（3分）

【设计意图：进一步理解正反比例，并引入本堂课讲解重点——反比例的应用】

师：同学们，上堂课我们学习了正比例的应用，那老师来考考你们。正方形的

边长和周长是什么关系？

（上堂课练习已经涉及，检查学生们的上课情况）

生：正比例关系。

师：那长方形的长和周长是什么关系？

生：……

（这里有的学生会说宽一定，长方形的长和周长成正比，老师要引导学生运用正比例的概念正确分析）

师：好的，正比例关系指得是两种量中相对应的两个数的比值一定，那宽一定，

长和周长的比值是一定的吗？

（老师这里可以列举几组宽一定，长和周长的数据辅助学生判断）

    宽=4厘米

师：从表中的数据看到它们的比值是一定的吗？

生：不是，都不相同。

师：非常棒！宽一定的条件下，长和周长也不是成正比例的。长、宽的和与周

长是成正比例的，这个比值是不是长方形周长公式中的2。

生：……

师：看来同学们对正比例又进一步加深理解了，那老师再来问问你们，宽一定，

长方形的长和面积是什么关系？

生：正比例关系。

师：那么它们的比值就是……

生：宽（的数值）。

师：唉，如果长方形的面积一定，那长和宽是什么关系？

生：反比例关系。

师：不错，那么接下来我们一起来学习反比例的应用吧。

二、探索发现授课（42分）

（一）例题3：（10分）

芭啦啦综合教育学校六年级（3）班有24个人排队做操，有以下几种排队方式：

1. 请将上表补充完整，并判断这两种数的关系。

2. 根据上表，在下图中描点，并用线连起来，说说你的发现。

讲解重点：运用列阵的数量关系，加深理解反比例。

师：同学们，我们几年级学习了方阵？

生：5年级。

师：你们还记得求方阵总人数的公式吗？

生：记得，总数=最外层人数×最外层人数。

师：不错，反正是每行每列的人数相等的，若每行每列人数不同，那我们用公

式来表示列阵的人数是什么？

生：总人数=行数×列数

（公式进行板书）

师：从公式中，我们知道题目中总人数是一定的，那么行数和列数成什么关系？

生：反比例关系。

师：看来同学们已经掌握了判断反比例关系的方法了，跟着老师一起把表格填

    写完整吧！

板书：

师：接下来我们把列表中的各个点描到图中，并把它连接起来。

（数轴是以后初中学习非常重要知识点，给学生几分钟描点加深印象。进行课堂巡视，提高学生的动手操作能力）

师：同学们，你们发现了什么？图中连接起来还是条直线吗？

生：不是。

师：不错，它是个曲线，那么它经过0点吗？

生：不经过。

师：正比例在图中是经过0点的直线，反比例在图中是不经过0点的曲线。

练习3：（5分）

    欧拉有60元学习进步奖，他想正好用完这笔钱，买几本相同的书送给小伙伴们，他有以下几种选择：

1. 将上表补充完整，判断这两个数据的关系。
2. 若用表示单价，用表示相对应的本数，列出其关系式，说说你的发现。

分析：用公式判断金额一定，单价和数量是成反比例关系。

板书：

1.

2. ×=60

（二）例题4：（12分）

卡尔看一本书，若每天看25页，则8天刚好可以看完。卡尔打算5天正好看完，则每天需要看多少页？（用比例的方法解题）

讲解重点：学会用反比例的方法解决工程类问题，

师：同学们，读完本题，你们来告诉老师这是个什么问题？

生：工程问题。

师：不错，工程问题的公式是什么？

生：工作总量=工作效率×时间。

（公式进行板书分析）

师：这里什么量是一定的？

生：一本书的页数一定的，就是工作总量是一定的。

师：不错，这里工作总量是一定，那么工作时间和工作效率是什么关系？

生：反比例关系。

师：对，乘积一定的2个量是反比例关系。我们设每天需要看页，怎么列式？

生：25×8=5×。

师；如果用比例的方法这里怎么表示？

生：25:=5:8。

师：还可以怎么表示？

生：:25=8:5……

师：看来同学们都会运用反比例解题了，请一位同学来进行板书一下。

板书：

解：

   设每天需要看页，

   25:=5:8

      =40

答：每天需要看40页。

师：如果我们用工程问题的解题方法是怎么做的？

生：先求出它们的总量25×8，再除以时间5天。

师：得出的结果是不是40页？

生：是的。

（培养学生做题用不同方法检验解题正确的好习惯。）

师：跟我们用比例解出的答案是一致的，看来我们都做对了，给优秀的自己来

    一个降龙十巴掌。

练习4：（5分）

   有一批货，共重48吨。大卡车每次可以运8吨，若干次后刚好可以运完；小卡车每次可以运4吨，若干次后也刚好运完。已知大、小卡车的速度相同，每运一次需要花2小时。则用大卡车比小卡车可节约多少时间？（用比例的方法解题）

分析：分析题中的数量关系，运用比例的方法正确求出大卡车和小卡车的运输次数之差，大卡车比小卡车节约时间就迎刃而解了。

板书：

解：设小卡车运次，大卡车运48÷8=6（次），

8:4=:6

=12

    （12-6）×2=12（小时）

答：大卡车比小卡车节约12个小时。

例题5：（选讲）

    甲、乙、丙三人进行万米跑比赛，当甲到终点时，乙还有1千米，丙还有2千米，如果三个人都是匀速跑步，甲跑完全程要54分钟，乙、丙跑完全程分别要多少分钟？（用比例的方法解题）

讲解重点：学会用反比例的方法解决行程问题，

师：本题中和前面题目有什么差别，我们来提取下题目中的信息？

生：……

（逐步让学生提取条件中的信息，提高学生的审题能力）

师：不错，相同的时间内，甲跑了10000米，乙跑了9000米，丙跑了8000米。

那他们的速度比是多少？

生：10:9:8。

师：第一个条件中，速度是一定的。那第二个条件中，甲、乙、丙跑了多少米？

生：都跑完10000米。

师：不错，那这里什么是一定的。

生：路程是一定的。

生：那这里的路程一定，时间和速度成什么比例关系？

生：反比例关系。

师：不错，那老师假设乙跑完10000米需要a分钟，怎么用比例列式？

生：10:9=a:54

师：看来同学已经完全掌握用比例解题方法了，请一位同学来板书下乙、丙跑

完10000米各所需要得时间。

板书：

解：

设乙跑完全长需要a分钟，丙需要b分钟，

10000:90000=a:54        10000:80000=b:54

        a=60                    b=67.5

答：乙跑完全长需要60分钟，丙需要67.5分钟。

练习5：（选做）

    甲、乙两支不同的蜡烛，甲可以点4.5小时，乙可以点5小时，同时点燃3小时后，剩下的两支蜡烛的长度正好相等。问甲、乙蜡烛的长度比是多少？（用比例的方法解）

分析：当作行程问题分析，蜡烛的长度为“路程”，相同时间“行驶”后剩余的路程是相等。那么剩余路程甲还要“行驶”1.5小时，乙还要“行驶”2小时。甲和乙的速度比就求出来了，长度比也就简单了。

板书：

解：

    设甲蜡烛的长度为C甲，乙蜡烛长度为C乙，

      （C甲÷4.5）:（C乙÷5）=（5-3）:（4.5-3）

           C甲:C乙=6:5

答：甲、乙蜡烛的长度比是6:5。

三、总结：（5分）

1. 熟悉掌握正反比例关系的判断方法，并了解它的特点。

2. 会用正反比例关系的应用方法解题。

3. 速度扩大到a倍，时间扩大到b倍，行驶的路程扩大到ab倍。

四、随堂练习：

1. 一支铅笔的单价是1.2元，计算并完成下表：

从上表你发现了什么规律？

板书：

     在单价一定的情况下（每只1.2元），总价和数量成正比例关系。

2. 容积为1立方米的水重1吨，那么容积为50升的水，共重多少千克？（用比例的方法解）

板书：

解：

   设共重千克，

   （1×1000）:（1×1000）=:50

    =50

答：容积为50升的水共重50千克。

3. 完成某篇文章的工作效率和工作时间如下表：

    表中有哪两个相关联的量，它们之间有什么关系？

板书：

60×12=720 48×15=720 45×16=720 40×18=720 36×20=720

   两个量的乘积一定（都是720），它们乘反比例关系。

4. 欧拉寒假的时候去做兼职送快递。如果他骑车的速度是5米/秒，那么需要300分钟才能完成任务；如果他想要在250分钟内完成任务，他骑车的速度至少是多少米/秒？（用比例的方法解）

板书：

解：

     设他骑车的速度至少是米每秒，

     （300×60）:（250×60）=:5

                 =6

答：他骑车的速度至少是6米每秒。

5. 甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行。相遇后甲继续向前经过9分钟到达B地，乙继续向前经过4分钟到达A地。两人出发后多少分钟相遇？

（用比例的方法解）

板书：

解：

设两人出发后分钟相遇，

    4:=:9

      =6

答：两人出发后6分钟相遇。