九年级上册数学第22章 二次函数专题12 二次函数与直角三角形存在性问题

这是一份九年级上册数学第22章 二次函数专题12 二次函数与直角三角形存在性问题，文件包含专题12二次函数与直角三角形存在性问题原卷版docx、专题12二次函数与直角三角形存在性问题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共71页， 欢迎下载使用。
专题12 二次函数与直角三角形存在问题
解题点拨
【问题描述】如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（1,1），点B坐标为（5,3），在x轴上找一点C使得△ABC是直角三角形，求点C坐标．

【几何法】两线一圆得坐标
（1）若∠A为直角，过点A作AB的垂线，与x轴的交点即为所求点C；
（2）若∠B为直角，过点B作AB的垂线，与x轴的交点即为所求点C；
（3）若∠C为直角，以AB为直径作圆，与x轴的交点即为所求点C．（直径所对的圆周角为直角）

重点还是如何求得点坐标，求法相同，以为例：
【构造三垂直】

求法相同，以为例：

构造三垂直步骤：
第一步：过直角顶点作一条水平或竖直的直线；
第二步：过另外两端点向该直线作垂线，即可得三垂直相似．

【代数法】表示线段构勾股
还剩下待求，不妨来求下：

（1）表示点：设坐标为（m，0），又A（1，1）、B（5，3）；
（2）表示线段：，，；
（3）分类讨论：当为直角时，；
（4）代入得方程：，解得：．
直击中考
1．（2022秋·山东威海·九年级校考期末）如图，抛物线经过平行四边形的顶点，抛物线与x轴另一交点为E，经过E点的直线l将平行四边形分割成面积相等的两部分，与抛物线交于另一点F，P为直线l上方抛物线上一点，设点P横坐标为t．

(1)求抛物线的解析式．
(2)t为何值时，面积最大？
(3)是否存在点P使为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)1或

【分析】（1）直接利用待定系数法求抛物线解析式即可；
（2）由坐标可求得平行四边形的中心的坐标，由抛物线的对称性可求得E点坐标，从而可得直线l的解析式，作轴于点H，交l于点M，作于N，可用含t的代数式表示的长，从而可表示出的面积，再利用二次函数的性质求其最大值时t的值即可；
（3）由题意可知或，当时，作轴交于点G，利用等腰直角三角形的性质可得关于t的方程，求解即可；当时，作轴于点K，于点Q，可证明，利用相似三角形的性质可得关于t的方程，求解即可．
【详解】（1）把代入，得，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴线段的中点为，
∵直线l将平行四边形分割成面积相等的两部分，
∴直线l过平行四边形的对称中心，
∵关于对称轴对称，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴，
设直线l的解析式为，
把E和对称中心的坐标代入，得，
解得，
∴直线l的解析式为，
令，
解得或（舍），
∴，
如图，作轴于点H，交l于点M，作于N，

∵点P横坐标为t，
∴，
∴，
∴
，
当时，的面积最大；
（3）存在点P使为直角三角形，理由如下：
由图可知，，
∴只能或，
①当时，如图，作轴交于点G，

∵，
∴，
∴，
∴，
，即，
解得或（舍），
②当时，如图，作轴于点K，于点Q，

则，
∵，
∴，
∴，
∴，即，即，
解得或（舍），
综上，存在点P使为直角三角形，t的值为1或．
【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，涉及待定系数法求二次函数解析式，平行四边形的性质，二次函数的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，能够运用方程思想是解题的关键．
2．（2022秋·湖北恩施·九年级统考期末）如图1，抛物线交x轴于点和点，交y轴于点C．

(1)求此抛物线的解析式；
(2)点P为直线下方抛物线上一动点，连接，求面积的最大值；
(3)如图2直线l为该抛物线的对称轴，在直线l上是否存在一点M使为直角三角形，若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)有最大值为6
(3)M的坐标是或

【分析】（1）把，代入抛物线的解析式即可求解；
（2）求出直线的解析式是，设点，则，可得，当时，有最大值为6；
（3）设，先求,，，分三种情况讨论：①当时；②当时，； ③当时，分别求出t即可，
【详解】（1）解：把，代入抛物线的解析式得：

解得：，
∴；
（2）过点 作轴交与点E

当 时， ，
∴ ，
设点，直线的解析式是，
把，代入得，
解得： ，
∴直线的解析式是，
∵轴交于E，
∴，
∴
∵=

∴当时，有最大值为6，
（3）存在点M，使得为直角三角形，理由如下：
抛物线的对称轴是直线 ，设，
∵，
∴,，
当 时，
则有
∴，
解得：
∴；
②当时，
则，
∴，
∴解得：
∴；  
③当时，
则，，
∴，
整理得：
解得：
∴方程无解
∴综上所述，M的坐标是或．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，两点间的距离，熟练掌握二次函数的图象及性质，勾股定理是解题的关键．
3．（2021秋·广东江门·九年级校考期中）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．

(1)直接写出：抛物线顶点M的坐标__________（用含m的代数式表示），A，B的坐标分别是A（__________），B（__________）；
(2)求的面积（用含m的代数式表示）；
(3)是否存在使为直角三角形的抛物线？若存在，请求出，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；；；
(2)
(3)存在抛物线和，使得为直角三角形．

【分析】（1）将解析式配方成顶点式即可得到点M的坐标，再令求得x的值，即可得到点A和点B的坐标；
（2）令，得到y的值，即可得到点C的坐标，根据三角形面积公式即可表示出的面积；
（3）用含m的代数式分别表示，，，再根据为直角三角形，分三种情况讨论：当时，或当时，或当时，结合勾股定理解题．
【详解】（1）解：



抛物线顶点M的坐标，
令，，
解得，
，
，
，
故答案为：；；；
（2）令，，
，
；
（3）存在使为直角三角形的抛物线，
过点M作轴于点D，过点C作于点N，

在中，，
，
，
在中，，
在中，，
①若为直角三角形，且时，，

解得


存在抛物线使得为直角三角形；
②若为直角三角形且时，




存在抛物线使得为直角三角形；
③
以为直角的直角三角形不存在，
综上所述，存在抛物线和，使得△BCM为直角三角形．
【点睛】本题考查二次函数的顶点式、二次函数与一元二次方程、勾股定理、含参数m的代数式表示各边长，运用分类思想是解题关键．
4．（2021秋·陕西榆林·九年级统考期末）如图，抛物线交y轴于点，交x轴于点和点B（点A在点B的左侧）．

(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使点A、B、P构成的三角形是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，或

【分析】（1）将，代入，列方程组并且解该方程组求出、的值，即可求得该抛物线的函数表达式为；
（2）设抛物线的对称轴交轴与点，求得抛物线的对称轴为直线，则，，再分两种情况讨论，一是点在轴的上方，则，所以，得；二是点在轴的下方，则，所以，得．
【详解】（1）抛物线交y轴于点，
∴，
将代入中，得，解得．
∴该抛物线的函数表达式为：．
（2）存在，
设抛物线的对称轴交轴与点，
，
抛物线的对称轴为直线，
，
点与点关于直线对称，
，
如图1，是以为斜边的直角三角形，点在轴的上方，

，
，
；
如图2，是以为斜边的直角三角形，点在轴的下方，

，
，

综上所述，点的坐标为或．
【点睛】此题重点考查二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数表达式、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．
5．（2022秋·安徽安庆·九年级统考期中）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．

(1)求抛物线的解析式和点和点的坐标；
(2)在轴下方的抛物线上是否存在一点，使四边形的面积最大？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)在抛物线上求点，使是以为直角边的直角三角形．
【答案】(1)；，
(2)存在点，使四边形的面积最大为
(3)存在，点、，使、是以为直角边的直角三角形

【分析】（1）把点的坐标代入函数解析式求出的值，再求出图象与坐标轴的交点坐标即可；
（2）设，连接，把四边形的面积分成，，的面积和，求表达式的最大值；
（3）有两种可能：为直角顶点；为直角顶点；要充分认识的特殊性，是等腰直角三角形，可以通过等腰直角三角形的性质求出相关线段的长度．
【详解】（1）解：∵ 抛物线与轴交于，两点，与轴交于，
，
则该抛物线的解析式为：，
当，则，
解得：，，
，；
（2）如图1，设，连接．

则，，
且的面积，的面积，
的面积，



．
当时，面积有最大值，此时，
存在点，使四边形的面积最大为；
（3）如图2，过点作，交抛物线于点、交轴于点，连接C．
∵，
∴，
，．
点的坐标为．
设的解析式为：，
∴，解得：，
直线的解析式为．
则，
解得：，，
点的坐标为
如图2，过点作，交抛物线于点、交轴于点，连接．

，
，．
点的坐标为．
同理可得：直线的解析式为．
由，
解得：，，
点的坐标为．
综上，在抛物线上存在点、，使、是以为直角边的直角三角形．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征以及不规则图形面积的求法等二次函数综合题型，二次函数与直角三角形的综合，熟练的将几何问题转化为求解函数的交点坐标是解本题的关键．
6．（2021秋·广西贵港·九年级统考期末）如图，抛物线经过点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P为第三象限内抛物线上的一点，设的面积为3，求点P的坐标；
(3)设抛物线的顶点为D，轴于点E，在轴上是否存在点M，使是以为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)或
(3)或

【分析】（1）已知抛物线上的三点坐标，利用待定系数法可求出该二次函数的解析式；
（2）过点作轴的垂线，交于点，先运用待定系数法求出直线的解析式，设点坐标为，则点的坐标为，再根据的面积为3，就可以求出结论；
（3）分两种情况进行讨论：①以为直角顶点；②以为直角顶点设点的坐标为，根据勾股定理列出方程，求出的值即可．
【详解】（1）解：抛物线经过点，
，解得．
抛物线的解析式为：；
（2）解：如图，过点作轴的垂线，交于点．

设直线的解析式为，由题意，得
，解得，
直线的解析式为：．
设点坐标为，则点的坐标为，
，
∵的面积为3，
∴，即，
解得：，
∴点P的坐标为或；
（3）解：解：在轴上是存在点，使是以为直角边的直角三角形．理由如下：
∵，
顶点的坐标为，
，
．
设点的坐标为，分两种情况进行讨论：
①当为直角顶点时，如图，

由勾股定理，得，
即，
解得，
所以点的坐标为；
②当为直角顶点时，如图，

由勾股定理，得，
即，
解得，
所以点的坐标为；
综上可知，在轴上存在点，能够使得是直角三角形，此时点的坐标为或．
【点睛】本题考查了二次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，三角形的面积，二次函数的顶点式的运用，勾股定理等知识，解题的关键是运用数形结合、分类讨论及方程思想进行求解．
7．（2022·广西柳州·统考中考真题）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（m，0）两点，与y轴交于点C（0，5）．

(1)求b，c，m的值；
(2)如图1，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作EF⊥x轴，垂足为点F，当四边形DEFG的周长最大时，求点D的坐标；
(3)如图2，点M是抛物线的顶点，将△MBC沿BC翻折得到△NBC，NB与y轴交于点Q，在对称轴上找一点P，使得△PQB是以QB为直角边的直角三角形，求出所有符合条件的点P的坐标．
【答案】(1)b=4，c=5， m=5
(2)当四边形DEFG的周长最大时，点D的坐标为（3，8）
(3)所有符合条件的点P的坐标为（2，），（2，﹣9）

【分析】（1）把A（﹣1，0），C（0，5）代入y＝﹣x2+bx+c，利用待定系数法求解b，c即可，再令y=0，再解方程求解m即可；
（2）先求解抛物线的对称轴为x＝2，设D（x，﹣x2+4x+5），则E（4﹣x，﹣x2+4x+5），证明四边形DEFG是矩形，而 可得四边形DEFG的周长＝2（﹣x2+4x+5）+2（2x﹣4）＝﹣2x2+12x+2＝﹣2（x﹣3）2+20，再利用二次函数的性质可得答案；
（3）过点C作CH⊥对称轴于H，过点N作NK⊥y轴于K，证明△MCH≌△NCK（AAS），再求解N（﹣4，3），求解直线的解析式为： 可得 设P（2，p），再利用勾股定理表示 BP2＝， 再分两种情况建立方程求解即可．
【详解】（1）把A（﹣1，0），C（0，5）代入y＝﹣x2+bx+c，
，解得：
∴这个抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x+5，
令y＝0，则﹣x2+4x+5＝0，解得x1＝5，x2＝﹣1，
∴B（5，0），
∴m＝5；
（2）∵抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，
∴对称轴为x＝2，
设D（x，﹣x2+4x+5），
∵轴，
∴E（4﹣x，﹣x2+4x+5），
∵过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作EF⊥x轴，
∴四边形DEFG是矩形，
∴
∴四边形DEFG的周长＝2（﹣x2+4x+5）+2（2x﹣4）＝﹣2x2+12x+2＝﹣2（x﹣3）2+20，
∴当x＝3时，四边形DEFG的周长最大，
∴当四边形DEFG的周长最大时，点D的坐标为（3，8）；
（3）过点C作CH⊥对称轴于H，过点N作NK⊥y轴于K，

∴∠NKC＝∠MHC＝90°，
由翻折得CN＝CM，∠BCN＝∠BCM，
∵B（5，0），C（0，5）．
∴OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC＝45°，
∵CH⊥对称轴于H，
∴轴，
∴∠BCH＝45°，
∴∠BCH＝∠OCB，
∴∠NCK＝∠MCH，
∴△MCH≌△NCK（AAS），
∴NK＝MH，CK＝CH，
∵抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，
∴对称轴为x＝2，M（2，9），
∴MH＝9﹣5＝4，CH＝2，
∴NK＝MH＝4，CK＝CH＝2，
∴N（﹣4，3），
设直线BN的解析式为y＝mx+n，
∴ 解得：
∴直线的解析式为：
∴
设P（2，p），
∴
BP2＝，

分两种情况：
①当∠BQP＝90°时，BP2＝PQ2+BQ2，
∴
解得：
∴
②当∠QBP＝90°时，P′Q2＝BP′2+BQ2，
∴
解得：
∴点P′的坐标为（2，﹣9）．
综上，所有符合条件的点P的坐标为或．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数与坐标轴的交点坐标问题，二次函数的性质，对称轴的性质，二次函数与直角三角形，勾股定理的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键．
8．（2022·四川广安·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（a≠0）的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，其中点B坐标为（0，－4），点C坐标为（2，0）．

(1)求此抛物线的函数解析式．
(2)点D是直线AB下方抛物线上一个动点，连接AD、BD，探究是否存在点D，使得△ABD的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)点P为该抛物线对称轴上的动点，使得△PAB为直角三角形，请求出点P的坐标．
【答案】(1)
(2)（-2，-4）
(3)P点坐标为：（-1，3），（-1，-5），，

【分析】（1）直接将B（0，-4），C（2，0）代入，即可求出解析式；
（2）先求出直线AB关系式为：，直线AB平移后的关系式为：，当其与抛物线只有一个交点时，此时点D距AB最大，此时△ABD的面积最大，由此即可求得D点坐标；
（3）分三种情况讨论，①当∠PAB=90°时，即PA⊥AB，则设PA所在直线解析式为：，将A（-4,0）代入得，解得：，此时P点坐标为：（-1,3）；②当∠PBA=90°时，即PB⊥AB，则设PB所在直线解析式为：，将B（0，-4）代入得，，此时P点坐标为：（-1,-5）；③当∠APB=90°时，设P点坐标为：，由于PA所在直线斜率为：，PB在直线斜率为：，=-1，则此时P点坐标为：，．
【详解】（1）解：将B（0，-4），C（2，0）代入，
得：，
解得：，
∴抛物线的函数解析式为：．
（2）向下平移直线AB，使平移后的直线与抛物线只有唯一公共点D时，此时点D到直线AB的距离最大，此时△ABD的面积最大，
∵时，，，
∴A点坐标为：（-4,0），
设直线AB关系式为：，
将A（-4,0），B（0，-4），代入，
得：，
解得：，
∴直线AB关系式为：，
设直线AB平移后的关系式为：，
则方程有两个相等的实数根，
即有两个相等的实数根，
∴，
即的解为：x=-2，
将x=-2代入抛物线解析式得，，
∴点D的坐标为：（-2，-4）时，△ABD的面积最大；
（3）①当∠PAB=90°时，
即PA⊥AB，则设PA所在直线解析式为：，
将A（-4,0）代入得，，
解得：，
∴PA所在直线解析式为：，
∵抛物线对称轴为：x=-1，
∴当x=-1时，，
∴P点坐标为：（-1，3）；
②当∠PBA=90°时，
即PB⊥AB，则设PB所在直线解析式为：，
将B（0，-4）代入得，，
∴PA所在直线解析式为：，
∴当x=-1时，，
∴P点坐标为：（-1，-5）；
③当∠APB=90°时，设P点坐标为：，
∴PA所在直线斜率为：，PB在直线斜率为：，
∵PA⊥PB，
∴=-1，
解得：，，
∴P点坐标为：，
综上所述，P点坐标为：（-1，3），（-1，-5），，时，△PAB为直角三角形．
【点睛】本题主要考查的是二次函数图象与一次函数、三角形的综合，灵活运用所学知识是解题的关键．
9．（2022·辽宁抚顺·统考中考真题）如图，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点，点D为x轴上方抛物线上的动点，射线交直线于点E，将射线绕点O逆时针旋转得到射线，交直线于点F，连接．

(1)求抛物线的解析式；
(2)当点D在第二象限且时，求点D的坐标；
(3)当为直角三角形时，请直接写出点D的坐标．
【答案】(1)
(2)或
(3)或或或

【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）过点D作于点G，交于点H，先求出直线AC的解析式，设，则，证明△EDH∽△EOC得到，即可求出DH=3，据此求解即可；
（3）分D和F为直角顶点进行讨论求解即可．
（1）
解：将代入得：
，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）
解：过点D作于点G，交于点H，
设过点的直线的解析式为，则
，
解得，

∴直线的解析式为，
设，则．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
解得或
将分别代入得
∴或；
（3）
解：如图1所示，当点D与点C重合时，
∵点A（-4，0），点C（0，4），
∴OA=OC=4，
∴∠OCA=∠OAC=45°，
当点C与点D重合时，∵OP是OD逆时针旋转45°得到的，
∴∠POD=45°，即∠FOC=45°，
∴∠AOF=∠FOC=45°，
又∵OA=OC，
∴OF⊥AC，即∠OFC=90°，
∴△OFC是直角三角形，
∴此时点D的坐标为（0，4）；

如图2所示，当∠DFO=90°时，连接CD，
由旋转的性质可得∠DOF=45°，
∴△DOF是等腰直角三角形，
∴OF=OD，∠FDO=∠FCO=45°，
∴C、D、F、O四点共圆，
∴∠FCD=∠FOD=45°，
∴∠OCD=∠FCD+∠FCO=90°，
∴CD⊥OC，
∴点D的纵坐标为4，
∴当y=4时，，
解得或（舍去），
∴点D的坐标为（-3，4）；

如图3所示，当∠ODF=90°时，过点D作DH⊥y轴于H，过点F作FG⊥DH交HD延长线于G，同理可证△DOF是等腰直角三角形，
∴OD=DF，
∵FG⊥DH，DH⊥y轴，
∴∠FGD=∠DHO=90°，
∴∠GDF+∠GFD=90°，
又∵∠GDF+∠HDO=90°，
∴∠GFD=∠HDO，
∴△GDF≌△HOD（AAS），
∴GD=OH，GF=DH，
设点D的坐标为（m，），
∴，
∴，
∴点F的坐标为（，），
∵点F在直线AC：上，
∴，
∴，
解得，
∴点D的坐标为或；
综上所述，点D的坐标为（-3，4）或（0，4）或或

【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数综合，二次函数与几何综合，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定等等，熟知相关知识是解题的关键．
10．（2022·吉林·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（，是常数）经过点，点．点在此抛物线上，其横坐标为．

(1)求此抛物线的解析式；
(2)当点在轴上方时，结合图象，直接写出的取值范围；
(3)若此抛物线在点左侧部分（包括点）的最低点的纵坐标为．
①求的值；
②以为边作等腰直角三角形，当点在此抛物线的对称轴上时，直接写出点的坐标．
【答案】(1)
(2)或
(3)①或3；②或或

【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可得；
（2）先根据抛物线的解析式求出此抛物线与轴的另一个交点坐标为，再画出函数图象，由此即可得；
（3）①先求出抛物线的对称轴和顶点坐标、以及点的坐标，再分和两种情况，分别画出函数图象，利用函数的增减性求解即可得；
②设点的坐标为，分和两种情况，分别根据等腰直角三角形的定义建立方程组，解方程组即可得．
【详解】（1）解：将点代入得：，
解得，
则此抛物线的解析式为．
（2）解：对于二次函数，
当时，，解得或，
则此抛物线与轴的另一个交点坐标为，
画出函数图象如下：

则当点在轴上方时，的取值范围为或．
（3）解：①二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为，
当时，，
即，
（Ⅰ）如图，当时，

当时，随的增大而减小，
则此时点即为最低点，
所以，
解得或（不符题设，舍去）；
（Ⅱ）如图，当时，

当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，
则此时抛物线的顶点即为最低点，
所以，
解得，符合题设，
综上，的值为或3；
②设点的坐标为，
由题意，分以下两种情况：
（Ⅰ）如图，当时，设对称轴直线与轴的交点为点，

则在等腰中，只能是，
垂直平分，且，
（等腰三角形的三线合一），
，
解得，
则此时点的坐标为或；
（Ⅱ）当时，
由（3）①可知，此时，
则点，
，
，
，
当时，是等腰直角三角形，
则，即，
方程组无解，
所以此时不存在符合条件的点；
当时，是等腰直角三角形，
则，即，
解得，
所以此时点的坐标为；
当时，是等腰直角三角形，
则，即，
方程组无解，
所以此时不存在符合条件的点；
综上，点的坐标为或或．
【点睛】本题考查了二次函数的几何应用、等腰直角三角形、一元二次方程的应用等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．
11．（2022·山东滨州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，连接．

(1)求线段AC的长；
(2)若点Р为该抛物线对称轴上的一个动点，当时，求点P的坐标；
(3)若点M为该抛物线上的一个动点，当为直角三角形时，求点M的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)或或或

【分析】（1）根据解析式求出A，B，C的坐标，然后用勾股定理求得AC的长；
（2）求出对称轴为x=1，设P（1，t），用t表示出PA2和PC2的长度，列出等式求解即可；
（3）设点M（m,m2-2m-3），分情况讨论，当，，分别列出等式求解即可．
【详解】（1）与x轴交点：
令y=0，解得，
即A（-1，0），B（3，0），
与y轴交点：
令x=0，解得y=-3，
即C（0，-3），
∴AO=1,CO=3,
∴;
（2）抛物线的对称轴为：x=1，
设P（1，t），
∴，，
∴
∴t=-1，
∴P（1，-1）；
（3）设点M（m,m2-2m-3），
，
，
,
①当时，
，
解得，（舍），，
∴M（1，-4）；
②当时，
，
解得，，（舍），
∴M（-2，5）；
③当时，
，
解得，，
∴M或；
综上所述：满足条件的M为或或或．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了与坐标轴交点、线段求值、存在直角三角形等知识，解题的关键是学会分类讨论的思想，属于中考压轴题．
12．（2019·西藏·统考中考真题）已知：如图，抛物线y＝ax2+bx+3与坐标轴分别交于点A，B（﹣3，0），C（1，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P作PEx轴交抛物线于点E．

(1)求抛物线解析式；
(2)当点P运动到什么位置时，DP的长最大？
(3)是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)y＝﹣x2﹣2x+3
(2)点P的坐标为
(3)存在，点P坐标为（﹣2，3）或（，）

【分析】（1）利用待定系数法即可确定抛物线的解析式；
（2）先求出直线AB的解析式，再设出点P的坐标，然后求出点D的坐标，再列出PD的长度的表达式，确定PD取最大值时求出点P的坐标即可；
（3）先设出点P的坐标，然后表示出PD的长度，再根据抛物线的对称性表示出PE的长度，列出关于点P的横坐标的方程，求出点P的横坐标，即可确定点P的坐标．
【详解】（1）解：∵抛物线y＝ax2+bx+3过点B（﹣3，0），C（1，0），
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）解：∵x＝0时，y＝﹣x2﹣2x+3＝3，
∴A（0，3），
∴直线AB解析式为y＝x+3，
∵点P在线段AB上方抛物线上，
∴设P（t，﹣t2﹣2t+3）（﹣3＜t＜0），
∴D（t，t+3），
∴PD＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t＝，
∵a＝﹣1＜0，
∴当时，DP的长最大，
此时，点P的坐标为（，）；
（3）解：存在点P使△PDE为等腰直角三角形，
设P（t，﹣t2﹣2t+3）（﹣3＜t＜0），则D（t，t+3），
∴PD＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t，
∵抛物线y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴对称轴为直线x＝﹣1，
∵PE∥x轴交抛物线于点E，
∴E、P关于对称轴对称，
∴xE﹣（﹣1）＝（﹣1）﹣t，
∴xE＝﹣2﹣t，
∴PE＝|xE﹣xP|＝|﹣2﹣2t|，
∵△PDE为等腰直角三角形，∠DPE＝90°，
∴PD＝PE，
①当﹣3＜t≤﹣1时，PE＝﹣2﹣2t，
∴﹣t2﹣3t＝﹣2﹣2t，
解得：t1＝1（舍去），t2＝﹣2，
∴P（﹣2，3），
②当﹣1＜t＜0时，PE＝2+2t，
∴﹣t2﹣3t＝2+2t，
解得：，（舍去）
∴P（，），
综上所述，点P坐标为（﹣2，3）或（，）时，使△PDE为等腰直角三角形．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合应用，关键是要会用待定系数法求抛物线的解析式以及牢记等腰直角三角形的性质，当遇到线段取最值的问题时，一般是先用含字母的式子表示出线段的长度，然后利用二次函数的知识解决即可．
13．（2021·四川巴中·统考中考真题）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A(﹣2，0)、B(6，0)两点，与y轴交于点C(0，﹣3)．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P在直线BC下方的抛物线上，连接AP交BC于点M，当最大时，求点P的坐标及的最大值；
（3）在（2）的条件下，过点P作x轴的垂线l，在l上是否存在点D，使BCD是直角三角形，若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）；（2），；（3）或或或
【分析】（1）将、、代入即可求解析式；
（2）过点作轴交直线于点，过作轴交直线于点，由，可得，则求的最大值即可；
（3）分三种情况讨论：当时，过点作轴，过点作轴，与交于点，过点作轴，与交于点，可证明，求出；当时，过点作轴交于点，可证明，求出；当时，线段的中点，设，由，可求或．
【详解】解：（1）将点、、代入，
得，
解得，
；
（2）如图1，过点作轴交直线于点，过作轴交直线于点，

，
，
设直线的解析式为，
，
，
，
设，则，
，
，
，
，
，
当时，有最大值，
；
（3），点在上，
如图2，当时，

过点作轴，过点作轴，与交于点，过点作轴，与交于点，
，，
，
，
，即，
，
；
如图3，当时，

过点作轴交于点，
，，
，
，
，即，
，
；
如图4，当时，

线段的中点，，
设，
，
，
或，
或；
综上所述：是直角三角形时，点坐标为或或或．
【点睛】本题考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象及性质，通过构造平行线将的最大值问题转化为求的最大值问题是解题的关键．
14．（2021·贵州毕节·统考中考真题）如图，抛物线与轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线，项点为D，点B的坐标为．
（1）填空：点A的坐标为_________，点D的坐标为_________，抛物线的解析式为_________；
（2）当二次函数的自变量：满足时，函数y的最小值为，求m的值；
（3）P是抛物线对称轴上一动点，是否存在点P，使是以AC为斜边的直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）（1，0），（2，-1），；（2）m的值为或；（3）点P的坐标为：（2，1），（2，2）
【分析】（1）根据抛物线的对称轴及点B坐标可求出点A坐标，根据对称轴可求出b的值，把点A或B的坐标代入抛物线解析式可求出C的值，通过配方可求出顶点坐标；
（2）根据抛物线开口向上，分两种情况讨论求解即可；
（3）设P（1，t），由为斜边，则，根据相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：（1）∵抛物线的对称轴为x=2，点B坐标为（3，0），且点A在B点的左侧，
∴A（1，0）
又x=
∴
把A（1，0）代入得，
∴抛物线的解析式为
∴顶点D坐标为（2，-1）
故答案为：（1，0），（2，-1），；
（2）∵抛物线开口向上，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，
①当，即时，
解得，（舍去）或
②当时，
解得，或（舍去）
所以，m的值为或
（3）假设存在，设P（2，t）
当时，如图，

过点C作CG⊥PE于点G，则CG=2，PG=3-t


，
∴ ，即
整理得，
解得，，
经检验：，是原方程的根且符合题意，
∴点P的坐标为（2，1），（2，2）
综上，点P的坐标为：（2，1），（2，2）
【点睛】本题考查了二次函数综合题，二次函数图象的性质，相似三角形的判定与性质，灵活应用以上知识解决问题是本题的关键．
15．（2022·江苏无锡·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，二次函数的图象与x轴交于A、B（点A在点B左侧）两点，与y轴交于点C，已知点，P点为抛物线的顶点，连接PC，作直线．

(1)点A的坐标为　 　；
(2)若射线平分，求二次函数的表达式；
(3)在（2）的条件下，如果点是线段（含A、B）上一个动点，过点D作x轴的垂线，分别交直线和抛物线于E、F两点，当m为何值时，为直角三角形？
【答案】(1)
(2)
(3)当或时，为直角三角形

【分析】（1）把代入，得出a与b的关系，然后令解方程即可；
（2）先求出直线的解析式，再根据列方程求出a的值即可；
（3）分和两种情况求解即可．
【详解】（1）解：把代入，得，
∴，
∴，
当时，
，
∵，
∴，解得．
∴，
故答案为：；
（2）解：由（1）知，，
∴对称轴为直线．
设对称轴与交于点G，

∵，
∴，
当时，，
∴，
设直线的解析式为，
∴，解得，
∴，
当时，，
∴．
∵平分，
∴，
∵，
∴，  
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）∵轴，
∴，，
∵，
∴，
①当时，，
∵对称轴为直线，
∴此时；
②当时，设直线交x轴于点，

当时，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴H与A重合，
∴此时；
综上，当或时，为直角三角形．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，等腰三角形的判定，两点间的距离公式，以及锐角三角函数的知识，熟练掌握二次函数的图象与性质、锐角三角函数是解答本题的关键．
16．（2022·广东深圳·校考模拟预测）如图，二次函数的图像与直线y＝x+5的图像交于A，B两点，且两个交点分别在x轴和y轴上，

(1)求二次函数的解析式；
(2)P（a，b）是抛物线上一点，
①当a＞2时，是否存在点P使得△PAB是直角三角形，若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由；
②当﹣5＜a＜0时，是否存在点P到直线AB有最大距离，若存在，直接写出P点的横坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)．
(2)①P（4，﹣9）；②当点P的横坐标为时，点P到直线AB有最大距离．

【分析】（1）先确定A、B的坐标，然后再运用待定系数法解答即可；
（2）①如图1：过点P作PM⊥x轴于点M，由A和B的坐标得到OA=OB=5，则△AOB是等腰直角三角形，然后由∠BAP=90°得到∠PAM=45°，则△PAM是等腰直角三角形，再设AM=PM=a,得到点P的坐标，最后将点P代入二次函数解析式求得a的值，即可得到点P的坐标；
②如图2：连接AP，BP，过点P作PH⊥x轴，交直线AB于点H，PQ⊥AB于点Q，
，由OA=OB=5得到AB＝5，设点P（x，），则H（x，x+5），
，可得，然后借助等面积法求得点P到直线AB的距离，最后得到点P的横坐标为时，点P到直线AB有最大距离．
（1）
解：对直线y＝x+5，当x＝0时，y＝5，当y＝0时，x＝﹣5，
∴点A（﹣5，0），点B（0，5），
将点A和点B的坐标分别代入，得
，解得：
∴次函数的解析式为．
（2）
解：①点P的坐标为（4，﹣9），理由如下：
∵
∴当y＝0时，x2x+5＝0，解得：x＝﹣5或x＝2，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（2，0），
∵a＞2时，△PAB是直角三角形，
∴∠BAP＝90°，
如图1：过点P作PM⊥x轴于点M，则∠PMA＝∠AOB＝90°，
∵A（﹣5，0），B（0，5），
∴OA＝OB＝5，
∴△ABO为等腰直角三角形，
∴∠BAO＝45°，
∴∠PAM＝∠PAB﹣∠BAO＝90°﹣45°＝45°，
∴△APM为等腰直角三角形，
∴AM＝PM，
设AM＝PM＝a，则P（a﹣5，﹣a），
将点P（a﹣5，﹣a）代入，得
，
解得：a＝0（舍）或a＝9，
∴点P的坐标为（4，﹣9）．

②如图2：连接AP，BP，过点P作PH⊥x轴，交直线AB于点H，PQ⊥AB于点Q，
∵OA＝OB＝5，
∴AB＝5，
设点P（x，），则H（x，x+5），
∴，
∵
∴
∴当x时，PQ有最大值，
∴当点P的横坐标为时，点P到直线AB有最大距离．

【点睛】本题主要考查了二次函数的解析式、一次函数和二次函数图像上点的坐标特征、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，灵活运用二次函数图像上点的坐标特征是解答本题的关键．
17．（2022·浙江丽水·统考二模）如图，已知抛物线（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B．

(1)若直线y＝mx+n经过B，C两点，求直线BC和抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴x＝﹣1上找一点M，使MA+MC的值最小，求点M的坐标；
(3)设P为抛物线的对称轴x＝﹣1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．
【答案】(1)，y＝x+3
(2)M的坐标为（﹣1，2）
(3)点P的坐标为（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1，）或（﹣1，）

【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）设直线BC与对称轴x＝﹣1的交点为M，则此时MA+MC的值最小，进而求解；
（3）分点B为直角顶点、点C为直角顶点、P为直角顶点三种情况，分别求解即可．
【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，且抛物线经过A（1，0），
故点B的坐标为（﹣3，0），
设抛物线的表达式为y＝＝，
将点C坐标代入上式得：3＝a（﹣3），解得a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为：；
把B（﹣3，0），C（0，3）代入y＝mx+n得：
，解得，
∴直线的解析式为y＝x+3；
（2）解：设直线BC与对称轴x＝﹣1的交点为M，则此时MA+MC的值最小．

把x＝﹣1代入直线y＝x+3得y＝2，故M（﹣1，2），
即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为（﹣1，2）；
（3）解：设P（﹣1，t），B（﹣3，0），C（0，3），
则＝18，＝＝，，
若点B为直角顶点时，则，
即18+＝，
解得t＝﹣2；
若点C为直角顶点时，则BC2+PC2＝PB2，
即＝18+，
解得t＝4，
若P为直角顶点时，则，则+＝18，
解得t＝，
综上，点P的坐标为（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1，）或（﹣1，）．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、直角三角形的性质、点的对称性等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．