湖南省邵阳市邵东市湖南经纬实验学校2022-2023学年高一下学期3月月考数学试题

2022-2023学年度高一数学第二次月考试卷考试

范围：第六章､第七章

考试时间：120分钟：总分：150分

注意事项：

1.答题前填写好自己的姓名､班级､考号等信息

2.请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

单选题每小题5分，共40分.多选题每小题5分，共20分，全部选对的5分，部分选对得2分，有选错的得0分.

一､单选题（共40分）

1.下列说法错误的是（    ）

A.    B.是单位向量，则

C.若，则    D.任一非零向量都可以平行移动

2.若复数，则在复平面内对应的点位于（    ）

A.第一象限    B.第二象限

C.第三象限    D.第四象限

3.如图所示，已知正方形的边长为，则向量的模为（    ）

A.    B.2    C.    D.4

4.平面向量与的夹角为，则等于（    ）

A.    B.1    C.    D.

5.在中，的对边分别是，若，则的形状是（    ）

A.锐角三角形    B.直角三角形

C.钝角三角形    D.锐角或直角三角形

6.在中，设，若，则（    ）

A.    B.

C.    D.

7.已知是虚数单位，则（    ）

A.    B.    C.    D.

8.前卫斜塔位于辽宁省葫芦岛市绥中县，始建于辽代，又名瑞州古塔，其倾斜度（塔与地面所成的角）远超著名的意大利比萨斜塔，是名副其实的世界第一斜塔.已知前卫斜塔的塔身长10，一旅游者在正午时分测得塔在地面上的投影长为5，则该塔的倾斜度（塔与地面所成的角）为（    ）

A.60°    B.45°    C.30°    D.15°

二､多选题（共20分）

9.若复数，则下列说法正确的是（    ）

A.

B.在复平面内，复数所对应的点位于第四象限

C.的实部为13

D.的虚部为-11

10.如图，在中，若点分别是的中点，设交于一点，则下列结论中成立的是（    ）

A.    B.

C.    D.

11.《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，其中八卦深邃的哲理解释了自然､社会现象.如图1所示的是八卦模型图，其平面图形（图2）中的正八边形ABCDEFGH，其中为正八边形的中心，则下列说法正确的是（    ）

A.    B.

C.    D.和能构成一组基底

12.在中，下列关系中一定成立的是（    ）

A.    B.

C.    D.

第II卷（非选择题）

三､填空题每小题5分（共20分）

13.已知向量，则__________.

14.在中，角的对边分别为.若，则__________.

15.已知向量，若，则__________.

16.已知复平面内的向量对应的复数分别是，则__________.

四､解答题17题10分，其余每小题12分

17.已知向量.

（1）求与的坐标；

（2）求向量的夹角的余弦值.

18.求实数的值或取值范围，使得复数分别满足：

（1）是实数；

（2）2是纯虚数；

（3）是复平面中对应的点位于第二象限.

19.已知，求分别在下列条件下的值.

（1）；

（2）

（3）.

20.已知角所对的边分别为的周长为，且.

（1）求边的长；

（2）若的面积为，求角的度数.

21.在中，已知在线段上，且设，.

（1）用向量表示；

（2）若，求.

22.如图，一条东西流向的笔直河流，现利用监控船监控河流南岸的两处（在的正西侧）.监控中心在河流北岸，测得，监控过程中，保证监控船观测和监控中心的视角为视为在同一个平面上，记的面积为.

（1）求的长度；

（2）试用表示，并求的最大值.

参考答案：

1.C

【分析】运用向量､单位向量､相反向量的定义可判断.

【详解】对于项，因为，所以，故A项正确；

对于B项，由单位向量的定义知，，故B项正确；

对于C项，两个向量不能比较大小，故C项错误；

对于项，因为非零向量是自由向量，可以自由平行移动，故项正确.

故选：C.

2.D

【分析】确定复数对应的点的坐标，根据复数的几何意义，可得答案.

【详解】由于复数，则在复平面内对应的点为，该点在第四象限，

故选：D

3.B

【分析】根据图象以及向量模的运算求得正确答案.

【详解】由题意，可知，

所以

.

故选：B

4.B

【分析】先由题意得到，再由向量的数量积计算公式，即可求出结果.

【详解】因为平面向量与的夹角为，

所以，

因此.

故选B

【点睛】本题主要考查求向量的数量积，熟记定义即可，属于常考题型.

5.C

【分析】由余弦定理确定角是钝角.

【详解】三角形中，，所以为钝角，

三角形为钝角三角形.

故选：C.

6.A

【分析】运用向量线性运算即可求得结果.

【详解】为的中点，

，

又，

.

故选：A.

7.B

【分析】根据复数的乘法运算，即可得到本题答案.

【详解】由题意得：

.

故选：B.

【点睛】本题主要考查复数的乘法运算法则.属于容易题.

8.A

【分析】根据题意画出图象，然后利用余弦公式求解即可

【详解】如图所示，线段为塔身长，线段为投影长度，，

所以在中，，

因为，所以，

故选：A

9.ABC

【分析】由复数模长的定义可判断；由复数的几何意义可判断；求出可判断，

D.

【详解】由题意得，，故A正确；

在复平面内，复数所对应的点为，位于第四象限，故B正确；

，

的实部为13，虚部为11，故C正确，错误.

故选：ABC.

10.AB

【分析】利用向量的加减法则进行判断.

【详解】根据向量减法可得，故A正确；

因为是的中点，所以，故B正确；

由题意知是的重心，

则，故C错误；

，

故错误.

故选：AB.

11.BCD

【分析】根据正八边形的几何特点，结合向量线性运算和平行关系的判断，对每个选项逐一分析，即可判断和选择.

【详解】对于选项，，A选项错误.

对于选项，，B选项正确.

对于C选项，由于八边形为正八边形，

故，且，

故，所以选项C正确.

对于选项，由于和不共线，故和能构成一组基底，所以正确.

故选：BCD.

12.BD

【分析】利用正弦定理分析判断即可.

【详解】在中，由正弦定理得，

所以，

所以，

因为，所以，

所以，

所以AC错误，BD正确，

故选：BD

13.-4

【分析】先求出，再根据数量积的坐标表示求解即可.

【详解】解：，

，

，

故答案为：-4.

【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的坐标表示，属于基础题.

14.

【分析】已知两边及夹角，由余弦定理直接求得结果.

【详解】已知，

由余弦定理得，解得.

故答案为：.

15.

【分析】根据向量平行的坐标运算公式，计算可得答案.

【详解】已知，所以，

解得.

故答案为：.

16.

【分析】先利用向量运算求出对应的复数，然后求解模长可得答案.

【详解】，

对应的复数为，

.

故答案为：

17.（1）.

（2）

【分析】（1）利用平面向量线性运算的坐标表示运算；

（2）利用平面向量夹角的坐标表示运算.

【详解】（1）.

（2），

.

18.（1）

（2）

（3）

【分析】（1）根据复数的概念列式可求出结果；

（2）根据复数的概念列式可求出结果；

（3）根据复数的几何意义可求出结果.

【详解】（1）由题意得，所以；

（2）由题意得，所以；

（3）由题意得，所以.

19.（1）-4；

（2）0；

（3）±8.

【分析】（1）根据平面向量数量积的定义进行求解即可；

（2）根据互相垂直的两个向量数量积的性质进行求解即可；

（3）根据平面向量数量积的定义，结合共线向量的性质进行求解

【详解】（1）

（2）因为，所以.

（3）因为，所以与的夹角为或，

所以.

20.（1）2；

（2）.

【分析】（1）根据正弦定理可将化简为，再根据的周长即可求得；

（2）根据三角形面积公式可得，根据（1）中的结论可得，再根据余弦定理即可求得角.

【详解】（1）由题意得：，

在中，将正弦定理代入可得，

又，

即，

所以；

（2）由（1）知，所以，

因为，

所以，又有，

所以，

因为，

所以.

21.（1）

（2）

【分析】（1）根据向量的线性运算直接计算；

（2）利用基底法求向量的数量积.

【详解】（1）由题得；

（2）由已知得

.

22.（1）；（2）.

【分析】（1）在中，利用正弦定理解三角形即可得.

（2）由（1）知的长度，利用正弦定理求的长度，结合，利用面积公式即可.

【详解】（1）在中，，所以.

因为，所以，由正弦定理得，所以；

（2）在中，设，则，

由正弦定理得.

所以.

所以.

因为.

所以当时，取到最大值.

答：的长度为取到最大值.

【点睛】本题主要考查了正弦定理解三角形，三角形的面积公式，属于基础题.