2022-2023学年湖南省邵阳市高一下学期第一次联考（月考）数学试题含解析

这是一份2022-2023学年湖南省邵阳市高一下学期第一次联考（月考）数学试题含解析，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，十七世纪之交，随着天文，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据函数定义域的求法求得正确答案.
【详解】依题意，，解得且，
所以的定义域为.
故选：C
2．幂函数在区间上单调递增，则（ ）
A．27B．C．D．
【答案】A
【分析】根据幂函数的概念及性质，求得实数的值，得到幂函数的解析式，即可求解.
【详解】由题意，令，即，解得或，
当时，可得函数，此时函数在上单调递增，符合题意；
当时，可得，此时函数在上单调递减，不符合题意，
即幂函数，则.
故选：A.
3．设，，若，则的最小值为（ ）
A．B．4C．9D．
【答案】D
【分析】利用基本不等式求得正确答案.
【详解】
，
当且仅当时等号成立.
故选：D
4．如图，给出奇函数的局部图象，则的值为（ ）
A．B．7C．5D．
【答案】A
【分析】结合函数的奇偶性以及图象求得正确答案.
【详解】依题意，是奇函数，
结合图象可知.
故选：A
5．若，，，则它们大小关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据指数函数、对数函数的知识求得正确答案.
【详解】，
，即，
，
所以.
故选：B
6．已知角终边经过点，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用三角函数的定义求得正确答案.
【详解】，
所以.
故选：D
7．已知函数，若有4个零点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】画出的图象，根据与有个公共点求得的取值范围.
【详解】画出的图象如下图所示，
有4个零点，即与有个公共点，
所以的取值范围是.
故选：A
8．函数，若，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先化简函数为，再根据，得到，分别为的最大值和最小值求解.
【详解】解：函数，
，
，
因为，则
所以，
因为，
所以，一个为的最大值，一个为最小值，
则，或
解得，或
所以（i），或（ii）
对于（i），当时，的最小值是，
对于（ii），当时，的最小值是，
综上，的最小值是，
故选：D
二、多选题
9．下列命题是真命题的是（ ）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．若命题的否定是“，”，则命题可写为“，”
C．若“，”是假命题，则实数的范围为
D．若，，则对恒成立
【答案】ACD
【分析】根据充分、必要条件、全称量词命题的否定、存在量词命题的真假性，作差比较法判断
【详解】A选项，或，
所以“”是“”的充分不必要条件，A选项正确.
B选项，全称量词命题的否定是存在量词命题，注意到是否定结论而不是否定条件，所以B选项错误.
C选项，“，”是假命题，
所以“，”是真命题，
所以，函数在上递增，
最小值为，所以，所以C选项正确.
D选项，由于，
所以对恒成立，D选项正确.
故选：ACD
10．已知是上的减函数，那么的取值可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】根据函数的单调性列不等式，求得的取值范围，进而确定正确答案.
【详解】依题意，在上递减，
所以，解得.
所以AC选项符合，BD选项不符合.
故选：AC
11．已知函数的图象为，则下列结论中正确的是（ ）
A．图象关于直线对称
B．图象的所有对称中心都可以表示为（）
C．函数在上的最小值为
D．函数在区间上单调递减
【答案】ABC
【分析】化简的解析式，根据三角函数的对称性、最值、单调性等知识确定正确答案.
【详解】，
A选项，，所以图象关于直线对称，A选项正确.
B选项，由，解得，
所以图象的所有对称中心都可以表示为（），B选项正确.
C选项，，
所以当时，取得最小值，C选项正确.
D选项，，
所以函数在区间上单调递增，D选项错误.
故选：ABC
12．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．是奇函数
B．是偶函数
C．在区间上是增函数，在区间上是减函数
D．有最大值
【答案】BC
【分析】根据函数的奇偶性、单调性、最值等知识确定正确答案.
【详解】，
令，则，
所以是偶函数，A选项错误，B选项正确.
函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，
根据复合函数单调性同增异减可知：
在区间上是增函数，在区间上是减函数，C选项正确.
由于在区间上是增函数，在区间上是减函数，
但的定义域是，所以没有最大值，D选项错误.
故选：BC
三、填空题
13．已知，则的值是________.
【答案】
【分析】根据诱导公式可解得结果.
【详解】因为，
所以.
故答案为：
14．函数的单调递增区间是____________．
【答案】##
【分析】由出定义域，然后由复合函数的单调性得结论．
【详解】，或，
是增函数，在上递减，在上递增，
所以的增区间是．
故答案为：．
15．已知函数（，，）的部分图象如图，则______．
【答案】
【分析】根据图象求得的解析式，然后求得.
【详解】由图可知，，，
，
由于，所以，
所以，.
故答案为：
四、双空题
16．十六、十七世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急．约翰·纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数，后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即．现已知，，则______，______．
【答案】 2 3
【分析】利用对数运算求得正确答案.
【详解】，
所以.
，
所以.
故答案为：；
五、解答题
17．已知．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用两角和的正切公式求得.
（2）结合同角三角函数的基本关系式、诱导公式、二倍角公式求得正确答案.
【详解】（1），
解得．
（2）
.
18．已知全集，集合，______．
在下面三个条件中任选一个，补充在上面的已知条件中并作答：
①
②
③
(1)当时，求；
(2)当时，“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．
注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．
【答案】(1)条件选择见解析，
(2)
【分析】（1）解不等式求得集合，选择条件后求得集合，由此求得.
（2）根据充分不必要条件列不等式，由此求得的取值范围.
【详解】（1）当时，，或．
选①，，解得，
∴，∴．
选②，,解得，
，∴．
选③，，，
，∴．
（2）当时，，
∵“”是“的充分不必要条件，∴，
解得．
故的范围为．
19．函数的图象如图所示，该图象由幂函数与对数函数“拼接”而成．
(1)求的解析式；
(2)若，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据列方程组来求得的值，进而求得.
（2）根据幂函数的单调性、定义域列不等式，由此求得的取值范围.
【详解】（1）依题意得，解得，
所以．
（2）由得，
解得，∴取值范围为．
20．某药品企业经过市场调研，生产某种药品需投入月固定成本3万元，每生产万件，需另投入流动成本万元，在月产量不足7万件时，；在月产量不小于7万件时，，每件药品售价6元，通过市场分析该企业的药品能当月全部售完．
(1)写出月利润（万元）关于月产量（万件）的函数解析式（注：月利润＝月销售收入－固定成本－流动成本）；
(2)月产量为多少万件时，该企业在这一药品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)
(2)当月产量为12万件时，该企业所获利润最大值为10万元
【分析】（1）根据已知条件求得分段函数的解析式.
（2）根据二次函数的性质、基本不等式求得最大利润，以及此时的月产量.
【详解】（1）由题意得，当时，，
当时，，
故.
（2）当时，，当时，最大值为5万元．
当时，，
当且仅当，即时等号成立，即最大值为10万元．
∵，∴当月产量为12万件时，该企业所获利润最大值为10万元．
21．设函数．
(1)求使不等式成立的的取值范围；
(2)先将函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变；再向右平移个单位；最后向下平移个单位得到函数的图象，若不等式0在上恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）化简的解析式，根据三角不等式的解法求得正确答案.
（2）先求得的解析式，然后利用换元法，结合二次函数的性质求得的取值范围.
【详解】（1），
得，∴．
则的取值集合为．
（2）将所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得，
再向右平移个单位得函数，最后向下平移个单位得到，
∴
令，由得，
设，在上递增，在上递减，
要使不等式恒成立，只需恒成立即可，
∴，故为所求．
22．某中学高一学生组建了数学研究性学习小组．在一次研究活动中，他们定义了一种新运算“”：（为自然对数的底数，），，．进一步研究，发现该运算有许多奇妙的性质，如：，等等．
(1)对任意实数，，，请判断是否成立？若成立请证明；若不成立，请举反例说明．
(2)若（），，，．定义闭区间（）的长度为，若对任意长度为1的区间，存在，，，求正数的最小值．
【答案】(1)成立，证明见解析
(2)4
【分析】（1）根据新定义以及对数运算证得成立.
（2）先求得的解析式，结合差比较法列不等式，由此求得的取值范围，进而求得正数的最小值.
【详解】（1）由定义得：，
∴．
∵．
∴．
（2）
，
∴（）．
∴开口向上，对称轴为：．
∵，根据二次函数的对称性不妨设，
当时，在内单调递增，
则，即，可得．
当，即时，在内单调递减，内单调递增．
，
由，则，即，故．
∴，，
∴正数的最小值为4．
【点睛】关键点点睛：求解新定义运算有关的题目，关键是理解和运用新定义的概念以及运算，利用化归与转化的数学思想方法，将不熟悉的问题，转化为熟悉的问题来进行求解.如本题中的新定义运算，涉及的是对数运算以及指数运算.