河北省张家口市、保定市、石家庄市2023届九年级下学期中考四模数学试卷(含解析)

2023年河北省张家口市、保定市、石家庄市中考

数学四模试卷

一、选择题（本大题共16小题，共42.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  如图，利用工具测量角，则的大小为(    )
 

A.  B.  C.  D.

2.  如图是四个完全相同的小正方体搭成的几何体，它的俯视图为(    )

 

A.  B.  C.  D.

3.  与互为倒数的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列运算不正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  下列判断正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，从热气球看一栋楼底部的俯角是(    )

A.
B.
C.
D.

7.  下列与的结果相等的是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  以下转盘分别被分成个、个、个、个面积相等的扇形，任意转动这个转盘各次已知某转盘停止转动时，指针落在阴影区域的概率是，则对应的转盘是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，正五边形，平分正五边形的外角，连接，则(    )

A.
B.
C.
D.

10.  将的计算结果用科学记数法可表示为(    )

A.  B.  C.  D.

11.  如图，在中，，，，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，则的长为(    )
 

A.
B.
C.
D.

12.  要判断命题“有两个角是直角的圆内接四边形是矩形”是假命题，下列图形可作为反例的是(    )

A.  B.  C.  D.

13.  已知关于的分式方程，对于方程的解，甲、乙两人有以下说法：甲：当时，方程的解是负数；乙：当时，方程的解是正数下列判断正确的是(    )

A. 只有甲对 B. 只有乙对 C. 甲、乙都对 D. 甲、乙都错

14.  如图，点是边长为的正六边形的中心，对角线，相交于点，则的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

15.  如图是二次函数图象的一部分，且过点，二次函数图象的对称轴是直线，下列结论正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

16.  有一题目：“内接于半径为的，若，求”嘉嘉的解答为：画以及它的外接圆过点作于点，连接，因为，所以，所以，所以，所以，而淇淇说：“嘉嘉考虑不周全，还应有另一个不同的值”下列判断正确的是(    )

A. 淇淇说的不对，的值就是
B. 嘉嘉求的结果不对，的值应为
C. 淇淇说的对，且的另一个值是
D. 两人都不对

二、填空题（本大题共3小题，共10.0分）

17.  多项式与多项式的公因式是______．

18.  如图，在中，，，直尺的一边与重合，另一边分别交，于点，点，，，处的读数分别为，，，，则直尺宽的长为______．

 

19.  如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象交于点，将直线向下平移个单位长度得到直线，直线与反比例函数的图象交于点，若点的横坐标是点的横坐标的倍，则的值为______ ．

三、计算题（本大题共2小题，共18.0分）

20.  为了了解全校名学生对学校设置的体操、球类、跑步、踢毽子等等课外体育活动项目的喜爱情况，在全校范围内随机抽取了若干名学生．对他们最喜爱的体育项目每人只选一项进行了问卷调查，将数据进行了统计并绘制成了如图所示的频数分布直方图和扇形统计图均不完整．
在这次问卷调查中，一共抽查了多少名学生？
补全频数分布直方图；
估计该校名学生中有多少人最喜爱球类活动？

 

21.  一辆出租车从地出发，在一条东西走向的街道上往返，每次行驶的路程记向东为正记录如下且，单位：

说出这辆出租车每次行驶的方向．
求经过连续次行驶后，这辆出租车所在的位置．
这辆出租车一共行驶了多少路程？

四、解答题（本大题共5小题，共50.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

22.  本小题分
佳佳同学设计了几张如图写有不同运算的卡片，，，，佳佳选择一个有理数，让她的同桌小伟选择，，，的顺序，进行一次列式计算．

当佳佳选择了，小伟选择了的顺序，列出算式并计算结果；
当佳佳选择了，小伟选择了______ ______ 的顺序，若列式计算的结果刚好为，请判断小伟选择的顺序．

23.  本小题分
如图，四边形是平行四边形，延长至点，使，连接．
求证：四边形是平行四边形；
若，，求点到点的距离．

24.  本小题分
某部队甲、乙两班参加植树活动乙班先植树棵，然后甲班才开始与乙班一起植树设甲班植树的总量为棵，乙班植树的总量为棵，两班一起植树所用的时间从甲班开始植树时计时为时、分别与之间的部分函数图象如图所示．
当时，分别求、与之间的函数关系式．
如果甲、乙两班均保持前个小时的工作效率，通过计算说明，当时，甲、乙两班植树的总量之和能否超过棵？
如果个小时后，甲班保持前个小时的工作效率，乙班通过增加人数，提高了工作效率，这样继续植树小时，活动结束当时，两班之间植树的总量相差棵，求乙班增加人数后平均每小时植树多少棵？

25.  本小题分
已知直线上有两点，，且，作，长为的线段于点，以为直径向右作半圆．
若点为半圆上一点，则的最小值为______ ；
将半圆向右平移得到半圆，，的对应点分别为，，当半圆与相切时，求平移距离．

26.  本小题分
农经公司以元千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量千克与销售价格元千克之间的关系，经过市场调查获得部分数据如表：

请你根据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定与之间的函数表达式，并直接写出与的函数表达式为______ ；
农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？
农经公司每销售千克这种农产品需支出元的相关费用，当时，农经公司的日获利的最大值为元，求的值日获利日销售利润日支出费用

答案和解析

1.【答案】 

解析：解：根据对顶角相等的性质，可得：，
故选：．
根据对顶角的性质解答即可．
本题主要考查了对顶角，熟练掌握对顶角相等是解答本题关键．
 

2.【答案】 

解析：解：如图，它的俯视图为：

故选：．
根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
本题考查了简单几何体的三视图，从上边看上边看得到的图形是俯视图．注意看得见的棱画实线，看不见的棱画虚线．
 

3.【答案】 

解析：解：，
与互为倒数的是．
故选：．
先根据有理数减法的法则计算，再求倒数即可．
本题考查了倒数以及有理数的减法和乘法运算法则，熟记概念和相关运算法则是解题的关键，倒数：乘积是的两数互为倒数．
 

4.【答案】 

解析：解：、，正确，不符合题意；
B、，正确，不符合题意；
C、，原计算错误，符合题意；
D、，正确，不符合题意．
故选：．
根据合并同类项，同底数幂的乘法及除法、积的乘方运算依次计算判断即可．
本题主要考查的是幂的乘方与积的乘方法则、整式的加减、同底数幂的乘法及除法、熟练掌握运算法则是解题关键．
 

5.【答案】 

解析：

【解答】
解：，
．
故选：．  

6.【答案】 

解析：解：从热气球看一栋楼底部的俯角是．
故选：．
俯角是向下看的视线与水平线的夹角，直接根据定义进行判断即可．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握俯角的定义是关键．
 

7.【答案】 

解析：解：．
故选：．
利用完全平方公式即可简便运算．
此题考查了完全平方公式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

8.【答案】 

解析：解：圆被等分成份，其中阴影部分占份，
落在阴影区域的概率为：，故此选项不合题意；
B.圆被等分成份，其中阴影部分占份，
落在阴影区域的概率为：，故此选项不合题意；
C.圆被等分成份，其中阴影部分占份，
落在阴影区域的概率为：，故此选项不合题意；
D.圆被等分成份，其中阴影部分占份，
落在阴影区域的概率为：，故此选项符合题意；
故选：．
首先确定在图中阴影区域的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出指针指向阴影区域的概率．
本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的概率．
 

9.【答案】 

解析：解：五边形是正五边形，
，，，
，
，
平分正五边形的外角，
，
，
故选：．
根据正五边形的外角公式可得，易得每个内角的度数为，再结合等腰三角形和邻补角的定义即可解答．
本题考查了正五边形．解题的关键是掌握正五边形的性质：各边相等，各角相等，内角和为熟记定义是解题的关键．
 

10.【答案】 

解析：解：，
故选：．
先计算出结果，再根据科学记数法的表示形式进行解答即可．
本题考查科学记数法，熟练掌握科学记数法的表示形式为为整数，的绝对值与小数点移动的位数相同是解题的关键．
 

11.【答案】 

解析：

【解答】
解：连接，如图所示：
 
，，，
，，
由题意得：，
为等边三角形，
，
的长为：，
故选：．  

12.【答案】 

解析：解：如图所示，有两个角是直角的圆内接四边形不一定是矩形，
故选：．
根据矩形的性质举出反例即可得出答案．
此题主要考查了命题与定理，熟练掌握矩形的性质是解题关键．
 

13.【答案】 

解析：解：，
去分母得，，
解得，
要使分式方程有解，，
，
，
当时，，
，
当，且时，方程的解是负数，故甲说法错误；
当时，，
，
乙说法正确．
故选：．
首先解方程表示出分式方程的解，然后根据参数的取值范围求解即可．
本题考查分式方程含参数问题，解题的关键是熟练掌握分式方程的增根的定义：使分式方程的最简公分母等于的根叫做分式方程的增根．
 

14.【答案】 

解析：解：六边形是边长为的正六边形，
，，
，
，
，
，
的面积．
故选：．
根据六边形是边长为的正六边形，可得，，根据三角形内角和定理可得，所以，然后利用含度角的直角三角形可得的长，进而可以解决问题．
本题考查了正多边形和三角形的面积，解决本题的关键是掌握正六边形的性质．
 

15.【答案】 

解析：解：抛物线与轴有两个交点，
，即，
选项不正确；
抛物线开口向上，
，
抛物线与轴的交点在轴下方，
，
，
选项错误；
抛物线的对称轴为，
，
，
，故C选项错误；
抛物线过点，二次函数图象的对称轴是直线，
抛物线与轴的另一个交点为，
，
选项正确．
故选：．
根据抛物线与轴有两个交点有可对进行判断；
由抛物线开口向上得，由抛物线与轴的交点在轴下方得，则可对进行判断；
根据抛物线的对称轴为可得，可得，则可对选项进行判断；
根据抛物线的对称性得到抛物线与轴的另一个交点为，所以，则可对选项进行判断．
此题考查的是二次函数图像以及性质，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小．当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；还可以决定开口大小，越大开口就越小．一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置．当与同号时即，对称轴在轴左侧；当与异号时即，对称轴在轴右侧．简称：左同右异常数项决定抛物线与轴交点．抛物线与轴交于抛物线与轴交点个数．时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴没有交点．
 

16.【答案】 

解析：解：嘉嘉考虑不周全，还应有另一个不同的值．
如图，当圆心在外时，
连接交于，连接，
，
，
，
，，
，
，
，
．
故选：．
由题意可知嘉嘉考虑不周全，如图，当圆心在外时，由勾股定理及锐角三角函数的定义可得出答案．
本题考查了三角形的外接圆与外心，勾股定理，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
 

17.【答案】 

解析：解：多项式，多项式，
则两多项式的公因式为．
故答案为：．
第一个多项式提取后，利用平方差公式分解，第二个多项式利用完全平方公式分解，找出公因式即可．
此题考查了公因式，将两多项式分解因式是找公因式的关键．
 

18.【答案】 

解析：解：由题意得，，，
在中，，
则，
，
∽，
，即，
解得：，
故答案为：．
根据正切的定义求出，证明∽，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算即可．
本题考查的是相似三角形的判定和性质、解直角三角形，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
 

19.【答案】 

解析：解：将直线向下平移个单位长度得到直线，
直线的解析式为，
设，则，
、都在反比例函数的图象上，
，
，
，
解得或舍去，
，
，
故答案为：．

先根据一次函数图象的平移规律求出直线的解析式为，设，则，根据、都在反比例函数的图象上，得到，解方程求出的值进而求出的坐标即可得到答案．
本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，一次函数图象的平移问题，正确表示出、的坐标是解题的关键．
 

20.【答案】解：根据题意得：人，
则调查学生数为人；
踢毽子的人数为人，
补全条形统计图，如图所示：

根据题意得：人，
则估计该校名学生中有人最喜爱球类活动． 

解析：根据体操的人数除以占的百分比求出调查的学生总数；
求出踢毽子的人数，补全条形统计图即可；
求出球类占的百分比，乘以即可得到结果．
此题考查了频数率分布直方图，用样本估计总体，以及扇形统计图，弄清题意是解本题的关键．
 

21.【答案】解：第一次是向东，第二次是向西，第三次是向东，第四次是向西．

解：，
且，
，
经过连续次行驶后，这辆出租车所在的位置是向东．

解：，
答：这辆出租车一共行驶了的路程． 

解析：根据数的符号说明即可；
把路程相加，求出结果，看结果的符号即可判断出答案；
求出每个数的绝对值，相加求出即可．
本题考查了整式的加减，绝对值等知识点的应用，主要考查学生分析问题和解决问题的能力，用数学解决实际问题，题型较好．
 

22.【答案】   

解析：解：由题意可得，



；
若选择，
可得：


；
若选择，
可得：



；
列式计算的结果刚好为，
小伟选择了，
故答案为：，．
根据题意列式，再根据有理数混合运算法则计算即可；
分两种情况讨论分别计算出相应的式子的值即可．
本题考查了有理数混合运算，分类讨论的思想方法，解答本题的关键是明确有理数混合运算的运算顺序．
 

23.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，，
四边形是平行四边形；
解：连接，
，，
，
，，
，
，
． 

解析：根据平行四边形的性质得到，，等量代换得到，，于是得到四边形是平行四边形；
连接，根据已知条件得到，根据直角三角形的判定定理得到，，解直角三角形即可得到结论．
本题考查了平行四边形的判定和性质，直角三角形的判定和性质，三角函数的定义，证得是解题的关键．
 

24.【答案】解：设，把代入，得，
．
当时，．
设，把，代入，
得，解得
分

当时，，
．


当时，甲、乙两班植树的总量之和能超过棵．分

设乙班增加人数后平均每小时植树棵．
当乙班比甲班多植树棵时，有．
解得；
当甲班比乙班多植树棵时，有．
解得．
所以乙班增加人数后平均每小时植树棵或棵．分 

解析：由图可知：
甲是正比例函数关系，经过，乙是一次函数关系经过和另一个与甲的交点；
代入函数式求出值就知道了；
相差棵有两种情况，可以是甲比乙多，也可以是乙比甲多．
读懂图象信息，用待定系数法求函数解析式．
植树总量相差棵要分：甲比乙多和乙比甲多两种情况讨论．此问学生可能考虑不全．
 

25.【答案】 

解析：解：如图所示，连接交半圆于，此时的值最小，

，，
，，
又，
，
，
的最小值为，
故答案为：；
如图所示，设半圆与相切于点，连接，，

是半径，，
是半圆的切线，
，是半圆的切线；
，
，
平移的距离为．
如图所示，连接交半圆于，此时的值最小，利用勾股定理求出，则的最小值为；
如图所示，设半圆与相切于点，连接，，由切线长定理可得，解直角三角形得到，则平移的距离为．
本题主要考查了一点到圆上一点距离的最值问题，切线长定理，切线的判定，解直角三角形等等，正确作出辅助线是解题的关键．
 

26.【答案】 

解析：解：假设与成一次函数关系，设与之间的函数表达式为，
将，，代入，得：
，
解得：，
，
检验：当时，；当，；当，，表中数据均符合上述一次函数解析式，
故答案为：；
设日销售利润为元，由题意得：



，
，抛物线开口向下，
当时，有最大值．
这批农产品的销售价格定为元千克，才能使日销售利润最大；
设日获利为元，由题意得：


，
对称轴为
若，则当时，有最大值，最大值为：

，
不符合题意，舍去；
若，则当时，有最大值，将代入，得：
，
当时，
，
解得，舍，
综上所述，的值为．
根据表中的数据，猜测是的一次函数，用待定系数法求得解析式，再对表中数据验证即可；
设日销售利润为元，根据题意列出日销售利润与销售价格之间的函数关系，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案；
设日获利为元，由题意得日获利与销售价格之间的函数关系，求得其对称轴，根据二次函数的性质及日获利的最大值为元，分类求解的值即可．
本题考查了二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．