甘肃省民乐县第一中学2024届高三上学期第一次诊断考试数学试题（含答案）

民乐一中2023—2024学年第一学期高三年级第一次诊断考试

数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的4个选项中，只有1项是符合题目要求的．

1．已知M，N均为R的子集，且，则等于（）

A． B．M C．N D．R

2．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等．设A，B为两个同高的几何体，p：A，B的体积相等，q：A，B在等高处的截面积恒相等，根据祖暅原理可知，q是p的（）

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

3．在平面直角坐标系xOy中，角和角的顶点均与原点O重合，始边均与x轴的非负半轴重合，它们的终边关于直线对称，若，则（）

A． B． C． D．

4．若将函数的图象向右平移个单位长度，则平移后图象的对称中心为（）

A．  B．

C．  D．

5．已知函数若，则实数a的取值范围是（）

A． B． C． D．

6．刘徽（约225—295）割圆术的核心思想是将一个圆的内接正n边形等分成n个等腰三角形（如图所示），当n变得很大时，这n个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积．运用割圆术的思想得到的近似值为（）

A． B． C． D．

7．已知曲线在点处的切线也是曲线的一条切线，则a的值为（）

A． B． C． D．

8．已知，，，则a，b，c的大小关系是（）

A． B． C． D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．下列命题中的真命题是（）

A．，  B．，

C．，，使得 D．，使得

10．下列结论正确的是（）

A．设，则的最小值是 B．当时，的最小值是2

C．当时， D．当时，的最大值是1

11．已知定义在上的奇函数，满足，若，则（）

A．  B．4是的一个周期

C． D．的图象关于对称

12．关于函数，下述结论正确的是（）

A．的最小值为  B．在上单调递增

C．函数在上有3个零点 D．曲线关于直线对称

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．不等式的解集为______．

14．若，，则的取值范围为______．

15．若，则m的值为______．

16．已知为偶函数，且当时，，其中为的导数，则不等式的解集为______．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）已知正实数x，y满足等式．

（1）求xy的最小值；

（2）求的最小值．

18．（12分）已知，．

（1）求的值；

（2）若，求的值．

19．（12分）设，关于x的不等式的解集为．

（1）求m的取值范围；

（2）求关于x的不等式的解集．

20．（12分）已知函数．在下列三个条件中，选择可以确定和m值的两个作为已知条件，并解答下列问题．

条件①：的最小正周期为；

条件②：的最大值与最小值之和为0；

条件③：．

（1）求的值；

（2）若函数在区间上是增函数，求实数a的最大值．

21．（12分）已知函数．

（1）求函数的单调递增区间；

（2）求函数在上的最大值．

22．（12分）设函数．

（1）当时，求函数的极值；

（2）若对任意及任意，，恒有成立，求实数m的取值范围．

民乐一中2023—2024学年第一学期高三年级第一次诊断考试

数学答案

一、单项选择题：

1．B2．A3．B4．C5．C6．D7．C8．B

二、多项选择题

9．ACD10．CD11．BCD12．CD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．

14．

15．4

16．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．解（1），即，当且仅当，时等号成立，

所以xy的最小值为3．

（2），

当且仅当，时等号成立，即．

18．解（1），①

，②

由①②得，③

由①②得，④

由③④得．

（2）∵，，，

∴，，，

，

∴

，

∵，

∴．

19．【解】（1）因为关于x的不等式的解集为，

所以关于x的不等式恒成立，

所以，解得，

所以m的取值范围为；

（2）不等式等价于，

当时，不等式可化为，解集为；

当时，，此时不等式的解集为或；

当时，，此时不等式的解集为．

20．解函数

，

选择条件①②：

（1）由于的最小正周期为，所以，又因为，所以，

所以；

由的最大值与最小值之和为0，

，，

得，解得．

所以．

所以．

（2）当时，，

由于函数在区间上是增函数，

所以，解得，

故实数a的最大值为．

选择条件①③：

（1）由条件①得，，

又因为，所以．

由③知，，

所以．

则．

所以．

（2）当时，，

由于函数在区间上是增函数，

所以，解得，

故实数a的最大值为．

说明：不可以选择条件②③：

由②知，，

所以；

由③知，，所以，矛盾．

所以函数不能同时满足条件②和③．

21．解：（1）的定义域为，，令，得，因为，所以．故的单调递增区间为．

（2）由（1）知，在上单调递增，在上单调递减．

所以当时，在上单调递增，此时；

当时，在上单调递增，在上单调递减，

此时．

综上所述，当时，的最大值为；

当时，的最大值为．

22．解（1）由题意知函数的定义域为．

当时，，，

当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

∴函数的极小值为，无极大值．

（2）当时，

，

，，

∴在区间上，，

则在上单调递减，是的最大值，是的最小值．

∴．

∵对任意及任意，，恒有成立，

∴，得．

∵，∴，

∴，故实数m的取值范围是．