甘肃省2024届高三上学期1月高考诊断考试数学试题

这是一份甘肃省2024届高三上学期1月高考诊断考试数学试题，共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据函数定义域可得集合，解一元二次不等式可得，由交集运算即可求出结果.
【详解】易知，
由，解得，即，
所以.
故选：A.
2．若复数满足，其中是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【分析】利用复数的除法法则计算出，从而得到复数在复平面内对应的点，从而得到所在象限.
【详解】因为，
所以，
则复数在复平面内对应的点为，位于第四象限.
故选：D.
3．在等差数列中，是方程的两根，若，则的值为（ ）
A．B．C．2D．6
【答案】B
【分析】根据韦达定理求出，根据等差数列的性质得到方程，求出，从而得到.
【详解】因为是方程的两根，
所以.
在等差数列中，，又，
所以，所以，
所以，所以.
故选：B.
4．众数､平均数､中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形态有关.在如图所示的分布形态中，平均数､众数和中位数的大小关系是（ ）（由小到大排列）
A．众数中位数平均数
B．平均数众数中位数
C．中位数平均数众数
D．众数平均数中位数
【答案】A
【分析】根据直方图矩形高低以及数据的分布趋势，判断即可得出结论.
【详解】众数是最高矩形的中点横坐标，因此众数在第二列的中点处.
因为直方图第二、三列所占数据较多，且在右边拖尾，
所以平均数大于中位数，在第三､四列的位置，因此有众数<中位数<平均数.
故选：A.
5．已知函数若函数有3个零点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由二次函数、导数研究的性质并画出草图，将问题化为与的图象有3个交点，数形结合确定参数范围.
【详解】当时，，
当时单调递减；当时单调递增.
当时，.
当时，，则，
当时，函数单调递增；
当时，函数单调递减.
当时，.
画出函数的图象如图所示：
因为函数有3个零点，
所以与的图象有3个交点，由图知：.
所以的取值范围为.
故选：B
6．已知平行四边形，若点是边的中点，，直线与相交于点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】画出图形根据向量定比分点设出，构造方程组可解得，可得结果.
【详解】如下图所示：
设，则.
设，
则，
.
因为，
所以，解得，
所以，即.
故选：C.
7．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】应用和差角正余弦公式可得，再由诱导公式、倍角余弦公式求值.
【详解】因为，
所以.
故选：B
8．设定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足xf′(x)－f(x)＝xlnx，，则f(x)( )
A．有极大值，无极小值B．有极小值，无极大值
C．既有极大值，又有极小值D．既无极大值，又无极小值
【答案】D
【详解】因为xf′(x)－f(x)＝xlnx，所以，所以，所以f(x)＝xln2x＋cx.因为f()＝ln2＋c×＝，所以c＝，所以f′(x)＝ln2x＋lnx＋＝ (lnx＋1)2≥0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)在(0，＋∞)上既无极大值，也无极小值，故选D.
点睛：根据导函数求原函数，常常需构造辅助函数，一般根据导数法则进行：如构造，构造，构造，构造等
二、多选题
9．已知函数在一个周期内的图象如图所示，图象与轴的交点为，则下列结论正确的是（ ）
WSDWSD
A．的最小正周期为
B．的最大值为2
C．直线是图象的一个对称轴
D．在区间上单调递增
【答案】ABD
【分析】由三角函数图象判断函数性质问题，一般是先结合图像分别求出，周期确定，关键点确定，接着根据要求，结合正弦型（余弦型）函数性质分别判断即得.
【详解】设的最小正周期为，
由图象可知，解得故选项A正确；
因为，所以，解得，故.将代入解析式得，
因为，则，所以得，故.
又因为图象与轴的交点为，所以，得，故的最大值为2，选项B正确；
由上述分析知，当时，，则点是函数的对称中心，即直线不是其对称轴，
故选项C错误；
因当时，取，而在上单调递增，故在区间上单调递增，故选项D正确.
故选：ABD.
10．已知，若，则（ ）
A．的最大值为B．的最小值为1
C．的最小值为8D．的最小值为
【答案】ACD
【分析】AD选项，由基本不等式求出最值；B选项，化为，求出最小值；C选项，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.
【详解】对于，由，即，
当且仅当，且，即时，取等号，所以A正确；
对于，因为，
当且仅当时，取到最小值，所以B错误；
对于C，因为，所以，
当且仅当，且，即，时，取等号，所以C正确；
对于，当且仅当，且，
即时，取等号，所以正确.
故选：ACD.
11．已知直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，点为的准线与轴的交点，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．过的焦点的最短弦长为4
C．当时，直线的倾斜角为
D．存在2条直线，使得成立
【答案】AB
【分析】由拋物线的定义,可判定A正确；根据抛物线的几何性质，可判定B正确；设直线的方程为，联立方程组，得到，结合时，求得，可判定C错误；分别求得，结合，化简代入，得到恒成立，可判定D错误.
【详解】由拋物线的定义可得，所以A正确；
当过抛物线的焦点且与轴垂直时弦长最短，此时弦长为4，所以B正确；
设直线的方程为，联立方程组，整理得，
可得，
当时，，则，，
解得，所以倾斜角不是，所以C错误；
由，则，
，
，
，
由，则，可得，化简可得，
由，则，
将，代入，则恒成立，所以D错误.
故选：AB.
12．已知直三棱柱内接于球，点为的中点，点为侧面上一动点，且，则下列结论正确的是（ ）
A．点A到平面的距离为
B．存在点，使得平面
C．过点作球的截面，截面的面积最小为
D．点的轨迹长为
【答案】ACD
【分析】A选项，作出辅助线，由等体积法求出点A到平面的距离；B选项，建立空间直角坐标系，设，求出平面的法向量，根据故与法向量不平行，得到B错误；C选项，当与过点的截面垂直时，截面的面积最小，求出截面半径的最小值，得到答案；D选项，作出辅助线，得到点的轨迹，求出轨迹长度.
【详解】A选项，设点A到平面的距离为，因为，
所以，
取的中点，连接，
由勾股定理得，，故，
由三线合一可得⊥，由勾股定理得，
，所以，即点A到平面的距离为，A正确；
B选项，以A为原点，所在直线为轴建系，
则，设，则，
设平面的法向量为，则，
令，则，故，
设，，即，故，无解，
故与法向量不平行，
所以不存在点，使得平面，B错误；
C选项，三棱柱的外接球即为以为邻边的长方体的外接球，
当与过点的截面垂直时，截面的面积最小，
球心，则过点作球的截面，
截面半径的最小值为，
所以截面的面积最小为，C正确；
D选项，过点作于，则，
又⊥平面，平面，所以⊥，
因为，平面，所以⊥平面，
因为平面，所以⊥，
故，又，
则点的轨迹是以点为圆心，为半径的半圆，
其圆心角为，点的轨迹长即为，D正确.
故选：ACD
【点睛】方法点睛：特殊几何体的内切球或外接球的问题，常常进行补形，转化为更容易求出外接球或内切球球心和半径的几何体，比如墙角模型，对棱相等的三棱锥常常转化为棱柱来进行求解.
三、填空题
13．已知是奇函数，则 .
【答案】/
【分析】根据函数奇偶性由化简代入计算可解得.
【详解】由函数可知其定义域为，
所以.
因为是奇函数，所以，
即，解得.
故答案为：
14．传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等.“圆柱容球”是阿基米德最为得意的发现.在一个“圆柱容球”模型中，若球的体积为，则该模型中圆柱的表面积为 .
【答案】
【分析】借助球体体积公式及圆柱表面积公式计算即可得.
【详解】设球的半径为，则圆柱的底面半径为，母线长为，
则球的体积为，所以，
所以圆柱表面积为.
故答案为：.
15．如图，点，是双曲线的左，右焦点，同时也是双曲线的左，右顶点，过点的直线交双曲线的左，右两支分别于，两点，交双曲线的右支于点（与点不重合），且与的周长之差为6，则双曲线的方程为 ．
【答案】
【分析】根据题意及双曲线的定义得到，，进而求解即可得到双曲线的方程．
【详解】不妨设双曲线的焦距为，
因为与的周长之差为6，
所以，
又点，是双曲线的左，右顶点，所以，
所以，，，
所以双曲线的方程为．
故答案为：．
16．某学校有、两个餐厅，已知同学甲每天中午都会在这两个餐厅中选择一个就餐，如果甲当天选择了某个餐厅，他第二天会有的可能性换另一个餐厅就餐，假如第天甲选择了餐厅，则第天选择餐厅的概率为 .
【答案】
【分析】根据全概率公式可得出，可得出，由此可得出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求得数列的通项公式.
【详解】当且时，若甲在第天选择了餐厅，
那么在第天有的可能性选择餐厅，
若甲在第天选择了餐厅，那么在第天有的可能性选择餐厅，
所以第天选择餐厅的概率，
即，所以.
又由题意得，，所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，所以.
故答案为：.
四、解答题
17．已知的内角的对边分别为，且.
(1)求角的大小，
(2)若的角平分线交边于点，且，求边.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理以及两角和公式的逆用可求得，结合其范围可得；
（2）在中利用正弦定理以及可求得，可知是等腰三角形，所以可求出.
【详解】（1）由正弦定理可得，
因为，所以；
可得.
又，故.
（2）如下图所示：

在中，，
所以，
结合，所以，
所以，
可得，
所以是等腰三角形，且，
所以.
18．如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧棱底面，且，点分别为的中点.

(1)若平面平面，证明平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由线线平行得到线面平行，再由线面平行的性质得到线线平行，由线线垂直得到线面垂直，证明出结论；
（2）建立空间直角坐标系，得到平面的法向量，进而求出两平面的夹角余弦值.
【详解】（1）因为底面为正方形，所以，
又平面平面，
所以平面.
又因为平面平面平面，
所以.
因为底面平面，所以.
又因为，平面，
所以平面.
所以平面.
（2）因为底面平面，所以，
由（1）知，两两相互垂直，
如图，以点为坐标原点，所在直线分别为轴､轴､轴，建立空间直角坐标系.

设，则，，
.
设平面的一个法向量为，
即，
令，则，，得，
又平面的一个法向量为，
所以平面与平面夹角的余弦值是.
19．第18届亚洲杯将于2024年1月12日在卡塔尔举行，该比赛预计会吸引亿万球迷观看.为了了解某校大学生喜爱观看足球比赛是否与性别有关，该大学记者站随机抽取了100名学生进行统计，其中女生喜爱观看足球比赛的占女生人数的，男生有10人表示不喜欢看足球比赛.
(1)完成下面列联表，试根据小概率值的独立性检验，判断能否认为喜爱观看足球比赛与性别有关联？
(2)在不喜爱观看足球比赛的观众中，按性别用分层随机抽样的方式抽取8人，再从这8人中随机抽取2人参加校记者站的访谈节目，设抽到的男生人数为，求的分布列和期望.
附：，其中.
【答案】(1)列联表见解析，认为喜爱观看足球比赛与性别有关联.
(2)分布列见解析，
【分析】（1）根据题意即可完善列联表，代入计算可得，可知喜爱观看足球比赛与性别有关联；
（2）可确定抽取的8人中男生2人，女生6人，即可得的可能取值为，分别求出其概率列出分布列可得期望值.
【详解】（1）根据表格数据可知抽取的女生共40人，喜欢观看足球比赛的女生为人，
可得得列联表如下：
根据列联表中的数据计算得
，
根据小概率值的独立性检验，即认为喜爱观看足球比赛与性别有关联.
（2）按照分层随机抽样的方式抽取8人，根据抽样比可知其中男生2人，女生6人，
则的可能取值为，
，
，
所以的分布列为
期望值.
20．已知数列的前项和为，且是首项为1，公差为2的等差数列.
(1)求的通项公式；
(2)若数列的前项和为，且不等式对一切恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)，；
(2).
【分析】（1）由求通项公式，由等差数列定义写出通项公式，进而写出通项公式；
（2）应用错位相减法、等比数列前n项和公式求，问题化为对一切恒成立，研究右侧的单调性求最大值，即可得参数范围.
【详解】（1）当时，，解得.
当时，，两式相减得，即，
所以是首项､公比均为2的等比数列，故.
又，故.
（2），则①，②，
①-②得.
所以.
不等式对一切恒成立，转化为对一切恒成立.
令，则，
又，
当时，，当时，，
所以，则.
所以实数的取值范围为.
21．已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若函数在上单调递增，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将代入并求导，利用导数的几何意义即可求的切线方程；
（2）由在上单调递增可得，利用参变分离构造函数即可求得，解得的取值范围是.
【详解】（1）当时，，
，易知，
所以在点处的切线方程为，即.
（2）令，
因为在上单调递增，
则，
即在上恒成立，也即在上恒成立，
令，
则，显然在上恒成立，
所以可知在上单调递减，；
因此只需满足即可，解得.
综上，的取值范围为.
22．已知椭圆的离心率，短轴长为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点且斜率不为的动直线与椭圆交于、两点，点是直线上一定点，设直线、的斜率分别为、，若为定值，求点的坐标.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据已知条件可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的方程；
（2）设、、，设直线的方程为，由根与系数的关系可得出，进而可得出，化简的表达式，根据为定值可得出关于、的等式，结合可求得、的值，即可得出点的坐标.
【详解】（1）解：因为椭圆的离心率，短轴长为，
则，解得，故椭圆的方程为.
（2）解：设、、，
设直线的方程为，
由得，
因为、为方程的两根，
所以，
则，
由，得，
由得，
同理可得，
则
，
若为定值，则必有，
结合点在直线上，即，解得，
所以点坐标为，则，
综上所述，当时，为定值.
【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；
（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.
男
女
合计
喜爱看足球比赛
不喜爱看足球比赛
合计
60
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
男
女
合计
喜爱看足球比赛
50
10
60
不喜爱看足球比赛
10
30
40
合计
60
40
100
0
1
2