高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆优质课教学ppt课件

 人教A版高中数学选择性必修一

《3.1.1椭圆及其标准方程》教学设计

【教材分析】

本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第一册》第二章《直线和圆的方程》，本节课主要学习椭圆及其标准方程. 从知识上讲，椭圆的标准方程是解析法的进一步运用，同时它也是进一步研究椭圆几何性质的基础；从方法上讲，它为我们研究双曲线、抛物线这两种圆锥曲线提供了基本模式和理论基础；从教材编排上讲，现行教材中把三种圆锥曲线独编一章，更突出了椭圆的重要地位.因此本节课有承前启后的作用，是本章和本节的重点内容.是几何的研究实现了代数化.数与形的有机结合，在本章中得到了充分体现.

【学情分析】

椭圆是高中数学课程内容中较难的一章节，需要学生具备良好的解析几何思维以及综合计算能力，通过学习椭圆，理解其几何意义，掌握其标准方程和几何性质，并会综合应用解决问题，在本节课程学习中，要注重学生对概念的理解，从简单的题目入手，直接应用性质解题，循序渐进，逐步掌握综合应用题目的解题思路和方法.

【教学目标与核心素养】

教学目标：

A.理解椭圆的定义及椭圆的标准方程．

B.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程．

C.理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题．

核心素养：

1.数学抽象：曲线与方程的关系

2.逻辑推理：曲线的方程与方程的曲线的关系

3.数学运算： 根据条件求曲线的方程

4.数学建模：运用方程研究曲线的性质

【教学重点】

椭圆的定义及椭圆的标准方程

【教学难点】

运用标准方程解决相关问题

【教学方法】

启发教学法，讲授法

【教学过程】

情境导入：

椭圆是圆锥曲线的一种具有丰富的几何性质，在科研生产和人类生活中具有广泛的应用，那么椭圆到底有怎样的几何性质，我们该如何利用这些特征建立椭圆的方程，从而为研究椭圆的几何性质奠定基础.

    取一条定长的细线，把它的两端都固定在图板的同一点套上铅笔拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点）画出的轨迹是一个圆.如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板中的两点F1,F2 ，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？在这一过程中，移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？

知识精讲：

1．椭圆的定义

把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于___________的点的轨迹叫做椭圆，这_______叫做椭圆的焦点，_________叫做椭圆的焦距，焦距的____称为半焦距．

常数(大于|F1F2|) ;两个定点 ;两焦点间的距离 ;一半

思考：(1)椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？

(2)椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，动点的轨迹是什么？

[提示]　(1)点的轨迹是线段F1F2.

(2)当距离之和小于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．

观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系可能使所得的椭圆方程形式简单？

一般地，如果椭圆的焦点为，焦距为2，而且椭圆上的 动点P满足，=2其中>>0. 以 所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示，椭圆焦点分别为(,0).

=2. ①

①，我们将其左边一个根式移到右边，得得

对方程两边平方，得

=

整理，得= ③

对方程③两边平方，得

=

整理得    ④

将方程④两边同除以，得

  ⑤

由椭圆的定义可知>>0 ，即>>0，所以.

观察图，你能从中找出表示，的线段吗？

由图可知，=，=c

令,那么方程⑤就是

  (>>0)          ⑥

称焦点在轴上的椭圆方程.

设椭圆，焦距为2，而且椭圆上的动点P满足

=2其中>>0. 以 所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示，此时：

（1）椭圆焦点的坐标分别是什么？

（2）能否通过  (>>0) 来得到此时椭圆方程的形式？

  (>>0),称焦点在轴上的椭圆方程.

知识精讲：

2.椭圆的标准方程

课堂练习：

1. a=6,c=1的椭圆的标准方程是(　　)

A.=1　   B.=1  

C.=1 D.=1或=1

2. 椭圆+y2=1上一点P到一个焦点的距离为2,则点P到另一个焦点的距离为(　　)

A.5 B.6        C.7 D.8

3. 椭圆4x2+9y2=1的焦点坐标是(　　)

A.(±,0)  B.(0,±)    C. D.

解析: (1) 易得为D选项.

(2)设椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,若|PF1|=2,

结合椭圆定义|PF2|+|PF1|=10,可得|PF2|=8.

(3)∵椭圆的标准方程为=1,

∴a2=,b2=,∴c2=a2-b2=,且焦点在x轴上,

∴焦点坐标为.

(3)∵椭圆的标准方程为=1,∴a2=,b2=,

∴c2=a2-b2=,且焦点在x轴上,

∴焦点坐标为.

典例精析：

例1. 已知､是定点，.若动点满足，则动点的轨迹是（    ）

A．直线 B．线段 C．圆 D．椭圆

【答案】B

【解析】对于在平面内，若动点到、两点的距离之和等于6，而6正好等于两定点、的距离，则动点的轨迹是以，为端点的线段．故选：B．

归纳总结：

椭圆是在平面内定义的，所以“平面内”这一条件不能忽视．

定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量．

常数(2a)必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆，这是判断曲线是否为椭圆的限制条件．

课堂练习：

跟踪训练1．若椭圆上一点Ｐ到左焦点的距离为５，则其到右焦点的距离为（ ）

A．５ B．３ C．２ D．１

【答案】D

【解析】由题意a=3,P点到右焦点的距离为2a-5=1.

典例精析：

例2.（1）如果表示焦点在轴上的椭圆，那么实数的取值范围是（  ）

A． B．(0,2) C． D．

（2）方程表示椭圆，则实数的取值范围（    ）

A． B． C． D．且

【答案】（1）A（2）D

【解析】（1）转化为椭圆的标准方程，得，因为表示焦点在轴上的椭圆，所以，解得.所以实数的取值范围是.选A.

（2）方程表示椭圆，若焦点在x轴上，；若焦点在y轴上，.综上：实数的取值范围是且，故选：D

归纳总结：

把方程写成椭圆的标准方程形式，得到形式，要想表示

（1）焦点在轴上的椭圆，必须要满足，解这个不等式就可求出实数的取值范围．

（2）焦点在x轴上的椭圆，必须要满足A>B>0，解这个不等式就可求出实数的取值范围．

（3）椭圆，必须要满足解这个不等式就可求出实数的取值范围.

课堂练习：

跟踪训练2．“”是“方程表示椭圆”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】因为方程表示椭圆的充要条件是，即且，故“”是“方程表示椭圆”的必要而不充分条件.故选：B.

典例精析：

例3.（1）已知的顶点，在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在上，则的周长是（　　）

A． B． C． D．

（2）已知是椭圆上一点， 为椭圆的两焦点，且，则面积为（  ）

A． B． C． D．

【答案】（1）C  （2）A

【解析】（1）的顶点，在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在上，由椭圆的定义可得：

的周长是．故选：C．

（2）由椭圆的标准方程可得：a＝5，b＝3，∴c＝4，

设|PF1|＝t1，|PF2|＝t2，所以根据椭圆的定义可得：t1+t2＝10①，

在△F1PF2中，∠F1PF2＝60°，

所以根据余弦定理可得：

|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1||PF2|cos60°＝|F1F2|2＝（2c）2＝64，

整理可得：t12+t22﹣t1t2＝64，②把①两边平方得t12+t22+2t1•t2＝100，③

所以③﹣②得t1t2＝12，

∴∠F1PF2＝3．故选A．

课堂练习：

跟踪训练3．已知点分别是椭圆的左、右焦点,点在此椭圆上,则的周长等于（  ）

A．20 B．16 C．18 D．14

【答案】C

【解析】根据椭圆方程可知，根据椭圆的定义可知，的周长为，故选C.

典例精析：

例4. 求满足下列条件的椭圆的标准方程：

(1)两个焦点的坐标分别为F1(－4,0)，F2(4,0)，并且椭圆上一点P与两焦点的距离的和等于10；

(2)焦点坐标分别为(0，－2)，(0,2)，经过点(4,3)；

(3)经过两点(2，－)，.

[解]　(1)因为椭圆的焦点在x轴上，且c＝4,2a＝10，所以a＝5，

b＝＝＝3，所以椭圆的标准方程为＋＝1.

(2)因为椭圆的焦点在y轴上，所以可设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．

法一：由椭圆的定义知

2a＝＝12，

解得a＝6.又c＝2，所以b＝＝4.

所以椭圆的标准方程为＋＝1.

法二：因为所求椭圆过点(4,3)，所以＋＝1.

又c2＝a2－b2＝4，可解得a2＝36，b2＝32.

所以椭圆的标准方程为＋＝1.

(3)法一：若焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．

由已知条件得解得

所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.

若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．

由已知条件得解得

则a2＜b2，与a＞b＞0矛盾，舍去．

综上可知，所求椭圆的标准方程为＋＝1.

法二：设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，A≠B)．分别将两点的坐标(2，－)，代入椭圆的一般方程，得解得

所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.

归纳总结：

用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤

(1)定位置：根据条件判断椭圆的焦点是在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能．

(2)设方程：根据上述判断设方程＋＝1(a＞b＞0)或＋＝1(a＞b＞0)或整式形式mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)．

(3)找关系：根据已知条件建立关于a，b，c(或m，n)的方程组．

(4)得方程：解方程组，将解代入所设方程，写出标准形式即为所求．

课堂练习：

跟踪训练4．求与椭圆＋＝1有相同焦点，且过点(3，)的椭圆的标准方程．

[解]　法一：因为所求椭圆与椭圆＋＝1的焦点相同，所以其焦点在x轴上，且c2＝25－9＝16.

设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．

因为c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16　①.

又点(3，)在所求椭圆上，所以＋＝1，

即＋＝1　②.   由①②得a2＝36，b2＝20，

所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.

法二：由题意可设所求椭圆的标准方程为＋＝1.

又椭圆过点(3，)，将x＝3，y＝代入方程得＋＝1，解得λ＝11或λ＝－21(舍去)．故所求椭圆的标准方程为＋＝1.

典例精析：

例5(1). 已知P是椭圆＋＝1上一动点，O为坐标原点，则线段OP中点Q的轨迹方程为______________．

(2)如图所示，圆C：(x＋1)2＋y2＝25及点A(1,0)，Q为圆上一点，AQ的垂直平分线交CQ于点M，求点M的轨迹方程．

（3）动点到定点的距离和到定直线的距离之比是常数，求动点点的轨迹.

【解】(1)x2＋＝1　

设Q(x，y)，P(x0，y0)，由点Q是线段OP的中点

知x0＝2x，y0＝2y，

又＋＝1，所以，即x2＋＝1.

(2)由垂直平分线的性质可知|MQ|＝|MA|，

∴|CM|＋|MA|＝|CM|＋|MQ|＝|CQ|，

∴|CM|＋|MA|＝5.

∴点M的轨迹为椭圆，其中2a＝5，焦点为C(－1,0)，A(1,0)，∴a＝，c＝1 ，∴b2＝a2－c2＝－1＝.

∴所求点M的轨迹方程为＋＝1，即＋＝1.

（3）如图，设是点到直线的距离，根据题意，动点的轨迹就是集合，  由此得

将上式两边平方，并化简，得，即：

归纳总结：

1．与椭圆有关的轨迹方程的求法常用方法有：直接法、定义法和代入法，本例(1)所用方法为代入法，例(2)所用方法为定义法．

2．对定义法求轨迹方程的认识

如果能确定动点运动的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可以利用这种已知曲线的定义直接写出其方程，这种求轨迹方程的方法称为定义法．定义法在我们后续要学习的圆锥曲线的问题中被广泛使用，是一种重要的解题方法．

3．代入法(相关点法)

若所求轨迹上的动点P(x，y)与另一个已知曲线C：F(x，y)＝0上的动点Q(x1，y1)存在着某种联系，可以把点Q的坐标用点P的坐标表示出来，然后代入已知曲线C的方程 F(x，y)＝0，化简即得所求轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做代入法(又称相关点法)．

课堂练习：

跟踪训练5．已知x轴上一定点A(1,0)，Q为椭圆＋y2＝1上任一点，求线段AQ中点M的轨迹方程．

[解]　设中点M的坐标为(x，y)，点Q的坐标为(x0，y0)．

利用中点坐标公式，得∴

∵Q(x0，y0)在椭圆＋y2＝1上，∴＋y＝1.

将x0＝2x－1，y0＝2y代入上式，得＋(2y)2＝1.

故所求AQ的中点M的轨迹方程是＋4y2＝1.

达标检测：

1．椭圆＋y2＝1上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为(　　)

A．5　　　　B．6　　　　C．7　　　　D．8

D　[根据椭圆的定义知，P到另一个焦点的距离为2a－2＝2×5－2＝8.]

2．已知椭圆4x2＋ky2＝4的一个焦点坐标是(0,1)，则实数k的值是(　　)

A．1            B．2         C．3        D．4

B　[椭圆方程可化为x2＋＝1，由题意知解得k＝2.]

3．若方程＋＝1表示椭圆，则实数m满足的条件是________．

[解][由方程＋＝1表示椭圆，得

解得m＞且m≠1.]

4．设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，设椭圆C上一点到两焦点F1，F2的距离和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标．

[解]　∵椭圆上一点到两焦点的距离之和为4，

∴2a＝4，a2＝4，∵点是椭圆上的一点，

∴＋＝1，∴b2＝3，∴c2＝1，

∴椭圆C的方程为＋＝1. 焦点坐标分别为(－1,0)，(1,0)．

5.如图所示,在圆C:(x+1)2+y2=25内有一点A(1,0).Q为圆C上任意一点,线段AQ的垂直平分线与C,Q的连线交于点M,当点Q在圆C上运动时,求点M的轨迹方程.

解:如图所示,连接MA.由题意知点M在线段CQ上,

从而有|CQ|=|MQ|+|CM|.

又点M在AQ的垂直平分线上,

则|MA|=|MQ|,故|MA|+|MC|=|CQ|=5>|AC|=2.

又A(1,0),C(-1,0),故点M的轨迹是以(1,0),(-1,0)为焦点的椭圆,

且2a=5,c=1,

故a=,b2=a2-c2=-1=.故点M的轨迹方程为=1.    

【课后小结】

【板书设计】

【教学反思】

“椭圆及其标准方程”是在学生已学过坐标平面上圆的方程的基础上，运用“曲线和方程”理论解决具体的二次曲线的又一实例.学生在学习上还是有一定的基础的.教学按照有有生活中的实例，出发，类比圆的定义，从而获得椭圆的定义，进而运用解析法，求出椭圆的标准方程，并能简单运用.