2022-2023学年陕西省宝鸡市渭滨区八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年陕西省宝鸡市渭滨区八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A. 斐波那契螺旋线 B. 笛卡尔心形线
C. 赵爽弦图 D. 科克曲线

2.  若，则下列关系式不成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列命题中，逆命题是真命题的是(    )

A. 对顶角相等 B. 全等三角形的面积相等
C. 两直线平行，内错角相等 D. 如果，那么

4.  如图，要用“”判定和全等的条件是(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

5.  不等式的解集在数轴上表示正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，中，，，的垂直平分线分别交、于、，若，则等于(    )

A.
B.
C.
D.

7.  如图，的两个外角的平分线相交于点，则下列结论正确的是(    )

A. 平分
B. 平分
C.
D.

8.  如图，在中，已知点在上，且，则点在(    )

A. 的垂直平分线上 B. 的平分线上
C. 的中点 D. 的垂直平分线上

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

9.  等腰三角形两边长分别是和，则该三角形的周长为______．

10.  用反证法证明：“在中，已知，则”的逆命题，应首先假设______ ．

11.  不等式组的解集是______ ．

12.  如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，立柱，且顶角，则的大小为______．

13.  如图，在中，，，分别平分，，为上一点，若，则的最小值为______ ．

三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）

14.  解不等式组：

四、解答题（本大题共12小题，共96.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.  本小题分
如图，有一块三边长分别为，，的三角形硬纸板，现要从中剪下一块底边长为的等腰三角形．
在图中用直尺和圆规作出一个符合要求的等腰三角形不写作法，保留作图痕迹．

16.  本小题分
已知点与点关于原点对称，求点、两点的坐标．

17.  本小题分
如图，已知在锐角中，，是的角平分线，是上一点，连接，若，，求的面积．

18.  本小题分
若关于的不等式组无解，求的取值范围．

19.  本小题分
如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点网格线的交点．
将向上平移个单位，再向右平移个单位，得到，请画出；
以边的中点为旋转中心，将按逆时针方向旋转，得到，请画出．

20.  本小题分
如图，与关于点成中心对称．

画出对称中心；保留作图痕迹
若，，，则的面积 ______ ．

21.  本小题分
如图所示，点在一块直角三角板上其中，于点，于点，若，求度数．

22.  本小题分
如图，一次函数的图象分别与轴和轴相交于、两点，且与正比例函数的图象交于点．
求一次函数的解析式；
当时，直接写出自变量的取值范围．

23.  本小题分
如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点，求证：点在的垂直平分线上．

24.  本小题分
北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受大家的喜爱，人们争相购买．现有甲、乙两种型号的“冰墩墩”，已知一个甲种型号比一个乙种型号多元，购买甲、乙两种型号各个共需元．
求甲、乙两种型号的“冰墩墩”单价各是多少元？
某团队计划用不超过元购买甲、乙两种型号的“冰墩墩”共个，求最多可购买多少个甲种型号的“冰墩墩”？

25.  本小题分
如图，是的角平分线，，交于点．
求证：．
当时，请判断与的大小关系，并说明理由．

26.  本小题分
已知，，点在边上，点是边上一动点，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，．

如图，当时，试判断与的位置关系：______ ；
如图，当，时，求线段的长度；
如图，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，，请证明≌；
如图，当时，在的条件下，作于点当点在射线上运动时，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C.不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
D.既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：．
根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原来的图形重合．

2.【答案】 

【解析】解：、若，则，原变形成立，故本选项不符合题意；
B、若，则，原变形成立，故本选项不符合题意；
C、若，则，原变形不成立，故本选项符合题意；
D、若，则，原变形成立，故本选项不符合题意；
故选：．
根据不等式的性质分别进行判断，即可求出答案．
此题考查了不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键，不等式的基本性质：不等式两边加或减同一个数或式子，不等号的方向不变．不等式两边乘或除以同一个正数，不等号的方向不变．不等式两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．

3.【答案】 

【解析】解：、逆命题为：相等的角为对顶角，错误，为假命题，不符合题意；
B、逆命题为面积相等的三角形全等，错误，是假命题，不符合题意；
C、逆命题为内错角相等，两直线平行，正确，为真命题，符合题意；
D、逆命题为如果，那么，错误，为假命题，不符合题意．
故选：．
写出原命题的逆命题后判断正误即可．
考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题，难度不大．

4.【答案】 

【解析】分析
根据直角三角形全等的判定方法即可直接得出答案．
此题主要考查学生对直角三角形全等的判定的理解和掌握关键是熟练“”的判定定理．
详解
解：选项：可以证明全等，但用的判定定理是“”，不符题意；
选项：可以证明全等，但用的判定定理是“”，不符题意；
选项：在和中，，，
和一定全等，且用的判定定理是“”，符合题意；
选项：可以证明全等，但用的判定定理是“”，不符题意；
故选C．

5.【答案】 

【解析】解：不等式的解集为：，
故选C．
解不等式求得不等式的解集，然后根据数轴上表示出的不等式的解集，再对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的解一元一次不等式以及在数轴上表示不等式解集，熟知实心圆点与空心圆点的区别是解答此题的关键．

6.【答案】 

【解析】解：的垂直平分线分别交、于、，
，
，
，
，
，
；
故选：．
根据中垂线的性质，得到，，进而得到，勾股定理求出的长，进而得到的长，利用，即可得出结果．
本题考查中垂线的性质，勾股定理．熟练掌握中垂线上的点到线段两端点的距离相等，是解题的关键．

7.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于，作于，作于，

的两个外角平分线相交于点，
，
平分．
故选：．
过点作于，作于，作于，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得到，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断出平分．
本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，到角的两边距离相等的点在角的平分线上，熟记性质是解题的关键，作出图形更形象直观．

8.【答案】 

【解析】解：，，
，
点在的垂直平分线上，
故选：．
根据题意得到，根据线段垂直平分线的判定定理解答即可．
本题考查的是线段的垂直平分线的判定，掌握到线段的两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上是解题的关键

9.【答案】 

【解析】【分析】
本题主要考查了三角形的三边关系问题，能够利用三角形的三边关系求解一些简单的计算、证明问题．由三角形的三边关系可知，其两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
【解答】解：由三角形的三边关系可知，由于等腰三角形两边长分别是和，
所以其另一边只能是，
故其周长为．
故答案为．

10.【答案】 

【解析】解：“在中，已知，则”的逆命题是“在中，已知，则”，
用反证法证明时，应首先假设，
故答案为：．
先写出原命题的逆命题，再根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可．
本题考查的是反证法的应用、逆命题的概念，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．

11.【答案】 

【解析】解：由，得：；
由，得：，
不等式组的解集为：．
故答案为：．
分别解出两个不等式的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集．
本题考查求不等式组的解集．正确求出每一个不等式的解集是解题的关键．

12.【答案】 

【解析】解：且，
．
故答案为：．
根据等腰三角形的性质和三角形内角和得到．
本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的两个底角相等的性质是解题的关键．

13.【答案】 

【解析】解：如图，连接，在上截取，连接，

，分别平分，，
，，
，
，
，
，
，分别平分，，
平分，
，
在和中，
，
≌，
，
，
当，点，点三点共线，且时，有最小值，
此时，，
的最小值为，
故答案为．
由角平分线的性质和内角和定理可求，由“”可证≌，可得，则当，点，点三点共线，且时，有最小值，由直角三角形的性质可求解．
本题考查了轴对称最短路线问题，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．

14.【答案】解：
解不等式得：，
解不等式得：，
故不等式组的解集为． 

【解析】本题考查解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
先求出每个不等式的解集，再根据不等式的解集求出不等式组的解集即可．

15.【答案】解：作线段的垂直平分线，交于点，连接，则即为所求，如图所示：
 

【解析】作线段的垂直平分线，交于点，连接即可得．
本题考查了线段垂直平分线的尺规作图、等腰三角形，熟练掌握线段垂直平分线的尺规作图是解题关键．

16.【答案】解：与点关于原点对称，
，解得，
点，点． 

【解析】根据关于原点对称的点的特征：横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，列式求解即可．
本题考查已知关于原点对称的点的坐标特点，熟练掌握关于原点对称的点的特征是解题的关键．

17.【答案】解：，是的角平分线，
，
在中，，
，
，
． 

【解析】根据等腰三角形三线合一，得到，易证，再利用三角形的面积公式进行计算即可．
本题考查等腰三角形的判定和性质．熟练掌握等腰三角形三线合一，是解题的关键．

18.【答案】解：不等式组无解，
，
解得：．
故的取值范围是． 

【解析】先把当作已知条件求出不等式组的解集，再与已知不等式组无解相比较即可得出实数的取值范围．
本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

19.【答案】解：如图，即为所求；
如图，即为所求．
 

【解析】本题主要考查了作图平移变换，旋转变换，熟练掌握平移和旋转的性质是解题的关键．
根据平移的性质，将向上平移个单位，再向右平移个单位可得；
根据旋转的性质，将按逆时针方向旋转可得．

20.【答案】 

【解析】解：连接，，与的交点就是对称中心，如图所示：

，，，
，
为直角三角形，
与关于点成中心对称，
．
故答案为：．
连接，，与的交点就是对称中心．
根据成中心对称的两个图形全等，求出的面积，即为的面积，利用勾股定理逆定理，得到为直角三角形，进而利用直角三角形的面积公式进行计算即可．
本题考查两个图形成中心对称．熟练掌握对称中心的确定方法，以及成中心对称的两个图形全等，是解题的关键．

21.【答案】解：，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
． 

【解析】证明≌，得到，即可得出结果．
本题考查全等三角形的判定和性质．熟练掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等，是解题的关键．

22.【答案】解：把代入中得，
，
把、代入得：，解得，
．
观察图象知，当时，函数的图象在函数的图象上方．
所以当时，自变量的取值范围为． 

【解析】先求出点坐标，再利用待定系数法求出一次函数的解析式即可；
利用图象法，进行求解即可．
本题考查一次函数的图象和性质．正确地求出一次函数的解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．

23.【答案】证明：连接，

是的垂直平分线，
，，，
，
，
，
，
在中，点是的中点，
，
点在的垂直平分线上． 

【解析】连接，利用线段垂直平分线的性质可得，，，从而可得，进而可得，然后在中，利用直角三角形斜边上的中线性质可得，即可解答．
本题考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形斜边上的中线，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．

24.【答案】解：设乙种型号的单价是元，则甲种型号的单价是元，
根据题意得：，
解得：，
，
答：甲种型号的单价是元，乙种型号的单价是元；
设购买甲种型号的“冰墩墩”个，则购买乙种型号的“冰墩墩”个，
根据题意得：，
解得：，
最大值是，
答：最多可购买甲种型号的“冰墩墩”个． 

【解析】根据题意，设乙种型号的单价是元，则甲种型号的单价是元，根据“购买甲、乙两种型号各个共需元”的等量关系列出一元一次方程，解出方程即可得出答案；
根据题意，设购买甲种型号的“冰墩墩”个，则购买乙种型号的“冰墩墩”个，根据“计划用不超过元”列出不等式，即可得出答案．
本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意找出等量关系和数量关系是本题的关键．

25.【答案】证明：是的角平分线，
，
，
，
．
解：，理由如下：
，
，
，
，，
，
，
又，
，
由得，，
，
． 

【解析】利用角平分线的定义和平行线的性质可得结论；
利用平行线的性质可得，则，从而有，由得，，可知，等量代换即可．
本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义等知识，熟练掌握平行与角平分线可推出等腰三角形是解题的关键．

26.【答案】垂直 

【解析】解：将线段绕点逆时针旋转，得到线段，
，，
是等边三角形，
，
，，
，
，
，
≌，
，
，
．
解：由知，是等边三角形，
，，
，，
，
，
，
，
在中，，
在中，，
．
证明：由可知，是等边三角形，
，．
线段绕点顺时针旋转得到，
，，
是等边三角形，
，，
，
≌，
解：结论：理由如下：
由可知，≌，
，，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
．
易证是等边三角形，证明≌，得到，即可得证；
在中，利用含度角的直角三角形的性质和勾股定理求出，证明为直角三角形，利用勾股定理，进行求解即可；
易证是等边三角形，利用即可得证；
根据≌，得到，证明为直角三角形，求出，得到，即可得出结论．
本题考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，含度角的直角三角形．本题的综合性强，熟练掌握相关性质，证明三角形全等，是解题的关键．