2_专题一12常用逻辑用语（习题+十年高考+检测）

1.2　常用逻辑用语

考点一　充分条件与必要条件

1.(2022浙江,4,4分)设x∈R,则“sin x=1”是“cos x=0”的 (　　)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

答案　A　根据sin x=1解得x=+2kπ,k∈Z,此时cos x=cos=0.根据cos x=0解得x=+kπ,k∈Z,此时sin x=sin=±1.故“sin x=1”是“cos x=0”的充分不必要条件,故选A.

2.(2021浙江,3,4分)已知非零向量a,b,c,则“a·c=b·c”是“a=b”的 (　　)

A.充分不必要条件　　　　B.必要不充分条件

C.充分必要条件　　　　D.既不充分也不必要条件

答案　B　解题指导:利用平面向量的数量积定义分别判断命题“若a·c=b·c,则a=b”与“若a=b,则a·c=b·c”的真假性即可.

解析　若c与向量a,b都垂直,则由a·c=b·c不一定能得到a=b;

若a=b,则由平面向量的数量积的定义知a·c=b·c成立,故“a·c=b·c”是“ a=b”的必要不充分条件.故选B.

方法总结:(1)充分条件、必要条件的判断方法:

①定义法:根据“若p,则q”与“若q,则p”的真假性进行判断;

②集合法:根据p,q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断.

(2)要判断一个命题是假命题,只需举出一个反例即可.但要判断一个命题是真命题,必须通过严格的推理论证.

3.(2021北京,3,4分)设函数f(x)的定义域为[0,1],则“函数f(x)在[0,1]上单调递增”是“函数f(x)在[0,1]上的最大值为f(1)”的              (　　)

A.充分而不必要条件　　　　B.必要而不充分条件

C.充分必要条件　　　　D.既不充分也不必要条件

答案　A　若f(x)在[0,1]上单调递增,则f(x)在[0,1]上的最大值为f(1);若f(x)在[0,1]上的最大值为f(1),则f(x)未必在[0,1]上单调递增,如图.故选A.

4.(2022北京,6,4分)设{an}是公差不为0的无穷等差数列,则“{an}为递增数列”是“存在正整数N0,当n>N0时,an>0”的              (　　)

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

答案　C　设等差数列{an}的公差为d(d≠0),则an=a1+(n-1)d.

若{an}为递增数列,则d>0,

由an=a1+(n-1)d可构造函数f(x)=xd+a1-d,令f(x)=0,得x=,

若a1>d,则x<0,取N0=1,即有n>1时,f(n)>f(1)>0成立;

若a1<d,则x>0,取N0=+1的最大正整数,此时n>N0,必有f(n)>f(N0)=f=0.

综上,存在正整数N0,当n>N0时,an>0,∴充分性成立.

易知an是关于n的一次函数,若存在正整数N0,当n>N0时,an>0,则一次函数为增函数,∴d>0,

∴必要性成立.故选C.

5.(2019天津文,3,5分)设x∈R,则“0<x<5”是“|x-1|<1”的(　　)

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案　B　|x-1|<1⇔-1<x-1<1⇔0<x<2.

当0<x<2时,必有0<x<5;

反之,不成立.

所以,“0<x<5”是“|x-1|<1”的必要而不充分条件.

一题多解　因为{x||x-1|<1}={x|0<x<2}⫋{x|0<x<5},

所以“0<x<5”是“|x-1|<1”的必要而不充分条件.

6.(2018天津,理4,文3,5分)设x∈R,则“<”是“x3<1”的(　　)

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案　A　本题主要考查解不等式和充分、必要条件的判断.

由<得-<x-<,解得0<x<1.

由x3<1得x<1.当0<x<1时能得到x<1一定成立;当x<1时,0<x<1不一定成立.所以“<”是“x3<1”的充分而不必要条件.

方法总结　(1)充分、必要条件的判断.解决此类问题应分三步:①确定条件是什么,结论是什么;②尝试从条件推结论,从结论推条件;③确定条件和结论是什么关系.

(2)探究某结论成立的充要、充分、必要条件.解答此类题目,可先从结论出发,求出使结论成立的必要条件,然后验证得到的必要条件是否满足充分性.

7.(2017北京理,6,5分)设m,n为非零向量,则“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n<0”的(　　)

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

答案　A　由存在负数λ,使得m=λn,可得m、n共线且反向,夹角为180°,则m·n=-|m||n|<0,故充分性成立.由m·n<0,可得m,n的夹角为钝角或180°,故必要性不成立.故选A.

8.(2017天津理,4,5分)设θ∈R,则“<”是“sin θ<”的(　　)

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案　A　本题考查不等式的解法及充分必要条件的判断.

∵<⇔-<θ-<⇔0<θ<,

sin θ<⇔θ∈,k∈Z,

⫋,k∈Z,

∴“<”是“sin θ<”的充分而不必要条件.

9.(2016天津理,5,5分)设{an}是首项为正数的等比数列,公比为q,则“q<0”是“对任意的正整数n,a2n-1+a2n<0”的(　　)

A.充要条件

B.充分而不必要条件

C.必要而不充分条件

D.既不充分也不必要条件

答案　C　若对任意的正整数n,a2n-1+a2n<0,则a1+a2<0,又a1>0,所以a2<0,所以q=<0.若q<0,可取q=-1,a1=1,则a1+a2=1-1=0,不满足对任意的正整数n,a2n-1+a2n<0.所以“q<0”是“对任意的正整数n,a2n-1+a2n<0”的必要而不充分条件.故选C.

评析　本题以等比数列为载体,考查了充分条件、必要条件的判定方法,属中档题.

10.(2015重庆理,4,5分)“x>1”是“lo(x+2)<0”的(　　)

A.充要条件

B.充分而不必要条件

C.必要而不充分条件

D.既不充分也不必要条件

答案　B　当x>1时,x+2>3>1,又y=lox是减函数,

∴lo(x+2)<lo1=0,则x>1⇒lo(x+2)<0;当lo(x+2)<0时,x+2>1,x>-1,则lo(x+2)<0⇒ /x>1.故“x>1”是“lo(x+2)<0”的充分而不必要条件.选B.

11.(2015天津理,4,5分)设x∈R,则“1<x<2”是“|x-2|<1”的(　　)

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案　A　因为|x-2|<1等价于-1<x-2<1,即1<x<3,由于(1,2)⫋(1,3),所以“1<x<2”是“|x-2|<1”的充分而不必要条件,故选A.

12.(2015湖南理,2,5分)设A,B是两个集合,则“A∩B=A”是“A⊆B”的(　　)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案　C　若A∩B=A,任取x∈A,则x∈A∩B,

∴x∈B,故A⊆B;若A⊆B,任取x∈A,都有x∈B,

∴x∈A∩B,∴A⊆(A∩B),又A∩B⊆A显然成立,∴A∩B=A.

综上,“A∩B=A”是“A⊆B”的充要条件,故选C.

13.(2015陕西理,6,5分)“sin α=cos α”是“cos 2α=0”的(　　)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

答案　A　由sin α=cos α,得cos 2α=cos2α-sin2α=0,即充分性成立.

由cos 2α=0,得sin α=±cos α,即必要性不成立.故选A.

14.(2014课标Ⅱ文,3,5分)函数f(x)在x=x0处导数存在.若p:f '(x0)=0;q:x=x0是f(x)的极值点,则(　　)

A.p是q的充分必要条件

B.p是q的充分条件,但不是q的必要条件

C.p是q的必要条件,但不是q的充分条件

D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件

答案　C　∵f(x)在x=x0处可导,∴若x=x0是f(x)的极值点,则f '(x0)=0,∴q⇒p,故p是q的必要条件;反之,以f(x)=x3为例, f '(0)=0,但x=0不是极值点,∴p⇒ /q,故p不是q的充分条件.故选C.

15.(2014安徽理,2,5分)“x<0”是“ln(x+1)<0”的(　　)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

答案　B　ln(x+1)<0⇔0<x+1<1⇔-1<x<0⇒x<0;而x<0⇒/-1<x<0,故选B.

16.(2014浙江理,2,5分)已知i是虚数单位,a,b∈R,则“a=b=1”是“(a+bi)2=2i”的(　　)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

答案　A　当a=b=1时,有(1+i)2=2i,即充分性成立.当(a+bi)2=2i时,有a2-b2+2abi=2i,得解得a=b=1或a=b=-1,即必要性不成立,故选A.

评析　本题考查复数的运算,复数相等的概念,充分条件与必要条件的判定,属于容易题.

17.(2014北京理,5,5分)设{an}是公比为q的等比数列.则“q>1”是“{an}为递增数列”的(　　)

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

答案　D　若q>1,则当a1=-1时,an=-qn-1,{an}为递减数列,所以“q>1”⇒/ “{an}为递增数列”;若{an}为递增数列,则当an=-时,a1=-,q=<1,即“{an}为递增数列”⇒/ “q>1”.故选D.

考点二　全称量词与存在量词

1.(2015浙江理,4,5分)命题“∀n∈N*, f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是(　　)

A.∀n∈N*, f(n)∉N*且f(n)>n

B.∀n∈N*, f(n)∉N*或f(n)>n

C.∃n0∈N*, f(n0)∉N*且f(n0)>n0

D.∃n0∈N*, f(n0)∉N*或f(n0)>n0

答案　D　“f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定为“f(n)∉N*或f(n)>n”,全称命题的否定为特称命题,故选D.

2.(2014湖北文,3,5分)命题“∀x∈R,x2≠x”的否定是(　　)

A.∀x∉R,x2≠x　　　　　B.∀x∈R,x2=x

C.∃x∉R,x2≠x　　　　　D.∃x∈R,x2=x

答案　D　原命题的否定为∃x∈R,x2=x.故选D.

3.(2013重庆理,2,5分)命题“对任意x∈R,都有x2≥0”的否定为(　　)

A.对任意x∈R,都有x2<0　　　　　B.不存在x∈R,使得x2<0

C.存在x0∈R,使得≥0　　　　　D.存在x0∈R,使得<0

答案　D　全称命题的否定是特称命题.“对任意x∈R,都有x2≥0”的否定为“存在x0∈R,使得<0”,故选D.

4.(2015山东理,12,5分)若“∀x∈,tan x≤m”是真命题,则实数m的最小值为　　　　. 

答案　1

解析　∵0≤x≤,∴0≤tan x≤1,∵“∀x∈,tan x≤m”是真命题,∴m≥1.∴实数m的最小值为1