四川省泸州市泸县第五中学2023-2024学年高三上学期开学检测理科数学试题及答案

泸县五中高2021级高三上学期开学考试

理科数学参考答案

1．A  2．A  3．D   4．D  5．B  6．C  7．D   8．B   9．D    10．A  11．B   12．B

13．（答案不唯一）    14．110    15．或或      16．

17．解：（1）推荐的6名医生中任选3名去参加活动基本事件总数，

这6名医生中，外科医生2名，内科医生2名，眼科医生2名，

设事件表示“选出的外科医生人数多于内科医生人数”，

表示“恰好选出1名外科医生和2名眼科医生”，表示“恰好选出2名外科医生”，

，互斥，且，

，，

选出外科医生人数多于内科医生人数的概率为；

（2）由于从6名医生中任选3名的结果为，

从6名医生中任选3名，其中恰有名外科医生的结果为，，那么6名中任选3人，

恰有名外科医生的概率为，

所以，，，

            .

18．解：（1）延长交延长线于点，连接交于点，连接，则过三点的截面就是平面四边形，因为是中点，∥且，

所以是的一条中位线，

所以∥且，所以；

 解法一：取中点连接，因为正三棱柱为的

中点，与三棱柱的侧棱平行，所以两两垂直，以为原点，

为轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示，

 所以，

所以，，

设平面的法向量，则，即，

令，则，所以，

设与平面所成角为，则

，

与平面所成角的正弦值为；

解法二：设点到平面的距离为，连接，

因为，是中点，所以，

因为平面，平面，所以，

因为，平面，所以平面，

因为等边三角形的边长为2，所以，

所以，

所以等腰三角形的底边上的高为，

所以的面积为，又的面积为，

因为，所以，得，又，

设与平面所成角为，

则，故平面所成角的正弦值为.

19解：（1）由图知：平均数为：；

（2）由题设，，则，，

，

由题意知：，则.

20．解：（1）解法一：由，得，

又，所以是的极小值点，

故，而，故，若，则，

当；当，所以在单调递减，在单调递增，

故是唯一的极小值点，也是最小值点，由，所以当且仅当时，

解法二：由，得，又，

当时，有恒成立，所以在上单调递减，又，则不成立，

当时，令，得，

则时，有时，有，

即在单调递减，在单调递增，

所以的最小值为，，

函数在单调递减，单调递增，

，当且仅当取等号，故；

（2）当时，，设，

当时，，

又由（1）知，故，当时，，

设，则，

则在单调递增，，

所以，则在单调递增，，

综上，，即当时，.

21．解：（1）由题意，设，又，则

又因为点在圆上，

所以，故曲线的方程为；

（2）

由题意，，设，则，

易得斜率必然存在，所以，

设，由图象易知，直线斜率不存在时不符合题意

设直线的方程为，

联立曲线的方程，得，得，

所以，由题意知，直线均不过原点，所以，从而，

，

解得，满足，所以直线的方程为，恒过定点.

22．解：（1）由直线的参数方程，得直线的普通方程为．

将代入曲线的极坐标方程，化简得曲线的直角坐标方程为．

（2）由（1），设点，

由题知的最小值为点到直线的距离的最小值．

又点到直线的距离，其中．        

当时，的最小值为．

的最小值为．

23．解：（1）当时，，解得，所以，成立．

当时，，恒成立，所以成立．

当时，，解得，所以，成立

综上，原不等式的解集为

（2）

， ，.