上海市黄浦区2020届高三二模考试（阶段性调研）数学试题 Word版含解析

www.ks5u.com黄浦区2019学年度第二学期高三年级阶段性调研

数学试卷

考生注意：

1．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效．

2．答卷前，考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚．

3．本试卷共21道试题，满分150分；考试时间120分钟．

一、填空题（本大题共有12题，满分54分其中第1~6题每题满分4分，第7~12题每题满分5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．

1.若集合，，则________．

【答案】

【解析】

【分析】

先通过解二次不等式求出集合，再求.

【详解】由有得

所以集合，又.

所以

故答案为：

【点睛】本题考查解二次不等式和求集合的交集，属于基础题.

2.函数的最小正周期为________．

【答案】

【解析】

【分析】

先用降幂公式将函数化为，然后再由函数的最小正周期公式可求得答案.

【详解】由得.

根据函数的最小正周期为，

则函数的最小正周期为.

所以函数的最小正周期为.

故答案为：

【点睛】本题考查余弦的二倍角公式和函数的最小正周期，属于基础题.

3.某社区利用分层抽样的方法从140户高收入家庭、280户中等收入家庭、80户低收入家庭中选出100户调查社会购买力的某项指标，则中等收入家庭应选________户．

【答案】56

【解析】

【分析】

由分层抽样的计算方法有，中等收入家庭的户数占总户数的比例再乘以要抽取的户数，即可得到答案.

【详解】该社区共有户.

利用分层抽样的方法, 中等收入家庭应选户

故答案为：56

【点睛】本题考查分层抽样，注意抽取比例是解决问题的关键，属于基础题.

4.若直线与互相垂直，则实数的值为________．

【答案】

【解析】

【分析】

由两直线互相垂直，建立关于实数的方程，解方程即可得到答案.

【详解】两直线与互相垂直.

所以，解得

故答案为：

【点睛】本题考查两直线互相垂直求参数的值，注意两直线互相垂直的充要条件，属于基础题.

5.如果，为第三象限角，则________．

【答案】

【解析】

【分析】

由条件，为第三象限角，可求出，再由诱导公式可得，从而可得答案.

【详解】由，为第三象限角,有.

由诱导公式可得

所以

故答案为：

【点睛】本题考查同角三角函数的关系和诱导公式，注意角的范围，属于基础题.

6.若一圆锥的主视图是边长为6的正三角形，则此圆锥的体积为________．

【答案】

【解析】

【分析】

由圆锥的主视图是边长为6的正三角形，则可得到圆锥底面圆的半径为3，母线长为6，则可求出圆锥的高，从而求出其体积.

【详解】由圆锥的主视图是边长为6的正三角形如图，则可得到圆锥底面圆的半径为3，母线长为6.

所以圆锥的高

所以此圆锥的体积为

故答案为：

【点睛】本题考查由圆锥的主视图得到圆锥的底面半径和母线，考查圆锥的体积，考查空间想象能力，属于基础题.

7.已知双曲线的一条渐近线平行于直线l：y＝2x＋10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为________．

【答案】

【解析】

【分析】

根据渐近线与直线的平行关系确定出的关系，再根据焦点在上确定出的值，结合计算出即可得到双曲线的方程.

【详解】因为一条渐近线与平行，所以，

又因为双曲线的焦点为，且直线过点，

所以，

所以，所以，

所以双曲线的方程为：.

故答案为：.

【点睛】本题考查根据直线的平行关系求解参数、根据的值求解双曲线的方程，难度一般.当直线过标准形式椭圆或者双曲线的焦点时，此时焦点一定为直线与坐标轴的交点.

8.已知函数的定义域和值域都是，则________．

【答案】

【解析】

【分析】

分和两种情况分别讨论函数的单调性，根据单调性结合定义域和值域先求出参数的值，在求.

【详解】当时，函数在上单调递增，

所以，即，此时方程组无解.

当时，函数在上单调递减，

所以，即，解得：

所以，则

故答案为：.

【点睛】本题考查根据指数型函数的单调性和值域求参数的值，进一步求函数的值，属于中档题.

9.当，满足时，恒成立，则实数的取值范围是________．

【答案】

【解析】

【分析】

先根据条件作出可行域，然后求出的取值范围，由恒成立，即，即可得出答案.

【详解】由，满足，作出可行域，如图.

设，则，表示直线在轴上的截距的相反数.

则,由，得.

当直线过点时，有最大值4，

当直线过点时，有最小值.

所以，所以

故答案为：.

【点睛】本题考查简单的线性规划问题和恒成立求参数的问题，属于中档题.

10.某班共有4个小组，每个小组有2人报名参加志愿者活动．现从这8人中随机选出4人作为正式志愿者，则选出的4人中至少有2人来自同一小组的概率为________．

【答案】

【解析】

【分析】

先求出从这8人中随机选出4人的选法总数，再求出选出的4人中至少有2人来自同一小组的不同选法总数，再求概率.

【详解】从这8人中随机选出4人作为正式志愿者有种不同的选法.

选出的4人中至少有2人来自同一小组分为下列情况：

(1)恰好有2人来自同一小组有种

（2）4个人来自2个不同的小组（每个小组2个人）有

所以选出的4人中至少有2人来自同一小组有种选法.

则选出的4人中至少有2人来自同一小组的概率为

故选项为：.

【点睛】本题考查组合问题，求古典概率的问题，属于中档题.

11.已知，函数，若存在不相等的实数，，，使得，则的取值范围是________．

【答案】

【解析】

【分析】

根据题意即函数有3个不等实数根，然后当时，可得有一个实数根，所以当时，有两个不等的实数根，即在上有两个不等的实数根，研究函数的单调区间，即可得出答案.

【详解】存在不相等的实数，，，使得

即函数有3个不等实数根.

当时，即，即.

所以当时，有两个不等的实数根.

即在上有两个不等的实数根.

设函数，则.

令，得，，得

所以上单调递增，在上单调递减，当时，.

又,的大致图象如下:

有两个不等的实数根,则

故的取值范围是是.

故答案为：

【点睛】本题考查根据函数零点个数求参数的范围，属于中档题.

12.点是曲线上的任意一点，，，射线交曲线于点，垂直于直线，垂足为点．则下列结论：（1）为定值；（2）为定值5；（3）为定值．其中正确结论的序号是________．

【答案】（1）（2）

【解析】

【分析】

由条件曲线是双曲线的一部分，且，为双曲线的焦点，根据双曲线的定义可判断（1），利用抛物线的定义可判断（2），（3）.

【详解】曲线，即双曲线的一部分.

所以，为双曲线的焦点.

抛物线的准线方程为：，焦点为

由点在双曲线上，根据双曲线定义有：，所以（1）正确.

过点作垂直于抛物线准线于点,则.

所以,所以（2）正确.

由双曲线的定义有，

所以.

所以（3）不正确.

故答案为：（1）（2）.

【点睛】本题考查抛物线的定义和双曲线的定义的应用，属于中档题.

二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．

13.“函数存在反函数”是“函数在上为增函数”的（ ）

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【详解】函数存在反函数，至少还有可能函数在上为减函数，充分性不成立；根据反函数的定义可知必要性显然成立， “函数存在反函数”是“函数在上为增函数”的必要而不充分条件，故选B.

14.设是复数，则下列命题中的假命题是（）

A. 若，则

B. 若，则

C. 若，则

D. 若，则

【答案】D

【解析】

试题分析：对（A），若，则，所以为真；

对（B）若，则和互为共轭复数，所以为真；

对（C）设，若，则，

，所以为真；

对（D）若，则为真，而，所以为假．

故选D．

考点：1.复数求模；2.命题的真假判断与应用．

15.已知，是互相垂直的单位向量，向量满足：，，是向量与夹角的正切值，则数列是（    ）．

A. 单调递增数列且 B. 单调递减数列且

C. 单调递增数列且 D. 单调递减数列且

【答案】A

【解析】

【分析】

设，，，设向量与夹角为,则可求，，则可得到，从而得到答案.

【详解】设，，，设向量与夹角为.

则，

由，可得，

由，可得

所以

所以

所以数列是单调递增数列，又.

故选：A

【点睛】本题考查向量的数量积的坐标表示和运算和数列极限，关键是根据直条件将所求问题坐标化，属于中档题.

16.如图，直线平面，垂足为，正四面体的棱长为2，，分别是直线和平面上的动点，且，则下列判断：①点到棱中点的距离的最大值为；②正四面体在平面上的射影面积的最大值为．其中正确的说法是（    ）．

A. ①②都正确 B. ①②都错误 C. ①正确，②错误 D. ①错误，②正确

【答案】C

【解析】

【分析】

由题意，点在以为直径的球面上的点，所以点到棱中点的距离的最大值为点到球心的距离再加上球的半径，可判断①，当当与重合时，求出正四面体在在平面上的射影面积，可判断②.

【详解】由题意，点在以为直径的球面上的点.

点到棱中点的距离，即以为直径的球面上的点到棱中点的距离.

所以点到棱中点的距离的最大值为点到球心的距离再加上球的半径.

设的中点为，则为以为直径的球的球心，半径为

所以

所以点到棱中点的距离的最大值为，故正确①.

由直线平面，且，则平面.

在正四面体中，,又，所以平面

所以在平面上的射影与平行且相等.

当与重合时，正四面体在在平面上的射影为对角线为2的正方形.

此时射影的面积为2，所以②不正确.

故选：C

【点睛】本题考查两点间的距离的最大值的求法和几何体在平面上的投影面积的最值，考查空间想象能力和推理论证能力，考查转化能力，属于中档题.

三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．

17.如图，在三棱锥中，平面，，、、分别是棱、、的中点，，．

（1）求异面直线与所成的角；

（2）求点到平面的距离．

【答案】(1)      (2) 

【解析】

【分析】

（1）由、分别是棱、的中点. 所以，所以(或其补角)为异面直线与所成的角，在中求解.
（2）由是棱的中点，所以点到平面的距离等于点到平面的距离.设点到平面的距离为,由等体积法求解点到平面的距离.

【详解】（1）由平面，所以，则

由、分别是棱、的中点. 所以，且

所以(或其补角)为异面直线与所成的角.

由平面，则,又，即.

又,所以平面,

由、分别是棱、的中点. 所以,且

所以平面,则,即.

所以在直角三角形中，.

所以异面直线与所成的角为；

（2）由是棱的中点，所以点到平面的距离等于点到平面的距离.

设点到平面的距离为.

由(1)可知为直角三角形，则.

.

由是棱的中点，所以点到面的距离为

由,所以

所以

所以点到平面的距离为．

【点睛】本题考查求异面直线所成角和点到面的距离，考查等体积法的应用，本题也可以建立空间直角坐标系，用向量的方法求解，属于基础题.

18.设，是函数的图像上任意两点，点满足．

（1）若，求证：为定值；

（2）若，且，求的取值范围，并比较与的大小．

【答案】(1)  证明见解析    （2）的取值范围是，

【解析】

【分析】

（1）由得，再由，可证明为定值.
（2）由，，则，可得出的取值范围，由，可知，可得出.

【详解】(1)    由，可得，即.

故为定值.

(2)由，

可得,即

则，即,所以

所以的取值范围是

此时由，可知

故，即.

【点睛】本题考查对数函数的性质和对数的运算性质，考查向量的坐标运算，属于中档题.

19.某公园计划在矩形空地上建造一个扇形花园如图①所示，矩形的边与边的长分别为48米与40米，扇形的圆心为中点，扇形的圆弧端点，分别在与上，圆弧的中点在上．

（1）求扇形花园的面积（精确到1平方米）；

（2）若在扇形花园内开辟出一个矩形区域为花卉展览区．如图②所示，矩形的四条边与矩形的对应边平行，点，分别在，上，点，在扇形的弧上．某同学猜想：当矩形面积最大时，两矩形与的形状恰好相同（即长与宽之比相同），试求花卉展览区面积的最大值，并判断上述猜想是否正确（请说明理由）．

【答案】(1)  平方米     (2) 花卉展览区面积的最大值为平方米，该同学的猜想是正确的.

【解析】

【分析】

(1) 设，则,在，求出角，利用扇形的面积公式可求出扇形的面积.
(2) 在图②中，连，设,在中求出，又，所以矩形的面积化简可得，从而可得出答案.

【详解】(1)设，则，

在直角三角形中，,.

所以.

所以扇形花园的面积约为平方米.

(2)在图②中，连，设，.

则在中，由，可得

连接交于点，则,.

所以

所以矩形的面积

当且仅当,即时，取最大值.

的最大值为，所以花卉展览区面积的最大值为平方米.

当的面积最大时，

此时从而两矩形长和宽之比相等.

所以两矩形的形状相同，即该同学的猜想是正确的.

【点睛】本题考查利用三角函数解决实际问题，考查正弦的差角公式和辅助角，将实际问题转化为三角函数问题时关键，属于中档题.

20.已知点，分别是椭圆右顶点与上顶点，坐标原点到直线的距离为，且点是圆的圆心，动直线与椭圆交于，两点．

（1）求椭圆的方程；

（2）若点在线段上，，且当取最小值时直线与圆相切，求的值；

（3）若直线与圆分别交于，两点，点在线段上，且，求的取值范围．

【答案】（1）       （2）        （3）

【解析】

【分析】

(1) 由点是圆的圆心，，原点到直线的距离为，在中由等面积法有，可求答案.
(2) 设，则,求出直线的方程，将点坐标代入直线的方程，可得，当且仅当时，取得最小值，可得到点的坐标，则可得到直线的方程，再由原点到直线的距离为，可求出的值.
(3) 由,可得,求出，，可得,可求出的范围.

【详解】(1)由点是圆的圆心，，则,,则

坐标原点到直线的距离为，在中由等面积法有，可得.

所以椭圆的方程为

（2）设，则

则，则直线的方程为.

将点坐标代入直线的方程，可得

故，则当且仅当时，取得最小值.

此时点的坐标为，直线的方程为.

故.

(3)由,可得,将代入椭圆方程得：

，即，故.

又点到直线的距离为，则

所以，

可得

令，则

故取值的范围是.

【点睛】本题求考查椭圆方程和考查椭圆中的弦长和圆中的弦长以及求参数的范围，属于中档题.

21.若数列与函数满足：①的任意两项均不相等，且的定义域为；②数列的前的项的和对任意的都成立，则称与具有“共生关系”．

（1）若，试写出一个与数列具有“共生关系”的函数的解析式；

（2）若与数列具有“共生关系”，求实数对所构成的集合，并写出关于，，的表达式；

（3）若，求证：“存在每项都是正数的无穷等差数列，使得与具有‘共生关系’”的充要条件是“点在射线上”．

【答案】（1）       （2）实数对所构成的集合为，且，其中，.   （3）证明见解析.

【解析】

【分析】

(1) 由，可知，从而可得.
(2) 由题意得,当，可得，当时，与的任意两项均不相等相矛盾,故此时不合题意；当，，不合题意，当，也不合题意. 若，则，由，，可得，的任意两项均不相等，故，可知，得出答案.
(3)先证必要性，若是公差的等差数列，，可得，故解得，再证充分性，若点在射线上，

即，可得，从而得证.

【详解】(1)由，可知

所以与数列具有“共生关系”的函数的解析式可以为：.

(2)由题意得，令，可得，即.

 ①若，此时不成立，不合题意，

若，由，可得，又，可得，与的任意两项均不相等相矛盾,故此时不合题意.

②若，可得

若，则由与，可得，不合题意.

若，则，当时，，不合题意.

若，则，由，

可得，即

此时数列是首项为，公比为的等比数列，又的任意两项均不相等，

故，可知

所以实数对所构成的集合为，且，其中

(3)(必要性)若是公差的等差数列，且与具有“共生关系”.

则由，

可得:

故，即恒成立.

故解得

又由,可得,

由,可知

所以点在射线上.

(充分性)若点在射线上，则

又方程等价于，

且，取，它显然是正数且满足

令，则

，

故当时，

这里无穷数列是首项为，公差为的无穷等差数列.

其中每一项都是正数，所以存在每一项都是正数的无穷等差数列，使得与具有“共生关系”.

【点睛】本题考查数列的新定义，考查数列与函数的关系和递推数列的性质和处理方法，属于难题.