上海市普陀区2020届高三二模考试数学试题+Word版含解析

2019学年第二学期普陀区高三数学质量调研2020.6

一、填空题（本大共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分）

1.数组“2，1.5，2.9，4.8，5，4.3”的中位数为______.

【答案】3.6

【解析】

【分析】

把这组数据按从小到大排列，计算它的中位数即可．

【详解】解：该组数据按从小到大排列为：1.5，2，2.9，4.3，4.8，5；

所以这组数据的中位数为．

故答案为：3.6．

【点睛】本题考查了中位数的定义与计算问题，属于基础题．

2.若增广矩阵为的线性方程组的解为，则实数______.

【答案】1

【解析】

【分析】

根据增广矩阵概念直接求解.

【详解】由增广矩阵为的线性方程组的解为，则，得.

故答案为：1.

【点睛】本题考查了对增广矩阵的理解与应用，属于基础题.

3.已知i为虚数单位，若复数z满足，则实数a的值为______.

【答案】5

【解析】

【分析】

根据两个复数相等，实部和实部相等，虚部和虚部相等，即可得出结果.

【详解】设，则可得，

所以.

故答案为：5

【点睛】本题考查了共轭复数、两个复数相等的转化，考查了理解辨析能力和数学运算能力，属于容易题.

4.已知等比数列（）满足，则______.

【答案】2

【解析】

【分析】

利用等比中项求得关于的方程，解方程即可得到答案；

【详解】，，

故答案为：.

【点睛】本题考查等比中项的性质，考查运算求解能力，属于基础题.

5.已知实数x、y满足条件.则目标函数的最大值为______.

【答案】2

【解析】

【分析】

作出约束条件所表示的可行域，当目标函数所表示的直线过点时，目标函数取得最大值.

【详解】作出约束条件所表示的可行域，易得点，

当直线过点时，直线在轴上的截距达到最大，

，

故答案为：

【点睛】本题考查线性规划问题，考查数形结合思想，考查运算求解能力，求解时注意利用直线截距的几何意义进行求解.

6.A，B，C，D四位同学参加甲、乙两项志愿者活动，两人一组，则A，B两位同学在同一组的概率为______.（结果用最简分数表示）

【答案】

【解析】

【分析】

古典概型，列出基本事件的总数和满足条件的基本事实个数，即可求出结果.

【详解】试验发生包含的事件是将A，B，C，D四个人平均分成两组，

基本事件的总数：共有，即
满足条件的基本事件是A，B两人恰好在同一组，共有1种
根据古典概型概率公式得到 
故答案为：

【点睛】本题考查古典概型，考查理解辨析能力、逻辑推理能力和数学运算能力，是一个基础题.

7.已知一个半圆柱的高为4，其俯视图如图所示，其左视图的面积为8，则该半圆柱的表面积为______.

【答案】

【解析】

【分析】

由圆柱的主视图和左视图知该圆柱的底面直径为4，高为3，由此能求出该几何体的表面积，得到答案.

【详解】由题意，其左视图为矩形，其左视图的面积为8，半圆柱的高为4，

可得半圆的半径为2，

由于半圆柱的表面积为两个底面半圆面积加侧面展开图形的面积，

即.

故答案为：.

【点睛】本题主要考查了空间几何体的三视图的应用，以及圆柱的表面积的计算问题，同时考查了圆柱的结构特征的应用，属于基础题.

8.设，若，则______.

【答案】160

【解析】

【分析】

先将化为，然后利用赋值法求出的值，再求出的值．

【详解】解：原式，

令，即得：，

所以．

所以展开式中含项为：．

故．

故答案为：160．

【点睛】本题考查二项式定理的应用，以及利用通项法研究特定项的问题，属于基础题．

9.设是等差数列的前n项和（）若，则______.

【答案】

【解析】

【分析】

由等差数列前项和公式有，代入已知条件可求得公差，再计算数列极限．

【详解】∵数列是等差数列，

（其中是公差），，

∵，

，．

即 ，

．

故答案为：

【点睛】本题考查等差数列的前项和，考查数列的极限．关键是掌握等差数列前项和公式：，属于中档题．

10.在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，则角C的大小为______.

【答案】

【解析】

【分析】

由二阶行列式和余弦定理，即可得出结果.

【详解】由二阶行列式的计算可得，

即，由余弦定理可得， ，.

故答案为：.

【点睛】本题考查了二阶行列式、余弦定理等基础知识，考查了理解辨析和数学运算能力，属于容易题目.

11.在平面四边形中，，，若点M是边上的任一动点，则的最小值为______.

【答案】

【解析】

【分析】

连接，则可证是等边三角形，建立平面直角坐标系，设，用表示出，则根据配方法得出最小值．

【详解】解：连接，

，

，

，

，

，

，

，

是等边三角形，

以为原点，以为轴，以为轴建立平面直角坐标系，

则，，，，，

设，，则，，，

，

当时，取得最小值．

故答案为：．

【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算，坐标法是常用方法之一，属于中档题．

12.设双曲线r：（）的左、右焦点分别为，，点M在r的右支上，向量是直线的一个方向向量，若，则r的焦距为______.

【答案】

【解析】

【分析】

由题意可得直线的斜率为，且，设，由双曲线的定义可得，在三角形中，分别运用正弦定理、余弦定理，解方程可得，进而得到焦距．

【详解】解：向量是直线的一个方向向量，可得直线的斜率为，且，

设，由双曲线的定义可得，

在三角形中，由正弦定理可得，即，

解得，

由余弦定理可得，

即为，

解得，，

则焦距．

故答案为：．

【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查三角形的正弦定理、余弦定理的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．

二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一排得零分）

13.对于抛物线，“方程”是“焦点到准线的距离等于2”的（    ）

A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件

C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】

根据抛物线的几何性质，结合充分条件和必要条件的判定方法，即可求解.

【详解】由抛物线方程，可得，所以抛物线的焦点到准线的距离为2，

即充分性是成立的；

反之不成立，焦点到准线的距离为2，此时抛物线的方程可能是，即必要性不成立，

综上可得， “方程”是“焦点到准线的距离等于2”的充分非必要条件.

故选：A.

【点睛】本题主要考查了充分条件和必要条件的判定，以及抛物线的标准方程及几何性质的应用，意在考查推理与运算能力，属于基础题.

14.已知集合，，，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中向量的坐标，则可确定不同向量的个数为（    ）

A. 33 B. 34 C. 35 D. 36

【答案】A

【解析】

【分析】

根据题意，先求得不考虑限定条件确定的不同的点的个数，进而考虑集合中的相同元素2，出现了3个重复的情况，进而计算可得答案.

【详解】由题意，不考虑限定条件确定的不同点的个数为,

但集合中有相同元素2，

由三个数确定的不同点的个数只有三个，

故所求的个数为个.

故选：A.

【点睛】本题主要考查了排列、组合的综合运用，注意从反面分析，并且注意到集合中有相同元素2从而导致出现重复的情况，着重考查分析问题和解答问题的能力.

15.已知平面，B，，，且，，且，则下列叙述错误是（    ）

A. 直线与是异面直线

B. 直线在上的射影可能与平行

C. 过有且只有一个平面与平行

D. 过有且只有一个平面与垂直

【答案】D

【解析】

【分析】

利用反证法判断选项正确；举例说明选项正确；由公理3的推论结合过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行判断选项正确；由异面直线垂直及线面关系判断选项错误．

【详解】对于选项，若直线与是共面直线，设与共面，

不共线的三点，，均在与内，与重合，

又不共线的三点，，均在与内，与重合，则与重合，与矛盾，

故直线与是异面直线，所以选项正确；

对于选项，当，，且二面角为锐二面角时，直线在上的射影与平行，所以选项正确；

对于选项，在上任取一点，过该点作的平行线，则由与确定一个平面，该平面与平行，

若过另外有平面与平行，由直线与平面平行的性质，可得过直线外的一点有两条直线与平行，

与过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行矛盾，所以选项正确；

对于选项，只有当与异面垂直时，过有且只有一个平面与，否则，不存在过与垂直的平面，故选项错误．

故选：D．

点睛】本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及应用，着重考查异面直线的性质，考查空间想象能力与思维能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．

16.定义域均为D的三个函数，，满足条件：对任意，点与点都关于点对称，则称是关于的“对称函数”.已知函数，，是关于的“对称函数“，记的定义域为D，若对任意，都存在，使得成立，则实数a的取值范围是（    ）

A. . B. . C. . D. .

【答案】C

【解析】

【分析】

求得的解析式和导数，以及单调性和极值、最值，进而得到的值域；判断在，递增，可得其值域，再由题意可得的值域包含在的值域内，可得的不等式组，解不等式可得所求范围．

【详解】解：由函数，，是关于的“对称函数”，

可得，，，，

可得的解为，

由，（1），，

且在递增，，递减，可得的最小值为，最大值为1，

可得的值域为，，

而在，递增，可得的值域为，，

由题意可得，，，

即有，即为，

解得或，

则的范围是，

故选：．

【点睛】本题考查函数的新定义的理解和运用，考查函数恒成立问题解法，注意运用转化思想和函数的单调性，考查化简运算能力，属于中档题．

三、解答题本大共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应填号的规定区域内写出必要的步骤.

17.设函数是偶函数.

（1）求实数m的值及

（2）设函数在区间上的反函数为，当时，（且）时，求实数a的取值范围.

【答案】（1），；（2）.

【解析】

【分析】

（1）直接利用偶函数的性质的应用求出结果．

（2）利用反函数的性质的应用和不等式的应用求出结果．

【详解】解：（1）因为函数为偶函数，所以定义域关于原点对称且，

则，

当时，，则，，

故.

（2）函数在区间上的反函数为，

则，即，

即，则或，即或

则实数a的取值范围为.

【点睛】本题考查的知识要点：对数函数的性质的应用，反函数的性质的应用，不等式的的解法及应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．

18.设函数.

（1）当时，若函数的最大值为，求函数的最小正周期;

（2）若函数在区间内不存在零点，求正实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）利用降次公式，辅助角公式化简，再结合函数的最大值为，求出，再求出函数的最小正周期；

（2）由题知在内不存在零点，转化为，，，求得的范围.

【详解】（1）

，

因为函数的最大值为，所以，

即，，即，

又，则，

则函数的最小正周期为.

（2）因为函数在区间内不存在零点，

所以，.

即，

则，，

因为，，所以，，即，1，

则所求的的取值范围为.

【点睛】本题考查了三角函数式的化简，考查了三角函数降次公式，辅助角，三角函数的性质，属于中档题.

19.某小区楼顶成一种“楔体”形状，该“楔体”两端成对称结构，其内部为钢架结构（未画出全部钢架，如图1所示，俯视图如图2所示），底面是矩形，米，米，屋脊到底面的距离即楔体的高为1.5米，钢架所在的平面与垂直且与底面的交线为，米，为立柱且O是的中点.

（1）求斜梁与底面所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；

（2）求此模体的体积.

【答案】（1）；（2）350（立方米）.

【解析】

【分析】

（1）连接，由题可知平面， 是直线与底面所成角，由俯视图可知，，在中进行计算即可得解；

（2）由题可知，该“楔体”两端成对称结构，钢架所在的平面与垂直，结合俯视图可知，可将该“楔体”分割成一个直三棱柱和两个相同的四棱锥，然后由题中条件结合椎体和柱体体积公式计算即可.

【详解】（1）如下图，连接，依题意为立柱，即平面，

则是直线与底面所成角，

由俯视图可知，，则，

在中，，

即，

则斜梁与底面所成角的大小为；

（2）依题意，该“楔体”两端成对称结构，钢架所在的平面与垂直，结合俯视图可知，可将该“楔体”分割成一个直三棱柱和两个相同的四棱锥，

则直三棱柱的体积

（立方米），

两个四棱锥的体积

（立方米），

则所求的楔体的体积（立方米）.

【点睛】本题考查线面角的计算，考查几何体体积的计算，考查空间想象能力和计算能力，属于常考题.

20.已知椭圆：的左、右焦点分别为，，上顶点为M，过点M且斜率为的直线与交于另一点N，过原点的直线l与交于P，Q两点

（1）求周长的最小值：

（2）是否存在这样的直线，使得与直线平行的弦的中点都在该直线上?若存在，求出该直线的方程：若不存在，请说明理由.

（3）直线l与线段相交，且四边形的面积，求直线l的斜率k的取值范围.

【答案】（1）10；（2）存在满足条件的直线，其方程为；（3）.

【解析】

【分析】

（1）根据椭圆的对称性和椭圆的定义，可知当弦的长度最小值时，的周长取得最小值；

（2）设与直线平行的弦所在的直线方程为，将其代入曲线的方程，根据韦达定理和中点坐标公式可得中点坐标，消去参数可得结果；

（3）设直线l的方程为，代入曲线，解得两个交点坐标，联立直线与曲线的方程，解得的坐标，求出点到直线的距离，然后求出四边形的面积，根据解不等式可得结果.

【详解】（1）连接，又直线l过原点，由椭圆的对称性得，

则的周长，

要使得的周长最小，即过原点的弦最短，

由椭圆的性质可知，当弦与的短轴重合时最短，即弦的最小值为4，

则周长的最小值为10.

（2）依题意，设与直线平行的弦所在的直线方程为，与的交点坐标为，，

平行弦中点的坐标为，

联立，化简整理得，

当

即时，平行弦存在，

则，，则，

故存在满足条件的直线，其方程为.

（3）设直线l的方程为，点，.（不妨设），

由消去并化简得，即，，

依题意，直线的方程为，

由，得，解得或，

所以，，所以，，

则.

又l与线段有交点且为四边形，所以，即，

点P，Q到直线的距离分别为，，

则

，

又，即.

化简整理得，，解得，

又，所以.

则所求的直线l的斜率k的取值范围为.

【点睛】本题考查了椭圆的定义和椭圆的对称性，考查了直线与椭圆的位置关系，点到直线的距离，考查了运算求解能力，属于中档题.

21.对于无穷数列的某一项，若存在，有成立，则称具有性质.

（1）设，若对任意的，都具有性质，求的最小值；

（2）设等差数列的首项，公差为，前项和为，若对任意的数列中的项都具有性质，求实数的取值范围；

（3）设数列首项，当时，存在满足，且此数列中恰有一项不具有性质，求此数列的前项和的最大值和最小值以及取得最值时对应的的值.

【答案】（1）；（2）；（3）时，最大值为；或时，最小值为.

【解析】

【分析】

（1）计算得出、、，求得每种情况下对应的最小值，进而可得出结果；

（2）求得，根据题意得出对任意的恒成立，可得出，由此可得出的取值范围；

（3）根据题意得出，根据存在满足，得出、、、依次为：、、、、，进一步得知：欲使此数列的前项和最大，、、、依次为：、、、，欲使此数列的前项和最小，、、、依次为：、、、，分别计算出两种情况下数列的前项和，根据表达式可求得前项和分别取最大值或最小值时对应的值.

【详解】（1）经计算知：，此时；，此时；

当时，，此时.

综上可知，，即对任意的，都具有性质时，的最小值为；

（2）由已知可得，，若对任意的，数列中的都具有性质，则对任意的恒成立，

即，整理得：.

因为，则，所以.

因此，实数的取值范围是；

（3）对于，，

因为、、、都具有性质，所以，

而当时，存满足，

所以、、、依次为：、、、、，

由已知不具有性质，故的可能值为、、、，

又因为、、、都具有性质，所以，

欲使此数列的前项和最大，、、、依次为：、、、，

欲使此数列的前项和最小，、、、依次为：、、、，

下面分别计算前项和：，

当时，此数列的前项和最大，最大值为；

.

当且仅当时，即时等号成立，但，

这时取或时，此数列的前项和最小，最小值为.

【点睛】本题考查数列的新定义，考查数列求和等知识，考查数列不等式恒成立问题的求解，考查推理能力与运算求解能力，属于难题.