上海市奉贤区2020届高三二模考试数学试题+Word版含解析

上海市奉贤区2020届高三二模数学试卷

一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）

1.球的表面积为，则球的体积为___________.

【答案】

【解析】

【详解】

2.已知圆的参数方程为，则此圆的半径是________

【答案】2

【解析】

【分析】

化为直角坐标方程可得其圆心和半径

【详解】解：由得，，

所以此圆的圆心为，半径为

故答案为：2

【点睛】此题考查的是参数方程的有关知识，属于基础题

3.设（为虚数单位），若，则实数________

【答案】

【解析】

【分析】

直接代入化简求解

【详解】解：由和得

，

所以，

，解得，

故答案为：

【点睛】此题考查的是复数的运算，属于基础题

4.已知为曲线上位于第一象限内的点，、分别为的两焦点，若是直角，则点坐标为________

【答案】

【解析】

【分析】

若设，，结合椭圆的定义和直角三角形可得，，从而可求出，然后将的值代入椭圆方程中可求出

【详解】解：曲线是焦点在轴上的椭圆，其中，则，得，设，，

因为是直角，

所以，

解得，将代入椭圆方程中得，，

解得（负根舍去）

所以点的坐标为，

故答案为：

【点睛】此题考查的是椭圆的定义和性质，属于基础题

5.已知O是坐标原点，点A（﹣1，1），若点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则的最大值是_____．

【答案】2

【解析】

【分析】

作出不等式组对应的平面区域，结合向量数量积坐标公式，将结论进行转化，利用数形结合进行求解即可.

【详解】作出不等式组对应的平面区域如图：

则x+y，

设z＝﹣x+y，则y＝x+z，

平移直线y＝x+z，当直线y＝x+z经过点A时，直线y＝x+z的截距最大，此时z最大，

由得，得A（0，2），

此时z＝﹣0+2＝2，

故的最大值是2，

故答案是：2.

【点睛】该题考查的是有关线性规划的问题，涉及到的知识点有一元二次不等式组表示的平面区域，向量数量积坐标公式，线性目标函数的最值，在解题的过程中，注意观察目标函数的类型，属于简单题目.

6.从4男2女六名志愿者中任选三名参加某次公益活动，则选出的三名志愿者中既有男志愿者又有女志愿者的概率是________（结果用数值表示）

【答案】

【解析】

【分析】

从4男2女六名志愿者中任选三名，其中既有男志愿者又有女志愿者，所以分两种情况：（1）1男2女；（2）2男1女求解

【详解】解：从4男2女六名志愿者中任选三名共有种方法，

而所选的3名中既有男志愿者又有女志愿者，分两种情况：第一种1男2女，有种；

第二种2男1女，有种，

所以所求的概率为

故答案为：

【点睛】此题考查的是古典概率的求法，属于基础题

7.中，，则A的取值范围为______．

【答案】

【解析】

【分析】

由正弦定理将sin2A≤sin2B＋sin2C－sin Bsin C 变为，然后用余弦定理推论可求，进而根据余弦函数的图像性质可求得角A的取值范围．

【详解】因为sin2A≤sin2B＋sin2C－sin Bsin C，所以，即 ．

所以 ，

因为，所以．

【点睛】在三角形中，已知边和角或边、角关系，求角或边时，注意正弦、余弦定理运用．条件只有角的正弦时，可用正弦定理的推论，将角化为边．

8.已知等差数列的各项不为零，且、、成等比数列，则公比是________

【答案】1或

【解析】

【分析】

由、、成等比数列，列方程找出，从而可求出公比

【详解】解：设等差数列的公差为，

因为、、成等比数列，

所以，即，

化简得，

或

当时，等差数列的每一项都相等，所以、、成等比数列时的公比为1

当时，，所以，

所以等比数列的公比为1或5

故答案为：1或

【点睛】此题考查的是等差数列和等比数列的基本量的运算，属于基础题

9.如图，在正方体中，、分别是、的中点，则异面直线与所成角的大小是____________．

【答案】

【解析】

【详解】试题分析：分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，设，则，

，即异面直线A1M与DN所成角的大小是

考点：异面直线所成的角

10.集合，，若，则实数的取值范围是________

【答案】

【解析】

【分析】

先分别求出集合，再由列不等式可求出的取值范围

【详解】解：由得，且，

解得，所以集合，

由得，，所以集合，

因为，

所以或，

解得或

故答案为：

【点睛】此题考查的是解分式不等式，解绝对值不等式，集合的交集运算，属于中档题

11.三个同学对问题“已知，且，求的最小值”提出各自的解题思路：

甲：，可用基本不等式求解；

乙：，可用二次函数配方法求解；

丙：，可用基本不等式求解；

参考上述解题思路，可求得当________时，（，）有最小值

【答案】

【解析】

【分析】

由得，，然后利用丙的思路求解即可

【详解】解：因为，，

所以

所以

当且仅当时，取等号

即当时，有最小值

故答案为：

【点睛】此题考查的是利用基本不等式求最值，属于中档题

12.在平面直角坐标系内有两点，，，点在抛物线上，为抛物线的焦点，若，则________

【答案】，，

【解析】

【分析】

由点在抛物线上，所以将点坐标代入抛物线方程中，可得到与的关系，由可得点的坐标为，准线方程为，所以，

而，由列方程可求出的值

【详解】解：因为点在抛物线上，

所以，得，

因为抛物线的焦点为，准线为

所以，

因为，，，

所以，

因为，所以，

所以，

所以或

化简得或，

解得或或，

因为，

所以，，，

故答案为：，，

【点睛】此题考查抛物线的性质，属于中档题

二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）

13.某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用如图的条形图表示，根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为（    ）

A. 1.5小时 B. 1.0小时

C. 0.9小时 D. 0.6小时

【答案】C

【解析】

【分析】

直接利用加权平均数公式求解

【详解】解：由题意得，50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为

故选：C

【点睛】此题考查的是利用条形图中的数据求平均数，属于基础题

14.如图，圆的半径为1，是圆上的定点，是圆上的动点，角的始边为射线，终边为射线，过点作直线的垂线，垂足为，将点到直线的距离表示成的函数，则在上的图象大致为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

分析】

计算函数的表达式，对比图像得到答案.

【详解】根据题意知：

到直线的距离为：

对应图像为B

故答案选B

【点睛】本题考查了三角函数的应用，意在考查学生的应用能力.

15.设函数，其中，且，若，则（    ）

A. 1 B.  C.  D. 或

【答案】C

【解析】

【分析】

由已知可得，得，所以，从而可求出的值

【详解】解：因为，

所以，

因，所以，

所以，

所以，

故选：C

【点睛】此题考查的是对数函数，极限的运算等知识，属于基础题

三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）

16.如图，已知正四棱柱中，底面边长，侧棱，过点作的垂线交侧棱于点，交于点.

（1）求的长；

（2）求与平面所成的线面角.

【答案】（1）1；（2）.

【解析】

【分析】

（1）由，可得∽，从而得，再将已知的数据代入可得的长；

（2）如图建立空间直角坐标系，先求出平面的法向量，然后利用向量的夹角公式求出与平面所成的线面角

【详解】解：因为，所以，

因为，所以，

因为，

所以∽，所以

又因为，所以

解得

（2）如图，以为坐标原点，分别以射线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，则

所以，

设平面的法向量为，则

所以，令，则

所以，

设与平面所成的角为，则

所以

所以与平面所成的线面角为

【点睛】此题考查的是几何图形中的计算，利用空间向量求线面角，属于中档题

17.已知向量，（，），令（）.

（1）化简，并求当时方程的解集；

（2）已知集合，是函数与定义域的交集且不是空集，判断元素与集合的关系，说明理由.

【答案】（1），或，；

（2）时，，时，

【解析】

【分析】

（1）直接将向量，代入中化简，可求出的解析式，再解方程即可；

（2）由化简变形可得结果.

【详解】解：（1）因，，

所以

，

当时，，

由得，

解得或，

所以方程的解集为或

（2）当时，，

化简得，

解得，

所以当时，，当时，

【点睛】此题考查向量的数量积和向量的加法运算，考查了三角函数恒等变形公式，属于中档题.

18.甲、乙两地相距300千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不超过100千米/小时，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度（千米/小时）的平方成正比，比例系数为（），固定部分为1000元.

（1）把全程运输成本（元）表示为速度（千米/小时）的函数，并指出这个函数的定义域；

（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？

【答案】（1），；

（2）当时，，时，时最小.

【解析】

【分析】

(1)全程运输成本有两部分组成,将其分别表示出来依题意建立起全程运输成本 (元)表示为速度 (千米/时)的倍数,由题设条件速度不得超过70千米/时,故定义域为;

(2)由(1)知,全程运输成本关于速度的函数表达式中出现了积为定值的情形，由于等号成立的条件有可能不成立,故求最值的方法不确定，对速度的范围进行分类讨论

【详解】解：（1）由题意得，全程运输成本

，

（2）因为

所以

当且仅当时取等号，即

①    当时，即时

时，最小

②    当时，即时，在上单调递减

则时，最小

【点睛】此题考查建立函数关系、不等式的性质、最大值、最小值等知识，考查综合应用数学知识、思想和方法解决问题的能力，属于中档题

19.直线上的动点到点的距离是它到点的距离的3倍.

（1）求点的坐标；

（2）设双曲线的右焦点是，双曲线经过动点，且，求双曲线的方程；

（3）点关于直线的对称点为，试问能否找到一条斜率为（）的直线与（2）中的双曲线交于不同的两点、，且满足，若存在，求出斜率的取值范围，若不存在，请说明理由.

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

【分析】

（1）由于点在直线上，所以设点的坐标为，然后由到点的距离是它到点的距离的3倍列方程求出，从而可得点的坐标；

（2）由可知，由此可，再将点坐标代入双曲线方程中，解方程组可得；

（3）由可知线段的中垂线过点，再利用两直线斜率的关系可得结果.

【详解】解：（1）因为点在直线上，所以设点的坐标为，

因为到点的距离是它到点的距离的3倍，

所以

所以，

化简得，

解得

所以

所以点的坐为；

（2）因为，所以，

所以点的坐标为，即

因为点在双曲线上，所以，

由，得，

所以双曲线方程为

（3）因为点关于直线的对称点为，

所以点的坐标为，

设直线为为，，

由得，，

因为直线与双曲线交于不同的两点，

所以，

化简得，

由根与系数的关系得，

所以，所以线段的中点为，

因为，

所以，化简得，

所以，得，

解得或，

又因为，所以解得的取值范围为

【点睛】此题考查的是直线与双曲线的位置关系，点关于直线的对称问题，属于较难题

20.两个数列、，当和同时在时取得相同的最大值，我们称与具有性质，其中.

（1）设的二项展开式中的系数为（），，记，，，依次下去，，组成的数列是；同样地，的二项展开式中的系数为（），，记，，，依次下去，，组成的数列是；判别与是否具有性质，请说明理由；

（2）数列的前项和是，数列的前项和是，若与具有性质，，则这样的数列一共有多少个？请说明理由；

（3）两个有限项数列与满足，，且，是否存在实数，使得与具有性质，请说明理由.

【答案】（1）不具有；见解析（2）102；见解析（3）见解析，.

【解析】

【分析】

（1）展开式中系数最大项为，然后再判断展开式中的系数是否是最大值，即可得结果；

（2）令，则，结合，求得，求得的最大值，由与具有性质，可得时，，由，结合求得的范围，再由是等差数列，可得，然后联立，解出数列的个数；

（3）由进行迭代，可得，因为与具有性质，

所以，从而可

【详解】解：（1）展开式的通项为，则数列的通项为

故数列中的最大值为

展开式的通项为，

而当时，得，

所以与不具有性质

（2）令，则，

由，即，

解得，

因为，

所以当时，,

因为 与具有性质，

所以时，，

因，

所以，

因为，

所以，

由，解得共有102个数列；

（3）因为，

当，时，

所以

当时，符合上式

所以，

因为与是有限项数列，所以一定存在最大项，

设，因为与具有性质，

所以，

显然成立，

假设，则显然，矛盾

同理，也矛盾，

所以

【点睛】此题考查了二项式定理、数列求和、不等式的性质等性质，综合性强，考查了运算能力，属于难题.