2019年北京中考数学试卷－（三年中考）

这是一份2019年北京中考数学试卷－（三年中考），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2017年北京市中考数学试卷
一、选择题（本题共30分，每小题3分）
1．如图所示，点P到直线l的距离是（　　）
A．线段PA的长度 B．线段PB的长度 C．线段PC的长度 D．线段PD的长度
　　　
2．若代数式有意义，则实数x的取值范围是（　　）
A．x=0 B．x=4 C．x≠0 D．x≠4
3．如图是某个几何题的展开图，该几何体是（　　）
A．三棱柱 B．圆锥 C．四棱柱 　D．圆柱
4．实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（　　）
A．a＞﹣4 　B．bd＞0 　C．|a|＞|b| 　D．b+c＞0
5．下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
6．若正多边形的一个内角是150°，则该正多边形的边数是（　　）
A．6 B．12 　C．16 D．18
7．如果a2+2a﹣1=0，那么代数式（a﹣）的值是（　　）
A．﹣3　 B．﹣1 　C．1 　D．3
8．下面的统计图反映了我国与“一带一路”沿线部分地区的贸易情况．
2011﹣2016年我国与东南亚地区和东欧地区的贸易额统计图

（以上数据摘自《“一带一路”贸易合作大数据报告（2017）》）
根据统计图提供的信息，下列推理不合理的是（　　）
A．与2015年相比，2016年我国与东欧地区的贸易额有所增长
B．2011﹣2016年，我国与东南亚地区的贸易额逐年增长
C．2011﹣2016年，我国与东南亚地区的贸易额的平均值超过4200亿美元
D．2016年我国与东南亚地区的贸易额比我国与东欧地区的贸易额的3倍还多
9．小苏和小林在如图1所示的跑道上进行4×50米折返跑．在整个过程中，跑步者距起跑线的距离y（单位：m）与跑步时间t（单位：s）的对应关系如图2所示．下列叙述正确的是（　　）

A．两人从起跑线同时出发，同时到达终点
B．小苏跑全程的平均速度大于小林跑全程的平均速度
C．小苏前15s跑过的路程大于小林前15s跑过的路程
D．小林在跑最后100m的过程中，与小苏相遇2次
10．如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果．

下面有三个推断：
①当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以“钉尖向上”的概率是0.616；
②随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618；
③若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的概率一定是0.620．
其中合理的是（　　）　　　　　　　　　　A．① B．② C．①② D．①③
二、填空题（本题共18分，每题3分）
11．写出一个比3大且比4小的无理数：　　．
12．某活动小组购买了4个篮球和5个足球，一共花费了435元，其中篮球的单价比足球的单价多3元，求篮球的单价和足球的单价．设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，可列方程组为　　　　　　．
13．如图，在△ABC中，M、N分别为AC，BC的中点．若S△CMN=1，则S四边形ABNM=　　．
　　　　
14．如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的点，AD=CD．若∠CAB=40°，则∠CAD=　　　　．
15．如图，在平面直角坐标系xOy中，△AOB可以看作是△OCD经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一中由△OCD得到△AOB的过程：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　．
16．图1是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程
已知：Rt△ABC，∠C=90°，求作Rt△ABC的外接圆．
作法：如图2．（1）分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点；
（2）作直线PQ，交AB于点O；（3）以O为圆心，OA为半径作⊙O．⊙O即为所求作的圆．
请回答：该尺规作图的依据是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　．

三、解答题（本题共72分，第17题-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）
17．计算：4cos30°+（1﹣）0﹣+|﹣2|．　　　　　　　18．解不等式组：．



19．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D．求证：AD=BC．


20．数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等（如图所示）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证．

请根据该图完成这个推论的证明过程．
证明：S矩形NFGD=S△ADC﹣（S△ANF+S△FGC），
S矩形EBMF=S△ABC﹣（　　　　　+　　　　　）．
易知，S△ADC=S△ABC，　　　　=　　　　　，
　　　　　　=　　　　　　．
可得S矩形NFGD=S矩形EBMF．
21．关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2=0．
（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一根小于1，求k的取值范围．




22．如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，AD∥BC，AD=2BC，∠ABD=90°，E为AD的中点，连接BE．（1）求证：四边形BCDE为菱形；（2）连接AC，若AC平分∠BAD，BC=1，求AC的长．


23．如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y=（x＞0）的图象与直线y=x﹣2交于点A（3，m）．
（1）求k、m的值；
（2）已知点P（n，n）（n＞0），过点P作平行于x轴的直线，交直线y=x﹣2于点M，过点P作平行于y轴的直线，交函数y=（x＞0）的图象于点N．①当n=1时，判断线段PM与PN的数量关系，并说明理由；②若PN≥PM，结合函数的图象，直接写出n的取值范围．


　
24．如图，AB是⊙O的一条弦，E是AB的中点，过点E作EC⊥OA于点C，过点B作⊙O的切线交CE的延长线于点D．（1）求证：DB=DE；（2）若AB=12，BD=5，求⊙O的半径．




25．某工厂甲、乙两个部门各有员工400人，为了解这两个部门员工的生产技能情况，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整．
收集数据
从甲、乙两个部门各随机抽取20名员工，进行了生产技能测试，测试成绩（百分制）如下：
甲 78 86 74 81 75 76 87 70 75 90 75 79 81 70 74 80 86 69 83 77
乙 93 73 88 81 72 81 94 83 77 83 80 81 70 81 73 78 82 80 70 40
整理、描述数据按如下分数段整理、描述这两组样本数据：
成绩x
40≤x≤49
50≤x≤59
60≤x≤69
70≤x≤79
80≤x≤89
90≤x≤100
甲
0
0
1
11
7
1
乙
　　　
　　　
　　　
　　　
　　　
　　　
（说明：成绩80分及以上为生产技能优秀，70﹣﹣79分为生产技能良好，60﹣﹣69分为生产技能合格，60分以下为生产技能不合格）
分析数据：两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示：
部门
平均数
中位数
众数
甲
78.3
77.5
75
乙
78
80.5
81
得出结论：a．估计乙部门生产技能优秀的员工人数为　　　；b．可以推断出
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　部门员工的生产技能水平较高，理由为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　．（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）
26．如图，P是AB所对弦AB上一动点，过点P作PM⊥AB交AB于点M，连接MB，过点P作PN⊥MB于点N．已知AB=6cm，设A、P两点间的距离为xcm，P、N两点间的距离为ycm．（当点P与点A或点B重合时，y的值为0）

小东根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小东的探究过程，请补充完整：
（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：
x/cm
0
1
2
3
4
5
6
y/cm
0
2.0
2.3
2.1
　　　
0.9
0
（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）
（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象．
（3）结合画出的函数图象，解决问题：当△PAN为等腰三角形时，AP的长度约为　　　cm．

27．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2﹣4x+3与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）求直线BC的表达式；（2）垂直于y轴的直线l与抛物线交于点P（x1，y1），Q（x2，y2），与直线BC交于点N（x3，y3），若x1＜x2＜x3，结合函数的图象，求x1+x2+x3的取值范围．












28．在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，P是线段BC上一动点（与点B、C不重合），连接AP，延长BC至点Q，使得CQ=CP，过点Q作QH⊥AP于点H，交AB于点M．（1）若∠PAC=α，求∠AMQ的大小（用含α的式子表示）．（2）用等式表示线段MB与PQ之间的数量关系，并证明．


　





29．在平面直角坐标系xOy中的点P和图形M，给出如下的定义：若在图形M上存在一点Q，使得P、Q两点间的距离小于或等于1，则称P为图形M的关联点．
（1）当⊙O的半径为2时，①在点P1（，0），P2（，），P3（，0）中，⊙O的关联点是　　　　　　　．
②点P在直线y=﹣x上，若P为⊙O的关联点，求点P的横坐标的取值范围．
（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为2，直线y=﹣x+1与x轴、y轴交于点A、B．若线段AB上的所有点都是⊙C的关联点，直接写出圆心C的横坐标的取值范围．



















2017年北京市中考数学试卷答案
1． B．2．D3． A．4． C．5． A．6． B．7． C．8． B．9． D．10． B．
11．π．12． ．13． 3．14． 25°．15．
△OCD绕C点旋转90°，并向左平移2个单位得到△AOB．
16．到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；90°的圆周角所的弦是直径．
17．解：原式=4×+1﹣2+2=2﹣2+3=3．
18．解：，
由①式得x＜3；
由②式得x＜2，
所以不等式组的解为x＜2．
19．证明：∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=C=72°，
∵BD平分∠ABC交AC于点D，
∴∠ABD=∠DBC=36°，∠BDC=72°，
∴∠A=∠ABD，∠BDC=∠C，
∴AD=BD=BC．
20．证明：S矩形NFGD=S△ADC﹣（S△ANF+S△FGC），S矩形EBMF=S△ABC﹣（ S△ANF+S△FCM）．
易知，S△ADC=S△ABC，S△ANF=S△AEF，S△FGC=S△FMC，
可得S矩形NFGD=S矩形EBMF．
故答案分别为 S△AEF，S△FCM，S△ANF，S△AEF，S△FGC，S△FMC．
21．（1）证明：∵在方程x2﹣（k+3）x+2k+2=0中，△=[﹣（k+3）]2﹣4×1×（2k+2）=k2﹣2k+1=（k﹣1）2≥0，
∴方程总有两个实数根．
（2）解：∵x2﹣（k+3）x+2k+2=（x﹣2）（x﹣k﹣1）=0，
∴x1=2，x2=k+1．
∵方程有一根小于1，
∴k+1＜1，解得：k＜0，
∴k的取值范围为k＜0．
22．（1）证明：∵AD=2BC，E为AD的中点，
∴DE=BC，
∵AD∥BC，
∴四边形BCDE是平行四边形，
∵∠ABD=90°，AE=DE，
∴BE=DE，
∴四边形BCDE是菱形．
（2）解：连接AC．
∵AD∥BC，AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠DAC=∠BCA，
∴AB=BC=1，
∵AD=2BC=2，
∴sin∠ADB=，
∴∠ADB=30°，
∴∠DAC=30°，∠ADC=60°，
在Rt△ACD中，∵AD=2，
∴CD=1，AC=．

23．解：（1）将A（3，m）代入y=x﹣2，
∴m=3﹣2=1，
∴A（3，1），
将A（3，1）代入y=，
∴k=3×1=3，
（2）①当n=1时，P（1，1），
令y=1，代入y=x﹣2，
x﹣2=1，
∴x=3，
∴M（3，1），
∴PM=2，
令x=1代入y=，
∴y=3，
∴N（1，3），
∴PM=2
∴PM=PN，
②P（n，n），
点P在直线y=x上，
过点P作平行于x轴的直线，交直线y=x﹣2于点M，
M（n+2，n），
∴PM=2，
∵PN≥PM，
即PN≥2，
∴0＜n≤1或n≥3

24．（1）证明：∵AO=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∵BD是切线，
∴OB⊥BD，
∴∠OBD=90°，
∴∠OBE+∠EBD=90°，
∵EC⊥OA，
∴∠CAE+∠CEA=90°，
∵∠CEA=∠DEB，
∴∠EBD=∠BED，
∴DB=DE．
（2）作DF⊥AB于F，连接OE．
∵DB=DE，AE=EB=6，
∴EF=BE=3，OE⊥AB，
在Rt△EDF中，DE=BD=5，EF=3，
∴DF==4，
∵∠AOE+∠A=90°，∠DEF+∠A=90°，
∴∠AOE=∠DEF，
∴sin∠DEF=sin∠AOE==，
∵AE=6，
∴AO=．
∴⊙O的半径为．

25．解：填表如下：
成绩x
人数
部门
40≤x≤49
50≤x≤59
60≤x≤69
70≤x≤79
80≤x≤89
90≤x≤100
甲
0
0
1
11
7
1
乙
1
0
0
7
10
2
a.×400=240（人）．
故估计乙部门生产技能优秀的员工人数为 200；
b．答案不唯一，理由合理即可．
可以推断出甲部门员工的生产技能水平较高，理由为：
①甲部门生产技能测试中，平均分较高，表示甲部门员工的生产技能水平较高；
②甲部门生产技能测试中，没有技能不合格的员工，表示甲部门员工的生产技能水平较高．
或可以推断出乙部门员工的生产技能水平较高，理由为：
①甲部门生产技能测试中，中位数较高，表示乙部门员工的生产技能水平较高；
②甲部门生产技能测试中，众数较高，表示乙部门员工的生产技能水平较高．
故答案为：1，0，0，7，10，2；
200；甲或乙，①甲部门生产技能测试中，平均分较高，表示甲部门员工的生产技能水平较高；
②甲部门生产技能测试中，没有技能不合格的员工，表示甲部门员工的生产技能水平较高；
或①甲部门生产技能测试中，中位数较高，表示乙部门员工的生产技能水平较高；
②甲部门生产技能测试中，众数较高，表示乙部门员工的生产技能水平较高．
26．解：（1）通过取点、画图、测量可得x﹣4时，y=1.6cm，
故答案为1.6．
（2）利用描点法，图象如图所示．

（3）当△PAN为等腰三角形时，x=y，作出直线y=x与图象的交点坐标为（2.2，2.2），
∴△PAN为等腰三角形时，PA=2.2cm．
故答案为2.2．
27．解：（1）由y=x2﹣4x+3得到：y=（x﹣3）（x﹣1），C（0，3）．
所以A（1，0），B（3，0），
设直线BC的表达式为：y=kx+b（k≠0），
则，
解得，
所以直线BC的表达式为y=﹣x+3；
（2）由y=x2﹣4x+3得到：y=（x﹣2）2﹣1，
所以抛物线y=x2﹣4x+3的对称轴是x=2，顶点坐标是（2，﹣1）．
∵y1=y2，
∴x1+x2=4．
令y=﹣1，y=﹣x+3，x=4．
∵x1＜x2＜x3，
∴3＜x3＜4，即7＜x1+x2+x3＜8．

28．解：（1）∠AMQ=45°+α；理由如下：
∵∠PAC=α，△ACB是等腰直角三角形，
∴∠BAC=∠B=45°，∠PAB=45°﹣α，
∵QH⊥AP，
∴∠AHM=90°，
∴∠AMQ=180°﹣∠AHM﹣∠PAB=45°+α；
（2）PQ=MB；理由如下：
连接AQ，作ME⊥QB，如图所示：
∵AC⊥QP，CQ=CP，
∴∠QAC=∠PAC=α，
∴∠QAM=45°+α=∠AMQ，
∴AP=AQ=QM，
在△APC和△QME中，，
∴△APC≌△QME（AAS），
∴PC=ME，
∴△AEB是等腰直角三角形，
∴PQ=MB，
∴PQ=MB．

29．解：（1）①∵点P1（，0），P2（，），P3（，0），
∴OP1=，OP2=1，OP3=，
∴P1与⊙O的最小距离为，P2与⊙O的最小距离为1，OP3与⊙O的最小距离为，
∴⊙O，⊙O的关联点是P2，P3；
故答案为：P2，P3；
②根据定义分析，可得当最小y=﹣x上的点P到原点的距离在1到3之间时符合题意，
∴设P（x，﹣x），当OP=1时，
由距离公式得，OP==1，
∴x=，
当OP=3时，OP==3，解得：x=±；
∴点P的横坐标的取值范围为：﹣≤≤﹣，或≤x≤；
（2）∵直线y=﹣x+1与x轴、y轴交于点A、B，
∴A（1，0），B（0，1），
如图1，

当圆过点A时，此时，CA=3，
∴C（﹣2，0），
如图2，当直线AB与小圆相切时，切点为D，
∴CD=1，
∵直线AB的解析式为y=﹣x+1，
∴直线AB与x轴的夹角=45°，
∴AC=，
∴C（1﹣，0），
∴圆心C的横坐标的取值范围为：﹣2≤xC≤1﹣；
如图3，

当圆过点A，则AC=1，∴C（2，0），
如图4，
当圆过点B，连接BC，此时，BC=3，
∴OC==2，
∴C（2，0）．
∴圆心C的横坐标的取值范围为：2≤xC≤2；
综上所述；圆心C的横坐标的取值范围为：﹣2≤xC≤1﹣或2≤xC≤2．





北京市2018年中考数学试卷
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
1．下列几何体中，是圆柱的为（　　）
A． B． 　C． D．
2．实数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（　　）
A． B． C． D．

3．方程组的解为（　　）
A． B． C． D．
4．被誉为“中国天眼”的世界上最大的单口径球面射电望远镜FAST的反射面总面积相当于35个标准足球场的总面积．已知每个标准足球场的面积为，则FAST的反射面积总面积约为（　　）
A． B． C． D．
5．若正多边形的一个外角是，则该正多边形的内角和为（　　）
A． B． C． D．
6．如果，那么代数式的值为（　　）
A． B． C． D．
7．跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一．运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系（）．下图记录了某运动员起跳后的与的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为（　　）
A． B． C． D．
8．右图是老北京城一些地点的分布示意图．在图中，分别以正东、正北方向为轴、轴的正方向建立平面直角坐标系，有如下四个结论：①当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（，）时，表示左安门的点的坐标为（5，）；②当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（，）时，表示左安门的点的坐标为（10，）；③当表示天安门的点的坐标为（1，1），表示广安门的点的坐标为（，）时，表示左安门的点的坐标为（，）；④当表示天安门的点的坐标为（，），表示广安门的点的坐标为（，）时，表示左安门的点的坐标为（，）．上述结论中，所有正确结论的序号是（　　）
A．①②③ 　　B．②③④ C．①④ D．①②③④
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．右图所示的网格是正方形网格，________．（填“”，“”或“”）
　　　　　　　　　
10．若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是_______．
11．用一组，，的值说明命题“若，则”是错误的，这组值可以是_____，______，_______．
12．如图，点，，，在上，，，，则________．
13．如图，在矩形中，是边的中点，连接交对角线于点，若，，则的长为________．
14．从甲地到乙地有A，B，C三条不同的公交线路．为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从甲地到乙地的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时（单位：分钟）的数据，统计如下：





合计
A
59
151
166
124
500
B
50
50
122
278
500
C
45
265
167
23
500
早高峰期间，乘坐_________（填“A”，“B”或“C”）线路上的公交车，从甲地到乙地“用时不超过45分钟”的可能性最大．
15．某公园划船项目收费标准如下：
船型
两人船
（限乘两人）
四人船
（限乘四人）
六人船
（限乘六人）
八人船
（限乘八人）
每船租金
（元/小时）
90
100
130
150
某班18名同学去该公园划船，若每人划船的时间均为1小时，则租船的总费用最低为________元．
16．2017年，部分国家及经济体在全球的创新综合排名、创新产出排名和创新效率排名情况如图所示，中国创新综合排名全球第22，创新效率排名全球第________．
三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27，28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17．下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：直线及直线外一点．求作：，使得．
　　　　　　　　　　　　　　　　　
作法：如图，①在直线上取一点，作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点；②在直线上取一点（不与点重合），作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点；③作直线．所以直线就是所求作的直线．
根据小东设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：∵_______，_______，
∴（____________）（填推理的依据）．
18．计算：　　　　　　　　　　　19．解不等式组：．







20．关于的一元二次方程．（1）当时，利用根的判别式判断方程根的情况；
（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的，的值，并求此时方程的根．









21．如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接．
（1）求证：四边形是菱形；（2）若，，求的长．




22．如图，是的直径，过外一点作的两条切线，，切点分别为，，连接
．（1）求证：；（2）连接，，若，，，求的长．




23．在平面直角坐标系中，函数（）的图象经过点（4，1），直线与图
象交于点，与轴交于点．（1）求的值；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象在
点，之间的部分与线段，，围成的区域（不含边界）为．①当时，直接写出区
域内的整点个数；②若区域内恰有4个整点，结合函数图象，求的取值范围．











24．如图，是与弦所围成的图形的内部的一定点，是弦上一动点，连接并延长交于点，连接．已知，设，两点间的距离为，，两点间的距离为，，两点间的距离为．
小腾根据学习函数的经验，分别对函数，随自变量的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小腾的探究过程，请补充完整：
（1）按照下表中自变量的值进行取点、画图、测量，分别得到了，与的几组对应值；

0
1
2
3
4
5
6
















（2）在同一平面直角坐标系中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（，），（，），并画出函数，的图象；
（3）结合函数图象，解决问题：当为等腰三角形时，的长度约为____．


25．某年级共有300名学生．为了解该年级学生A，B两门课程的学习情况，从中随机抽取60名学生进行测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
．A课程成绩的频数分布直方图如下（数据分成6组：，，，，，）；
．A课程成绩在这一组是：
70 71 71 71 76 76 77 78 79 79 79
．A，B两门课程成绩的平均数、中位数、众数如下：
课程
平均数
中位数
众数
A



B

70
83
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中的值；
（2）在此次测试中，某学生的A课程成绩为76分，B课程成绩为71分，这名学生成绩排名更靠前的课程是________（填“A”或“B”），理由是_______；
（3）假设该年级学生都参加此次测试，估计A课程成绩超过分的人数．


26．在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，，抛物线经过点，将点向右平移5个单位长度，得到点．
（1）求点的坐标；
（2）求抛物线的对称轴；
（3）若抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围．




































27．如图，在正方形中，是边上的一动点（不与点，重合），连接，点关于直线的对称点为，连接并延长交于点，连接，过点作交的延长线于点，连接．（1）求证：；（2）用等式表示线段与的数量关系，并证明．
































28．对于平面直角坐标系中的图形，，给出如下定义：为图形上任意一点，为图形上任意一点，如果，两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形，间的“闭距离”，记作（，）．
已知点（，6），（，），（6，）．
（1）求（点，）；
（2）记函数（，）的图象为图形，若（，），直接写出的取值范围；
（3）的圆心为（，0），半径为1．若（，），直接写出的取值范围．

























北京市2018年中考数学试卷答案
1． A　　2.B　　3． D　4． C　5． C　6． A　7． B　8． D　
9． 10． ．11．答案不唯一，，12． 13． 14． C．15． 16． 3．
17.解:（1）尺规作图如下图所示：

（2），，三角形中位线平行于三角形的第三边．
18．解：原式．
19．解：由①得，，
由②得，，
∴不等式的解集为．
20．（1）解：由题意：．
∵，
∴原方程有两个不相等的实数根．
（2）答案不唯一，满足（）即可，例如：
解：令，，则原方程为，
解得：．
21．（1）证明：∵
∴
∵平分
∴
∴
∴
又∵
∴
又∵
∴四边形是平行四边形
又∵
∴是菱形
（2）解：∵四边形是菱形，对角线、交于点．
∴．，，
∴．
在中，．
∴．
∵，
∴．
在中，．为中点．
∴．
22．（1）证明：∵、与相切于、．
∴，平分．
在等腰中，，平分．
∴于，即．
（2）解：连接、．
∵
∴
∴
同理：
∴．
在等腰中，．
∴．
∵与相切于．
∴．
∴．
在中，，
∴．
23．（1）解：∵点（4，1）在（）的图象上．
∴，
∴．
（2）① 3个．（1，0），（2，0），（3，0）．
② ．当直线过（4，0）时：，解得
．当直线过（5，0）时：，解得

．当直线过（1，2）时：，解得
．当直线过（1，3）时：，解得

∴综上所述：或．
24．解：（1）
（2）如下图所示：

（3）或或．
如下图所示，个函数图象的交点的横坐标即为所求．
25．解：（1）
（2）B．该学生A课程分数低于中位数，排名在中间位置之后，而B课程分数高于中位数，排名在中间位置之前．
（3）解：抽取的60名学生中．A课程成绩超过的人数为36人．
∴（人）
答：该年级学生都参加测试．估计A课程分数超过的人数为180人．
26．（1）解：∵直线与轴、轴交于、．
∴（，0），（0，4）
∴（5，4）
（2）解：抛物线过（，）
∴．

∴
∴对称轴为．
（3）解：①当抛物线过点时．

，解得．
②当抛物线过点时．
，解得．
③当抛物线顶点在上时．
此时顶点为（1，4）
∴，解得．
∴综上所述或或．
27．（1）证明：连接．
∵，关于对称．
∴．．
在和中．

∴
∴．
∵四边形是正方形
∴．
∴
∴
∴
∵．
∴
在和．

∴≌
∴．
（2）．
证明：在上取点使得，连接．
∵四这形是正方形．
∴．．
∵≌
∴
同理：
∴


∵
∴
∴
∴
∴．
∵
∴
∵
∴
∴
∵．
∴
在和中

∴≌
∴
在中，，．
∴
∴．
28．解：（1）如下图所示：

∵（，），（6，）
∴（0，）
∴（，）
（2）或



（3）或或．



2019年北京市中考数学试卷
一.选择题（本题共16分，每小题2分）
1．4月24日是中国航天日，1970年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道，距地球最近点439 000米．将439 000用科学记数法表示应为（ ）
A.0.439×106 B.4.39×106 C.4.39×105 D.139×103
2．下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（ ）

A B C D
3．正十边形的外角和为（ ）
A.180° B.360° C.720° D.1440°
4．在数轴上，点A，B在原点O的两侧，分别表示数a，2，将点A向右平移1个单位长度，得到点C．若CO=BO，则a的值为（ ）
A.-3 B.-2 C.-1 D.1
5．已知锐角∠AOB如图，（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作，交射线OB于点D，连接CD；（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交于点M，N；
（3）连接OM，MN．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）
A.∠COM=∠COD B.若OM=MN，则∠AOB=20° C.MN∥CD D.MN=3CD
6．如果，那么代数式的值为（ ）
A.-3 B.-1 C.1 D.3
7．用三个不等式，，中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
8． 某校共有200名学生，为了解本学期学生参加公益劳动的情况，收集了他们参加公益劳动时间（单位：小时）等数据，以下是根据数据绘制的统计图表的一部分．
下面有四个推断：①这200名学生参加公益劳动时间的平均数一定在24.5-25.5之间
②这200名学生参加公益劳动时间的中位数在20-30之间
③这200名学生中的初中生参加公益劳动时间的中位数一定在20-30之间
④这200名学生中的高中生参加公益劳动时间的中位数可能在20-30之间,合理推断的序号是（ ）
A.①③ B.②④ C.①②③ D.①②③④







学生类别
性别
男
7
31
25
30
4
女
8
29
26
32
8
学段
初中

25
36
44
11
高中





二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．若分式的值为0，则的值为 .
10．如图，已知△ABC，通过测量、计算得△ABC的面积约为cm2.（结果保留一位小数）
11．在如图所示的几何体中，其三视图中有矩形的是.（写出所有正确答案的序号）
　　　　　
12．如图所示的网格是正方形网格，则＝°（点A，B，P是网格线交点）.

13．在平面直角坐标系中，点在双曲线上．点关于轴的对称点在双曲线上，则的值为 .
14．把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图1中菱形的面积为 ．
15．小天想要计算一组数据92，90，94，86，99，85的方差．在计算平均数的过程中，将这组数据中的每一个数都减去90，得到一组新数据2，0，4，4，9，5．记这组新数据的方差为，
则. (填“”，“”或“”)
16．在矩形ABCD中，M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA上的点（不与端点重合）．
对于任意矩形ABCD，下面四个结论中，①存在无数个四边形MNPQ是平行四边形； ②存在无数个四边形MNPQ是矩形；③存在无数个四边形MNPQ是菱形； ④至少存在一个四边形MNPQ是正方形．所有正确结论的序号是．
三、解答题（本题共68分，第17-21题，每小题5分，第22-24题，每小题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每小题7分）
17．计算：. 18．解不等式组：




19．关于x的方程有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根．




20．如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E，F分别在AB，AD上，BE=DF，连接EF．（1）求证：AC⊥EF；（2）延长EF交CD的延长线于点G，连接BD交AC于点O，若BD=4，tanG=，求AO的长．




21．国家创新指数是反映一个国家科学技术和创新竞争力的综合指数．对国家创新指数得分排名前40的国家的有关数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
a．国家创新指数得分的频数分布直方图（数据分成7组：
30≤x＜40，40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）；

b．国家创新指数得分在60≤x＜70这一组的是：
61.7 62.4 63.6 65.9 66.4 68.5 69.1 69.3 69.5
c．40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图：
d．中国的国家创新指数得分为69.5.
（以上数据来源于《国家创新指数报告（2018）》）根据以上信息，回答下列问题：
（1）中国的国家创新指数得分排名世界第 ；
（2）在40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图中，包括中国在内的少数几个国家所对应的点位于虚线的上方．请在图中用“”圈出代表中国的点；
（3）在国家创新指数得分比中国高的国家中，人均国内生产总值的最小值约为 万美元；（结果保留一位小数）
（4）下列推断合理的是 ．
①相比于点A，B所代表的国家，中国的国家创新指数得分还有一定差距，中国提出“加快建设创新型国家”的战略任务，进一步提高国家综合创新能力；
②相比于点B，C所代表的国家，中国的人均国内生产总值还有一定差距，中国提出“决胜全面建成小康社会”的奋斗目标，进一步提高人均国内生产总值．
22．在平面内，给定不在同一直线上的点A，B，C，如图所示．点O到点A，B，C的距离均等于a（a为常数），到点O的距离等于a的所有点组成图形G，的平分线交图形G于点D，连接AD，CD．
（1）求证：AD=CD；（2）过点D作DEBA，垂足为E，作DFBC，垂足为F，延长DF交图形G于点M，连接CM．若AD=CM，求直线DE与图形G的公共点个数．






23．小云想用7天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下：
①将诗词分成4组，第i组有首，i =1，2，3，4；
②对于第i组诗词，第i天背诵第一遍，第（）天背诵第二遍，第（）天背诵第三遍，三遍后完成背诵，其它天无需背诵，1，2，3，4；

第1天
第2天
第3天
第4天
第5天
第6天
第7天
第1组







第2组







第3组







第4组







③每天最多背诵14首，最少背诵4首．解答下列问题：（1）填入补全上表；（2）若，，，则的所有可能取值为；（3）7天后，小云背诵的诗词最多为 首．

24．如图，P是与弦AB所围成的图形的外部的一定点，C是上一动点，连接PC交弦AB于点D．小腾根据学习函数的经验，对线段PC，PD，AD的长度之间的关系进行了探究．
下面是小腾的探究过程，请补充完整：
（1）对于点C在上的不同位置，画图、测量，得到了线段PC，PD，AD的长度的几组值，如下表：

位置1
位置2
位置3
位置4
位置5
位置6
位置7
位置8
PC/cm
3.44
3.30
3.07
2.70
2.25
2.25
2.64
2.83
PD/cm
3.44
2.69
2.00
1.36
0.96
1.13
2.00
2.83
AD/cm
0.00
0.78
1.54
2.30
3.01
4.00
5.11
6.00
在PC，PD，AD的长度这三个量中，确定的长度是自变量，的长度和的长度都是这个自变量的函数；
（2）在同一平面直角坐标系中，画出（1）中所确定的函数的图象；

（3）结合函数图象，解决问题：当PC=2PD时，AD的长度约为 cm．
25. 在平面直角坐标系中，直线l：与直线，直线分别交于点A，B，直线与直线交于点．（1）求直线与轴的交点坐标；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记线段围成的区域（不含边界）为．
①当时，结合函数图象，求区域内的整点个数；②若区域内没有整点，直接写出的取值范围．








26．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上．（1）求点B的坐标（用含的式子表示）；（2）求抛物线的对称轴；（3）已知点，．若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围．







27．已知，H为射线OA上一定点，，P为射线OB上一点，M为线段OH上一动点，连接PM，满足为钝角，以点P为中心，将线段PM顺时针旋转，得到线段PN，连接ON．（1）依题意补全图1；（2）求证：；（3）点M关于点H的对称点为Q，连接QP．写出一个OP的值，使得对于任意的点M总有ON=QP，并证明．








28．在△ABC中，，分别是两边的中点，如果上的所有点都在△ABC的内部或边上，则称为△ABC的中内弧．例如，下图中是△ABC的一条中内弧．

（1）如图，在Rt△ABC中，分别是的中点．画出△ABC的最长的中内弧，并直接写出此时的长；
（2）在平面直角坐标系中，已知点，在△ABC中，分别是的中点．
①若，求△ABC的中内弧所在圆的圆心的纵坐标的取值范围；
②若在△ABC中存在一条中内弧，使得所在圆的圆心在△ABC的内部或边上，直接写出t的取值范围．











2019年北京市中考数学试卷答案
1． C　　2． C　　3． B　　4． A　　5． D　　6． D　7． D　8. C　
9． 1　10． 2.1 11．①②
12． 45　13． 0　14． 12.　15． =　16．①②③
17．解：原式=
18．解：解不等式①得：
，∴
解不等式②得：，∴
∴不等式组的解集为
19．解：∵有实数根，∴△≥0，即，∴
∵m为正整数，∴，故此时二次方程为即
∴
∴，此时方程的根为
20．证明：∵四边形ABCD为菱形∴AB=AD，AC平分∠BAD
∵BE=DF，∴，∴AE=AF
∴△AEF是等腰三角形，∵AC平分∠BAD，∴AC⊥EF
（2）解：∵四边形ABCD为菱形，∴CG∥AB，BO=BD=2，∵EF∥BD
∴四边形EBDG为平行四边形，∴∠G=∠ABD，∴tan∠ABD=tan∠G=
∴tan∠ABD=，∴AO=1
21．解：（1）17 （2）

（3）2.7（4）①②
22．

解：如图所示，依题意画出图形G为⊙O，如图所示
（1）证明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，
∴，∴AD=CD
（2） 解：∵AD=CD，AD=CM，∴CD=CM.∵DF⊥BC，∴∠DFC=∠CFM=90°
在Rt△CDF和Rt△CMF中
，∴△CDF≌△CMF（HL），∴DF=MF，∴BC为弦DM的垂直平分线
∴BC为⊙O的直径，连接OD
∵∠COD=2∠CBD，∠ABC=2∠CBD，∴∠ABC=∠COD，∴OD∥BE.
又∵DE⊥BA，∴∠DEB=90°，∴∠ODE=90°，即OD⊥DE，∴DE为⊙O的切线.
∴直线DE与图形G的公共点个数为1个.
23．解：（1）如下图

第1天
第2天
第3天
第4天
第5天
第6天
第7天
第1组







第2组







第3组







第4组







（2）根据上表可列不等式组：
，可得
（3）确定第4天，，由第2天，第3天，第5天可得
，∴，∴，
可取最大整数值为9，∴
24．解：（1）AD， PC，PD；
（2）

（3）2.29或者3.98
25. 解：（1）令，则，∴直线与轴交点坐标为（0,1）
（2）①当时，直线，把代入直线，则，∴A（2,5）
把代入直线得：，∴
∴，整点有（0，-1），（0,0），（1，-1），（1,0），（1,1），（1,2）共6个点.
②-1≤k＜0或k=-2
26．解：（1）∵抛物线与轴交于点A，∴令，得，
∴点A的坐标为，∵点A向右平移两个单位长度，得到点B，
∴点B的坐标为；
（2）∵抛物线过点和点，由对称性可得，抛物线对称轴为
直线，故对称轴为直线
（3）①当时，则，分析图象可得：根据抛物线的对称性，抛物线不可能同时经过点A和点P；也不可能同时经过点B和点Q，所以，此时线段PQ与抛物线没有交点.
②当时，则.
分析图象可得：根据抛物线的对称性，抛物线不可能同时经过点A和点P；但当点Q在点B上方或与点B重合时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点，此时即

综上所述，当时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点.
27．解：（1）如图所示

（2）在△OPM中，∠OMP=180°-∠POM-∠OPM=150°-∠OPM
∠OPN=∠MPN-∠OPM=150°-∠OPM
∴∠OMP=∠OPN

（3）过点P作PK⊥OA，过点N作NF⊥OB.
∵∠OMP=∠OPN，∴∠PMK=∠NPF
在△NPF和△PMK中
，∴△NPF≌△PMK（AAS）
∴PF=MK，∠PNF=∠MPK，NF=PK.
又∵ON=PQ，在Rt△NOF和Rt△PKQ中
，∴Rt△NOF≌Rt△PKQ（HL），∴KQ=OF.
设MK=y，PK=x
∵∠POA=30°，PK⊥OQ
∴OP=2x，∴OK=，
∴，

∵M与Q关于H对称，∴MH=HQ
∴KQ=KH+HQ=
∵KQ=OF，∴，整理得
所以，即PK=1
∵∠POA=30°，∴OP=2
28．解：（1）

（2）

①当时，C（2,0），D（0,1），E（1,1）
（i）当P为DE的中点时，是中内弧，∴
（ii）当⊙P与AC相切时，，当时，，∴
综上，P的纵坐标或
②（i）当PE⊥AC时，△EFC∽△PFE，得∴∴
∴

（ii）△PFC∽△ABC，得
DP=PF=r，，∴，∴
综上：