湖南省常德市第一中学2023-2024学年高二数学上学期开学考试试题（Word版附答案）

常德市一中2023年下学期高二年级入学考试试卷

数学

时量：120分钟 满分：150分

命题人：高二数学备课组

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，，则（    ）

A. B. C. D.

2.如果不等式成立的充分非必要条件是，则实数的取值范围是（    ）

A. B. C.或 D.或

3.已知扇形面积，半径是1，则扇形的周长是（    ）

A. B. C. D.

4.设，为单位向量，在方向上的投影向量为，则（    ）

A. B. C. D.

5.已知，，且，则的最小值是（    ）

A.18 B.16 C.10 D.4

6.下列三个数：，，，大小顺序正确的是（    ）

A. B. C. D.

7.如图，二面角等于120°，，是棱上两点，，分别在半平面，内，，，且，则的长等于（    ）

A. B. C.4 D.2

8.已知函数，若在区间内有且仅有3个零点和3条对称轴，则的取值范围是（    ）

A. B. C. D.

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.下列各式中值为1的是（    ）

A. B. C. D.

10.若，，，则事件与的关系错误是（    ）

A.事件与互斥  B.事件与对立

C.事件与相互独立 D.事件与既互斥又独立

11.已知函数，部分图象如图所示，下列说法正确的是（    ）

A.的图象关于直线对称

B.的图象关于点中心对称

C.将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象

D.若方程在上有两个不相等的实数根，则的取值范围是

12.如图，已知正方体的棱长为1，为底面的中心，交平面于点，点为棱的中点，则（    ）

A.，，三点共线 B.异面直线与所成的角为90°

C.点到平面的距离为 D.过点，，的平面截该正方体所得截面的面积为

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13.已知平面向量，，若，则______.

14.已知，则______.

15.正三棱锥底面边长为2，为的中点，且，则正三棱锥外接球的体积为______.

16.在中，，，，则周长的最小值为______.

四、解答题（共70分，17题10分，18-22题每题12分）

17.（本小题满分10分）在中，，，的对边分别为，，，若满足，.

（1）若，求的大小；

（2）若满足，求及的值.

18.（本小题满分12分）为庆祝神舟十四号载人飞船返回舱成功着陆，某学校开展了航天知识竞赛活动，共有100人参加了这次竞赛，已知所有参赛学生的成绩均位于区间，将他们的成绩（满分100分）分成五组，依次为、、、、，制成如图所示的频率分布直方图.

（1）求出的值，并用各区间的中间值估计这100人的竞赛成绩的平均数；

（2）采用按比例分配的分层抽样的方法，从竞赛成绩在（即第四、五组内）的学生中抽取了12人作为航天知识宣讲使者.现从这12名使者中随机抽取1人作为组长，求这名组长的竞赛成绩在内的概率.

19.（本小题满分12分）某药品企业经过市场调研，生产某种药品需投入月固定成本3万元，每生产万件，需另投入流动成本万元，在月产量不足7万件时，；在月产量不小于7万件时，，每件药品售价6元，通过市场分析该企业的药品能当月全部售完.

（1）写出月利润（万元）关于月产量（万件）的函数解析式（注：月利润=月销售收入-固定成本-流动成本）；

（2）月产量为多少万件时，该企业在这一药品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？

20.（本小题满分12分）已知函数.

（1）当时，求的最大值和最小值，以及相应的值；

（2）若，，求的值.

21.（本小题满分12分）如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点.

（1）证明：；

（2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为45°，求三棱锥的体积.

22.（本小题满分12分）已知函数，（且），且.

（1）求的值，判断函数的奇偶性并说明理由；

（2）当时，求不等式的解集；

（3）若关于的方程有两个不同的解，求实数的取值范围.

常德市一中2023年下学期高二年级入学考试数学参考答案

一.单选题：（40分）

1.C  2.B  3.C  4.D  5.B  6.C  7.C  8.A

二.多选题：（20分）

9.CD 10.ABD 11.AD 12.AB

三.填空题：（20分）

13. 14.2 15. 16.

四.解答题：

17.解：（1）若，由余弦定理，

可得，即……4分

（2）因为，可知角为锐角，则，

又因为，即，解得，……7分

由余弦定理，即，

由正弦定理，可得.……10分

18.解（1）由，解得；

这100人的竞赛成绩的平均数估计为：……4分

（2）成绩在的频率为0.25，成绩在的频率为0.05，……6分

所以竞赛成绩在，两个组的人数之比为，采用分层抽样的方法从中抽取12人，

所以成绩在抽得的人数为人，成绩在抽得的人数为人

现从这12名使者中随机抽取1人作为组长，则这名组长的竞赛成绩在内的概率为……12分

19.解：（1）由题意得，当时，，……3分

当时，，

故……6分

（2）当时，，当时，最大值为5万元. ……8分

当时，，……10分

当且仅当，即时等号成立，即最大值为10万元.

∵，∴当月产量为12万件时，该企业所获利润最大值为10万元.……12分

20.解：（1）∵，∴，

当即时，，此时，……3分

当即时，，此时.……6分

（2）∵，……8分

∴，∵，∴，

∴，……8分

……12分

21.解：（1）因为，为中点，所以

因为平面平面，平面平面，平面，

因此平面，因为平面，所以.……5分

（2）作于，作于，连，因为平面，所以，所以，，，因此平面，即，

因为，，所以平面，即，

则为二面角的平面角，，……8分

因为，为正三角形，所以为直角三角形，

因为，∴

从而∴∵平面，所以…12分

22.解：（1）由得，故，.

为奇函数，理由如下：定义域满足，即，

又，故为奇函数……3分

（2），，即，即，解得.

故不等式的解集为.……6分

（3）的定义域为，，为增函数，∵，∴，∴.

经检验不符合方程，故可化为，

又，可化为，令，则.

∵关于的方程有两个不同的解，即等价于在有两个不同的解，即等价于与的图象在有两个交点.

∵，当且仅当时等号成立，且在单调递减，在、单调递增，，