湖南省长沙市第一中学2023-2024学年高二下学期开学考试数学试卷（Word版附解析）

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时量：120分钟 满分：150分
得分__________
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 在复平面内，复数对应的点在第一象限，为虚数单位，则复数对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3. 在四边形中，，且，则（ ）
A. B. C. D.
4. 设，为任意两个事件，且，，则下列选项必成立的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 动点到定点的距离与到定直线：的距离的比等于，则动点的轨迹方程是（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知数列满是，，则的最小值为（ ）
A. B. C. 16D. 18
7. 已知，则的值为（ ）
A B. C. D.
8. 已知函数，，若成立，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 在一次数学考试中，某班成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（ ）

A. 图中所有小长方形的面积之和等于1B. 中位数的估计值介于100和105之间
C. 该班成绩众数的估计值为97.5D. 该班成绩的极差一定等于40
10. 已知，若，则（ ）
A. 的最大值为B. 的最小值为1
C. 的最小值为8D. 的最小值为
11. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上的动点，过作两渐近线的垂线，垂足分别为，．若圆与双曲线的渐近线相切，则下列命题正确的是（ ）
A. 双曲线的离心率
B. 为定值
C. 的最小值为3
D. 若直线与双曲线的渐近线交于、两点，点为的中点，（为坐标原点）的斜率为，则
12. 已知是等比数列，是其前n项和，满足，则下列说法中正确有（ ）
A. 若是正项数列，则是单调递增数列
B. ，，一定是等比数列
C. 若存在，使对都成立，则是等差数列
D. 若存在，使对都成立，则是等差数列
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 如图，的二面角的棱上有，两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于已知，，，则的长为__________

14. 在的展开式中，的系数为__________．
15. 已知函数，则直线与的图象的所有交点的横坐标之和为__________．
16. 已知一个圆台的上､下底面半径为，若球与该圆台的上､下底面及侧面均相切，且球与该圆台体积比为，则__________.
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知在中，三条边所对的角分别为，向量，，且满足．
（1）求角的大小；
（2）若成等比数列，且，求边的值并求外接圆的面积．
18. 如图，四棱锥的底面是正方形，平面平面，E为的中点．
（1）若，证明：；
（2）求直线与平面所成角的余弦值的取值范围．
19. 已知为数列的前项和，且满足．
（1）求数列通项公式；
（2）记，设数列的前项和为，证明：．
20. 已知抛物线：上的点到焦点的距离为．
（1）求抛物线的方程；
（2）过抛物线上一点（异于坐标原点）作切线，过作直线，交抛物线于，两点．记直线，的斜率分别为，，求的最小值．
21. 在数学探究实验课上，小明设计了如下实验：在盒子中装有红球、白球等多种不同颜色的小球，现从盒子中一次摸一个球，不放回．
（1）若盒子中有8个球，其中有3个红球，从中任意摸两次．
①求摸出的两个球中恰好有一个红球的概率；
②记摸出的红球个数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．
（2）若1号盒中有4个红球和4个白球，2号盒中有2个红球和2个白球，现甲、乙、丙三人依次从1号盒中摸出一个球并放入2号盒，然后丁从2号盒中任取一球．已知丁取到红球，求甲、乙、丙三人中至少有一人取出白球概率．
22. 已知函数.
（1）是否存在实数，使得函数在定义域内单调递增；
（2）若函数存在极大值，极小值，证明：.（其中是自然对数底数）