初中数学11.3.2 多边形的内角和课后练习题

第11章三角形11.3多边形及其内角和【中考真题专练】

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．（2019·河北中考真题）下列图形为正多边形的是（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

根据正多边形的定义：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形可得答案．

【详解】

根据正多边形的定义，得到D中图形是正五边形．

故选D．

【点睛】

本题考查了正多边形，关键是掌握正多边形的定义．

2．（2019·福建中考真题）已知正多边形的一个外角为36°，则该正多边形的边数为(   ).

A．12 B．10 C．8 D．6

【答案】B

【解析】

【分析】

利用多边形的外角和是360°，正多边形的每个外角都是36°，即可求出答案．

【详解】

解：360°÷36°＝10，所以这个正多边形是正十边形．

故选：B．

【点睛】

本题主要考查了多边形的外角和定理．是需要识记的内容．

3．（2019·广西河池�中考真题）如图，在正六边形中，，则它的边长是（   ）

A．1 B． C． D．2

【答案】D

【解析】

【分析】

过点B作BG⊥AC于点G．，正六边形ABCDEF中，每个内角为（6-2）×180°÷6=120°，即∠ABC=120°，∠BAC=∠BCA=30°，于是AG=，AB=2.

【详解】

如图，过点作于点．

正六边形中，每个内角为，

∴，

∴，

∴，

即边长为2．

故选D．

【点睛】

本题考查了正多边形，熟练运用正多边形的内角和公式是解题的关键．

4．（2018·江苏南通�中考真题）若一个凸多边形的内角和为720°，则这个多边形的边数为　　

A．4 B．5 C．6 D．7

【答案】C

【解析】

【分析】

设这个多边形的边数为n，根据多边形的内角和定理得到(n﹣2)×180°=720°，然后解方程即可．

【详解】

设这个多边形的边数为n，由多边形的内角和是720°，根据多边形的内角和定理得（n－2）180°=720°．解得n=6.故选C.

【点睛】

本题主要考查多边形的内角和定理，熟练掌握多边形的内角和定理是解答本题的关键.

5．（2019·甘肃武威�中考真题）如图，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是(    )．

A．180° B．360° C．540° D．720°

【答案】C

【解析】

【分析】

根据多边形内角和公式即可求出结果．

【详解】

解：黑色正五边形的内角和为：，

故选：C．

【点睛】

本题考查了多边形的内角和公式，解题关键是牢记多边形的内角和公式．

二、填空题

6．（2019·广东中考真题）一个n边形的内角和为1080°，则n=________.

【答案】8

【解析】

【分析】

直接根据内角和公式计算即可求解.

【详解】

（n﹣2）•180°=1080°，解得n=8．

故答案为8．

【点睛】

主要考查了多边形的内角和公式.多边形内角和公式：.

7．（2018·江苏宿迁�中考真题）若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是______．

【答案】8

【解析】

【分析】

【详解】

解：设边数为n，由题意得，

180（n-2）=3603

解得n=8.

所以这个多边形的边数是8.

8．（2019·江苏泰州�中考真题）八边形的内角和为________度．

【答案】1080

【解析】

【分析】

【详解】

解：八边形的内角和=

9．（2019·四川资阳�中考真题）一个正多边形的每个外角为60°，那么这个正多边形的内角和是_____．

【答案】720°．

【解析】

【分析】先利用多边形的外角和为360°计算出这个正多边形的边数，然后再根据内角和公式进行求解即可．

【详解】这个正多边形的边数为=6，

所以这个正多边形的内角和=（6﹣2）×180°=720°，

故答案为720°．

【点睛】本题考查了多边形内角与外角：内角和定理：（n﹣2）•180 （n≥3）且n为整数）；多边形的外角和等于360度．

10．（2017·黑龙江绥化�中考真题）若一个多边形的内角和是900º，则这个多边形是     边形．

【答案】七

【解析】

【分析】

根据多边形的内角和公式，列式求解即可.

【详解】

设这个多边形是边形，根据题意得，

，

解得.

故答案为.

【点睛】

本题主要考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键.

三、解答题

11．（2016·河北中考真题）已知n边形的内角和θ=（n-2）×180°.

（1）甲同学说，θ能取360°；而乙同学说，θ也能取630°.甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n.若不对，说明理由；

（2）若n边形变为（n+x）边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法确定x.

【答案】（1）甲对，乙不对,理由见解析；（2）2.

【解析】

试题分析：（1）根据多边形的内角和公式判定即可；（2）根据题意列方程，解方程即可.

试题解析：（1）甲对，乙不对.

∵θ=360°，∴（n-2）×180°=360°，

解得n=4.

∵θ=630°，∴（n-2）×180°=630°，

解得n=.

∵n为整数，∴θ不能取630°.

（2）由题意得，（n-2）×180+360=（n+x-2）×180，

解得x=2.

考点：多边形的内角和.

12．（2015·浙江温州�中考真题）各顶点都在方格纸格点（横竖格子线的交错点）上的多边形称为格点多边形．如何计算它的面积？奥地利数学家皮克（G•Pick，1859～1942年）证明了格点多边形的面积公式S=a+b﹣1，其中a表示多边形内部的格点数，b表示多边形边界上的格点数，S表示多边形的面积．如图，a=4，b=6，S=4+×6﹣1=6

（1）请在图中画一个格点正方形，使它的内部只含有4个格点，并写出它的面积．

（2）请在图乙中画一个格点三角形，使它的面积为，且每条边上除顶点外无其它格点．（注：图甲、图乙在答题纸上）

【答案】（1）作图见解析；5；（2）作图见解析.

【解析】

试题分析：（1）根据题意画出正方形，只要保证里面有4个格点即可；根据格点多边形的公式可得：b=3，S=，则=a+×3－1，解得：a=3，即需要保证所画的三角形内部有3个格点，边上除顶点外没有格点的三角形即可.

试题解析：如图所示：

考点：新定义型题目.

13．（2019·浙江台州�中考真题）我们知道，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．对一个各条边都相等的凸多边形（边数大于3），可以由若干条对角线相等判定它是正多边形．例如，各条边都相等的凸四边形，若两条对角线相等，则这个四边形是正方形．

（1）已知凸五边形的各条边都相等．

①如图1，若，求证：五边形是正五边形；

②如图2，若，请判断五边形是不是正五边形，并说明理由：

（2）判断下列命题的真假．（在括号内填写“真”或“假”）

如图3，已知凸六边形的各条边都相等．

①若，则六边形是正六边形；（　   　）

②若，则六边形是正六边形． （　   　）

【答案】（1）①证明见解析②若，五边形是正五边形（2）①真命题②真命题

【解析】

【分析】

（1）①用SSS证明，得到，即可得证；

②先证，再证明，再根据四边形的内角和与平行的性质证得即可得证；

（2）①先证，再举出等腰直角三角形的反例，得出，由此即可得出结论；

②连接、、，先证，再证，得到，再由（2）①即可得出结论．

【详解】

（1）①证明：∵凸五边形的各条边都相等

∴

在、、、、中，

∴

∴

∴五边形是正五边形；

②解：若，五边形是正五边形，理由如下：

在、和中，

∴

∴，

在和中，

∴

∴，

∵四边形内角和为

∴

∴

∴，

∴

∴

同理：

∴五边形是正五边形；

（2）解：①若，则六边形是正六边形；假命题，理由如下：

如图3所示，∵凸六边形的各条边都相等

∴

在、和中，

∴

因此，如果都为相同的等腰直角三角形，符合题意

但，而正六边形的每个内角都为

∴六边形不是正六边形

故答案为：假；

②若，则六边形是正六边形；假命题；理由如下：

如图4所示：连接、、

在和中，

∴

∴

∵

∴

∴

在和中，

∴

∴

同理：

∴

由（2）①可知：六边形不是正六边形

故答案为：假．

【点睛】

本题主要考查正多边形的证明，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质．

14．（2017·浙江宁波�中考真题）有两个内角分别是它们对角的一半的四边形叫做半对角四边形.

(1)如图1，在半对角四边形中，，，求与的度数之和；

(2)如图2，锐角内接于，若边上存在一点，使得，的平分线交于点，连结并延长交于点，.求证：四边形是半对角四边形；

(3)如图3，在(2)的条件下，过点作于点，交于点，当时，求与的面积之比.

【答案】（1）120°；（2）证明见解析；（3）.

【解析】

试题分析：（1）根据四边形内角和等于360°结合已知条件即可求解.

（2）先证明ΔBDE≌ΔBOE,即可证明∠BCE=∠BDF,连接OC,可证明∠AOC=∠DFC,从而可证四边形DBCF是半对角四边形；

(3)关键是证明ΔDBG∽ΔCBA,得出ΔDBG和ΔABC的面积比，再找出ΔBHG和ΔBDG的面积比，进而求得结论.

试题分析：（1）在半对角四边形中，，

∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°

∴3∠B+3∠C=360°

∴∠B+∠C=120°

即∠B与∠C的度数之和为120°

（2）在ΔBED和ΔBEO中

∴ΔBED≌ΔBEO

∴∠BDE=∠BOE

又∵∠BCF=∠BOE

∴∠BCF=∠BDE

如图，连接OC

设∠EAF=a，则∠AFE=2∠EAF=2a

∴∠EFC=180°-∠AFE=180°-2a

∵OA=OC

∴∠OAC=∠OCA=a

∴∠AOC=180°-∠OAC-∠OCA=180°-2a

∴∠ABC=∠AOC=∠EFC

∴四边形DBCF是半对角四边形.

(3)如图，过点O作OM⊥BC于点M

∵四边形DBCF是半对角四边形

∴∠ABC+∠ACB=120°

∴∠BAC=60°

∴∠BOC=2∠BAC=120°

∵OB=OC

∴∠OBC=∠OCB=30°

∴BC=2BM=BO=BD

∵DG⊥OB

∴∠HGB=∠BAC=60°

∵∠DBG=∠CBA

∴ ΔDBG∽ΔCBA

∴

∵DH=BG，BG=2HG

∴DG=3HG

∴

∴

考点：1.四边形内角和；2.圆周角定理；3.相似三角形的判定与性质.

15．（2020·甘肃兰州�中考真题）如图，在中，过点C作，E是AC的中点，连接DE并延长，交AB于点F，交CB的延长线于点G，连接AD，CF

求证：四边形AFCD是平行四边形．

若，，，求AB的长．

【答案】证明见解析；．

【解析】

【分析】

由E是AC的中点知，由知，据此根据“AAS”即可证≌，从而得，结合即可得证；

证∽得，据此求得，由及可得答案．

【详解】

是AC的中点，

，

，

，

在和中，

，

≌，

，

又，即，

四边形AFCD是平行四边形；

，

∽，

，即，

解得：，

四边形AFCD是平行四边形，

，

．

【点睛】

本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关的性质及定理是解题的关键.