2023-2024学年四川省成都市武侯区西川实验学校九年级（上）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年四川省成都市武侯区西川实验学校九年级（上）开学数学试卷

1.  下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(    )

A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 平行四边形 D. 矩形

2.  若线段，，，是成比例线段，且，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

3.  某多边形的内角和是其外角和的倍，则此多边形的边数是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  点在反比例函数的图象上，则下列各点在此函数图象上的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  一件商品的原价是元，经过两次提价后的价格为元，如果每次提价的百分率都是，根据题意，下面列出的方程正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6.  下列说法中，正确的是(    )

A. 四边相等的四边形是菱形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 对角线互相平分的四边形是菱形 D. 对角线相等的平行四边形是菱形

7.  如图，在正方形中，点、分别在边和上，，垂足为，若，则的值为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  设，是方程的两根，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  已知，则 ______ ．

10.  若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是______ ．

11.  如图，和是以点为位似中心的位似图形，相似比为：，则和的面积比是______ ．

12.  现定义运算“”，对于任意实数、，都有，如：，若，则实数的值是______．

13.  如图，正方形的对角线相交于点，以为顶点的正方形的两边，分别交正方形的边，于点，记的面积为，的面积为，若正方形的边长，，则的大小为______ ．

14.  分解因式：．
计算：．

15.  解一元二次方程：
．
．

16.  越来越多太阳能路灯的使用，既点亮了城市的风景，也是我市积极落实节能环保的举措．某校学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板离地面的高度．如图，已知测倾器的高度为米，在测点处安置测倾器，测得点的仰角，在与点相距米的测点处安置测倾器，测得点的仰角点，与在一条直线上，求电池板离地面的高度的长．结果精确到米；参考数据，，
 

17.  如图，已知矩形，点在延长线上，点在延长线上，过点作交的延长线于点，连结交于点，．
求证：；
当，时，求的长．

18.  如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，．
求反比例函数与一次函数的表达式；
若为轴上一点，的面积为，求点的坐标；
结合图象，关于的不等式的解集为______．

19.  若，，则______．

20.  关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的范围______ ．

21.  如图，在的矩形网格中，每格小正方形的边长都是，若的三个顶点在图中相应的格点上，则的值为______．

22.  在矩形中，，，如图所示折叠矩形纸片使点落在边上一点处，折痕端点、分别在边、上，则当折痕端点恰好与点重合时，的长为______ ．

23.  如图，矩形中，，，是的中点，是线段上一动点，为的中点，连接，则线段的最小值为______ ．

24.  我校为了进行学雷锋爱心义卖活动，决定在操场划分一块面积为平方米的矩形场地若矩形场地的一边靠墙墙长米，另外三边由总长为米的围绳围成，并且在垂直于墙的边上各设置了一个开口宽为米的入口和出口如图请根据方案计算出矩形场地的边长各是多少米？

25.  如图，正方形中，，为右侧一点，且，连接．
若，求的度数；
过点作射线的垂线段，垂足为，求证；
在的条件下，与交于点，当时，求的长．

26.  如图，已知矩形，点在边上，连接，过作于点，连接，过作，交于点．
求证：；
若，，且点为的中点，求的长；
若，且平分，求的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、不是轴对称图形．也不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转度后它的两部分能够重合；即不满足中心对称图形的定义，故此选项错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确．
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．

2.【答案】 

【解析】解：，，，是成比例线段，
，
，，，
，
故选：．
如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．根据定义，将，及的值代入即可求得．
本题考查了比例线段，关键是理解比例线段的概念，列出比例式，用到的知识点是比例的基本性质．

3.【答案】 

【解析】解：根据题意，得：，解得．
故选：．
利用多边形内角和公式和外角和定理，列出方程即可解决问题．
解答本题的关键是根据多边形内角和公式和外角和定理，利用方程法求边数．

4.【答案】 

【解析】解：点在反比例函数的图象上，
，四个选项中只有符合．
故选：．
将点代入即可求出的值，再根据解答即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，只要点在函数的图象上，则一定满足函数的解析式．反之，只要满足函数解析式就一定在函数的图象上．

5.【答案】 

【解析】解：设平均每次提价的百分率为，
根据题意得：，
故选：．
设平均每次提价的百分率为，根据原价为元，表示出第一次提价后的价钱为元，然后再根据价钱为元，表示出第二次提价的价钱为元，根据两次提价后的价钱为元，列出关于的方程．
此题考查了一元二次方程的应用，属于平均增长率问题，一般情况下，假设基数为，平均增长率为，增长的次数为一般情况下为，增长后的量为，则有表达式，类似的还有平均降低率问题，注意区分“增”与“减”．

6.【答案】 

【解析】【分析】
根据四条边都相等的四边形是菱形，对角线互相垂直平分的四边形是菱形分别进行分析即可．
此题主要考查了菱形的判定，熟练掌握菱形的判定定理是解决问题的关键．
【解答】
解：、四边相等的四边形是菱形，故该选项符合题意；
B、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故该选项不符合题意；
C、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故该选项不符合题意；
D、对角线相等的平行四边形是矩形，故该选项不符合题意；
故选：．

7.【答案】 

【解析】解：设，
四边形是正方形，
，，
，
，
于点，
，
，
≌，
，
，
，，
∽，
，
，
，
，
故选：．
设，由，得，可证明≌，得，则，再证明∽，得，所以，，即可求得，于是得到问题的答案．
此题重点考查正方形的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明≌及∽是解题的关键．

8.【答案】 

【解析】解：，是方程的两个实数根，
，．


又，是方程的两个实数根，
，．


，
而，
．
故选：．
欲求的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，再利用根与系数的关系代入数值计算即可．
将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．

9.【答案】 

【解析】解：，
，
．
故答案为：．
根据已知得出，代入分式进行化简即可求解．
本题考查了比例的性质，熟练掌分式的性质握是解题的关键．

10.【答案】 

【解析】解：反比例函数，，
函数图象的两个分支分别位于第二、四象限，在每一象限内随的增大而减小，
，，，
点在第四象限，点、在第一象限，
，，，
，
，
．
故答案为：
先根据函数解析式判断出函数图象在二四象限，再判断出函数图象的增减性，根据各点纵坐标的值即可得出结论．
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解题的关键．

11.【答案】： 

【解析】解：与是以点为位似中心的位似图形，位似比为：，
∽，相似比为：，
与的面积之比为：：．
故答案为：：．
先利用位似的性质得到∽，相似比为：，然后根据相似三角形的性质解决问题．
本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质，熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．

12.【答案】或 

【解析】【分析】
此题考查了解一元二次方程因式分解法，利用此方法解方程时，首先将方程右边化为，左边变为积的形式，然后根据两数相乘积为，两因式中至少有一个为转化为两个一元一次方程来求解．根据题中的新定义将所求式子转化为一元二次方程，求出一元二次方程的解即可得到的值．
【解答】
解：根据题中的新定义将变形得：
，即，
因式分解得：，
解得：，，
则实数的值是或．
故答案为：或．

13.【答案】 

【解析】解：四边形和四边形都是正方形，
，，，
，
在与中，
，
≌，
，
，
故答案为：．
根据正方形的性质得出，，，推出，证出≌可得答案．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定等知识，证明≌是解答此题的关键．

14.【答案】解：

；



． 

【解析】先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答；
先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，实数的运算，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．

15.【答案】解：，
，
则或，
解得，；
整理成一般式，得：，
，，，
，
则，
，． 

【解析】利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于的一元一次方程，再进一步求解即可；
整理成一般式，再利用公式法求解即可．
本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．

16.【答案】解：延长交于点，米，
设米，

，故EH米，
在中，，解得，
则米，
电池板离地面的高度的长约为米。 

【解析】设，，故EH，则，进而求解。
本题是解直角三角形的应用仰角俯角问题，解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另外当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．

17.【答案】证明：，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
≌，
，
，
即；
解：四边形是矩形，
，即，，，
，
，
∽，
，
，
，
，
设，
，，
，
解得，
． 

【解析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，再根据等边对等角得出，根据矩形的性质得出，，于是可证和全等，得到，从而问题得证；
先证∽，得出比例式，再结合已知即可求出的长．
本题考查了矩形的性质，三角形全等的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握这些图形的性质是解题的关键．

18.【答案】或 

【解析】解：把代入得：，
即反比例函数的表达式是，
把代入得：，
即，
把、的坐标代入，得，
解得，
所以一次函数的表达式是；

，
当时，，

即直线与轴的交点坐标是，
，，的面积为，
，
，
点的坐标是或；

根据图象可知：关于的不等式的解集为或，
故答案为：或．
把点的坐标代入反比例函数解析式，即可求出，得出反比例函数的解析式，再把点的坐标代入反比例函数的解析式，求出，再求出一次函数的解析式即可；
根据一次函数的解析式求得与轴的交点，然后根据的面积为求得的长度，进而即可求得点的坐标；
根据函数的图象和、两点的坐标得出答案即可．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，用待定系数法求反比例函数、一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征等知识点，能用待定系数法求出函数的解析式是解此题的关键．

19.【答案】 

【解析】解：，
．
，
，
，
故答案为：．
根据完全平方公式，可得答案．
本题考查了完全平方公式，利用完全平方公式是解题关键．

20.【答案】且 

【解析】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
解得：且．
故答案为：且．
根据二次项系数非零及根的判别式，可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围．
本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．

21.【答案】 

【解析】解：由图形知：，
故答案为：．
结合图形，根据锐角三角函数的定义即可求解．
题考查了锐角三角函数的定义，属于基础题，关键是掌握锐角三角函数的定义．

22.【答案】 

【解析】解：如图，在矩形中，，，
，，
由折叠的性质可得：，
，
．
故答案为：．
首先根据题意画出图形，然后由勾股定理求得的长，继而求得答案．
此题考查了折叠的性质、矩形的性质以及勾股定理．注意根据题意画出图形，结合图形求解是关键．

23.【答案】 

【解析】解：如图，取中点，连接交于，连接，
四边形是矩形，
，，，
点是中点，点是中点，
，
，
四边形是矩形，
点是的中点，
即为点的运动轨迹，
当时，有最小值，
，
，
的最小值为，
故答案为：．
如图，取中点，连接交于，连接，根据矩形的性质得到可得，当时，有最小值，即可求解．
本题考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质，平行四边形的性质等知识，确定点的运动轨迹是本题的关键．

24.【答案】解：设矩形场地的长为米，则宽为米，
由题意得：，
，
，
，
解得：或舍去，
，
矩形场地的长为米，宽为米． 

【解析】设矩形场地的长为米，则宽为米，根据题意列出相应的一元二次方程即可求解．
本题主要考查了一元二次方程的实际应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．

25.【答案】解：四边形是正方形，
，，
，，
，，
．


设，，
四边形是正方形，过点作射线的垂线段，垂足为，
，，
又，
，，
，
，则，
，
，则，
，即，
，
，
在中，．

过点作，则，
，
由得，，且，
，
∽，
，
四边形是正方形，，
，
点是的中点，
，则，
，则，
在中，，，
，则． 

【解析】利用正方形四个内角都是及已知条件可以得出的大小，利用正方形四条边相等及，可以得出，从而求出的大小，
利用方程思想，设，；找到关键角，利用外角的知识，用含有或的表达式表示、，再借助等腰三角形的两底角相等，得出的表达式，构建方程，从而得出，继而得出．
过点作，得出∽，从而得出对应线段成比例；再借助勾股定理求出相关对应线段的长度，从而求出的长度，继而利用三线合一求出的长度．
本题考查了正方形的性质的综合应用，涉及知识点多，综合性强，体现了数学的转化思想，方程思想，模型化思想等，考查了学生的推理能力，计算能力等，解决此类问题，良好扎实的知识基础非常重要．

26.【答案】证明：四边形是矩形，
，，，
，
，
，
又，
，
，即，
，，
，
，
；
解点为的中点，，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
由可知：，
，
，
，
；
解：由可知：，
，
，，
，
，
，
，

设，则，设，则，
如图，过点作，交的延长线于，

，，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
． 

【解析】由平行线的性质可得，由余角的性质可得，即，，可得结论；
由勾股定理可求的长，由面积法可求的长，由锐角三角函数可求的长，由相似三角形的性质可求的长，即可求解；
由相似三角形的性质可得，则设，，，，通过相似三角形的性质可求，可求，即可求解．
本题是相似形综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，利用参数表示线段的长是解题的关键．