2022-2023学年陕西省咸阳市礼泉县第二中学高一下学期期中数学试题含答案

这是一份2022-2023学年陕西省咸阳市礼泉县第二中学高一下学期期中数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年陕西省咸阳市礼泉县第二中学高一下学期期中数学试题 一、单选题1．已知复数，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由复数的乘法和除法运算化简复数，再由共轭复数的定义即可得出答案.【详解】因为，所以．故选：B．2．已知向，，若向量与垂直，则实数（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】计算出、的值，由已知可得，结合平面向量数量积的运算性质可求得的值.【详解】因为，，则，，因为向量与垂直，则，解得.故选：C.3．如图所示，在三棱台中，沿平面截去三棱锥，则剩余的部分是（    ）  A．三棱锥 B．四棱锥 C．三棱柱 D．组合体【答案】B【分析】根据图形和棱锥的定义及结构特征，即可得出结论．【详解】三棱台中，沿平面截去三棱锥，剩余的部分是以为顶点，四边形为底面的四棱锥．故选：B4．已知是四边形所在平面上任一点，且．则四边形一定为（    ）A．菱形 B．梯形 C．平行四边形 D．矩形【答案】C【分析】分析可得，结合平行四边形的定义可得出结论.【详解】因为，即，又因为，故四边形一定为平行四边形.故选：C.5．下列向量组中，能作为表示它们所在平面内的所有向量的基底的是（    ）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】A：由于为零向量，不能作为平面内的所有向量的基底；B，C，，不能作为平面内的所有向量的基底；D，与不共线，可以作为平面内的所有向量的基底.【详解】A：由于为零向量，不能作为平面内的所有向量的基底；B：因为，则，不能作为平面内的所有向量的基底；C：因为，则，不能作为平面内的所有向量的基底；D：因为，即与不共线，可以作为平面内的所有向量的基底.故选：D6．如图， 中，、、分别是、、上的中线， 它们交于点，则下列各等式中不正确的是（    ）A． B．；C． D．【答案】B【分析】利用向量运算对选项进行分析，由此确定正确选项.【详解】依题意中，、、分别是、、上的中线，所以是三角形的重心.所以，A选项正确.，B选项错误.，C选项正确.，D选项正确.故选：B7．已知非零向量满足，则在方向上的投影向量为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知可得，根据投影向量的定义及数量积的运算律求投影向量即可.【详解】由知：，可得，所以在方向上的投影向量为.故选：B8．如图，所有棱长都等于的三棱柱的所有顶点都在球上，球的体积为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先判断几何体外接球的球心位置，再根据几何关系求外接球的半径，即可计算球的体积.【详解】如图，三棱柱外接球的球心在上下底面三角形中心连线的中点处，（分别是等边三角形和的中心，点是线段的中点，即外接球的球心），，,所以球的体积.故选：D 二、多选题9．实数x，y满足(1+i)x+(1-i)y=2，设z=x+yi，则下列说法正确的是（    ）A．z在复平面内对应的点在第一象限B．|z|=C．z的虚部是iD．z的实部是1【答案】ABD【分析】根据题意先求出z，进而根据复数的概念和几何意义求得答案.【详解】实数x，y满足(1+i)x+(1-i)y=2，可化为x+y-2+(x-y)i=0，∴解得x=y=1，∴z=x+yi=1+i.对于A，z在复平面内对应的点的坐标为(1，1)，位于第一象限，故A正确.对于B，|z|=，故B正确.对于C，z的虚部是1，故C错误.对于D，z的实部是1，故D正确.故选：ABD.10．下列命题中，错误的是（    ）A．若，则与方向相同或相反B．若，，则C．若，，则D．若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等【答案】ABD【分析】取，可判断A选项；取，可判断B选项；利用相等向量的定义可判断C选项；利用相等向量、相反向量的定义可判断D选项.【详解】对于A选项，因为，若，则零向量的方向任意，A错；对于B选项，取，则，，但、不一定平行，B错；对于C选项，，，则，C对；对于D选项，若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等或相反，D错.故选：ABD.11．在中，下列说法正确的有（    ）A．若，则一定是等边三角形B．若，则是钝角三角形C．若，则一定是等腰三角形D．若，则一定是直角三角形【答案】ABD【分析】对于A，由正弦定理及同角的三角关系，可得，结合，即可判断；对于B，由正弦定理及余弦定理即可判断；对于C，由同角的商数关系和二倍角可得或，从而即可判断；对于D，结合两角差的正弦公式与余弦定理化简可得，从而即可判断.【详解】解：对于A，因为在中，有，所以，又因为，所以有，即，又因为，所以，所以一定是等边三角形，故正确；对于B，因为，所以，，又因为，所以，所以是钝角三角形，故B正确；对于C，因为，即，，，，，所以或，所以或，所以是等腰三角形或直角三角形，故错误；对于D，因为，整理得，所以，所以一定是直角三角形，故正确.故选：ABD.12．已知扇形AOB的半径为1，，点C在弧AB上运动，，下列说法正确的有（    ）A．当C位于A点时，的值最小 B．当C位于B点时，的值最大C．的取值范围为 D．的取值范围【答案】ACD【分析】建立坐标系，得出点的坐标，进而可得向量的坐标，化已知问题为三角函数的最值可判断结合选项逐一求解．【详解】以为原点，以为轴，建立如图所示的直角坐标系，设，则，其中，，．因为，所以，即，所以．所以当时，取得最大值，此时点为的中点，当或时，取得最小值，此时点为或点，故A正确，B错误；又，，所以．因为，所以，故，因此，所以的取值范围为，故C正确；由，又，所以，故，则，所以，所以D正确．故选：ACD． 三、填空题13．已知为虚数单位，复数的虚部与实部之和为，则实数     ．【答案】【分析】利用复数的乘法化简复数，利用复数的虚部与实部之和为，可求得实数的值.【详解】因为，又因为复数的虚部和实部之和为，即，解得.故答案为：.14．小船以10 km/h的静水速度按垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为10 km/h，则小船实际航行速度的大小为         km/h.【答案】20【分析】根据题意小船实际航行速度，，构建模长关系，解得即可.【详解】如图，设小船实际航行速度为，则，设船在静水中的速度为km/h，河水的流速为 km/h， 因为，所以，得(10)2＋102，所以km/h，即小船实际航行速度的大小为20 km/h.故答案为：20.15．已知某平面图形的斜二测画法直观图是一个边长为的正方形，如图所示，则该平面图形的面积是          ．  【答案】【分析】根据斜二测画法的性质，还原平面图形，可得答案.【详解】方法一：由斜二测画法可知，，则在中，，故还原图如下所示：  则，，，方法二：正方形的面积，平面图形的面积.故答案为：.16．在中，角A，B，C所对的边长分别为，b，c，且，，若此三角形有且只有一解，我们可以采用讨论方程根的办法来求b的取值情况，则b的取值范围为          ．【答案】【分析】根据余弦定理，建立关于的一元二次方程，利用其根的情况，建立不等式，可得答案.【详解】由余弦定理，可得，可得，化简可得：，由题意可知：对于的一元二次方程存在唯一的正根，当该方程存在两个相等的实数根时，，且，解得，还原方程为，则，解得，符合题意；当该方程存在一正一负的实数根，则，且，解得，设，则，可得，解得，故.故答案为：. 四、解答题17．（1）已知复数，.若是纯虚数，求实数的值；（2）已知复数（，是虚数单位））.设是的共轭复数，复数在复平面上对应的点在第一象限，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【分析】（1）由题知，再解方程即可得答案；（2）根据除法运算得，再根据共轭复数的概念与几何意义求解即可.【详解】解：（1）因为复数，是纯虚数，所以，解得，所以.（2），所以，因为复数在复平面上对应的点在第一象限，所以，，解得，所以，的取值范围为18．已知平面向量，．(1)求的值；(2)若向量与夹角为，求实数λ的值．【答案】(1)(2)或 【分析】（1）首先求出的坐标，再根据向量模的坐标表示计算可得；（2）首先求出的坐标，即可得到，再根据数量积的坐标表示求出，最后根据数量积的定义得到方程，解得即可；【详解】（1）解：因为，，所以， 所以；（2）解：，所以，，又向量与夹角为，所以，即，即，解得或.19．已知虚数满足．(1)求；(2)是否存在实数，使得为实数，若存在，求出的值：若不存在，说明理由．【答案】(1)(2)存在，且 【分析】（1）设，求出复数、，利用复数的模长公式可求得的值，由此可得出的值；（2）利用复数的运算化简复数，根据复数为实数可求得实数的值.【详解】（1）解：设，则，，由可得，整理可得，所以，.（2）解：，若为实数，则，因为，则，解得，因此，当时，则复数为实数.20．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，D为BC边的中点．(1)求角C的大小；(2)若，，求边AB的值．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据正弦定理进行边化角，结合三角函数的差角公式，化简等式，利用正弦函数的性质以及三角形内角的取值范围，可得答案；（2）根据余弦定理，建立方程，可得答案.【详解】（1）由正弦定理，且，可得，，，，由，则，可得，由，则.（2）由题意，可作图如下：在中，由余弦定理可得：，将，，代入，可得，化简可得：，，解得，由点为的中点，则，在中，由余弦定理可得：，将,，代入，则，解得.21．如图，在边长为4的正三角形ABC中，E，F分别是边AB，AC上的点，，，，，垂足分别是D，H，G，将△ABC绕AD所在直线旋转180°．(1)由图中阴影部分旋转形成的几何体的体积记为V，当E，F分别为边AB，AC的中点时，求V；(2)由内部空白部分旋转形成的几何体侧面积记为S，当E，F分别在什么位置时，S最大？【答案】(1)(2)E，F分别为AB，AC的中点时S最大 【分析】（1）依题意可得阴影部分旋转后的几何体是一个圆锥挖去一个圆柱，根据圆锥、圆柱的体积公式计算可得；（2）设，，表示出，则旋转图的侧面积，再利用基本不等式计算可得；【详解】（1）解：由圆锥与圆柱的定义可知，将绕AD旋转180°，阴影部分旋转后的几何体是一个圆锥挖去一个圆柱，且圆锥的底面半径为2，高为，圆柱的底面半径为1，高为．因此阴影部分形成的几何体的体积为．（2）解：设，，则，，此时，．当且仅当时等号成立，即E，F分别为AB，AC的中点时S最大．22．如图所示，某公路AB一侧有一块空地△OAB，其中OA=3km，OB=km，，∠AOB=，当地政府拟在中间开挖一个人工湖△OMN，其中M，N都在边AB上(M，N不与A，B重合，M在A，N之间)，且．  (1)若M在距离A点2km处，求点M，N之间的距离；(2)为节省投入资金，人工湖△OMN的面积要尽可能小，设∠AOM=，，试确定，当θ为多大时△OMN的面积最小，并求出最小面积值．【答案】(1)km(2)时面积最小，最小值为 【分析】（1）由条件根据余弦定理求得；再用余弦定理和正弦定理即可求得；（2）利用正弦定理表示出的长，利用三角形面积公式表示出的面积，化简并结合三角函数性质求得答案.【详解】（1）依题意，，在中，由余弦定理得，，则 ,，在中，，所以在中，由正弦定理，，得，即点M，N之间的距离为km.（2），在中，由正弦定理得，，所以，在中，由正弦定理得，，所以，，因为，所以，所以当，即时面积最小，最小值为.