2022-2023学年陕西省咸阳市礼泉县第二中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年陕西省咸阳市礼泉县第二中学高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．若全集且，则集合的真子集共有（    ）

A．个 B．个 C．个 D．个

【答案】C

【分析】先利用补集求得集合A，进而得到真子集的个数.

【详解】解：因为全集且，

所以,

所以集合的真子集共有，

故选：C

2．命题“”的否定是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解

【详解】解：命题“”是存在量词命题，

所以其否定是“”，

故选：A

3．不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】将原不等式变形为，利用二次不等式的解法解原不等式即可.

【详解】原不等式即为，解得，故原不等式的解集为.

故选：B.

4．集合，集合，，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据集合的运算可得出实数的取值范围.

【详解】因为，集合，，则.

故选：C.

5．“不等式在R上恒成立”的充分不必要条件是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据二次不等式恒成立求出充要条件，再由充分条件，必要条件的概念求出选项.

【详解】不等式在R上恒成立 ，即，

因为，但不能推出成立，

故是不等式在R上恒成立的充分不必要条件，

故选：A

6．已知函数在区间上是单调函数，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】求出二次函数图像的对称轴，由题意可得对称轴小于等于，或大于等于，从而可求出的取值范围.

【详解】的图像的对称轴为，

因为函数在区间上时单调函数，

所以或，

得或，

即的取值范围是，

故选：D

7．已知，，若，则的最小值是（    ）

A．9 B． C． D．

【答案】B

【分析】根据给定条件，利用“1”的妙用求解作答.

【详解】，，，则，

所以

，当且仅当，即时取等号，

所以的最小值是.

故选：B

8．幂函数在区间上单调递增，则（    ）

A．27 B． C． D．

【答案】A

【分析】根据幂函数的概念及性质，求得实数的值，得到幂函数的解析式，即可求解.

【详解】由题意，令，即，解得或，

当时，可得函数，此时函数在上单调递增，符合题意；

当时，可得，此时函数在上单调递减，不符合题意，

即幂函数，则.

故选：A.

9．设函数，则下列函数中为偶函数的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据偶函数的定义逐个分析判断即可.

【详解】对于A，由于，所以，令，

因为，所以此函数不是偶函数，所以A错误，

对于B，由于，所以，令，

因为，所以此函数不是偶函数，所以B错误，

对于C，由于，所以，令，

因为，所以此函数不是偶函数，所以C错误，

对于D，由于，所以，令，

因为，所以此函数为偶函数，所以D正确，

故选：D

10．设函数若，则实数的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】设换元，分段求解可得，然后再次分段求解可得a.

【详解】设，由，则.

（1）当时，，则，无实数解；

（2）当时，，即，解得或（舍去），所以，

①当时，，解得，或（舍）；

②当时，，无解，

综上所述，.

故选：D

11．1614年纳皮尔在研究天文学的过程中，为了简化计算而发明对数；1637年笛卡尔开始使用指数运算；1707年欧拉发现了指数与对数的互逆关系.对数源于指数，对数的发明先于指数，这已成为历史珍闻，若，，，估计的值约为（    ）

A．0.2481 B．0.3471 C．0.4582 D．0.7345

【答案】C

【分析】利用对数式与指数式的互化及换底公式即可求出的近似值．

【详解】∵，

，

所以.

故选：．

12．在同一坐标系中，函数与函数的图象可能为（   ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】判断b的范围，结合二次函数的开口方向，判断函数的图象即可．

【详解】解：函数的是指数函数，且，排除选项C，

如果，二次函数的开口方向向上，二次函数的图象经过原点，并且有另一个零点：，

所以B正确；

对称轴在x轴左侧，C不正确；

如果，二次函数有一个零点，所以D不正确．

故选：B．

二、填空题

13．计算：_____________．

【答案】

【分析】根据幂的运算法则计算、

【详解】原式＝．

故答案为：．

14．已知为奇函数，当时，则______．

【答案】－12

【分析】利用奇函数的性质即可得到答案.

【详解】因为为奇函数，所以，

故．

故答案为：－12.

15．已知函数f（x）＝在R上单调递增，则实数a的取值范围为________．

【答案】

【分析】要使f（x）在R上单调递增，必须满足：f（x）在(－∞，1)上单调递增，f（x）在(1，＋∞)上单调递增；又x=1时，(x2－2ax)≥(x＋1)．

【详解】要使f（x）在R上单调递增，必须满足三条：

第一条：f（x）在(－∞，1)上单调递增；

第二条：f（x）在(1，＋∞)上单调递增；

第三条：x=1时，(x2－2ax)≥(x＋1)．

故有解得．

故实数a的取值范围为．

故答案为：.

16．函数为奇函数，是定义在上的减函数，若，则实数的取值范围为______．

【答案】

【分析】首先求出的定义域，再确定m的前提范围，利用奇函数及其单调性求不等式参数范围.

【详解】由题意，的定义域为，

所以的定义域为，则，解得．

又是上的减函数，

所以奇函数在上单调递减．

由，得，

所以，即，解得．

综上，．

故答案为：．

三、解答题

17．已知，，．

(1)若是的充分条件，求实数的取值范围；

(2)若，命题、其中一个是真命题，一个是假命题，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）根据条件列出不等式组求解即可；

（2）根据命题、其中一个是真命题，一个是假命题，分情况讨论求解即可．

【详解】（1）∵是的充分条件，

∴，解得：，

所以的取值范围是；

（2）当时，，

由于命题、其中一个是真命题，一个是假命题，分以下两种情况讨论：

①真假时，，解得；

②假真时，，解得或．

所以实数的取值范围为：或．

18．设集合.

(1)若，求的值；

(2)若，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）结合以及根与系数关系来求得的值；

（2）根据，结合判别式进行分类讨论，由此求得的取值范围.

【详解】（1），解得或，所以.

对于一元二次方程，至多有个不相等的实数根，

由于，故，

由根与系数关系得，解得

（2）对于一元二次方程，

，

当，即时，，满足.

当，即时，，

解得，则，，不符合题意.

当，即时，一元二次方程有两个不相等的实数根，

由于，所以，由（1）得.

综上所述，的取值范围是.

19．设函数y=mx2-mx-1.

(1)若对任意x∈R，使得y<0成立，求实数m的取值范围；

(2)若对于任意x∈[1，3]，y<-m+5恒成立，求实数m的取值范围.

【答案】(1)（-4，0]

(2)

【分析】（1）由mx2-mx-1<0，对任意x∈R恒成立，利用判别式法求解；

（2）由当x∈[1，3]时，y<-m+5恒成立，转化为，对x∈[1，3]时恒成立求解.

【详解】（1）解：要使mx2-mx-1<0，对任意x∈R恒成立，

若m=0，显然一1<0，满足题意；

若m≠0，则，

解得-4<m<0

综上，-4<m≤0，即m的取值范围是（-4，0].

（2）当x∈[1，3]时，y<-m+5恒成立，

即当x∈[1，3]时，m（x2-x+1）-6<0成立.

因为，且，

所以，

因为函数在上的最小值为，

所以只需即可，

即实数的取值范围为.

20．吉祥物“冰墩墩”在北京2022年冬奥会强势出圈，并衍生出很多不同品类的吉祥物手办．某企业承接了“冰墩墩”玩具手办的生产，已知生产此玩具手办的固定成本为200万元．每生产万盒，需投入成本万元，当产量小于或等于50万盒时；当产量大于50万盒时，若每盒玩具手办售价200元，通过市场分析，该企业生产的玩具手办可以全部销售完（利润＝售价－成本，成本＝固定成本＋生产中投入成本）

(1)求“冰墩墩”玩具手办销售利润（万元）关于产量（万盒）的函数关系式；

(2)当产量为多少万盒时，该企业在生产中所获利润最大？

【答案】(1)

(2)70万盒

【分析】（1）根据题意分和两种情况求解即可；

（2）根据分段函数中一次与二次函数的最值求解即可.

【详解】（1）当产量小于或等于50万盒时，，

当产量大于50万盒时，，

故销售利润（万元）关于产量（万盒）的函数关系式为

（2）当时，；

当时，，

当时，取到最大值，为1200．                    

因为，所以当产量为70万盒时，该企业所获利润最大．

21．已知关于的不等式的解集为．

(1)求，的值；

(2)当，且满足时，有恒成立，求的取值范围．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）首先根据题意得到，为方程的根，且，再利用根系关系求解即可.

（2）首先根据题意得到，再利用基本不等式求出的最小值即可.

【详解】（1）因为关于的不等式的解集为，

所以，为方程的根，且.

所以，解得，.

（2）因为恒成立，

所以即可.

因为，所以，

当且仅当，即时取等号.

所以，解得.

22．已知定义域为R的函数 是奇函数.

(1)求a、b的值；

(2)证明f(x)在(-∞，+∞)上为减函数;

(3)若对于任意R，不等式恒成立，求k的范围

【答案】(1)，；

(2)证明见解析；

(3)

【分析】（1）根据奇函数的性质由特殊值求得参数值，然后验证结论成立．

（2）由单调性的定义证明；

（3）由奇偶性变形，由单调性化简后求解．

【详解】（1）由已知，， ，

，，所以，解得，

，此时定义域是R，，为奇函数．

所以，；

（2）由（1），

设任意两个实数，，则，

，所以，即，

所以是减函数；

（3）不等式化为，

是奇函数，则有，

是减函数，所以，

所以恒成立，易知的最小值是，

所以．