2022-2023学年陕西省西安市周至县第四中学高一下学期期中数学试题含答案

2022-2023学年陕西省西安市周至县第四中学高一下学期期中数学试题

一、单选题

1．已知a∈R，若a–1+(a–2)i(i为虚数单位)是实数，则a=（    ）

A．1 B．–1 C．2 D．–2

【答案】C

【分析】根据复数为实数列式求解即可.

【详解】因为为实数，所以，

故选：C

【点睛】本题考查复数概念，考查基本分析求解能力，属基础题.

2．下列几何体中棱柱有(　　)

A．5个 B．4个 C．3个 D．2个

【答案】D

【详解】由棱柱的定义及几何特征，①③为棱柱．故选D.

3．如果向量，，那么

A．6 B．5 C．4 D．3

【答案】B

【分析】先求出的坐标，再由模的坐标表示计算．

【详解】由已知，所以，

故选：B．

【点睛】本题考查平面向量模的坐标运算，掌握向量模的坐标表示是解题关键，本题属于基础题．

4．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝60°，a，则等于（　　）

A． B． C． D．2

【答案】D

【解析】由已知结合正弦定理即可直接求解．

【详解】A＝60°，a，

由正弦定理可得，2，

∴b＝2sinB，c＝2sinC，

则2．

故选：D．

【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，属于基础试题．

5．若，则z=（    ）

A．1–i B．1+i C．–i D．i

【答案】D

【分析】先利用除法运算求得，再利用共轭复数的概念得到即可.

【详解】因为，所以.

故选：D

【点晴】本题主要考查复数的除法运算，涉及到共轭复数的概念，是一道基础题.

6．设，是两个不共线的平面向量，已知，，若，则（    ）

A．2 B．-2 C．6 D．-6

【答案】D

【分析】根据可知，再根据，代入求解即可.

【详解】因为，故，故，因为，是两个不共线的平面向量，故，解得.

故选：D

【点睛】本题主要考查了向量平行求参数的问题，若，则，属于基础题.

7．如图，，，，且a，b为异面直线，则以下结论中正确的是（    ）

A．a，b中至多有一条与平行 B．a，b都与平行

C．a，b都与相交 D．a，b中至多有一条与相交

【答案】A

【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系判断作答.

【详解】对于A、B，若直线，都平行于直线，那么直线，平行，

与题意，为异面直线矛盾，故，中至多有一条与平行，故A正确；B错误.

对于C、D，假设直线与直线都不相交，因，则，又，则，

因此与是异面直线矛盾，所以直线至少与中的一条相交，C，D错误；

故选：A.

8．欧拉是世纪最伟大的数学家之一，在很多领域中都有杰出的贡献．由《物理世界》发起的一项调查表明，人们把欧拉恒等式“”与麦克斯韦方程组并称为“史上最伟大的公式”．其中，欧拉恒等式是欧拉公式：的一种特殊情况．根据欧拉公式，若复数z满足，则z的虚部是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据题意，化简可得复数z的表达式，根据复数的概念，即可得答案.

【详解】由题意得，

所以，

所以，则z的虚部是1.

故选：A

二、多选题

9．正方体的截面可能是

A．钝角三角形 B．直角三角形 C．菱形 D．正六边形

【答案】CD

【解析】如图所示截面为三角形ABC，设OA=a，OB=b，OC=c，应用余弦定理，证明是锐角三角形；如图，取相对棱的中点和相对顶点，得到的四边形是菱形；正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，如图为正六边形．

【详解】

如图所示截面为三角形ABC，OA=a，OB=b，OC=c，

∴，

∴

∴∠CAB为锐角，同理∠ACB与∠ABC也为锐角，即△ABC为锐角三角形，

∴正方体的截面若是三角形，则一定是锐角三角形，

不可能是钝角三角形和直角三角形，A、B错误；

若是四边形，则可以是梯形（等腰梯形）、平行四边形、菱形、矩形、正方形，

但不可能是直角梯形，C正确；

正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，

如图为正六边形，故若是六边形，则可以是正六边形，D正确.

故选：CD.

【点睛】本题考查正方体截面问题，考查空间想象能力，属于中等难度.

10．若复数满足（为虚数单位），则下列结论正确的有（　　）

A．的虚部为 B． C．的共轭复数为 D．是第三象限的点

【答案】BC

【分析】利用复数的除法求出复数，利用复数的概念与几何意义可判断各选项的正误.

【详解】，，

所以，复数的虚部为，故A错误；

，故B正确；

共轭复数为，故C正确；

复数在复平面对应的点在第四象限，故D错误.

故选：BC.

11．以下关于正弦定理或其变形正确的有（　　）

A．在ABC中，a：b：c＝sin A：sin B：sin C

B．在ABC中，若sin 2A＝sin 2B，则a＝b

C．在ABC中，若sin A＞sin B，则A＞B，若A＞B，则sin A＞sin B都成立

D．在ABC中，

【答案】ACD

【分析】对于A，由正弦定理得a：b：c＝sinA：sinB：sinC，故该选项正确；

对于B，由题得A＝B或2A+2B＝π，即得a＝b或a2+b2＝c2，故该选项错误；

对于C，在ABC中，由正弦定理可得A＞B是sinA＞sinB的充要条件，故该选项正确；

对于D，由正弦定理可得右边＝＝左边，故该选项正确.

【详解】对于A，由正弦定理，可得a：b：c＝2RsinA：2RsinB：2RsinC＝sinA：sinB：sinC，故该选项正确；

对于B，由sin2A＝sin2B，可得A＝B或2A+2B＝π，即A＝B或A+B＝，∴a＝b或a2+b2＝c2，故该选项错误；

对于C，在ABC中，由正弦定理可得sinA＞sinB⇔a＞b⇔A＞B，因此A＞B是sinA＞sinB的充要条件，故该选项正确；

对于D，由正弦定理，可得右边＝＝左边，故该选项正确.

故选：ACD.

【点睛】本题主要考查正弦定理及其变形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

12．下列命题错误的是（    ）

A．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形

B．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台

C．若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直

D．棱台的侧棱延长后交于一点，侧面是等腰梯形

【答案】ABD

【分析】直接利用棱柱，棱锥，棱台的性质判断选项即可.

【详解】对于A，棱柱的侧面不一定全等，故错误；

对于B，由棱台的定义可知只有当平面与底面平行时，所截部分才是棱台，故错误；

对于C，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直，比如正方体中共点的三个相邻平面，故正确；

对于D，棱台的侧面不一定是等腰梯形，故错误.

综上，ABD错误.

故选：ABD.

【点睛】本题主要考查了点、线、面间位置特征的判断，棱柱的结构特征，考查学生的空间想象能力和推理论证能力，属于基础题.

三、填空题

13．设向量，若，则              .

【答案】5

【分析】根据向量垂直，结合题中所给的向量的坐标，利用向量垂直的坐标表示，求得结果.

【详解】由可得，

又因为，

所以，

即，

故答案为：5.

【点睛】本题考查有关向量运算问题，涉及到的知识点有向量垂直的坐标表示，属于基础题目.

14．复数                      .

【答案】

【分析】根据复数的除法运算和复数的模的计算，可得答案．

【详解】解：．

故答案为：.

【点睛】本题考查复数的除法运算和复数的模的计算，属于基础题．

15．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E､F分别是对角线A1D､B1D1的中点，则正方体6个表面中与直线EF平行的平面有                .

【答案】平面C1CDD1和平面A1B1BA

【分析】由条件可得EFC1D，从而可得EF平面C1CDD1.，同理，EF平面A1B1BA，得出答案.

【详解】

如图，连接A1C1，C1D，所以F为A1C1的中点，

在中，EF为中位线，所以EFC1D，又EF平面C1CDD1，

C1D平面C1CDD1，所以EF平面C1CDD1.

同理，EF平面A1B1BA.

故与EF平行的平面有平面C1CDD1和平面A1B1BA.

由,平面,所以平面，

平面，则与平面相交

又平面平面，所以与平面相交.

同理与平面，平面相交.

所以与直线EF平行的平面有：平面C1CDD1和平面A1B1BA

故答案为：平面C1CDD1和平面A1B1BA

16．用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图所示，边与平行于轴.已知四边形的面积为，则原平面图形的面积为          .

【答案】

【分析】作出原图形，根据原图形与直观面积之间的关系求解．

【详解】根据题意得，原四边形为一个直角梯形，

且，，，

，

则，

所以，.

故答案为：.

四、解答题

17．复数，其中为虚数单位．

(1)求及；

(2)若，求实数，的值．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）首先根据复数的运算求解出复数，进而根据复数的模长公式求解；

（2）首先将代入等式，然后根据等式关系构造方程组，解方程组即可得到实数，的值.

【详解】（1）∵，

∴．

（2）由（1）可知，

由，得：，

即，∴，解得

18．已知向量，．

（1）若，求；

（2）若，求向量在方向上的投影．

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）根据向量，，先求得的坐标，再根据，利用共线向量定理求解.

（2）由得到向量，再由向量在方向上的投影是求解．

【详解】（1）因为向量，，

所以，

因为，

所以，

解得 ；

（2）当时，向量，，

所以向量在方向上的投影是 ．

19．如图，已知四棱锥的底面是正方形，且边长为4cm，侧棱长都相等，E为BC的中点，高为PO，且，求该四棱锥的侧面积和表面积．

【答案】，

【分析】根据直角三角形边角关系得出，结合三角形面积公式得到侧面面积和表面积.

【详解】如图，，在中，．

，E为BC的中点，

侧棱长都相等，

，

【点睛】棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各个面的面积之和，因此，我们可以利用平面图形求面积的方法求立体图形的表面积．

20．已知棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD、AD的中点.

求证：（1）四边形是梯形；

（2）∠DNM＝∠D1A1C1.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】（1）根据直线的平行性的传递性可得且，根据梯形的定义可得结论成立；

（2）根据等角定理可证结论成立.

【详解】（1）连接，

因为M，N分别是棱CD、AD的中点，所以，，

又因为且，所以四边形为平行四边形，

所以，且，

所以且，

所以四边形是梯形.

（2）由（1）知，又根据正方体的性质可知，，且与的方向相同，

所以根据等角定理可得.

【点睛】本题考查了平行直线的传递性，考查了等角定理，属于基础题.

21．在中，角、、的对边分别为、、，已知.

（1）若的面积为，求的值；

（2）设，，且，求的值.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系求得的值，利用三角形的面积公式可求得的值，再利用平面向量数量积的定义可求得的值；

（2）由结合二倍角公式可求得，求得和的值，再利用两角差的正弦公式可求得的值.

【详解】（1），，则，

的面积为，.

因此，；

（2），，且，所以，，即，.

，.

，

，

因此，.

【点睛】本题考查解三角形的综合问题，考查三角形面积公式的应用、平面向量数量积的计算、平面向量共线的坐标表示以及利用三角恒等变换思想求值，考查计算能力，属于中等题.

22．测量河对岸某一高层建筑物的高度时，可以选择与建筑物的最低点在同一水平面内的两个观测点和，如图，测得，，，并在处测得建筑物顶端的仰角为，求建筑物的高度.

【答案】.

【分析】先根据正弦定理求BC,再根据题意求高即可.

【详解】由题意，在中，，，∴，

又，

由正弦定理得，∴；

在中，，，

∴；

则建筑物高AB为.