2022-2023学年陕西省西安市鄠邑区第四中学高一上学期期中数学试题含答案

2022-2023学年陕西省西安市鄠邑区第四中学高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．已知全集 ，集合 ，则

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】直接利用补集的定义求解即可.

【详解】全集 ，集合 ，

所以.

【点睛】本题主要考查了集合的补集运算，属于基础题.

2．命题“，”的否定是（    ）

A． ， B． ，

C． ， D．，

【答案】D

【分析】根据特称命题的否定直接得出答案.

【详解】因为特称命题的否定是全称命题，

所以命题“，”的否定是为：，，

故选：D.

3．设，，，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】当时，选项A错误；

当时，选项B错误；

当时，选项C错误；

∵函数在上单调递增，

∴当时，．

本题选择D选项.

点睛：判断不等式是否成立，主要利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更简便．

4．下列各组函数表示同一函数的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】判断函数的定义域与对应法则是否相同即可．

【详解】对于A，，定义域和对应法则不一样，故不为同一函数；

对于B，，定义域不同，故不为同一函数；

对于C，，定义域和对应法则均相同，故为同一函数：

对于D，，定义域不同，故不为同函数．

故选：C．

5．函数的定义域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由题意列不等式组求解

【详解】由题意得，解得且，

故选：D

6．若f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4)上是减函数，则实数a的取值范围是(　　)

A．a<－3 B．a ≤－3 C．a>－3 D．a≥－3

【答案】B

【详解】若f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4)上是减函数，则在上恒成立，即：，由于，则，选B.

7．已知命题“”是假命题，则实数a的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据题意可知该命题的否定是真命题，再根据一元二次不等式恒成立即可求解.

【详解】由题意可知，命题“”是假命题

则该命题的否定“”是真命题，

所以，解得；

故选：D.

8．如果奇函数在上是减函数，且最大值是5，那么，在上是（    ）

A．增函数，最大值为 B．减函数，最大值为

C．减函数，最小值为 D．增函数，最小值为

【答案】C

【解析】由题意结合奇函数的对称性和所给函数的性质即可求得答案．

【详解】奇函数的函数图象关于坐标原点中心对称，

则若奇函数f（x）在区间上是减函数且最大值为5，

那么f（x）在区间上是减函数且最小值为﹣5．

故选：C．

二、多选题

9．下列函数是奇函数且在区间上是单调递增函数的是（      ）

A． B．

C． D．

【答案】AB

【分析】根据函数奇偶性的定义，结合常见函数的单调性，可得答案.

【详解】对于A，由函数的定义域为，且，则为奇函数；

根据反比例函数的定义，则函数在上单调递增，故A正确；

对于B，由函数的定义域为，且，则为奇函数；

根据一次函数的单调性，故B正确；

对于C，由函数的定义域为，则函数为非奇非偶函数，故C错误；

对于D，由函数的定义域为，且，则函数为偶函数，故D正确.

故选：AB.

10．下列命题中是真命题的是（      ）

A．且是的充要条件

B．是的充分不必要条件

C．是有实数解的充要条件

D．三角形的三边满足勾股定理的充要条件是此三角形为直角三角形

【答案】BD

【分析】A选项，可举出反例；BD可推导出正确；C选项，根据一元二次方程有解，满足，故C错误.

【详解】A选项，当时，满足，但不满足且，

故且不是的充要条件，A错误；

B选项，因为，但，

故是的充分不必要条件，B正确；

C选项，有实数解，则要满足，故C错误；

D选项，三角形的三边满足勾股定理，则这个三角形是直角三角形，

反之，若一个三角形是直角三角形，则三边满足勾股定理，

故三角形的三边满足勾股定理的充要条件是此三角形为直角三角形，D正确.

故选：BD

11．不等式的解集是，则下列结论正确的是（   ）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【分析】根据二次函数图像与二次不等式关系求解即可.

【详解】解：因为不等式的解集是，

所以，且，

所以所以，，，

故AC正确，D错误．

因为二次函数的两个零点为，2，且图像开口向下，

所以当时，，故B正确．

故选：ABC．

12．下列说法正确的是（      ）

A．偶函数的定义域为，则

B．若函数是定义在上的奇函数，则

C．奇函数在上单调递增，且最大值为8，最小值为，则

D．若集合中至多有一个元素，则

【答案】ABC

【分析】由偶函数定义域对称解出参数可判断A；根据奇函数定义可判断B；由单调性得，，由奇偶性得，，即可求解判断C；分别讨论、解的个数可判断D.

【详解】对于A，偶函数的定义域为，，解得，故A正确；

对于B，若函数是定义在上的奇函数，则，

所以，可得，故B正确；

对于C，奇函数在上单调递增，且最大值为8，最小值为，

，，，，

∴，故C正确；

对于D，集合中至多有一个元素，

方程至多有一个解，

当时，方程只有一个解，符合题意；

当时，由方程至多有一个解，可得，解得，

或，D错误.

故选：ABC.

【点睛】方法点睛：对于二次项系数含参数的一元二次方程关于根的问题，不要丢掉二次项系数为0情况，分情况讨论.

三、填空题

13．函数，则          ．

【答案】1

【分析】根据分段函数的解析式，结合所求函数值对应自变量所在的定义域范围选取解析式求值即可.

【详解】∵，

∴，即，

∵，

∴，即．

故答案为：1．

14．已知，且满足，求的最小值是             .

【答案】18

【分析】利用“1”的妙用，转化，展开后，利用基本不等式，

即可求解.

【详解】，

当且仅当，即，

联立，得，

所以的最小值是.

故答案为：

15．定义在R上的偶函数在上的图像如下所示，则不等式的解集是             .

【答案】

【分析】根据偶函数的性质，作出函数的图象，利用分类讨论，结合图象，可得答案.

【详解】由函数为偶函数，则其函数的图象关于轴对称，如下图所示：

当时，由，则，根据图象可得；

当时，由，则，根据图象可得.

综上所述，不等式的解集为.

故答案为：

16．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为(不超过起步价付费)；超过但不超过时，超过部分按每千米2.15元收费；超过时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了        .

【答案】9

【详解】设为行驶里程，为费用，则当时，，当时，，当时，，若时得，符合题意，故答案为9．

四、解答题

17．（1）解关于x的不等式；

（2）解关于x的不等式.

【答案】（1）或；（2）

【分析】（1）变形后利用公式进行求解；（2）将分式不等式化为一元二次不等式，求出解集.

【详解】（1）变形得到，解得或，

故解集为或；

（2）变形为，故，

解得，

故不等式的解集为.

18．（1）已知，求的最小值；

（2）已知，求的最大值．

【答案】（1）9；（2）．

【分析】（1）由于，则，然后利用基本不等式求解即可，

（2）由于，变形得，然后利用基本不等式求解即可.

【详解】（1）因为，所以，

所以，

当且仅当，即时取等号，

所以的最小值为9．

（2）因为，所以，

当且仅当，即时取等号，

故的最大值为．

19．已知全集，集合，集合．

（1）当时，求；

（2）若，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【详解】试题分析：（1）当时，，所以，从而可以求出（2）因为，所以集合可以分为或两种情况讨论．

当时，，即；当时，比较端点大小列出方程组求出a范围，然后把两种情况下求得的值求并集即可．

试题解析：

（1）当时，，所以，

所以．

（2）因为，所以集合可以分为或两种情况讨论．

当时，，即；

当时，得即．

综上，．

20．已知幂函数的图象经过点.

(1)求的解析式:并判断它的奇偶性（不证明）；

(2)若，求a的取值范围.

【答案】(1)，非奇非偶函数；

(2)

【分析】（1）待定系数法求解函数解析式，并得到函数奇偶性；

（2）根据函数的定义域和单调性，得到不等式组，求出答案.

【详解】（1）设幂函数，将代入可得，解得，

故，此函数为非奇非偶函数，

理由如下：因为定义域为，不关于原点对称，故为非奇非偶函数；

（2）在上单调递增，

，故，

解得，

即的取值范围是.

21．已知函数.

(1)作出函数的图象；

(2)就a的取值范围讨论函数的零点的个数．

【答案】(1)作图见解析

(2)答案见解析

【分析】（1）先作出的图象，然后将其在x轴下方的部分翻折到x轴上方；

（2）数形集结合，函数的零点的个数就是函数的图象与直线的交点的个数．

【详解】（1）先作出的图象，然后将其在x轴下方的部分翻折到x轴上方，原x轴上及其上方的图象及翻折上来的图象便是所要作的图象．

  .  

（2）由图象易知，函数的零点的个数就是函数的图象与直线的交点的个数．.

当时，函数的零点的个数为0；

当与时，函数的零点的个数为2；

当时，函数的零点的个数为4；

当时，函数的零点的个数为3.

22．已知函数.

(1)当时，利用函数单调性定义证明在上单调递增；

(2)当时，求函数在的值域；

(3)若对任意，恒成立，试求实数a的取值范围.

【答案】(1)证明见解析

(2)

(3)

【分析】（1）根据单调性的定义，设其定义域内，利用作差法，可得答案；

（2）根据单调性的性质，建立不等式，结合值域的定义，可得答案；

（3）解法一：根据定义域，化简不等式，构造函数，利用二次函数的单调性，可得答案；

解法二：根据定义域，化简不等式，利用参变分离，构造函数，利用二次函数的性质，可得答案.

【详解】（1）由，则，设，，

，

由，则，，，即，

所以在上单调递增.

（2）由（1）可知在上单调递增，

当时，则，，，

所以函数在上的值域为.

（3）解法一：依题意在上恒成立，

即在上恒成立，

记，，由在上单调递增，

当时，取得最小值为，

所以当，即时，恒成立.

于是实数的取值范围为.

解法二：依题意在上恒成立，

即在上恒成立，则在上恒成立.

令，，由于在上单调递减，

所以当时，取得最大值为，

所以.